Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

Storlek: px

Starta visningen från sidan:

Download "Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet"

Bengt Lund
för 8 år sedan
Visningar:

1 46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna x i = i/n, i =,,..., n. Om vi kallar funktionen f(x) och y i = f(x i ) är den enklaste approximationen () [ ] y + y + + y n n som vi får genom att ersätta kurvan i (x i, x i+ ) med den räta linjen y = y i.. Gör ett dataprogram som utför detta. Vi ser att det erhållna värdet är för stort eftersom vår approximerande kurva ligger över f(x). Vi kan ersätta () med () [ ] y + y + + y n n och gör då motsvarande fel i andra riktningen. Bättre är att ersätta kurvan men den räta linjen från (x i, y i ) till (x i+, y i+ ). Vi har då att beräkna ytan av ett parallelltrapets i varje intervall som har ytan n (y i + y i+ ). Om vi sedan adderar alla dessa får vi den obetydliga förändringen (3) n y + n (y + + y n ) + n y n.

Om vi kallar funktionen f(x) och y i = f(x i ) är den enklaste approximationen () [ ] y + y + + y n n som vi får genom att ersätta kurvan i (x i, x i+ ) med den räta linjen y = y i.

2 Om +x 47. Gör dataprogram och notera vad vi får för approximativt värde på I för några olika n. Ändå bättre borde vara att ersätta kurvan i intervallet (x i, x i+ ) med en parabel y = ax + bx + c som för x = x i, x i+, x i+ antar värdena y i, y i+, y i+. Ytan under parabeln är (4) och villkoren är a 3 (x3 i+ x 3 i ) + b (x i+ x i ) + c(x i+ x i ) (5) ax j + bx j + c = y j, j = i, i +, i +. Vi måste alltså eliminera a, b, c ur (4) och (5), räkna ut (4) och addera (4) för i =,, 4,..., n och vi bör anta att n är ett jämnt tal. För att förenkla algebran antar vi i =,, och att x = n, x =, x = n. (4) blir då (6) a 3 n 3 + c n. Ur (5) får vi att c = y (välj x j = x = ). a får vi genom att addera (5) för j =, : a n + y = y + y. Det slutliga uttrycket för (4) blir ( n 3 y + 3 y + 3 y ) eller om vi återgår till de ursprungliga beteckningarna (7) n 3 (y i + y i+ + y i+ ).

Ytan under parabeln är (4) och villkoren är a 3 (x3 i+ x 3 i ) + b (x i+ x i ) + c(x i+ x i ) (5) ax j + bx j + c = y j, j = i, i +, i +.

3 48 Lennart Carleson Vi skall nu addera (7) för i =,, 4..., n och finner formeln (8) n { 3 y + 3 y y + 3 y y y n + 3 y n + 3 y } n. Kontrollera att om alla y i = t.ex., formeln ger värdet. Observera att n är ett jämnt tal. 3. Gör dataprogram som räknar ut (8). 4. Gör motsvarande kalkyler då vi använder polynom av 3:e graden och 4 konsekutiva punkter. För vår ursprungliga funktion f(x) = +x har vi nu fått 3 olika serier av approximativa värden på I. Om vi noterar vad 4I blir ser vi att I måste vara π/4, och vi ser också hur metoderna förbättrats genom att jämföra samma n för de tre metoderna. För att beräkna I exakt inför vi som vanligt A(x) = x dt + t, A (x) = + x. Vi byter nu variabler genom att sätta x = tg u, u = motsvarar x = och u = π 4 motsvarar x =. Då gäller da du = da du = d tg u + x du = cos u cos u =. Alltså är A = u eftersom A() =. Vi får alltså mycket riktigt Vi kan serieutveckla +x I = π/4. + x = x + x 4 x

För vår ursprungliga funktion f(x) = +x har vi nu fått 3 olika serier av approximativa värden på I.

4 Om +x 49 om x <. Vi har faktiskt följande likhet Alltså gäller för + x = x + x 4 ± x n xn+ + x. att g(x) = + x ( x + x 4 ± x n ) g(x) x n+. Då följer ju också Alltså gäller g(x) g(x) x n+ = n + 3. Serien π 4 ( x + x 4 ± x n ) n + 3 π 4 ( ± ± n + ) n ±... är alltså konvergent och har summan π/4. 5. Prova att räkna ut summan för några värden på n; vi ser att detta är en dålig metod att räkna ut π. Vi kan göra motsvarande studie av J = +x. Eftersom d log( + x) = + x

Serien π 4 ( x + x 4 ± x n ) n + 3 π 4 ( 3 + 5

5 5 Lennart Carleson har J värdet log och precis som förut ser vi att ± = log. Skulle man inte då kunna räkna ut (9) genom att studera K = +x 3? Naturen har tydligen (med Newton som uttolkare) ordnat det så att I och J har enkla uttryck, d.v.s. värden som är relaterade till tal som vi känner i andra sammanhang. Som vi skall se gäller detta även K, även om uttrycken blir mer komplicerade. Vi skall alltså räkna ut K. Följande algebraformel kan lätt kontrolleras: + x 3 = 3 + x x 3 (x ) (x ) Vi räknar nu ut integralen från till för de tre termerna i högerledet. Den första ger som tidigare 3 log. I den andra observerar vi att x f(x) = (x ) antar lika stora värden med motsatt tecken i symmetriska punkter kring. Alltså gäller / f(x) = f(x). / Den andra termen ger alltså bidraget. Den tredje, L, är symmetrisk kring x = och alltså är () L = (x ) = / x

Som vi skall se gäller detta även K, även om uttrycken blir mer komplicerade. Vi skall alltså räkna ut K. Följande algebraformel kan lätt kontrolleras: + x 3 = 3 + x x 3 (x ) + 3 + 4 (x ) + 3.

6 Om +x 5 Denna integral räknar vi ut precis som förut. Vi sätter x = 3 tg u; (x =, u = ) och (x =, u = π 6 ) motsvarar varandra. så att da du = da du = 4 3 cos u A = 3 u. 3 cos u = 3 Alltså gäller för L ur (), L = 3 π 6 = π 3 3. Vi har nu räknat ut allt och funnit att serien (9) har värdet 3 log + π Gå igenom och redovisa alla detaljer i ovanstående resonemang. 7. Faktum är nu att även serien ±... låter sig beräknas. Arbeta med detta baserat på en formel + x 4 = ax + b x x + + cx + d x + x + där först konstanterna a, b, c, d skall bestämmas. Litteratur Hyltén-Cavallius, C. Sandgren, L., Matematisk analys I (Spec. kapitel ). Studentlitteratur, Lund 964.

7. Faktum är nu att även serien 5 + 9 3 ±... låter sig beräknas.

Relevanta dokument

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan