Problemlösning som metod

Transkript

1 Problemlösning som metod - för att lära matematik Fuengirola november 2014 eva.taflin@gu.se evat@du.se

2 Problemlösningsmodulens övergripande syfte Att initiera utveckling av lärares egen undervisning utifrån matematikdidaktiska perspektiv och i samverkan med kolleger Att ge lärarna analysverktyg för att utveckla undervisningen Att skapa undervisning där eleverna ges tillfälle att utveckla sina matematiska förmågor Att skapa undervisning som bygger på elevernas tankar och deltagande

3 Modulens olika delar Modulens olika delar Frågeställningar som behandlas i delen Delens mål Didaktiska perspektiv/ undervisningsprinciper Centralt innehåll Del 1 Matematiska problem Vad kan ett matematiskt problem vara? Översikt -utveckla sin uppfattning om matematiska problem. Sociomatematiska normer Tal Del 2 Att arbeta med matematiska problem Vad kan arbete med matematiska problem innebära? -utveckla sin uppfattning om arbete med matematiska problem Förmågor, Normer, Samband och modellering Del 3 Undervisning och matematisk problemlösning Hur kan man planera och genomföra undervisning med matematiska problem? -bli medveten om olika roller, olika faser i lektionen, olika normer, olika länders traditioner Klassrumsrutiner, interaktion, elevers och lärares roller, Normer, Sannolikhetslära statistik Del 4 Strategier och uttrycksformer i problemlösning Hur kan man tolka, beskriva och kategorisera elevers arbete i problemlösning? -utveckla sina analysverktyg för att synliggöra elevers lärande Interaktion, Normer Algebra Del 5 Bedömning i problemlösning Hur kan man bedöma elevers arbete i problemlösning? -utveckla sin förståelse för bedömningens syfte Formativ bedömning, Normer Geometri Del 6 Kommunikation i problemlösning Hur kan man i samtal lyfta fram matematiskt innehåll i problemlösning? -utveckla sin förmåga att identifiera och samtala kring det matematiska innehållet Interaktion, Normer, Valfritt Del 7 Anpassning av problem Hur kan man anpassa matematiska problem? -utveckla sin förmåga att anpassa matematiska problem Förmågor, bedömning, Normer, Valfritt Del 8 Kollegialt samarbete och utveckling av undervisning Hur arbetar vi vidare med problemlösning? -utveckla samarbete med kolleger och rektor i syfte att kontinuerligt utveckla undervisning Kollegialt, Interaktion, Normer Valfritt

4 Modulens olika delar Del 1 Matematiska problem Del 2 Att arbeta med matematiska problem Del 3 Undervisning och matematisk problemlösning Del 4 Strategier och uttrycksformer i problemlösning Del 5 Bedömning i problemlösning Del 6 Kommunikation i problemlösning Del 7 Anpassning av problem Del 8 Kollegialt samarbete och utveckling av undervisning

5 Modulens moment A Del 2: Moment A - individuell förberedelse Arbete med matematiska problem kan ske på många olika sätt. En viktig uppgift för dig som lärare är att skapa förutsättningar och möjligheter för elever att formulera egna problem. Skapandet av egna problem är ett sätt för elever att vara kreativa och visa sina intressen. Problem som elever själva skapat visar vilken förståelse för matematik som eleven har och hur detta kan uttryckas och kommuniceras.

6 Modulens moment B Del 2: Moment B - kollegialt arbete Diskutera: Vilken vana har ni och era elever vid att formulera egna problem? Hur skapar ni tillfällen för elever att formulera egna problem? Finns det uppgifter i läroboken som ger elever möjligheter att formulera egna problem? Hur ser dessa uppgifter ut? Om eleverna formulerar egna problem hur analyseras dessa? Förbered en lektion

7 Modulens moment C Del 2: Moment C - aktivitet Genomför lektionen Lägg fokus på att låta eleverna formulera egna problem. Använd observationsprotokoll 1 för att få syn på om eleverna byter matematiskt innehåll t.ex. talområde och/eller byter sammanhang/kontext/omvärld när de formulerar egna problem.

8 Modulens moment D Del 2: Moment D - gemensam uppföljning Diskutera Vilka problem skapade eleverna? Gavs eleverna möjlighet att utveckla förmågan att formulera egna problem? Sammanfatta Sammanfatta era diskussioner och reflektera över när eleverna ges möjlighet att formulera egna problem. Hur kan ni använda elevernas problem? Att arbeta vidare med I nästa del kommer ni att planera en lektion med olika faser där elever och lärare har olika roller. Fundera redan nu på hur era lektioner kan delas in i olika faser och vilka tillfällen som ges för att eleverna ska formulera egna problem. Vad gör du som lärare och hur arbetar eleverna under lektionen?

9 Ett problem? 1. De ska ha ett tydligt matematiskt innehåll, centrala matematiska idéer 2. De ska vara lätta för eleverna att förstå 3. Alla i klassen ska kunna arbeta med dem 4. De ska vara anpassade så att det innebär en utmaning att lösa dem 5. Elevernas olika lösningar ska ge ett underlag till lärarens undervisning Chokladbollar Till 20 chokladbollar går det åt 100 g margarin, 2 dl strösocker, 3 dl havregryn och 3 msk kakao. Hur mycket av varje ingrediens går det åt till 10 chokladbollar? Hur mycket av varje ingrediens går det åt till 30 chokladbollar? Om man bara har 250 g margarin hemma men gott om övriga varor, hur många chokladbollar kan man göra då? Hitta på ett eget liknande problem. Lös det.

10 Elevens problem underlag för kollegial analys Typ av uppgift Rutinuppgift Textuppgift Problem Rikt problem Taluppfattnin g och tals användning Algebra Geometri Sannolikhet och statistik Samband och förändring Problemlösni ng Vardagsproblem

11 Elevens problem Enligt kursplan i matematik (Lgr11) ska elever, genom undervisning i matematik erbjudas möjlighet att bl.a. utveckla sin förmåga att formulera problem. Utgå från några elevproducerade problem och observera hur de är formulerade. 1. Beskriv sammanhanget i elevernas problem. 2. Beskriv matematiken i elevernas problem.

12 Problemlösning, Lgr11, Gy11 I årskurs 1-3 Strategier för matematisk problemlösning i enkla situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån enkla vardagliga situationer. I årskurs 4-6 Strategier för matematisk problemlösning i vardagliga situationer. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer. I årskurs 7-9 Strategier för problemlösning i vardagliga situationer och inom olika ämnesområden samt värdering av valda strategier och metoder. Matematisk formulering av frågeställningar utifrån vardagliga situationer och olika ämnesområden. Enkla matematiska modeller och hur de kan användas i olika situationer. Gymnasiet 1c, 3c Strategier för matematisk problemlösning inklusive användning av digitala medier och verktyg. Matematiska problem av betydelse för (privatekonomi) samhällsliv och tillämpningar i andra ämnen. Matematiska problem med anknytning till matematikens kulturhistoria.

13 Kunskapskrav för betyget A i slutet av årskurs 9 Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer[ ] [ ]växla mellan olika uttrycksformer [ ]göra beräkningar och lösa rutinuppgifter [ ]använder då symboler, algebraiska uttryck, formler, grafer, funktioner och andra matematiska uttrycksformer med god anpassning till syfte och sammanhang. I redovisningar och diskussioner för och följer eleven matematiska resonemang genom att framföra och bemöta matematiska argument på ett sätt som för resonemangen framåt och fördjupar eller breddar dem.

14 Didaktiska perspektiv/undervisningsprinciper 1.Undervisa utifrån förmågor Lgr 11 Problemlösning (formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder) Begrepp och samband (använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp) Procedurhantering (välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter) Representationer och kommunikation (använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar beräkningar och slutsatser) Resonemang (föra och följa matematiska resonemang)

15 Didaktiska perspektiv/undervisningsprinciper 1. Undervisa utifrån förmågor Gy11 Begrepp och samband (använda och beskriva innebörden av matematiska begrepp samt samband mellan begreppen) Procedurhantering (hantera procedurer och lösa uppgifter av standardkaraktär utan och med verktyg) Problemlösning (formulera, analysera och lösa matematiska problem samt värdera valda strategier, metoder och resultat) Modellering (tolka en realistisk situation och utforma en matematisk modell samt använda och utvärdera en modells egenskaper och begränsningar) Resonemang (följa, föra och bedöma matematiska resonemang) Kommunikation och representation (kommunicera matematiska tankegångar muntligt, skriftligt och i handling) Relevans (relatera matematiken till dess betydelse och användning inom andra ämnen, i ett yrkesmässigt, samhälleligt och historiskt sammanhang)

16 Didaktiska perspektiv/undervisningsprinciper 2. Klassrumsnormer/sociomatematiska normer Nationella olikheter, Internationella jämförelser Genusperspektiv på matematik och problemlösning Förväntningar, didaktiska kontraktet Affektiva frågeställningar tex. uppfattningar Lärobokens användning

17 Didaktiska perspektiv/undervisningsprinciper 3.Bedömning för lärande och undervisning i matematik Formativ och summativ Muntlig och skriftlig Produkt och process Redovisningar och portfolios Diagnos och prov Metakognition Självvärdering och kamratvärdering Bedömning och betyg

18 Didaktiska perspektiv/undervisningsprinciper 4. Rutiner/interaktion i klassrummet Lektionens olika faser (introduktionsfas, enskilt arbete, lösningar, redovisningar, reflektionsfas/metakognitiv fas) Lärares olika roller Elevens olika roller Samtalets olika syften

19 Matematisk verksamhet är till sin art en kreativ, reflekterande och problemlösande aktivitet [ ] Undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem [ ] (Lgr 11)

20 Matematiken är abstrakt den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer, men också för att den logiska giltigheten hos resonemangen skall kunna klarläggas. (NE, 2010)

21 Omvärld Matematik Konkret värld Abstrakt värld x log kg Logik n - 26,7 314 m/s % h dl st mm Algebra/aritmetik cos Grafik/geometri

22 Variation och kreativitet är nyckelord för att öka intresset för matematik och för att lära sig matematik.(sou 2004:97)

23 Matematik ger människan en estetisk dimension på samma sätt som musik och andra konstarter". (SOU 2004:97)

24 Lgr 11 Skolans uppdrag att förmedla kunskaper förutsätter en aktiv diskussion i den enskilda skolan om kunskapsbegrepp, om vad som är viktig kunskap idag och i framtiden och om hur kunskapsutveckling sker. Olika aspekter på kunskap är naturliga utgångspunkter i en sådan diskussion. (SKOLFS 2010:251)

25 Kreativitet Skolan skall också främja elevernas kreativitet. Detta skall inte uppfattas som att utveckla en särskild förmåga hos eleverna. Kreativitet kan ses som en dimension av kunskapande. Allt kunskapande är meningsskapande [ ] (SKOLFS 2010:251)

26 Kriterier för ett rikt problem 1. Problemet ska introducera till viktiga matematiska idéer 2. Problemet ska vara lätt att förstå och alla ska ha en möjlighet att arbeta med det 3. Problemet ska upplevas som en utmaning, kräva ansträngning och tillåtas ta tid 4. Problemet ska kunna lösas på flera olika sätt 5. Problemet ska kunna initiera en matematisk diskussion 6. Problemet ska kunna fungera som brobyggare mellan olika matematiska områden 7. Problemet ska kunna leda till att elever och lärare formulerar nya intressanta problem Eva Taflin

27 Betrakta följande uttryck 10 = 3x+y Försök att på så många olika sätt som möjligt tolka och beskriva uttrycket med ord, bilder och symboler!

28 Betrakta följande uttryck 20 = 10x+5y+z Försök att på så många olika sätt som möjligt tolka och beskriva uttrycket med ord, bilder och symboler!

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41 Dela dricka Anna, Bea och Cicci ska dela dricka så att alla tre får exakt lika mycket. Anna har två flaskor och Bea har tre, Cicci har ingen dryck men har istället 25 kronor som hon ska betala med till Anna och Bea. Hur mycket ska Cicci betala till Anna och hur mycket till Bea?

42 Dela guldtråd Anna, Bea och Cicci ska dela tråd så att alla tre får exakt lika mycket. Anna har två meter och Bea har tre meter, Cicci har ingen tråd men har istället kronor som hon ska betala med till Anna och Bea. Hur mycket ska Cicci betala till Anna och hur mycket till Bea?

43 Dela mackor Anna, Bea och Cicci ska dela mackor så att alla tre får exakt lika mycket. Anna har två mackor och Bea har tre, Cicci har ingen macka men har istället 25 kronor som hon ska betala med till Anna och Bea. Alla pengarna ska användas. Betalningen ska vara i proportion till mängden. Hur mycket ska Cicci betala till Anna och hur mycket till Bea?

44 Matematiklärande problemlösning för att skapa undervisningssituationer som gör det möjligt att bedöma matematisk kunskap

45 Några centrala begrepp matematik problem rika problem undervisning problemlösning matematisk kunskap matematiska förmågor formativ och summativ bedömning metakognition, feedback, bedömning

46 Feedback.73

47 Meta-cognitive strategies.69

48 Lektionens faser Presentationsfas Idéfas Lösningsfas Redovisningsfas Reflektionsfas Eva Taflin

49 Lärarens roll är att skapa tillfällen till lärande i lektionens alla faser Eva Taflin

50 Elevens roll är att kommunicera sitt lärande med lärare och kamrater

51 Den nyfikne läraren Den lotsande läraren Den stöttande läraren Den coachande läraren Eva Taflin

52 UNDERSÖKA OCH FINNA LÖSNINGAR experimentera och skapa förändring Eva Taflin

53 Eva Taflin