Rättelseblad till M 2b

Transkript

1 Rättelseblad till M 2b Trckfel (första eller andra trckningen) Sida Var Står Skall stå 5 Rad nerifrån Ekvationen 209 Ekvationen 2 = Uppg tillsamman tillsammans 44 Eempel a = 2, a = 2,5 + 6 Facit 39 Uppg 098c Uppg 3024a o b cm 2 m Svaren till uppgift 2 och 8 ska bta plats i TEST 5A 340 Uppg 6059b c c = = p q p+ q 343 T Uppg 4204 Sök maimala värdet värdet av Sök maimala värdet av Rättelse till M 2b Liber AB

2 Rättelse till M2b Tredje trckningen I tredje trckningen är ett antal bilder felaktiga i kapitel fra. Vi publicerar här de sidor som är aktuella. Om du har köpt ett eemplar av tredje trckningen ber vi dig att kontakta kundservice för reklamation av boken, eller kundservice.liber@liber.se. Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras /27

3 e) Lös olikheten f () > 30 Vi ska avläsa när f() > 30, dvs när temperaturen är mer än 30 grader. Detta gäller då tiden är mellan 0 min och 35 min. svar: 0 < < 35 EXEMPEL Figuren visar grafen till f () = 4 2. Observera att grafen är ritad i ett begränsat intervall. Grafen slutar med en flld ring och en oflld ring. a) Definitionsmängden är följande: < 3 = f() b) Värdemängden: 5 4 c) Olikheten f() < 0 har lösningen < 0 EXEMPEL 2 Vi beräknar några olika funktionsvärden för f () = 2 4. a) f(5) = (5)2 4 5 = = 5 b) f( 3) = ( 3)2 4 ( 3) = = 2 c) f (a + ) = (a + )2 4(a + ) = a2 + 2a + 4a 4 = a2 2a 3 Grafen anger hur vattenmängden V i en behållare varierar med tiden t. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen V = f(t). 400 a) Bestäm f (0) m3 V b) Bestäm värdemängden c) Lös ekvationen V = 4 d) Lös olikheten V > 6 t h Kostnaden i kronor för att tillverka liter färg kan beräknas med funktionen K() = ,0022. a) Vad kostar det att tillverka 500 liter? b) Bestäm K(2 000). c) Hur stor är den fasta kostnaden? FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB 73 Får kopieras 2/27

4 4003 Grafen visar hur temperaturen beror av tiden. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen = f(). a) Bestäm f(2) b) Lös ekvationen f() = 2 c) Bestäm definitionsmängden d) Lös olikheten < 0 e) Bestäm värdemängden 4004 Funktionen f() = Bestäm följande funktionsvärden. a) f(0) b) f(2) c) f( ) d) f(0,5) 4005 Lös följande uppgifter med hjälp av grafen till = f(). a) Bestäm f(2) = f() b) Bestäm f( ) c) Bestäm definitionsmängden. d) Bestäm värdemängden e) Lös olikheten f() > 4 f) Lös ekvationen f() = 4006 Rita ett koordinatsstem och skissa sedan grafen till en funktion där f() = 2, f(2) = 3 och f(0) = Lös följande uppgifter med hjälp av grafen till = h(). a) Bestäm h(2) b) Bestäm h(0) c) Lös ekvationen h() = 0 d) Lös olikheten h() < 3 e) Bestäm definitionsmängden. f) Bestäm värdemängden. = h() 4008 Ge eempel på två linjära funktioner f() = k + m så att f(0) = FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 3/27

5 4009 Titta på värdetabellen för funktionen = f() a) Är det sant att f() = 0? b) Bestäm f(2). c) Bestäm a så att f(a) =. 400 I koordinatsstemet finns grafen till den räta linjen = f() samt andragradsfunktionen = g(). Bestäm med hjälp av graferna de för vilka a) f() = g() b) f() < g() c) f() = 2 d) g() = 3 e) f() < 0 f) g() < 5 = f() = g() 40 Vi har en funktion f() = 2 + m. Bestäm m så att a) f(3) = 5 b) f(5) > 2 c) f( 3) < En graf går genom punkterna (0, 3), (2, 5), ( 2, ) och origo. Kan punkterna beskriva en funktion? Motivera! 403 För en linjär funktion gäller att f(2) = 3 och f(4) = 7. Bestäm f(8). 404 Beräkna f( 2) g(2) då f() = 3 och g() = Bestäm riktningskoefficienten för en linjär funktion där f(a) = 5 och f(a + 7) = Pia har ritat några räta linjer där det gäller att = k( 2) + 3. Samtliga dessa linjer går genom punkten P. Bestäm konstanten a om grafen till = 2 + a också går genom punkten P. 407 Här gäller att s(t) = at 2 5a 2 t a) Vilken är den oberoende variabeln? b) Bestäm a så att s(5) = s( ) FUNKTIONER 75 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 4/27

6 EXEMPEL Vilken av följande funktioner motsvaras av grafen? f() = + 2 g() = 2 + h() = 2 Grafen visar en 2 -funktion där 2 -termen är positiv. Den funktion som har positiv 2 -term är g(). svar: g() EXEMPEL 2 Rita grafen till funktionen = 4 2. Vi gör en värdetabell och prickar därefter in punkterna i ett koordinatsstem. = = = 0 4 = = = = = 5 Vi ritar en jämn kurva mellan punkterna. Lägg märke till att vi drar ut kurvan så att den inte slutar precis i en punkt. Kurvan är smmetrisk kring den streckade linjen = 2. Linjen = 2 kallas smmetrilinje. Använd också grafritare och rita grafen. Det är viktigt att du kan rita grafer både för hand och med grafritare. = Ange, utan att rita, om graferna till följande funktioner har en minimipunkt eller maimipunkt. a) = 2 b) = 2 2 c) = 2 d) = 3 + 0,5 2 e) = ( 2) f) = FUNKTIONER 77 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 5/27

7 409 Vilken av följande funktioner motsvaras av grafen? a) = 2 4 b) = 4 2 c) = Bestäm följande funktioners maimipunkt eller minimipunkt, t e genom att rita graferna. a) = 2 2 b) = 4 2 c) = Tänk dig en andragradskurva f() som har en maimipunkt i (3, 2). Skär kurvan -aeln? 4022 Para ihop funktionen med rätt grafbild. a) = 2 3 b) = 2 3 c) = 3 2 d) = Rita i samma koordinatsstem graferna till = 2 4 och = 2. Graferna skär varandra i två punkter. Ange koordinaterna för dessa punkter Lös ekvationssstemet både grafiskt och algebraiskt. = 2 2 = a) Beräkna f ( 4,0 ) f ( 4 ) då f() = 2 0,0 b) Ge en geometrisk tolkning av det du beräknat i a). 78 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 6/27

8 ! Bilden visar grafen till = Grafen skär -aeln i = och = 3. Funktionens nollställen är = och = 3. Ekvationen = 0 har rötterna = och = 3. 3 En andragradsfunktion kan ha två nollställen, ett nollställe eller inget nollställe. Om funktionen har bara ett nollställe så snuddar (tangerar) grafen -aeln. Detta kallas ibland ett dubbelt nollställe. Om grafen skär -aeln på två ställen, har ekvationen = 0 två olika rötter. Om grafen tangerar -aeln, har ekvationen = 0 dubbelrot. Om grafen inte skär -aeln, saknar ekvationen = 0 reella rötter. EXEMPEL Grafen till funktionen = 6 2 är ritad i koordinatsstemet. Lös ekvationen 6 2 = 0 grafiskt. Vi tittar på grafen och bestämmer funktionens nollställen. Dessa finner vi där kurvan skär -aeln, dvs = 0 och 2 = 6. = 6 2 svar: = 0 2 = 6 Som jämförelse löser vi ekvationen 6 2 = 0 algebraiskt. Vi faktoriserar och får (6 ) = 0 = 0 eller 6 = 0 = 0 2 = 6 Alternativ lösning med formeln : 6 2 = = 0 = 3± 9 0 = 3 ± 3 = 6 eller = 0 Siffertermen är noll. 80 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 7/27

9 EXEMPEL 2 a) Grafen visar andragradsfunktionen f() = Bestäm funktionens nollställen algebraiskt. Vi sätter f() = 0 och får = = 0 2 = ± + 3 = ± 2 = 2 = 3 = nollställen smmetrilinje = svar: = 2 = 3 b) Från bilden ser vi att smmetrilinjen är =. Algebraiskt kan vi bestämma smmetrilinjen, eftersom vi vet att smmetrilinjen ligger mitt emellan funktionens nollställen. Se lösningen i a) där vi får = ± 2 Smmetrilinjen är = c) Bestäm algebraiskt funktionens största värde. Vi utnttjar att maimipunkten har samma -koordinat som funktionens smmetrilinje. Här ska vi alltså bestämma f( ) f( ) = 3 2( ) ( ) 2 = = 4 svar: Största värdet är 4. Jämför med grafen!! Smmetrilinjen ligger mitt emellan funktionens nollställen. Nollställe för = och = 7 smmetrilinjen = 4 FUNKTIONER 8 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 8/27

10 4026 Figuren till höger visar grafen till funktionen = a) Lös ekvationen = 0 grafiskt. b) Vilken är funktionens smmetrilinje? = Bestäm smmetrilinjen för en andragradsfunktion med följande nollställen. a) = 0 och = 3 b) = 2 och = Grafen till höger visar funktionen = 3 2 a) Bestäm funktionens nollställen. b) Lös ekvationen 3 2 = 0 algebraiskt. = Grafen till höger visar funktionen = a) Lös ekvationen = 0 b) Ange punkten P:s koordinater Bestäm nollställen till dessa funktioner. Graferna ska inte ritas. P a) = 2 9 b) = 2 2 c) = ( 6) d) = ( 3)( + 2) e) = f) = Då en parabel roterar kring sin ael bildas en ta som kallas paraboloid. Ytan fungerar som reflektor i en parabol. I parabolens fokus placerar man antennen eftersom de signaler som tas emot, samlas där. 82 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 9/27

11 403 Här ska du utgå från funktionen = 2 + 6, men du ska inte rita grafen. Beskriv hur du kan a) se om funktionen har maimipunkt eller minimipunkt b) avgöra om det finns ett, två eller inga nollställen c) bestämma funktionens största värde? 4032 Bestäm koordinaterna för verte. a) = b) = c) = Vilken är funktionens smmetrilinje? a) f() = b) = 2 6 c) f() = ( 5)( ) 4034 Hur många nollställen har en andragradsfunktion där a) maimipunkten är (2, ) b) verte är (3, 0) c) minimipunkten är (4, 2) Ge eempel på en andragradsfunktion som har a) maimipunkt i origo b) minimipunkt (0, 4) Punkterna (0, 5) och (7, 5) ligger på en andragradskurva. Ange smmetrilinjens ekvation En andragradsfunktion har smmetrilinjen = 2. Punkterna (0, 8) och (, 5) ligger på kurvan. Ange tterligare två punkter på kurvan Grafen visar en funktion som skär -aeln i punkterna P och Q. Bestäm avståndet mellan P och Q då man vet att = f() P Q FUNKTIONER 83 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 0/27

12 4039 Vilken av dessa funktioner har en graf som tangerar -aeln? Motivera utan att rita. A: () = B: () = C: () = Utgå från funktionen = p För vilka värden på konstanten p har funktionen a) ett nollställe b) två nollställen c) inga nollställen? 404 Ge eempel på en andragradsfunktion som har nollställen då = och = Bilden till höger visar ett Pop-up-mål som kan användas vid t e inneband. Målramen har form av en parabel. Om -aeln graderas i cm längs mållinjen, kan målramens höjd (cm) bestämmas enligt = 3,6 0,03 2 Beräkna målramens största höjd och bredd. 84 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras /27

13 DIGITALA RUTAN Allmänna andragradsfunktionen Här ska du använda grafritande hjälpmedel och undersöka andragrads funktionen f() = a 2 + b + c för olika värden på konstanterna a, b och c. Vi börjar med funktionen f() = a 2 Rita några grafer där konstanten a får variera från 0,5 till 5. Rita sedan grafer där a får variera från t e 0,5 till 5 Formulera en slutsats. 2 Här ska vi undersöka hur konstanten c påverkar grafen till f() = 2 + c. Rita några grafer där 5 < c < 5. Formulera en slutsats. 3 Till sist ska vi undersöka hur smmetrilinjen påverkas av konstanterna a och b i f() = a 2 + b. Vi väljer att börja med a = 2 och b = 6, dvs funktionen f() = Se grafen och tabellen. f() = Rita tterligare några grafer med olika värden på a och b, samt fll i tabellen. a 2 b 6 b / a 3 sm,5 Formulera ett samband mellan sm och konstanterna a och b. FUNKTIONER 85 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 2/27

14 PROBLEMLÖSNING EXEMPEL Martin tävlar i höjdhopp. Ett av hans höjdhopp kan beskrivas med funktionen = 0, ,464 där = hoppets höjd i cm över marken och = förflttning i cm längs med marken. Bestäm hoppets maimala höjd. Svara i hela cm. Vi bestämmer funktionens nollställen. 0 = 0, ,464 = 0 2 = 80 Hoppets längd längs marken är alltså 80 cm. Nu bestämmer vi maimala höjden då = 90 (90) = 0, , = 200,88 svar: 20 cm 4043 Ett företags vinst (Mkr) beskrivs med formeln = 0, där = tiden (år) efter år a) Vilket år är vinsten störst? b) Hur stor är den maimala vinsten? 4044 En 52 cm lång metalltråd böjs till en rektangel som har sidan. a) Skriv en formel för arean cm 2. b) Bestäm så att arean blir 60 cm 2. c) Vilken är den maimala arean? 4045 På sin fritid tillverkar och säljer Hanna chokladpraliner. Om hon säljer kg chokladpraliner kan hon beräkna vinsten V (kr) med formeln V = där 0 < < 50 Hur många hela kg praliner måste Hanna sälja för att V > 0? 4046 En andragradsfunktion () = a 2 + c har verte i punkten (0, 4) och skär -aeln i (4, 0). Bestäm konstanterna a och c. 86 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 3/27

15 4049 En badmintonhall har ett välvt tak. I figuren nedan ser du badmintonhallens ena gavel inlagd i ett koordinatsstem. Det välvda taket blir då en kurva i koordinatsstemet. Denna kurva kan beskrivas genom sambandet = 0,67 0,028 2 m 4,0 a m a) Bestäm gavelns bredd a. b) Som du ser i figuren är hallens lägsta takhöjd 4,0 m. Hur stor är den högsta takhöjden? (NP Ma B Ht 2000) 4050 En bils bensinförbrukning, liter/mil, är en funktion av farten, km/h, enligt = 0, ,06 +,34. Beräkna vid vilken hastighet, där 30 < < 20, som bilen har sin lägsta bensinförbrukning. 405 Figuren nedan visar ett valv där maimal höjd = 2,5 m och maimal bredd = 2,0 m. Eftersom valvet har samma form som en parabel kan dess form beskrivas med andragradsfunktionen () = a 2 + b + c. a) Bestäm den matematiska modell som beskriver valvets höjd enligt figuren. b) På vilket avstånd från valvets smmetrilinje är takhöjden,90 m? 2,5 2,0 88 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 4/27

16 KURVAN OCH LINJEN Bilden visar att kurvan = 2 och den räta linjen = k + m skär varandra i punkten P. Från P har en linje dragits vinkelrätt mot -aeln så att den gula triangeln har bildats. P = 2 I uppgift 6 gäller att k = 2 Bestäm P:s koordinater då m = 3. 2 Hur stor är den gula triangelns area då m = 3? 3 Bestäm m-värdet då P har koordinaterna (4, 6). 4 Hur stor är den gula triangelns area då P har koordinaterna (4, 6)? 5 Hur stor är den gula triangelns area då P har -koordinaten 00? 6 Bestäm ett uttrck för den gula triangelns area då punkten P har -koordinaten = n. 7 Här gäller att den räta linjen har k = 3. Vilket blir uttrcket för den gula triangelns area då punkten P har -koordinaten = n? FUNKTIONER 89 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 5/27

17 2 AVTAGANDE När Eva dricker kaffe till frukost, brukar hon vänta ett tag så att temperaturen på kaffet hinner sjunka. Grafen visar hur kaffets temperatur minskar de första minuterna. Temperaturen följer funktionen = 00 0,9 där = tiden i minuter. Grafen visar att eponentialfunktionen avtar.! C = 00 0, min Allmänt gäller att en eponentialfunktion skrivs på formen = C a Grafen till = C a skär -aeln i punkten (0, C) Jämför med företaget (0, 2000) och kaffet (0, 00) 2 För funktionen = C a gäller följande då C > 0: Om a > är funktionen väande. eempel: Företaget har a =,5 Om a < är funktionen avtagande. eempel: Kaffet har a = 0,9 3 Basen a måste vara > 0 och ej lika med. Graferna till funktionerna = 4 och = 4 är ritade i koordinatsstemet här bredvid. Vi ser att = 4 är väande och = 4 är avtagande. Vi ser också att graferna är varandras spegelbilder i -aeln. Lägg märke till att = 0,25 kan skrivas så här: 0,25 = (4 ) 4 4 = = slutsats: 0,25 = 4 = 4 = 4 På motsvarande sätt gäller att = 0,5 och = 2 är samma funktion. 94 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 6/27

18 Lägg märke till följande i figuren: Grafen till = 3 2 skär -aeln i (0, 3) = 0,5 = 2 Grafen till = 2 skär -aeln i (0, ). Funktionen = 2 väer snabbare än funktionen =,5. Detta beror på att basen 2 är större än basen,5. =,5 Graferna till = 0,5 och = 2 är spegelbilder av varandra i -aeln, eftersom 0,5 = 2! = Då C > 0 ligger grafen till eponentialfunktionen = C a alltid ovanför -aeln. Grafen kan finnas oändligt nära -aeln men kan aldrig skära den. EXEMPEL I en kommun minskar befolkningen enligt = ,96 där = antal år efter år Se grafen. a) I vilken punkt skär grafen -aeln? Grafen skär -aeln då = 0. För = 0 är = ,96 0 = 5000 = 5000 svar: I punkten (0, 5000) b) Går grafen genom punkten (2, 4500)? f(2) = ,96 2 = 4608 svar: Nej, grafen går genom (2, 4608) FUNKTIONER 95 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 7/27

19 EXEMPEL 2 Figuren visar grafen till eponentialfunktionen = C a. Bestäm konstanterna C och a. Observera alarnas gradering.. Där kurvan skär -aeln är = 0. Om vi sätter in = 0 i funktionen får vi (0) = C a 0 = C = C Samtidigt ser vi i figuren att (0) = 2 vilket innebär att C = 2 Konstanten C anger alltså var kurvan skär -aeln. 2 (5, 6) (0, 2) 5 2. Vi väljer en punkt på kurvan som är lätt att avläsa, t e (5, 6). Vi sätter in = 5 i funktionen och får (5) = 2 a 5 Eftersom (5) = 6 får vi 2a 5 = 6 a 5 = 3 a,25 svar: C = 2 och a, Utgå från f() = 5 000,08 och beräkna följande. a) f(0) b) f() c) f(2) 4068 Vilka av följande eponentialfunktioner är väande? a) = 2 b) = 0,9 c) = 3 0,5 d) = 0,, Rita grafen till funktionen = 0,5 Gör en värdetabell för = 2, =, = 0,5 osv till = Är det någon av följande tre funktioner som visar en tillvät? Rita graferna med grafritare och undersök. a) = 0,8 b) = 5 2 c) = 0,2 407 Folkmängden f() i en kommun förväntas öka eponentiellt enligt f() = ,04 där är tiden i år efter 200. a) Vilken var folkmängden år 200? b) Med hur många personer förväntas folkmängden öka under det första året? c) Vilken folkmängd bör kommunen ha år 205? d) Med hur många procent ökar folkmängden varje år? 96 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 8/27

20 4072 Para ihop funktionen med rätt grafbild. a) = 3 + b) = 0,8 c) = 2 3 d) =,2 ) 2) 3) 4) 4073 Vilka av följande funktioner skär -aeln i (0, 2)? a) = 2 b) = + 2 c) = 2 0,7 d) = Vilka av funktionerna i föregående uppgift a) beskriver en väande eponentialfunktion? b) saknar skärningspunkt med -aeln? c) går genom punkten (2, 4)? 4075 Grafen till en eponentialfunktion = C a går genom punkterna (0, 20) och (5, 52). Vilken är funktionen? 4076 I figuren har vi ritat graferna till två eponentialfunktioner. Skriv funktionerna på formen = C p och bestäm konstanterna C och p. a) b) En maskins värde kr minskar enligt = ,8 där är tiden i år. a) Bestäm maskinens värde efter 2 år. b) Är värdet ungefär /3 av npriset efter 5 år? FUNKTIONER 97 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 9/27

21 EXEMPEL 3 Bilden visar graferna till = 2 och = (3.54,.6) f2() = + 3 f() = 2 2 (0, ) 5 7 a) Använd bilden och lös ekvationen 2 = + 3 Vi söker skärningspunkterna mellan linjen och kurvan. Skärningspunkternas -koordinater ger ekvationens rötter. svar: = 0 eller 3,5 b) Lös olikheten 2 < + 3 med hjälp av bilden. Nu söker vi de -värden där 2 är mindre än + 3. Vi söker alltså de -värden där grafen ligger under (nedanför) linjen. Detta gäller för de som finns mellan = 0 och 3,5 Lösningen skrivs 0 < < 3,5 svar: 0 < < 3, Grafen visar = f(). Använd grafen och bestäm a) f(0) b) f( ) c) Är det sant att f(2) <? d) Lös ekvationen f() = e) Lös olikheten f() <, Rita graferna till = 0,8 och = 5 med grafritare. a) Lös ekvationen 0,8 = 5 b) Lös olikheten 0,8 > Rita grafen till = 2 och bestäm ett ungefärligt värde på då a) 2 = 5 b) 2 = 6 c) 2 = 7 98 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 20/27

22 408 Funktionen = C a går genom punkterna (, 300) och (3, 432). a) Bestäm konstanterna C och a. b) Går grafen genom punkten (5, 625)? 4082 Grafen visar hur värdet på en ckel minskar med tiden. a) Skriv funktionen på formen = C a och beräkna C och a. b) Med hur många procent minskar värdet varje år? kr år 4083 Rita grafen till = 4 2. För vilket -värde skär grafen linjen = 9 +? 4084 Rita med grafritare f() = +,2 och g() =,4. Lös olikheten f() > g() med hjälp av graferna En eponentiellt väande funktion f() = 00p är given. Bestäm f(5) om f(3) = Motivera påståendet: Ekvationen 3 = saknar lösning. TANKENÖT En glasflaska med kork kostar 0 kr. Flaskan kostar 00 kr mer än korken. Hur mcket kostar korken? FUNKTIONER 99 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 2/27

23 FLER FUNKTIONER Alla grafer som vi har ritat tidigare har varit sammanhängande. Dessa sammanhängande funktioner kallas kontinuerliga. 2 Bilden visar grafen till = 2 = 2 Observera att funktionen = ej är definierad för = 0. 2 Funktionen = är diskontinuerlig (ej kontinuerlig) eftersom grafen består av två delar. Bilden till höger visar grafen till funktionen = lg Vi ser att funktionen är definierad för > f() = log 0 () 0 2 Till sist ritar vi grafen till = Eftersom man inte kan dra roten ur ett negativt tal, gäller här = 5 0 FUNKTIONER 25 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 22/27

24 SAMMANFATTNING Smbolen f() Istället för = kan vi skriva f() = f(3) = = = 5 Andragradsfunktion Bilden visar grafen till andragradsfunktionen = Nollställen Grafen skär -aeln för = 3 och för =. Funktionens nollställen är 3 och. Smmetrilinje Maimipunkten har koordinaterna (, 4). Kurvan är smmetrisk kring linjen = verte nollställen smmetrilinje = = Eponentialfunktion = C a k där a > 0 kallas eponentialfunktion. Observera att a a > a < betder väande betder avtagande = 200,6 200 timmar Logaritmer Varje positivt tal kan skrivas som en tiopotens. Talets logaritm är eponenten i denna potens. 000 = 0 3 lg 000 = 3 0,0 = 0 2 lg 0,0 = ,300 lg 2 0, FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 23/27

25 BLANDADE UPPGIFTER Beräkna följande potenser utan att använda räknare. 47 a) 7 2 b) 4 3 c) 0,5 2 d) 2 5 e) 8 0 f) 0 2 g) 2 h) a) 4 b) 2 0 c) 2 2 d) 5 2 e) 20 f) 00 0,5 g) 25 0,5 h) Figuren visar grafen till = och = 3. Lös följande uppgifter med hjälp av graferna. a) = 0 b) < 0 c) = 3 d) > 3 e) 3 < f) 3 < Bestäm f(,5) då a) f() = b) f() = 03 0,887 (med tre värdesiffror) 475 Lös ekvationerna. Avrunda till tre värdesiffror. a) 5 = 5 b) 6 = 2 c) lg = 0,35 d) 0 = 2,3 e) 8 0,5 = 0 f) lg 5 = Grafen visar funktionen = a) Bestäm funktionens nollställen. b) Vilka är maimipunktens koordinater? 477 En andragradsfunktion har smmetrilinjen = 3 och ett nollställe = 20. Vilket är det andra nollstället? 224 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 24/27

26 478 I figuren har vi ritat graferna till = k,2 och = b. Bestäm konstanterna k och b. 479 Ett kapital väer med 6 % ränta. Hur lång tid tar det för kapitalet att fördubblas? 480 Skriv en eponentialfunktion = C a som skär -aeln i 75 och är väande. 48 Befolkningen i en kommun har på 8 år minskat eponentiellt från till Bestäm med tre värdesiffror hur lång tid det tar för befolkningen att minska till hälften. 482 En gitarr kostar kr i inköp och man beräknar att värdet minskar med 20 % per år. Beräkna med två siffrors noggrannhet a) gitarrens värde efter 5 år b) hur lång tid som krävs för att värdet ska minska med 60 %. FUNKTIONER 225 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 25/27

27 492 Lös ekvationen 5 ( + ) = 4 och svara med a) 2 decimaler b) eakt. 493 Temperaturen i en ugn avtar eponentiellt med tiden. Klockan 2.00 var temperaturen 000 grader och 2 timmar senare hade temperaturen sjunkit till 250 grader. Vid vilken tidpunkt var temperaturen 400 grader? 494 Hur många rötter har ekvationen? Rita graferna och undersök. a) 2 = lg b) 2 + lg = 0 c) lg = 2 d) lg = Värdet av en bil sjunker från kr till kr på två år. Teckna en modell där värdet (kr) är en funktion av tiden (år). Låt värdeminskningen vara a) linjär b) eponentiell. Bestäm bilens värde i tusentals kr efter tterligare tre år enligt den c) linjära modellen d) eponentiella modellen. 496 En andragradsfunktion = a 2 + b + c går genom origo och punkten (8, 0).Funktionens verte har koordinaterna (4, 0). Bestäm a, b och c. 497 Lös ekvationen 2 4+ = Beräkna eakt 49 0,5 + ( 2 ) Figuren visar grafen till funktionen () = a) Lös ekvationen = 3 algebraiskt. Tolka sedan lösningen grafiskt med hjälp av figuren. b) Lös ekvationen = 0 algebraiskt och tolka lösningen grafiskt c) Bestäm a så att ekvationen = a får dubbelrot Lös olikheterna a) 0,87 >,2 b) lg(2) < 0,8 420 Lös ekvationerna. Ange svaret i eakt form. a) lg = + 2 lg 3 b) lg(lg ) = 228 FUNKTIONER Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 26/27

28 4202 Antag att en normaldos av ett speciellt läkemedel innebär att man får 4,0 mg av ett ämne i kroppen. Därefter minskar mängden eponentiellt med tiden, så att hälften finns kvar efter 6 h. Använd formeln = 4,0 0 k och beräkna a) hur många procent som finns kvar efter 24 h? b) efter hur lång tid det är 3,0 mg av ämnet kvar i kroppen? 4203 Då ett företag säljer en vara för kr kan intäkten I kr bestämmas med funktionen I() = Bestäm den maimala intäkten Av en plåt som är 36 cm bred ska man bocka en öppen ränna med rektangulärt tvärsnitt. Vilket värde på ger största möjliga tvärsnittsarea? 4205 I den här uppgiften ska du undersöka lösningen till ekvationen = k + m. a) Lös ekvationen = 2 b) Rita funktionerna f() = och g() = 2 på din räknare och förklara vad du har beräknat i a-uppgiften. c) Bestäm talet a så att ekvationen = a får eakt en lösning. Rita sedan de två graferna på samma sätt som i uppgift b och förklara ditt resultat För funktionen f() = A b gäller att om ökar från 8 till 9 så ökar funktionsvärdet med 25 %. Dessutom vet vi att f(2) = 25. Bestäm A och b Lös olikheten ( 9) lg < Lös ekvationerna a) = 6 b) 4 = Rektanglarna har var och en omkretsen 72 cm. Beräkna det maimala värdet på rektanglarnas sammanlagda area. (cm) Lös ekvationssstemet 2+ 3 = = Bestäm värdet av då = 2 och (2 2 ) 3 = FUNKTIONER 229 Rättelse till M2b Liber AB Får kopieras 27/27