Matematik och modeller Övningsuppgifter

Transkript

1 Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) ( 7) ( ) f) ln e g) sin( π π ) cos 5π Lös följande ekvationer a) + = b) + = c) = d) = e) + 6 = f) = g) = h) = i) = 8 j) lg = k) + = l) + = m) lg + lg ( + ) = Lös följande trigonometriska ekvationer a) sin v cos v = b) cos(v + π ) = c) sin(v π 6 ) = d) sin v = e) cos v = cos v f) sin v = sin v 5 Derivera följande funktioner a) f() = + b) f() = c) f() = ln ( + ) d) f() = + + e) f() = e f) f() = sin + cos g) f() = ln h) f() = + i) f() = tan 6 Bestäm en primitiv funktion F () till följande funktioner a) f() = b) f() = c) f() = sin d) f() = + e 7 Beräkna följande integraler a) ( ) d b) ( + )( ) d c) d d) π sin + cos d e) ( ) d f) d g) e d h) 8 Förenkla sin π cos π (+) d 9 Bestäm en ekvation för den räta linje som går genom punkterna (, ) och (, ) I vilken punkt skär linjerna y = + och y = varandra? Ange en ekvation för tangenten till kurvan y = + då = Bestäm koordinaterna för eventuella skärningspunkter mellan kurvorna y = + och y = + Låt f() = e a) Bestäm ekvationen för tangenten genom punkten (a, f(a)) b) Tangenten genom (a, f(a)) bildar tillsammans med koordinatalarna en triangel Bestäm ett uttryck för denna triangels area som en funktion av a c) Bestäm a så att arean blir så stor som möjligt Bestäm största och minsta värde till funktionen f() = 8 + då 5 Lös ekvationerna cos ( π 5 ) = och sin ( π 5 ) =

2 6 Visa att (sin v cos v) = sin v 7 Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (, ) och är parallell med linjen y = 8 Visa att punkterna (, 7), (, 5) och (, ) ligger på en rät linje och ange en ekvation för linjen 9 Visa att om y = + så är y + y y = Bestäm koefficienterna a och b så att andragradsekvationen +a+b = får rötterna = och = Dela upp polynomet p() = + i faktorer Bestäm ett fjärdegradspolynom p() sådant att p() = är en terasspunkt och p() = är en lokal minimipunkt Visa att F (t) = t e t Förenkla uttrycket h( +h) är en primitiv funktion till f(t) = t e och beräkna f(t) dt t 5 Ange en ekvation för tangenten i den punkt där funktionen f() = 6 +9 har en inflektionspunkt 6 Rita grafen till funktionen f() = { < och beräkna sedan f() d 7 Derivatan till en funktion är För vilka är funktionen väande respektive avtagande? För vilka är funktion konve? 8 I triangeln ABC är vinkeln B mindre än vinkeln A och vinkeln C hälften så stor som vinkeln B Bestäm triangelns vinklar 9 Ett armbandsur visar tiden kvart över tre a) Hur stor är vinkeln mellan minutvisaren och timvisaren? b) Antag att timvisaren är mm lång och timvisaren är 8 mm lång Bestäm avståndet mellan de båda visarnas spetsar Formeln F = 9 5C + kan användas för att omvandla grader(c) till fahrenheit(f ) Hur ser motsvarande formel ut för att omvandla fahrenheit till grader? En person avlossar ett skott mot en plåttunna Två sekunder senare hör personen att tunnan träffats Hur långt från tunnan står skytten om ljudhastigheten är m/s och kulans genomsnittsfart 65 m/s? En regelbunden sehörning är inskriven i en cirkel med radien cm Beräkna sehörningens omkrets och area En person bygger ett lusthus i formen av en regelbunden åttahörning med sidlängden,7 m Golvet byggs av brädor med bredden 5 mm Hur många meter brädor kommer att gå åt? Ett rum har sidorna, 5, 6 respektive 7 meter Endast en av rummets vinklar är räta, den mellan väggarna med längder 5 respektive 7 meter Bestäm rummets area 5 En liten kula som kastas rakt upp vänder efter en viss tid och faller ner igen Dess höjd s meter över marken efter t sekunder ges av funktionen s(t) = 5t 5t a) Hur stor är kulans utgångsfart? b) När vänder kulan? c) Hur högt når kulan? d) Vad är kulans hastighet efter tre sekunder? 6 I en termos hälls 9-gradigt kaffe Kaffets temperatur T efter t timmar senare ges av T (t) = +68e 6t Hur lång tid dröjer det innan temperaturen sjunkit till 75 grader? 7 En bakteriekultur väer med 5% per timme Hur många gånger fler bakterier innehåller kulturen efter timmar? 8 Gammastrålning absorberas av betong, så att strålningens intensitet avtar eponentiellt med betongväggens tjocklek Vid ett eperiment uppmättes att en 5 cm tjock betongvägg minskar intensiteten med 8% a) Med hur många procent minskar strålningen per centimeter betong?

3 b) Hur stor del av strålningen passerar genom en cm tjock betongvägg? c) Hur tjock ska betongväggen vara för att endast % av strålningen ska kunna tränga igenom? 9 I en låda ligger osorterade strumpor Det finns två blå, två svarta och fyra röda strumpor En person tar ut ett par strumpor ur lådan utan att titta a) Hur stor är sannolikheten att personen tar ut ett par blå strumpor? b) Hur stor är sannolikheten att personen tar ut ett par strumpor i samma färg? Ett lyckohjul är indelat i ett antal lika stora fält Dessa har numrerats med siffrorna,,,, 5, 6, och 7 Siffran förekommer endast en gång, siffran förekommer två gånger och så vidare a) Hur många fält har lyckohjulet totalt? b) Vad är sannolikheten att få siffran 7? c) Vilket medelvärde av resultaten bör en förvänta sig om hjulet snurras många gånger? (Detta medelvärde kallas ibland för väntevärdet) En person vill bestämma arean av området som begränsas av graferna y = ( ) och y = ( ) För att göra detta väljer personer på måfå ut punkter i rektangeln, y och sedan betrakta hur stor andel av punkterna som ligger i området a) Hjälp personen att beräkna arean av området på ett snabbare sätt b) Om personen väljer olika punkter slumpvis, hur många av dessa kan en förvänta sig ligger i området?

4 Facit a) b) 6 7 c) 7 d) 5 e) f) 7 a) b) 5y c) d) y e) 6 f) g) a) = b) = c) = eller = d) Reella lösningar saknas e) = eller = f) = eller = g) = eller = h) = i) = j) = k) = l) = eller = m) = a) v = π n b) = π + πn c) = π + π n d) v = π + πn e) v = π + πn eller v = ± π + πn f) v = πn eller v = ± π + πn 5 a) f () = b) f () = c) f () = ln(+) + + d) f () = (+) e) f () = ( )e f) f () = g) f () = h) f () = + i) f () = cos () 6 a) F () = / b) F () = + cos c) F () = ln d) F () = / e 7 a) b) c) d) e) f) g) h) y = 5 (, y) = ( 5, 7 5 ) y = + 5 (, y) = (, ) eller (, y) = ( 5, 7 ) a) y = ( + a )e a b) A(a) = (+a) e a c) Funktionen saknar störst värde Om vi däremot antar att a (så att triangeln hamnar i första kvadranten) så får vi A ma = A() = e f ma = 9 och f min = 5 Första ekvationen löses av = 6 5 π +πn eller = 5π +πn Andra ekvationen löses av = 5 π +πn eller = 5 π + πn 6 Använd andra kvadreringsregeln, samt formeln för sinus av dubbla vinkeln 7 y = 5 8 y = + 9 y = y = a =, b = p() = ( )( ) p() =

5 F (t) = t e t enligt kvotregeln f(t) dt = e (+h) 5 y = 6 y 6 y = f() f() d = Funktionen är avtagande för och för Väande för och Konkav för och konve annars 8 A = 78, B = 68, C = 9 a) 7,5 b) Cirka 7, mm C = 5 9 F 6 9 Cirka 5 m 6 cm respektive,6 cm Åtminstone 6 m m 5 a) 5 m/s b) Kulan vänder efter,5 s c) Kulan når höjden,5 m d) 5 m/s i nedåtgående riktning 6 Cirka timmar 7 Cirka 8 a) Ungefär 6, b) Ungefär 5 c) Ungefär 7 cm 9 a) 8 b) 7 a) 8 b) c) 5 a) Arean ges av b) Ungefär 9 stycken + 6( ) d = 9,9 5