NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996

Transkript

1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E HÖSTEN 1996 Tidsbunden del Anvisningar Provperiod 6 dec - 18 dec Provtid Hjälpmedel Provmaterialet 240 minuter utan rast. Miniräknare (ej symbolhanterande) och formelsamling. Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn, komvux/gymnasieprogram och födelsedatum på de papper du lämnar in. Provet Provet består av 14 uppgifter. De flesta uppgifterna är av långsvarstyp där det inte räcker med bara ett kort svar utan där det krävs att du skriver ned vad du gör att du förklarar dina tankegångar att du ritar figurer vid behov att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel Till några uppgifter (där det står Endast svar erfordras ) behöver bara svaret anges Pröva på alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Betygsgränser Ansvarig lärare meddelar de gränser som gäller för betygen Godkänd och Väl Godkänd. Provet ger maximalt 57 poäng.

2 1. Bestäm de värden som ska stå i rutorna istället för bokstäverna A, B, C och D. Endast svar fordras. (4 p) z arg z z z 1 + i A 2i B C D 3 + 3i 2. Skriv på polär form z = i (3p) 3. Antalet havsörnungar på den svenska ostkusten har ökat kraftigt sedan Om vi låter antalet havsörnungar vara y(t), där t är tiden i år räknat från 1985, så kan ökningen beskrivas med differentialekvationen dy dt = 017, y, y( 0) = 19 a) Ungefär hur många havsörnungar skulle det enligt denna modell finns på ostkusten 1995? (3p) b) Beskriv vad uttrycken i rutan ovan säger om antalet havsörnungar. 1

3 4. Lös differentialekvationerna a) y 8y = 0, y( 0) = 10 b) y + 4y + 13y = 0 5. För vilket värde på det reella talet t blir z = ( 1+ t)( 1+ i) t( 1 2i) reellt? (3p) 6. Vid ett inbromsningsförsök med en bil mäts farten varannan sekund. Resultatet framgår av tabellen och diagrammet. tid i sekunder fart i m/s 18,0 11,14 6,89 4,26 2,64 1,47 1,01 0,70 v ms 18,0 16,0 14,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 t s a) Använd diagrammet för att uppskatta hur långt bilen rört sig under de 10 första sekunderna. 024, t b) vt () = 18 e ger en matematisk modell för bilens fart. Teckna med hjälp av modellen ett uttryck som beskriver hur långt bilen rört sig på de 10 första sekunderna. Beräkna därefter hur långt bilen rört sig under denna tid. (3p) 2

4 7. Hur förändras argument och absolutbelopp för ett komplext tal z om det multipliceras med 1 2 i? Im z r z v Re z 8. Funktionen y = f ( x) är den lösning till differentialekvationen y + 7y + 10y = 0 som uppfyller villkoren y( 0) = 0 och y ( 0) = 3. Bestäm funktionen y. (4p) 9. En plastlåda utan lock ska ha formen av ett rätblock. Bottenplattan ska vara kvadratisk och tillverkas av tjock plast som kostar 2,00 kr/m 2. De fyra sidorna ska göras av tunnare plast med priset 0,90 kr/m 2. Lådans volym ska vara 0,020 m 3. Bestäm de mått på lådan som ger minsta möjliga materialkostnad. (4p) Ekvationen z + az + b = 0där a och b är reella tal har en lösning z = 1 2i. Bestäm konstanterna a och b. (3p) 3

5 11. Koldioxiden i atmosfären ökar bl. a. på grund av förbränning av fossila bränslen. Före industrialismens genombrott uppgick koldioxidhalten till 280 ppm (miljondelar). År 1960 var halten 310 ppm och har sedan dess ökat med hastigheten 0,40% per år. a) Ställ upp en differentialekvation som visar hur koldioxidhalten y ppm förändras med tiden x år räknat från b) När det förindustriella värdet 280 ppm har fördubblats anser vissa forskare att medeltemperaturen vid jordytan kommer att höjas 2-5 grader. Kommer denna fördubbling att inträffa under nästa århundrade? c) Slutsatsen i b) grundar sig på användning av en matematiska modell. Hur kan en kritiker argumentera mot denna användning av modellen? (1p) 12. Ange en valfri funktion y = g( x) som uppfyller villkoren 4 gxdx ( ) = 5 1 och g ( 0) = 2. (3p) 4

6 13. a) Beskriv en numerisk metod för lösning av 1:a ordningens differentialekvationer. Använd egna ord och rita figur. (4p) b) Använd den metod du beskrivit och bestäm ett närmevärde till y(2), då dy = 2 y och y( 1) = 2. Använd steglängden 0,5. dx 14. En doftkula har volymen 3,0 cm 3. På grund av avdunstning minskar kulans volym med tiden t månader på ett sådant sätt att volymändringen per tidsenhet är proportionell mot kulans area. Efter 1 månad är doftkulans volym 2,0 cm 3. a) Visa att förutsättningarna ovan leder till att d r = k där k är en konstant dt och r cm betecknar kulans radie efter t månader. (3p) b) Beräkna kulans volym efter 4 månader. (3p) 5

7 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av mars Bedömningsanvisningar - tidsbunden del (MaE ht 1996) Provet ger maximalt 47 poäng. Förslag till undre gräns för Godkänd är 14 poäng respektive 38 poäng för Väl Godkänd. Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng 1. Max: 4 p A Korrekt svar (45 eller π/4) B Korrekt svar (-2i) C Korrekt svar ( 3 3i) D Korrekt svar ( 12 eller närmevärde) 2. o o ( z = 8(cos60 + i sin 60 ) ) Max: 3 p Korrekt bestämt absolutbelopp Korrekt bestämt argument Korrekt polär form, utifrån beräknat argument och absolutbelopp 3. Max: 5 p a) (100 (104) havsörnungar) Redovisad korrekt bestämning av allmän lösning Redovisad korrekt konstantbestämning Redovisad korrekt beräkning av antalet b) Redovisad godtagbar beskrivning som t.ex. anger att förändringshastigheten är proportionell mot antalet med proportionalitetskonstanten 17% och att det finns 19 ungar år p 4. Max: 4 p a) 8x ( y = 10 e ) Redovisad korrekt bestämning av allmän lösning Redovisad korrekt konstantbestämning 2 x b) ( y = e ( C cos3x+ D sin 3x)) Redovisad korrekt lösning av karakteristisk ekvation Redovisad korrekt lösning till differentialekvationen 6

8 Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng 5. 1 t = 3 Redovisad korrekt förenkling av uttrycket i formen a + ib Redovisad godtagbar bestämning av t Max: 3 p 6. Max: 5 p a) Redovisad godtagbar metod med svar i intervallet m b) (68 m) Korrekt tecknad integral med korrekt svar, som bestämts analytiskt, numeriskt eller med räknare 7. Max: 2 p Anger att argumentet är v + 90 eller motsvarande Anger att absolutbeloppet är r/2 eller motsvarande 2x 5x 8. ( y = e e ) Redovisad korrekt allmän lösning Korrekt uppställt ekvationssystem Korrekt bestämning av funktionen y Max: 4 p 9. (0,26 m, 0,26 m, 0,29 m) Max: 4 p Tecknat ett uttryck för lådans volym samt ett uttryck för kostnaden som funktion av två variabler med korrekta enheter Tecknat korrekt uttryck för kostnaden som funktion av en variabel Korrekt beräkning av minvärde och lådans mått, med grafritande räknare eller på annat sätt 10. (a = -2 och b = 5) Max: 3 p Redovisad godtagbar metod Redovisad korrekt bestämning av koefficienter 7

9 Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng 11. Max: 5 p a) ( y = 0, 004 y) Godtagbar differentialekvation med motivering b) (Nej, det dröjer 150 år) Redovisad godtagbar lösning c) Godtagbart resonemang där eleven t.ex. anger att modeller som sträcker sig över långa tidsperioder är osäkra, i synnerhet när det gäller mänskliga verksamheter 12. Max: 3 p Redovisad godtagbar lösning +1-3 p Vid bedömningen tas hänsyn till val av lösningsstrategi, bestämning av konstanter, verifikation av överensstämmelse med villkor samt redovisningens kvalité 13. Max: 6 p a) Redovisad godtagbar beskrivning +1-3 p Vid bedömningen tas hänsyn till sådant som elevens diskussion av startvärdets funktion, val av riktning, innebörden av första steget, steglängdens inverkan och hur proceduren upprepas (Beskrivningen kan t.ex. utgöras av en väldokumenterad lösning av ett specifikt problem.) Redovisningens kvalité b) (5,26) Redovisad godtagbar lösning (Manuellt eller med räknare) 14. Max: 6 p a) Redovisad godtagbar lösning +1-3 p Vid bedömningen tas hänsyn till ansatser till problemets lösning, hantering av formler, motivering för uppställda differentialekvationer, formell hantering, redovisningens kvalité b) (0,36 cm 3 ) Redovisad godtagbar bestämning av radien som funktion av t, eller motsvarande med korrekt beräknad volym 8