Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Transkript

1 Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

2 Dagens program Problemlösning i undervisning Vad menas med rika problem? Heuristisk metod: geometriskt ort

3 Problemlösning The question, what is problem solving, cannot have an unanimous answer; it depends too much on personal interests and philosophy. (Mamona-Downs & Downs, 2005) Det ofta använda uttrycket att hitta en lösning antyder att någonstans bakom problemformuleringen finns det en lösningsmetod klar som det gäller att upptäcka, att hitta, vilket innebär att den egentligen redan fanns där. Detta är enligt min mening en missvisande metafor som döljer problemlösningens kreativa, skapande dimension. (Bergsten, 2006).

4 Problemlösning i undervisningen Lärarcentrerad klassundervisning med en inledande genomgång åtföljd av eget arbete egentligen är den vanligaste pedagogiska modellen i svenska grundskolor. Wyndhamn, Riesbeck och Schoultz (2000) Undervisningen i Sverige ofta har en procedurell inriktning, vilket bland annat visar sig i att elevernas beräkningsprocedurer är väl inövade men att eleverna har bristfällig förståelse för olika beräkningsstrategier. [ ] Om undervisningen i stället är konceptuellt inriktad med fokus på förståelse av begrepp och procedurer, har eleverna större möjligheter att överföra sina matematiska kunskaper till nya situationer. Procedurell inlärning innebär att själva proceduren, på vilket sätt man exempelvis gör en uträkning är det primära. En konceptuell syn på inlärning innebär att eleverna arbetar mer med begrepp och förståelsen för dem i kombination med att lära samt öva på procedurerna. (PISA rapport 2009, Skolverket, 2010)

5 Problemlösning i undervisningen I kursplanen för ämnet matematik står att syftet med undervisningen i matematik är att bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem samt reflektera över och värdera valda strategier, metoder, modeller och resultat och att genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik. (Lgr11 s ) Lgy 2011: Matematiska förmågor och kompetenser Algoritmkompetens Begreppskompetens Resonemangskompetens Kommunikationskompetens Problemlösningskompetens Modelleringskompetens redovisa, strukturera definition, samband motivera, bevisa förklara, diskutera lösa, upptäcka bygga upp/ använda en modell

6 Problemlösning i undervisningen Lgr69 Lpo80 Lpo94, Lgr11 att undervisa för problemlösning att undervisa om problemlösning att undervisa genom problemlösning att lära sig matematik för att kunna lösa problem att välja den rätta strategin för att lösa olika slags problem problemlösning som ett medel för att skaffa ny kunskap

7 Problemlösning i undervisningen Kognitivt perspektiv vad som händer och pågår i den problemlösanade elevens huvud Problemlösning är i grunden hjärngympa (Äldre lärarstuderande Problemlösning då handlar det om att man frågar sig: Vad frågar de efter? Hur många liter rymmer den här? Hur mycket kostar den här? För att få ett svar kanske man måste göra flera uppställningar. (Lärare Åk 5) Matematik är problemlösning. Den viktigaste tankefasen är problemformuleringen. Först har jag ingen aning om hur jag ska gå tillväga, men kan jag identifiera lämpliga variabler och formulera problemet tydligt blir det sedan en förhållandevis enkel matematisk modell som ska tillämpas. (Forskare) Affektivt perspektiv vad som berör elevens hjärta (känsloliv) Samtidigt som ett problem ska kittla elevernas tänkande får det inte vara för svårt. Det ska vara roligt att lösa och lagom svårt annars ger ganska många elever upp. (Äldre lärarstuderande) Matte är ett glädjeämne för många barn, men för en del är det ju pest och pina. Det är ju antigen eller på något sätt. Det kommer alltid att finnas elever med ångest inför matten hur vi än gör. (Lärare Åk 5) Jag måste tillstå att jag känner mig mycket tillfreds när jag lyckats att lösa ett problem, när man hittat den lilla, enkla lösningen och vet att den räcker. Man känner glädje men också säkerhet. Man vet att matten fungerar väl. (Forskare)

8 Vad tycker du?... Problemlösning i undervisningen

9 Vad är ett matematiskt problem? Uppgift Rutinuppgift Standarduppgift Textuppgift Benämnd uppgift Vardagsuppgift Problem Rikt Problem Annat Problem

10 Vad är ett matematiskt problem? För att en uppgift i största allmänhet skall vara ett verkligt problem krävs att den som möter problemet ska vilja finna en lösning det inte ska finnas en färdig rutin att tillgå för problemets lösande problemet kräver ett eller fler mer eller mindre kreativa lösningsförsök J. Unenge, J. Wyndhamn, Problemlösning, Täljaren 1988

11 Vad är ett rikt matematiskt problem? Problemet ska introducera viktiga matematiska idéer eller vissa lösningsstrategier. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid. Problemet ska kunna lösas på olika sätt, med olika strategier och representationer. Problemet ska kunna inititera en matematisk diskussion utifrån elevernas skilda lösningar, en diskussion som visar på olika strategier, representationer och matematiska idéer. Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem. Rika matematiska problem (2005)

12 Strategi att lösa problem

13 Aha-upplevelse! Vad är det egentligen? Han säger det så bra, men helt över mitt huvud Kul att höra, men det rör inte mig. Tror han att jag är någon slags barnunge. Totalt förvirrad. Helt ointressant, ingenting för mig. Aha-upplevelse.

14 Strategier Lester (1996): välja en eller flera operationer att arbeta med rita bilder söka mönster arbeta baklänges göra en lista skriva upp en ekvation dramatisera situationen göra en tabell eller ett diagram gissa och pröva lösa ett enklare problem använda laborativa material eller modeller (a.a.)

15 Polyas fyra faser förstå problemet göra en plan genomföra planen och se tillbaka

16 Beräkna summan Problemlösning Perspektiv 1: Arithmetik 1+2 = = = = 15...

17 Beräkna summan Perspektiv 2: Bild Summa = Area = Problemlösning =

18 Beräkna summan Problemlösning Perspektiv 3: Symmetri = 5050

19 Geogebra m.m.

20 Ett geometriskt ort Visa att de tre bisektriserna till vinklarna i en godtycklig triangel skära varandra i samma punkt. 1. Var ligger skärningspunkten? 2. Behöver man dra alla tre bisektriser? Kan man börja med två istället? 3. Varför den tredje går genom skärningspunkten?...

21 Ett geometriskt ort Visa att de tre bisektriserna till vinklarna i en godtycklig triangel skära varandra i samma punkt. Ett rörligt problem istället för ett fast problem: betrakta en vinkel istället för en triangel.

22 Ett geometriskt ort Visa att de tre bisektriserna till vinklarna i en godtycklig triangel skära varandra i samma punkt. Ett rörligt problem istället för ett fast problem: betrakta en vinkel istället för en triangel. Situationen blir mer symmetrisk! Vad betyder att den blåa linjen är bisektrisen?... Vilka andra ekvivalenta beskrivningar kan du hitta?

23 Ett geometriskt ort Visa att de tre bisektriserna till vinklarna i en godtycklig triangel skära varandra i samma punkt. Den blåa linjen ligger på samma avstånd till vinkelns sidor Nu kastar vi bort både vinkel och bisektris! Vad innebär att ligga på samma avstånd?...

24 Ett geometriskt ort Visa att de tre bisektriserna till vinklarna i en godtycklig triangel skära varandra i samma punkt. Välj en punkt i planet A Var ligger alla punkter som ligger på samma avstånd från A? Och var ligger då de punkter som samtidigt ligger på vinkeln sidor?...

25 Ett geometriskt ort Visa att de tre bisektriserna till vinklarna i en godtycklig triangel skära varandra i samma punkt. Lösning: inskriv en cirkel i triangeln! A Se tillbaka: vad var avgörande för att lösa problem?

26 Uppgift till Seminarium 3 Du har två räta linjer som skär varandra och en punkt P markerad på en av dem, se figuren nedan. Visa hur du kan konstruera, genom att använda passare och linjal, en cirkel som är tangent till båda linjerna och som har punkten P som tangeringspunkt till en av dem? P

27