Matematik E (MA1205)

Transkript

1 Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium

2 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. KRITERIER FÖR BETYGET VÄL GODKÄND Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Eleven ger eempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. KRITERIER FÖR BETYGET MYCKET VÄL GODKÄND Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. (1)

3 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Lokal tolkning av betygskriterierna, Värmdö Gymnasium GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter. Du skall, med visst stöd, kunna redovisa lösningar så att andra kan följa din tankegång. Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar. VÄL GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs. Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt använda nödvändiga och tydligt ritade figurer. Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar. Eleven ger eempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. MYCKET VÄL GODKÄND Du skall kunna lösa enklare typuppgifter samt kunna kombinera kunskaper och metoder från flera olika områden för att lösa uppgifter där detta krävs. Du skall även kunna lösa uppgifter som kräver att du generaliserar tidigare kunskaper på nya problem. Du skall kunna göra självständiga iakttagelser, tolka och värdera dina erhållna resultat och dessutom dra egna, relevanta slutsatser från dina resultat. Du skall kunna redovisa din tankegång så tydligt att en oinsatt skall kunna följa den, samt använda nödvändiga och tydligt ritade figurer. Du skall även konsekvent kunna använda de korrekta matematiska begreppen och det matematiska språket i sitt rätta sammanhang. Du skall kunna använda grafritande räknare eller dator som hjälpmedel för att utföra matematiska beräkningar och funktionsritningar. Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. 3 (1)

4 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Komplea tal EFTER AVSLUTAD KURS SKALL ELEVEN kunna förklara hur och motivera varför talsystemet utvidgas till komplea tal kunna räkna med komplea tal skrivna i olika former samt kunna lösa enkla polynomekvationer med komplea rötter även med hjälp av faktorsatsen kunna arbeta med problem, som kräver en överblick över förvärvade kunskaper inom den komplea talmängden, algebran, trigonometrin samt funktionsläran med differential- och integralkalkyl. EXEMPEL PÅ UPPGIFTER PÅ OLIKA BETYGSNIVÅER GODKÄND i Bestäm Re z, Im z och z då z=. Svara i enklaste form. 3. Förenkla uttrycket ( i) i( 3 i) + 6i( i 1) så långt som möjligt. 3. Bestäm Im z då z= 5, 4i. Svara eakt. 5, i 4. i + i Förenkla uttrycket 1+ i 1 i så långt som möjligt. Svara på formen a + bi. 5. Bestäm avståndet mellan punkterna 6+ i och 6 3i i det komplea talplanet. 6. Markera i det komplea talplanet det område vars punkter uppfyller villkoret 1 Re z. 7. Skriv det komplea talet z 0 arg z = 3i på polär form. Argumentet skall ges i intervallet 8. I figuren har man ritat de komplea talen z 1 och z. Bestäm talet z1 z a) i polär form b) på formen a + bi 4 (1)

5 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Bestäm z då z= (cos36 + isin 36 ). Svara på formen a + bi 10. Lös ekvationen z + iz+ 6= Skriv talet z= 5 5 i på formen re iv. 1. Förenkla uttrycket e i π +ln10 så långt som möjligt. 13. Man vet att en av lösningarna till ekvationen z 3 7z + 17z 15 = 0 är z = 3. Bestäm ekvationens samtliga lösningar. 14. Varför införs talet i? VÄL GODKÄND 1. Beräkna absolutbeloppet av z1 z + z1 zdå z1 = 1 ioch z = 4 + i. t. Bestäm det reella talet t i z = + ( t i) i så att Re z= Im z. i 3. Markera i det komplea talplanet de punkter, som uppfyller olikheten 1 z i I det komplea talet z = + ( a 1) i är konstanten a ett reellt tal som uppfyller villkoret a > 1. a) Ange z. b) Bestäm konstanten a så att avståndet mellan talen z och z i det komplea talplanet är 0 le. Svara eakt. 5. Bestäm värdet på den reella konstanten a så att avståndet i det komplea talplanet mellan talen 1+ 3i och 5+ ai är 10 le Förenkla så långt som möjligt uttrycket ( 1+ i) + ( 1 i). 7. Lös ekvationen z = 4+ 4i 3. Svara på formen a + bi 4 8. Lös fullständigt ekvationen z = 4 + 4i. Svara på formen a + bi 9. Man har det komplea talet z = e i π 3. Bestäm absolutbeloppet och ett argument för z. 10. Bestäm det reella talet t så att uttrycket värde i detta fall. 11. Ge eempel på tillämpningar av komple tal. 1 + t i 1 + i blir reellt, samt beräkna uttryckets MYCKET VÄL GODKÄND 4 1. Lös ekvationen z + z + 1= 0. Svara på formen a + bi. 5 (1)

6 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Bestäm en reell och en icke-reell rot till ekvationen e För den icke-reella roten gäller att 0 arg z π För vilka heltal n är ( n + i) ett heltal? z 3 =. z e 6 (1)

7 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Differential- och integralkalkyl EFTER AVSLUTAD KURS SKALL ELEVEN kunna analysera, formulera och lösa problem som kräver bestämning av derivator och integraler samt beräkna volymer med hjälp av integraler kunna arbeta med problem, som kräver en överblick över förvärvade kunskaper inom den komplea talmängden, algebran, trigonometrin samt funktionsläran med differential- och integralkalkyl. EXEMPEL PÅ UPPGIFTER PÅ OLIKA BETYGSNIVÅER GODKÄND 1. Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 1 ln i den punkt där = 1.. Visa att funktionen y = 1, där ± 1, har en maimipunkt i origo. 3. Bestäm koordinaterna och deras karaktär hos eventuella etrempunkter till kurvan 1 y= 1. Kurvan behöver inte ritas En tomt kan geometriskt beskrivas såsom det område, som begränsas av de båda positiva koordinatalarna och kurvan y = 40. Enheten på båda alarna är 1 m. Man skall 160 anlägga en rektangulär grund till ett hus på denna tomt. Två sidor skall ligga utmed koordinatalarna och ett hörn på kurvan. Bestäm grundens mått när dess area är så stor som möjligt. Ge längd och bredd med en decimal. 5. Man låter det område som begränsas av kurvan y= 4, linjen = 1 och -aeln rotera kring -aeln. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppkommer. 6. En kula kastas rakt upp i luften. Dess hastighet v m/s kan beskrivas med formeln v = 5 10 t, där t är tiden i sekunder. Hur högt befinner sig kulan efter sekunder? 7. Beräkna volymen av den rotationskropp som är ritad i figuren. Den kurva som roterar runt -aeln är y = 1, och gränserna är = 1 och = 5. Svara både eakt och med ett närmevärde med tre gällande siffror. 7 (1)

8 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret VÄL GODKÄND 1. Bestäm derivatans nollställen till funktionen f ( )= 1.. Ett område A begränsas av kurvan y=, -aeln och linjen =. I detta område inskrives en rektangel med arean R enligt figur. Beräkna det maimala förhållandet mellan R och A i eakt form Funktionen y = ln är definierad för och 1. Derivera funktionen och lös sedan ekvationen y = Man önskar bygga en oljebehållare i form av en rak cirkulär cylinder med arean av totala begränsningsytan lika med 4 m. Beräkna den maimala volymen. 5. En kon har sidan 10 cm. Bestäm konens totala area när den har sin maimala volym. 6. I figuren är linjen y = 6 4 ritad. Den streckade rektangeln i figuren får rotera kring - aeln. Bestäm den maimala rotationsvolymen då 0< < 15,. 8 (1)

9 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Lös följande uppgift med hjälp av derivata (dvs. ej med vektorer och likformighet). En sportfiskare står på Strömbron i Stockholm och drömfisken nappar. Spöspetsen i punkten A befinner sig 8,0 m ovanför vattenytan, som går genom punkterna B och C i figuren. Under arbetet med att veva in fisken uppstår den situationen att fiskaren drar in fisken i C längs vattenytan. Vilken hastighet längs vattenytan har fisken då linans längd är AC är 18 m och fiskaren vevar i linan med hastigheten 0,30 m/s? ( ) + 8. När kurvan y = 4 3 roterar ett varv kring y-aeln bildas en rotationskropp som påminner om en halv munk. Bestäm det eakta värdet av denna rotationskropp. 9. Utnyttja formeln sin u sin v = cos( u v) cos( u + v) för att beräkna integralen π / 6 0 sin 5sin d. Svara eakt. 10. Från punkten (, 0) dras linjer som går genom punkterna (0, 1) och (1, e) på kurvan y=. Dessa linjer och kurvan begränsar ett område. Beräkna volymen av den kropp som uppstår då detta område roterar kring -aeln. e MYCKET VÄL GODKÄND 1. Bestäm eakt det största värde som riktningskoefficienten till tangenten till kurvan y= + 1 kan anta.. I en rak, cirkulär kon inskrives en rak cirkulär cylinder, så att dess ena basyta ligger i konens basyta. Se figur. Hur stor del av konens volym kan cylindern högst uppta? 9 (1)

10 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Tangenten till kurvan π y = sin a + med a > 0 3 i kurvans skärningspunkt med y-aeln bildar med koordinatalarna en triangel. Visa att kurvan delar triangelns area i ett förhållande som är oberoende av a. Differentialekvationer EFTER AVSLUTAD KURS SKALL ELEVEN kunna tolka, förklara och ställa upp differentialekvationer som modeller för verkliga situationer kunna ange eakta lösningar till några enkla differentialekvationer och förklara tankegången bakom någon metod för numerisk lösning kunna arbeta med problem, som kräver en överblick över förvärvade kunskaper inom den komplea talmängden, algebran, trigonometrin samt funktionsläran med differential- och integralkalkyl. EXEMPEL PÅ UPPGIFTER PÅ OLIKA BETYGSNIVÅER GODKÄND 1. Tolka i ord differentialekvationen dy dt år. Ekvationen behöver ej lösas. = 004y,, där y är ett kapital i kronor och t är tiden i. Antag att variationen av storleken av en djurstam kan beskrivas av differentialekvationen dn = 00N,, där N är antalet djur och t är tiden i år. Formeln gäller för tiden 0 t 5, dt där t = 0 den 1 jan -97. Uttryck i ord hur djurstammen förändras under den aktuella tiden. 3. Antalet bakterier i en bakteriekultur tillväer med en hastighet, som i varje ögonblick är 100% per dygn av det aktuella antalet bakterier, som finns i lösningen. Man startar med 1000 bakterier. Ställ upp en differentialekvation med begynnelsevillkor som beskriver denna situation. Ekvationen behöver ej lösas Visa att y= 3e e är en lösning till differentialekvationen y + 10y + 9y= Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y 10= Bestäm y() 3 om y 4= 0 och y() =. 7. Bestäm den lösning till differentialekvationen y = 006, 01, y ( 0) = 0 och y( 1) = 1. som uppfyller villkoren 8. Bestäm alla lösningar till differentialekvationen y = sin. 10 (1)

11 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret Bestäm den lösning till differentialekvationen = 0, y e som uppfyller villkoren y ( 0) = 0 och y( 0) = Rörelsen hos en bil beskrivs genom ekvationen s () t = 5,. Den sträcka som bilen färdats mäts från den punkt där man börjar ta tiden, dvs. s( 0) = 0. Bestäm vägfunktionen st () och den sträcka bilen hunnit på 8 s om s ( 0) = 10. s mäts i meter och t i sekunder. y dy 11. Lös differentialekvationen e = + 1 d 1. Bestäm den lösning till differentialekvationen 3y y = 0, som skär y-aeln i punkten (0, 3). 13. Bestäm den lösning till differentialekvationen dn dt N( 0) = Beräkna också N( ). Svara eakt. = 050N, som uppfyller villkoret 14. En höstkväll år 1975 meddelade Sveriges Television att jordens folkmängd hade nått antalet 4 miljarder. Låt N beteckna folkmängden t år efter Under några årtionden därefter visar det sig att N satisfierar differentialekvationen dn = kn, där k är en konstant. Hur dt stor är folkmängden år 000 om folkmängden tillväer med en takt som innebär fördubbling på 35 år? 15. Rita med hjälp av ett riktningsfält den lösningskurva till differentialekvationen som går genom punkten 0,1. ( ) 16. Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + y= sin. y = + y 17. Bestäm den lösning till differentialekvationen y y y = 0, som uppfyller villkoren y( 0) = y ( 0) = Bestäm den lösning till differentialekvationen y + y 3y = 0, som uppfyller villkoren y( 0) = 0 och y ( 0) = Bestäm konstanten A så att y = Ae blir en partikulärlösning till differentialekvationen y + 6y = 3e Man har differentialekvationen y = 1. G: Beräkna med hjälp av Eulers stegmetod y( ) med två decimaler om y() 1 = och h = 0, 5. VG: Förklara tankegången. VÄL GODKÄND 1. En lösning y = y() till differentialekvationen y = y uppfyller villkoren y( 0) = 5 och y ( 0) = 3. Bestäm det minsta värde som y = y() antar. 11 (1)

12 Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret En person har med sig en termos kaffe i ryggsäcken under en skidutflykt. Kaffet har vid utflyktens början temperaturen 90 C och temperaturen i ryggsäcken är under hela dagen 10 C. Temperaturen på kaffet i termosen avtar på så sätt att minskningen av temperaturdifferensen mellan kaffets temperatur och temperaturen i ryggsäcken i varje ögonblick sker med en takt som är 15% per timme av den aktuella temperaturdifferensen. Ställ upp en differentialekvation med begynnelsevillkor som motsvarar denna beskrivning. (Beskrivningen fungerar givetvis bara till kaffets fryspunkt!). 3. Om en kärnkraftsolycka inträffar kan jod-131 spridas i atmosfären. Jod-131 har halveringstiden T 1 = 8,04 dygn. Hur lång tid tar det innan 90% av den mängd som sprids vid en eventuell kärnkraftsolycka har sönderfallit i andra ämnen? Radioaktivt sönderfall dn beskrivs matematiskt med differentialekvationen = kn, där N är mängden radioaktivt dt ln preparat och k = är sönderfallskonstanten. T 1 4. Bestäm den lösning till differentialekvationen 1y y y = 0 vars graf har ett maimum i punkten ( 0, 7). Maimikaraktären skall verifieras. 5. Det finns en lösning till differentialekvationen y 3 y + y = 0, som för = 0 antar ett minimivärdet 1. Bestäm denna lösning. Visa att det verkligen är ett minimum. Sök också funktionens eventuella nollställen. MYCKET VÄL GODKÄND 1. Grundämnet silver (Ag) har två radioaktiva isotoper: 108 Ag med en halveringstid på,4 minuter och 110 Ag med en halveringstid på 4 sekunder. Vid starten av ett försök hade man 10 gånger så många atomer av 110 Ag som av 108 Ag. Efter hur lång tid har man lika många atomer av båda silverisotoperna? Ledning: Radioaktivt sönderfall beskrivs matematiskt med differentialekvationen dn = kn, där N är antalet radioaktiva atomer, t är tiden och k är sönderfallskonstanten. dt För full poäng krävs en generell lösning med korrekt behandling av använda konstanter.. För vilka reella värden på konstanten k har differentialekvationen y + ky= 0 lösningar som uppfyller villkoren y( 0 ) = y( π ) = 0? Bestäm lösningarna för dessa värden på k. 3. En saltlösning som innehåller 0,0 kg salt per liter hälls ner i en behållare, som innehåller 15 liter rent vatten, med hastigheten 3,0 liter per minut. Saltet löser sig i vattnet och blandningen tappas ur med hastigheten 3,0 liter per minut. Hur många kilogram salt finns i behållaren efter 14 minuter? 4. Ställ upp en modell med hjälp av differentialekvationer för att beskriva en verklig situation. Lös problemet enligt din modell. 1 (1)