Senaste revideringen av kapitlet gjordes , efter att ett fel upptäckts.
|
|
- Anna-Karin Bengtsson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes , efter att ett fel upptäckts. Kapitlets syfte Kapitlet presenterar den ryska nollan och den ryska oändligheten, som är väsentliga i min tankevärld. När tal representeras som punkter på tallinjen, visar sig den klassiska synen på tallinjen inte hålla. Vi får små pusselbitar om i första hand det oerhört lilla, bitar som är viktiga i senare kapitel. Inledning 1 kilometer är större än 1 meter som i sin tur är större än 1 millimeter. Betrakta följande uppställning. 1 km > 1 m > 1 mm 0,01 km > 0,01 m > 0,01 mm 0, km > 0, m > 0, mm... Hela tiden är kilometervärdet 1000 gånger större än metervärdet som i sin tur hela tiden är 1000 gånger större än millimetervärdet. Men 0 km = 0 m = 0 mm Vid exakt 0 är de plötsligt lika stora. Det beror på, att 0 inte är ett värde utan en markör för, när värde saknas. Tallinjen visar de reella talen i en sorteringsordning. När det gäller de positiva talen råkar talens sorteringsordning sammanfalla med deras storleksordning. Uttrycket a < b bör generellt uttalas a ligger före b och för de positiva talen dessutom varianten a är mindre än b. När jag i texten nämner små tal, avser jag små, positiva talvärden. Nollan saknar tecken. Den ingår varken i de positiva eller negativa reella talen utan markerar bara positionen, där dessa möts. De naturliga talen inleds i min värld med 1, alltså 1, 2, 3,, vilket överensstämmer med originalversionen av Peanos axiom. De positiva, reella talen bildar ett öppet intervall, vars gränser 0 och inte ingår. Talen inom intervallet saknar därför både minsta och största värde. Minst och störst Jan Leidenhed 1 / 6
2 Den ryska nollan Det startade för länge sedan i Norge. På en konferens i Kongsberg bollade jag en idé med ett par ryska matematiker. Din tankegång håller inte, fick jag veta. Du har satt ett variabelvärde till noll, men hur litet det än är, är det ändå alltid skilt från noll! Denna oändligt lilla flisa punkterade mitt, som jag trodde, vattentäta bevis. Nollan som ändå inte är noll, kallar jag den ryska nollan. Den blev ett tankefrö, som under de fortsatta åren gav fäste åt flera spännande idéer. Det är tack vare den, som de här texterna har blivit formulerade. Jag har givit den ryska nollan beteckningen 0±, där avslutande ± ska påminna om, att 0± är ett teckenförsett tal (till skillnad från den exakta nollan). 0± är inte ett på förhand bestämt tal utan representerar i varje enskilt fall ett nollliknande värde som är så litet, att vi i den aktuella situationen anser oss kunna bortse från det. Här kommer ett exempel på den ryska nollan. 1 = 0,9 + 0,1. 1 = 0,99 + 0,01. 1 = 0, , = 0, , Ettan till vänster om likhetstecknet är hela tiden summan av två tal. Det ena närmar sig värdet 1 och det andra 0. Det obetydliga talet 0, blir allt mindre, ju fler nollor jag fyller på med. Där ser du 0± tona fram. Den lilla ettan finns alltid i slutet efter alla nollorna, men när vi kommer upp i det, vi kallar ändlöst många nollor, bryter vår hjärna ihop och uppfattar den avlägsna decimalettan som försvunnen, så att 1 = 0, exakt. Alltså: 1 = 0, ± 0, Men den ensamma ettan finns kvar! Den knuffas allt längre från decimalkommat, men ingenstans ändras förflyttningen av ettan till att den plötsligt blir en nolla. När vi tar bort 0±, skapar vi samtidigt ett slut på kedjan av nior som därmed inte kan vara gränslöst lång, bara väldigt lång. Matematiklitteraturen är genomsyrad av 1 = 0,999 i olika varianter. Kommentar: I kapitlet Min oändlighet tar jag upp begreppen uppnåeliga respektive ouppnåeliga tal. Resonemanget ovan gäller för uppnåeligt antal decimaler. Om antalet däremot är ouppnåeligt, kan vi utnyttja, att decimalerna är Minst och störst Jan Leidenhed 2 / 6
3 cykliska. Då får vi, att x = 0, ger 10x - x = 9x = 9, , = 9, det vill säga 9x = 9, alltså x = 1. Den ryska nollan (och längre ner den ryska oändligheten) har sin existens ihop med uppnåeliga tal, vilket sammanfaller med rationella tal. Se mer om detta i Min oändlighet! Punkten Tal betraktas visuellt som punkter på tallinjen. Den (geometriska) punkten är ett nolldimensionellt objekt. Avsaknaden av dimensioner innebär, att den saknar utbredning. Vi kan sammanfatta med, att alla eventuella mått på punktens utbredning är exakt 0. Två punkter som placeras helt intill varandra resulterar inte i en två punkter lång linje utan i en enda punkt, eftersom deras utbredning = = 0, det vill säga 1 punkt. Hundra punkter som ligger i rad och i kontakt med varandra har utbredningen 100 x 0 = 0, alltså fortfarande en enda punkt. Enda möjligheten att skapa utbredning med hjälp av punkter är att exempelvis placera ut två distinkta punkter A och B samt binda samman dem med ett endimensionellt tomrum i form av en kurva. Eftersom punkten saknar utbredning, kan vi rada upp hur många distinkta sådana som helst mellan A och B, till och med oändligt många, utan att de fyller ut någon som helst del av kurvan mellan ändpunkterna. Detta ganska enkla konstaterande kan ställa till det i huvudet. En och annan tycks tro, att punkten trots allt har en utbredning, om än obeskrivligt liten, till exempel oändligt liten. Hur kan man annars bygga sammanhängande kurvor av punkter? Svaret är, att det kan man inte! Eftersom en distinkt punktmängd aldrig kan täcka något avstånd alls, spelar det ingen roll hur lång eller kort den kurva är (så länge kurvan ej har degenererat till en punkt), som punkterna ligger på. De distinkta punkterna är alla åtskilda från varandra. De är fullständigt osammanhängande. Vi synliggör en kurva genom att pricka ut den med färgade punkter, som vi kan se, alltså små objekt med utsträckning i 2 dimensioner. Det är förmodligen detta, som får oss att tro, att tillräckligt många punkter bygger upp en sammanhängande kurva. En äkta, geometrisk punkt är omöjlig att upptäcka visuellt. Ofta betraktas en yta som ett oändligt antal tätt bredvid varandra packade kurvor. Invändningen mot detta synsätt är motsvarande det för kurva uppbyggd av punkter. Eftersom kurvor saknar bredd, kan de inte heller adderas ihop till bredd. Ytan har en egenskap, som kurvan saknar en andra dimension. Ett exempel följer strax. Precis som med punkter kan inte heller kurvor synas, eftersom också de saknar yta. Minst och störst Jan Leidenhed 3 / 6
4 Volymer kan i sin tur inte genereras av på varandra staplade ytor (samma resonemang som ovan) inte heller av packade kurvor eller punkter. Åt motsatta hållet går det bättre. Utsträckning i en godtyckligt vald dimension kan neutraliseras genom att man tilldelar den längden 0 (= avsaknad av längd). Om den berörda dimensionen då försvinner eller ska betraktas som befintlig men oanvänd och i standby-läge får väl bli en fråga för filosoferna eller för den aktuella tillämpningen. Vår klassiska värld beskrivs av tre utbredningsdimensioner, som vi ofta kallar längd, bredd och höjd. Jag hade lika gärna kunnat säga, att vi har 1000 sådana dimensioner, varav 997 stycken alltid har utbredningen 0, alltså saknar utbredning. Med det synsättet kan också punkten ha 1000 dimensioner. Larvigt, eller hur? K 1, K 2, K 3 och K 4 här under visar ett avsnitt av kurvor, där enda skillnaden ligger i avståndet mellan två intilliggande vertikala delar. I K 2 är avståndet 1/2 av K 1 :s, i K 3 1/3 av K 1 :s och så vidare. Hos den n:te bilden (K n ) är avståndet 1/n av avståndet i K 1. Minst och störst Jan Leidenhed 4 / 6
5 Låt nu värdet hos n växa upp mot det oändliga. Då kommer de vertikala linjerna att närma sig varandra allt mer till att så småningom ligga oändligt nära varandra. Aha, till slut blir väl denna hela tiden tätnande kurva en yta? Svaret är nej. Kurvan saknar dimensionen bredd och upptar därför hela tiden, oberoende av antalet slingor, bredden 0. Vi ser de vertikala linjerna, eftersom de är ritade med en viss tjocklek. Ögat lurar oss att dra fel slutsats. Här har jag ramat in en oändligt tät kurva uppritad med korrekt linjetjocklek: Som du ser, ser du inte kurvan! Så här ska även de glesare kurvorna (K n ) se ut. Talet De reella talen återfinns som punkter på en endimensionell tallinje. Så här skrev jag tidigare, men det är inte korrekt! Om jag ändrar De reella talen till De rationella talen, blir det rätt. Ett irrationellt tal kan inte representeras av en punkt. Om detta skriver jag utförligt i kapitlet Min oändlighet. Resten av texten i det här avsnittet (Talet) har utgått, då den utgick från en felaktighet. Den ryska oändligheten Det försvinnande lilla tal 0± jag kallar den ryska nollan kan alltid halveras till ett ännu mindre värde (som också är en rysk nolla). Det sanslöst stora tal jag kallar den ryska oändligheten kan alltid dubbleras till ett (till belopp) ännu större värde (som också är en rysk oändlighet). I analogi med 0± har jag givit den teckenförsedda ryska oändligheten beteckningen ±. Både den ryska nollan 0± och den ryska oändligheten ± representerar i varje ögonblick ett teckenförsett tal, exempelvis extremtalen (+)janl, -janl, (+)JANL och -JANL från tidigare kapitel. Den vanliga nollan och oändligheten 0 är ett heltal som inte följer samma räkneregler som de positiva och negativa talen. kan definitivt inte tolkas som ett tal, men används i vissa fall som ett Minst och störst Jan Leidenhed 5 / 6
6 sådant, till exempel i fallet 7 = 0. Trots att saknar bestämt värde, utgår man från, att det är ett oändligt stort värde på något sätt. Det räcker i praktiken för att få resultatet 0. Jag är mycket tveksam till detta sätt att räkna på. Jag föredrar att använda den ryska oändligheten och den ryska nollan genom att dividera med ± och få resultatet 0±, så här: 7 = 0 ±. Sedan ersätter jag 0± med 0 och är ± medveten om, att resultatet inte är exakt rätt. Stor eller liten? Ändlig storlek är relativ och avgörs av betraktarens tolkning. Min livslängd är oändligt kort (0±) i det eviga perspektivet. För mig själv är den hyggligt lång. Jämfört med vissa elementarpartiklars försvinnande korta liv, så lever jag nästan oändligt länge. Min livslängd är med andra ord 0±, normal och ± på samma gång. I kapitlet Gränsvärden visar jag bland annat, att en funktion som växer mot oändligheten samtidigt går obönhörligt mot 0 beroende på, vem som betraktar den. Minst och störst Jan Leidenhed 6 / 6
9-1 Koordinatsystem och funktioner. Namn:
9- Koordinatsystem och funktioner. Namn: Inledning I det här kapitlet skall du lära dig vad ett koordinatsystem är och vilka egenskaper det har. I ett koordinatsystem kan man representera matematiska funktioner
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs merI addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1
BEGREPP ÅR 3 Taluppfattning och tals användning ADDITION 3 + 4 = 7 term + term = summa I addition adderar vi. Vi kan addera termerna i vilken ordning vi vill: 1 + 7 = 7 + 1 SUBTRAKTION 7-4 = 3 term term
Läs mer1 Aylas bil har gått 14 999 kilometer. Hur långt har den (2) gått när hon har kört en kilometer till? 15 000
Instruktion Instruktioner och kommentarer är desamma som i testet i den ursprungliga versionen. Här är ingående tal förändrade och i något fall är uppgiften omformulerad. Betona ordet ungefär i uppgift
Läs merKommentarmaterial, Skolverket 1997
Att utveckla förstf rståelse för f r hela tal Kommentarmaterial, Skolverket 1997 Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen, granska
Läs merLennart Carleson. KTH och Uppsala universitet
46 Om +x Lennart Carleson KTH och Uppsala universitet Vi börjar med att försöka uppskatta ovanstående integral, som vi kallar I, numeriskt. Vi delar in intervallet (, ) i n lika delar med delningspunkterna
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs merDE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING
DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..
Läs merMatematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)
1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera
Läs merANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29
Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.
Läs merFÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06
FÖRELÄSNING ANALYS MN DISTANS HT06 JONAS ELIASSON Detta är föreläsningsanteckningar för distanskursen Matematik A - analysdelen vid Uppsala universitet höstterminen 2006. Förberedande material Här har
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.
Läs mer7 Använd siffrorna 0, 2, 4, 6, 7 och 9, och bilda ett sexsiffrigt tal som ligger så nära 700 000 som möjligt.
Steg 9 10 Numerisk räkning Godkänd 1 Beräkna. 15 + 5 3 Beräkna. ( 7) ( 13) 3 En januarimorgon var temperaturen. Under dagen steg temperaturen med fyra grader och till kvällen sjönk temperaturen med sex
Läs merAtt skriva Hur utformar man en Social berättelse? Lathund för hur en Social berättelse kan skrivas
52 56 57 57 59 59 61 61 63 64 64 65 67 67 76 77 77 79 80 83 86 87 89 91 93 95 Seriesamtalets andra möjligheter Sammanfattning Seriesamtal Sociala berättelser Vad är en Social berättelse? För vilka personer
Läs merGör-det-själv-uppgifter 1: marknader och elasticiteter
LINKÖPINGS UNIVERSITET Institutionen för ekonomisk och industriell utveckling Nationalekonomi Gör-det-själv-uppgifter 1: marknader och elasticiteter Uppgift 1-4 behandlar efterfråge- och utbudskurvor samt
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merUtvärdering av 5B1117 Matematik 3
5B1117 Matematik 3 KTH Sidan 1 av 11 Utvärdering av 5B1117 Matematik 3 Saad Hashim Me hashim@it.kth.se George Hannouch Me hannouch@it.kth.se 5B1117 Matematik 3 KTH Sidan av 11 Svar till frågorna: 1 1.
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merUnder min praktik som lärarstuderande
tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko
Läs mer1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det stämmer. Motivera ditt val av tecken.
Modul: Taluppfattning och tals användning. Del 3: Det didaktiska kontraktet Likhetstecknet Ingrid Olsson, fd lärarutbildare Mitthögskolan Läraraktivitet. 1. Skriv = eller i den tomma rutan, så att det
Läs merUtvärdering av föräldrakurs hösten 2013
Utvärdering av föräldrakurs hösten 2013 - Har du verktyg för att bemöta din oroliga och nedstämda tonåring? Föräldrakursen oro/nedstämdhet är ett samarbete mellan Råd & stöd, Gamla Uppsala familjeenhet
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs mer2-1: Taltyper och tallinjen Namn:.
2-1: Taltyper och tallinjen Namn:. Inledning I det här kapitlet skall du studera vad tal är för någonting och hur tal kan organiseras och sorteras efter storleksordning. Vad skall detta vara nödvändigt
Läs merTATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )
TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs mer1Mer om tal. Mål. Grundkursen K 1
Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: förstå vad som menas med kvadratrot och kunna räkna ut kvadratro ten av ett tal kunna skriva, använda och räkna med tal i tiopotensform
Läs merMälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna
Läs merELEVHJÄLP. Diskussion s. 2 Åsikter s. 3. Källkritik s. 11. Fördelar och nackdelar s. 4. Samarbete s. 10. Slutsatser s. 9. Konsekvenser s.
Källkritik s. 11 Diskussion s. 2 Åsikter s. 3 Samarbete s. 10 Slutsatser s. 9 ELEVHJÄLP Fördelar och nackdelar s. 4 Konsekvenser s. 5 Lösningar s. 8 Perspektiv s. 7 Likheter och skillnader s. 6 1 Resonera/diskutera/samtala
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merFördjupningskurs i byggproduktion, ht 2009.
Umeå Universitet Sida 1 (10) Fördjupningskurs i byggproduktion, ht 2009. Kursvärdering. Omdöme 1 5 (5 bäst) Kursupplägg i stort 1 2 5 Bra projekt där de tidigare projekten i BP1 och BP2 binds ihop. Får
Läs merKryssa för de svarsalternativ som stämmer bäst överens med din uppfattning.
En del frågor ska besvaras ur två perspektiv: Så här var det för mig och Så här betydelsefullt var det för mig. Kryssa för de svarsalternativ som stämmer bäst överens med din uppfattning. OMT-studien,
Läs merHands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap
Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik
Läs merFår vi vara trygga? Praktiknära forskning inom ämnet idrott och hälsa Rapport nr. 5:2009
Praktiknära forskning inom ämnet idrott och hälsa Rapport nr. 5:29 Får vi vara trygga? En undersökande studie om elevers uppfattning om kränkande handlingar under lektioner i idrott och hälsa Jonas Bergdahl
Läs merBegrepp :: Determinanten
c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt
Läs merInstruktion 5. Talonger och tabeller. Övning 25. Hur man gör en talong? Börja med att ställa in ett styckeavstånd på en tomrad.
Instruktion 5. Talonger och tabeller. Övning 25. Hur man gör en talong? Börja med att ställa in ett styckeavstånd på en tomrad. Öppna rullgardinsmenyn Format Stycke följande dialogruta visas. Klicka på
Läs merHur upplevde eleverna sin Prao?
PRAO20 14 PRAO 2015 Hur upplevde eleverna sin Prao? Sammanställning av praoenkäten 2015. INNEHÅLLSFÖRTECKNING BAKGRUND OCH INFORMATION 1 UPPLEVELSE AV PRAO 2 OMHÄNDERTAGANDE PÅ PRAOPLATS 3 SYN PÅ HÄLSO-
Läs merGlobal nedvärdering av sig själv, andra och livet.
Global nedvärdering av sig själv, andra och livet. Att globalt värdera andra människor är som att döma en musikskiva efter dess konvolut. Låt oss nu titta på denna globala värdering om den riktas mot dig
Läs merRolladministration i PaletteArena 5.3
SLU Rolladministration i PaletteArena 5.3 Jenny Kjellström 2012-03-16 Beskriver hur man lägger upp och inaktiverar en mottagare, hur man flyttar/styr om fakturor från/till andras inkorgar samt hur man
Läs merVåga Visa kultur- och musikskolor
Våga Visa kultur- och musikskolor Kundundersökning 04 Värmdö kommun Genomförd av CMA Research AB April 04 Kön Är du 37 6 34 65 39 60 3 69 0% 0% 40% 60% 0% 0% Kille Tjej Ej svar Våga Visa kultur- och musikskolor,
Läs merVeckomatte åk 5 med 10 moment
Veckomatte åk 5 med 10 moment av Ulf Eskilsson Innehållsförteckning Inledning 2 Utdrag ur kursplanen i matematik 3 Grundläggande struktur i Veckomatte - Åk 5 4 Strategier för Veckomatte - Åk 5 5 Veckomatte
Läs merJavisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.
8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man
Läs merUppgift 1 ( Betyg 3 uppgift )
2005-06-09.kl.08-13 Uppgift 1 ( Betyg 3 uppgift ) Ett plustecken kan se ut på många sätt. En variant är den som ses nedan. Skriv ett program som låter användaren mata in storleken på plusset enligt exemplen
Läs merSLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara?
SLALOMINGÅNGAR hur svårt kan det vara? Av Marie Hansson Ju mer man börjar tänka på vad en slalomingång innebär, desto mer komplicerat blir det! Det är inte lite vi begär att hundarna ska lära sig och hålla
Läs merFörberedelser: Sätt upp konerna i stigande ordningsföljd (första inlärningen) eller i blandad ordningsföljd (för de elever som kommit längre).
Räkna till 10 Mål: Eleverna skall kunna räkna till 10, i stigande och sjunkande ordningsföljd. Antal elever: minst 10 elever. Koner med talen 1 till 10.( använd konöverdrag och skriv 10 på en lapp på 0-käglan)
Läs merSödervångskolans mål i matematik
Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal
Läs merMatematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
Läs merT-tunika med formremsa i halsringningen
Du behöver: begagnade tyger. Jag har en gardin och ett par shorts. Symaskin och matchande tråd, pappersoch tygsax, knappnålar, måttband, strykjärn och strykbräda, mellanlägg/fliselin till halsremsan. Synål.
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merEn skärgårdsdröm Ett gammalt sommarställe har efter en totalrenovering fått ett helt nytt uttryck och blivit ett sommarnöje för flera generationer.
En skärgårdsdröm Ett gammalt sommarställe har efter en totalrenovering fått ett helt nytt uttryck och blivit ett sommarnöje för flera generationer. Text Kajsa Ihre foto devis bionaz 086 [xxxxx xxxxxx xxxxx]
Läs merKREATIVA BÖNESÄTT. en praktisk hjälp till dig som är ledare! Initiativtagare till materialet: Maria Melin
KREATIVA BÖNESÄTT en praktisk hjälp till dig som är ledare! Initiativtagare till materialet: Maria Melin Information om materialet Till vem? I vår verksamhet är andakter en viktig del, men ibland är det
Läs mernågon skulle föreslå, att ur våra räkningar utesluta tecknet "j/, så att man t. ex. skulle skriva lösningen av
Om någon skulle föreslå, att ur våra räkningar utesluta tecknet "j/, så att man t. ex. skulle skriva lösningen av andragradsekvationen.1 -f 2 där y' 2 = b, eller i st. f. x=y$-\-yj
Läs mer5 vanliga misstag som chefer gör
5 vanliga misstag som chefer gör och vad du kan göra för att undvika misstagen! www.helenastrom.se Telefon: +46(0)704 32 83 08 Inledning Först tänkte jag ge mina fem bästa tips till ledare. Men jag kom
Läs merNär hon trodde att allt var för sent Predikotext: Apg 9:1-19
Predikan, Korskyrkan Borås den 15 oktober 2006, av Micael Nilsson När hon trodde att allt var för sent Predikotext: Apg 9:1-19 SARA Den är veckan har jag stämt möte med Sara. Det har inte varit så enkelt
Läs merGrafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar
Läs merMatematikundervisning och självförtroende i årskurs 9
KATARINA KJELLSTRÖM Matematikundervisning och självförtroende i årskurs 9 I förra numret av Nämnaren beskrev vi elevernas kunskaper i och attityder till matematik enligt nationella utvärderingen 2003.
Läs merTunadalskyrkan 140316 Den kämpande tron Mark 14:3-9
Tunadalskyrkan 140316 Den kämpande tron Mark 14:3-9 Det händer nu och då att vi ställer oss frågan: Hur kunde det bli så i det och det sammanhanget. Vad var det som gjorde att det inte blev som vi tänkt
Läs mer6-3 Statistikgranskning. Namn:
6-3 Statistikgranskning. Namn: Inledning Du har nu lärt dig en hel del om statistik och om diagram. Eftersom statistik används i många sammanhang, ibland med syftet att framhäva en viss tendens eller utveckling,
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,
Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,
Läs merFÖRFATTAREN ALKA 2014
FÖRFATTAREN ALKA 2014 Kapitel 1 Bob är i kemisalen och hör ett ljud som bankar i golvet. - Vad är det som bankar i golvet? säger Bob. - Va då, jag hör inget, säger Pom. - Va? Jag hör dunk dunk i golvet,
Läs merPlaneringsspelets mysterier, del 1
Peter Lindberg Computer Programmer, Oops AB mailto:peter@oops.se http://oops.se/ 28 februari 2002 Planeringsspelets mysterier, del 1 Om jag ska spela ett sällskapsspel för första gången så vill jag att
Läs merKärnkraftens vara eller icke vara Är kunskap och åsikt om kärnkraft relaterade till varandra
Kärnkraftens vara eller icke vara Är kunskap och åsikt om kärnkraft relaterade till varandra Gunnesboskolan Klass 9B Rasmus Johannesson 21 maj 2010 Senait Bohlin Fredrik Alvén 1 Innehållsförteckning Inledning
Läs merPernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer. Matte. Safari. Direkt. Lärarhandledning. Andra upplagan, reviderade sidor
Matte Direkt Pernilla Falck Margareta Picetti Siw Elofsdotter Meijer Safari 1A Lärarhandledning MS Enhetsdel Sist i varje kapitel finns ett avsnitt som i första hand tar upp enheter. Här i årskurs 1 handlar
Läs mer205. Begrepp och metoder. Jacob Sjöström jacobsjostrom@gmail.com
205. Begrepp och metoder Bo Sjöström bo.sjostrom@mah.se Jacob Sjöström jacobsjostrom@gmail.com Hur hög är en stapel med en miljon A4-papper? 100 st 80 grams har höjden 1 cm 1000 1 dm 1 000 000 1000 dm
Läs merTaluppfattning. Talområde 0-5. Systematisk genomgång tal för tal. 2015 Wendick-modellen Taluppfattning 0-5 version 1.
Taluppfattning Talområde 0-5 Systematisk genomgång tal för tal Gunnel Wendick Inga-Lis Klackenmo 19 Wendick-modellens träningsmaterial Wendick-modellen består av en serie med strukturerade träningsmaterial
Läs merPeriodisering i Rebus
Periodisering i Rebus INTÄKTER När man fakturerar order från resebyrå-modulen kan man välja att få avresedatumet som periodiseringssiffra på intäktskontot, antingen år+månad eller bara år. Inställningen
Läs merSå här fungerar registreringen i Malmö stads Odlingsslottskö
1 Så här fungerar registreringen i Malmö stads Odlingsslottskö Det är givetvis kostnadsfritt att stå i Malmö stads odlingslottskö. Steg 1: Registrera dig som ny kund och skapa en sökprofil För att kunna
Läs merNågra övningar att göra
Några övningar att göra Dagens kort Du ber om ett kort som kan vägleda och hjälpa dig genom dagen. Kortet beskriver hur du kan förhålla dig till dagen eller om du ska tänka på något speciellt idag. Drar
Läs merom detta talar man endast med kaniner Text och bild: Anna Höglund
1 om detta talar man endast med kaniner Text och bild: Anna Höglund Detta är en bilderbok för tonåringar och för vuxna, en bok som handlar om utanförskap och vilsenhet. Det är en poetisk bok med korta
Läs merUtskrift av inspelat samtal hos Arbetsförmedlingen
BJÖRN L BERGLUND UTSKRIFT AV SAMTAL HOS AF 1 (9) Utskrift av inspelat samtal hos Arbetsförmedlingen Samtalet ägde rum hos Arbetsförmedlingen i Sollentuna tisdag 13 juni 2006 kl. 11.00 Inspelningen är cirka
Läs merFöreläsning 3.1: Datastrukturer, en översikt
Föreläsning.: Datastrukturer, en översikt Hittills har vi i kursen lagt mycket fokus på algoritmiskt tänkande. Vi har inte egentligen ägna så mycket uppmärksamhet åt det andra som datorprogram också består,
Läs merKompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6
Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva
Läs merEnkät rörande boende för äldre i Krokoms Kommun
Enkät rörande boende för äldre i s Kommun 2015-10-14 I din hand håller du just nu en enkät som vi vill att du skall fylla i. Enkäten är helt anonym och skall endast användas för att få fram önskemål om
Läs merInlämningsuppgift 4 NUM131
Inlämningsuppgift 4 NUM131 Modell Denna inlämningsuppgift går ut på att simulera ett modellflygplans rörelse i luften. Vi bortser ifrån rörelser i sidled och studerar enbart rörelsen i ett plan. De krafter
Läs merExplorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merDecimaltal Kapitel 1 Decimaltal Borggården Diagnos Rustkammaren Tornet Sammanfattning Utmaningen Arbetsblad Läxboken 1:1 Läxa 1 1:2 1:3 Läxa 2 1:4
Kapitel 1 6A-boken inleds med ett kapitel om decimaltal. Kapitlet börjar med en repetition av tiondelar och hundradelar. Sedan följer en introduktion av tusendelar med utgångspunkt i hur vikt anges på
Läs merBygga hus med LECA-stenar
Bygga hus med LECA-stenar När man bygger hus med LECA-stenar finns det en del att tänka på. Till att börja med finns det LECA-stenar i olika dimensioner (t.ex. 59x19x19 och 59x19x39). Dessa dimensioner
Läs merBarns medverkan i den sociala barnavården hur lyssnar vi till och informerar barn. Lyssna på barnen
Barns medverkan i den sociala barnavården hur lyssnar vi till och informerar barn Lyssna på barnen 1 En tanke att utgå ifrån För att förstå hur varje unikt barn uppfattar sin specifika situation är det
Läs merLåt eleverna öva på att dra slutsatser om textens handling genom att leta ledtrådar i texten.
Till läraren om kopieringsunderlag: Ledtrådar och bevis Låt eleverna öva på att dra slutsatser om textens handling genom att leta ledtrådar i texten. 1. De börjar med att titta på rubriker och bilder.
Läs merVerktyg för Achievers
Verktyg för Achievers 2.5. Glöm aldrig vem som kör Bengt Elmén Sothönsgränd 5 123 49 Farsta Tel 08-949871 Fax 08-6040723 http://www.bengtelmen.com mailto:mail@bengtelmen.com Ska man kunna tackla sina problem
Läs merUndersökning om pensioner och traditionell pensionsförsäkring. Kontakt AMF: Ulrika Sundbom Kontakt Novus: Anna Ragnarsson Datum: 160616
Undersökning om pensioner och traditionell pensionsförsäkring Kontakt AMF: Ulrika Sundbom Kontakt Novus: Anna Ragnarsson Datum: 160616 1 Bakgrund & Genomförande BAKGRUND Undersökningen har genomförts av
Läs merJAG LÅG BREDVID DIG EN NATT OCH SÅG DIG ANDAS
JAG LÅG BREDVID DIG EN NATT OCH SÅG DIG ANDAS Christoffer Mellgren Roller: 3 kvinnor, 3 män Helsingfors 060401 1. MOTELLET. (Ett fönster står öppet mot natten. Man hör kvinnan dra igen det, och sedan dra
Läs merMitt sista samtal till Pappa. på hans begravning
Mitt sista samtal till Pappa på hans begravning den 19 maj 2011 Kära Carl-Fredriks närmaste! För sista gången har vi alla pratat med Carl-Fredrik, nu måste vi vänja oss vid att bara prata om honom. Vi
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merMyrstigen förändring i försörjningsstatus, upplevd hälsa mm
KM Sjöstrand 2009-06-07 Myrstigen förändring i försörjningsstatus, upplevd hälsa mm Myrstigen+ är till för dem som på grund av brister i svenska språket har svårast att ta sig in på arbetsmarknaden. Verksamheten
Läs merBeskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor)
Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) För att åskådliggöra insamlat material från en undersökning används mått, tabeller och diagram vid sammanställningen. Det är därför viktigt med en grundläggande
Läs merK3 Om andra ordningens predikatlogik
KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket
Läs merFÖRKORTA DIN VÄG PÅ BANAN
FÖRKORTA DIN VÄG PÅ BANAN Av Marie Hansson - Känns hunden för snabb? - Har du svårt att hinna dit du vill på banan? Själva kärnan i lösningen på problemet borde väl vara att förkorta din väg? Ju svårare
Läs merDynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg?
Dynamisk programvara, ett didaktiskt verktyg? På SMDF:s årsmöte 24 jan 2003 höll Sveriges första professor i matematikdidaktik, Rudolf Strässer, ett föredrag rubricerat Learning Geometry in Secondary Schools.
Läs merMusen Martina vinner en baktävling
Musen Martina vinner en baktävling Douae Kapitel1 Det var en gång en mus som hette Martina. Hon har mellanstora ögon, brun och svart svans och brun och svart päls. Hon är bestämd och vill vara snabb på
Läs merMultiplikation genom århundraden
Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för
Läs merÄmnesprovet i matematik i årskurs 9, 2014 Margareta Enoksson PRIM-gruppen
Ämnesprovet i matematik i årskurs 9, 2014 Margareta Enoksson PRIM-gruppen Inledning Konstruktionen av de nationella ämnesproven utgår från syftet med dessa, d.v.s. att stödja en likvärdig och rättvis bedömning
Läs merPensioner! - En studie om!
Pensioner! - En studie om! Pensioner om undersökningen! Undersökningen är gjord av Inizio på uppdrag av A7onbladet inom ramen för Schibsted/Inizios opinionspanel som speglar svenska folket. Undersökningen
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om
Läs merSjälvkänsla. Här beskriver jag skillnaden på några begrepp som ofta blandas ihop.
Självkänsla Självkänsla är lika med att bottna i sitt innerst. Självkänslan finns i varje människa och söker plats att få fäste i och växa ur. Vissa ger den utrymme medan vissa inte låter den gro. Det
Läs merMäta effekten av genomförandeplanen
Vård- och omsorgsförvaltningen Mäta effekten av genomförandeplanen -rapport från utvärderingsverkstad 2014 Utvärderingsverkstad Regionförbundet Uppsala län och Uppsala universitet Birgitta Lind Maud Sandberg
Läs merProblem: BOW Bowling. Regler för Bowling. swedish. BOI 2015, dag 1. Tillgängligt minne: 256 MB. 30.04.2015
Problem: BOW Bowling swedish BOI 0, dag. Tillgängligt minne: 6 MB. 30.04.0 Byteasar tycker om både bowling och statistik. Han har skrivit ner resultatet från några tidigare bowlingspel. Tyvärr är några
Läs merKapitel 4 Inför Nationella Prov
Kapitel 4 Inför Nationella Prov Sidan 3 Tretusen fyrahundra fyra 2 a 9 0 b Minsta fyrsiffriga tal är 09 (0029 = 29 är tvåsiffrigt.) 3 a 3 43 b 5 042 c 890 4 a 9 08 b 0 09 c 2 500 000 d 2 050 000 5 a 900
Läs mer