Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 1

Transkript

1 Här presenteras förslag på lösningar och tips till många uppgifter i läroboken Matematik 3000 kurs B som vi hoppas kommer att vara till hjälp när du arbetar dig framåt i kursen. Vi har valt att inte göra lösningar till de övningar som finns i Kapiteltest, i Arbeta utan räknare och i Blandade övningar i denna utgåva. Behöver du hjälp med dessa hör du av dig till din lärare. I de fall där lösningsförslag finns i boken hänvisar vi i de flesta fall till dessa lösningar. Om du inte förstår våra eller bokens resonemang och lösningar skall du inte tveka att ta kontakt med din lärare. Samma sak om du vill diskutera din lösning eller om du tycker att din lösning är bättre. Det här är första versionen av lösningar till denna bok så det kan finnas felräkningar insmugna som vi inte hittat. Vi är tacksamma för synpunkter som hjälper oss att förbättra vårt material. Med vänliga hälsningar Matematiklärarna på Nationellt centrum för flexibelt lärande Kapitel , 1102 Exempel som löses i boken Se den lösta uppgiften a) Det finns bara en sektor med siffran 5, alltså bara ett gynnsamt utfall. Totala antalet sektorer är 10 och pilen måste hamna på någon av dem. Antalet möjliga utfall är alltså 10. Sannolikheten att få 5 är = = 1/10 antalet möjliga utfall 10 b) Bestäm antalet gynnsamma utfall (på hur många sätt kan du få 0?) Bestäm antalet möjliga utfall (På hur många olika sätt kan pilen hamna?) Beräkna sannolikheten. c) Ett jämnt tal är delbart med 2. Jämna tal är alltså 0, 2, 4, 6 och 8 antalet gynnsamma fall 5 1 Sannolikheten att få ett jämnt tal är = = = 1/2 antalet möjliga utfall 10 2 d) 4 och 8 är gynnsamma utfall. Sannolikheten att få ett tal delbart med 4 är = = = 1/5 antalet möjliga utfall a) Tärningen kan landa på 6 olika sätt. Antalet möjliga utfall är 6. Det finns bara 1 möjlighet att få sexa. P (sexa) = = = 1/6 antalet möjliga utfall 6 b) Cirka 1/6 av kasten bör bli sexor. 1/6 av 3000 är = 3000 = Svar: Cirka 500 kast bör bli sexor

2 1106 a) Det finns fyra kulor i påsen, alltså finns det fyra möjliga utfall. b) Det finns en blå kula i påsen, därför finns det bara ett gynnsamt utfall för händelsen blå kula. c) Sannolikheten att få en blå kula är = = 1/4. antalet möjliga utfall 4 d) Det är tre vita kulor, dvs tre gynnsamma utfall för händelsen vit kula. Sannolikheten antalet gynnsamma fall 3 att få en vit kula är alltså = = 3/4. antalet möjliga utfall a) Det finns tolv kulor i påsen, alltså finns det tolv möjliga utfall. b) Det finns fyra blå kulor i påsen, därför finns det bara fyra gynnsamma utfall för händelsen blå kula. antalet gynnsamma fall 4 1 c) Sannolikheten att få en blå kula är = = = 1/3. antalet möjliga utfall 12 3 d) Resterande kulor är vita eller svarta, dvs åtta gynnsamma utfall för händelsen vit eller svart kula. e) Sannolikheten att få en vit eller en svart kula är alltså antalet gynnsamma fall 8 2 = = = 2/3. antalet möjliga utfall a) Det finns två sidor på myntet, alltså finns det två möjliga utfall, krona och klave (att myntet landar och stannar på högkant anser vi vara uteslutet). b) Den ena sidan är klave, den andra sidan är krona. Därför finns det bara ett gynnsamt utfall för händelsen klave. c) Sannolikheten att få en klave är = = 1/2. antalet möjliga utfall 2 1 d) Om vi kastar myntet 5000 gånger fås klave cirka 5000 = 2500 gånger Se facit 1110 Se bokens ledning samt lösningsförslag i facit 1111 a) Av sex möjliga utfall är det bara ett som är gynnsamt. P (3:a) = 1/6 b) Vi har lyckats både om vi får fyra och om vi får femma. Här finns alltså två gynnsamma utfall. P (4:a eller 5:a) = = = = 1/3 antalet möjliga utfall 6 3

3 c) P (högst 3) = P (1, 2 eller 3) = 1112 Se lösningsförslag i facit. antalet gynnsamma fall 3 1 = = = 1/2 antalet möjliga utfall Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Kontakta läraren Se lösningsförslag i facit Se bokens ledning facit Kontakta läraren. 1118, 1119 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Se lösningsförslag i facit Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Exempel som löses i boken. Då du löser problem, alltså lästal börjar du med att skriva upp de fakta du får givet, så det framgår vad alla tal och beteckningar betyder. Sedan skriver du något ord som förklarar vad du räknar ut och visar hur du gör din uträkning. När du avrundat resultatet och kontrollerat att det är rimligt skriver du ett svar P (spetsen upp) = 58 % Antalet häftstift = 500 Antalet som hamnar med spetsen upp blir ca 58 % av 500 = 0, = 290 Svar: Det bör bli cirka 290 stycken % vågar bada om temperaturen är under 16 ºC. Antalet personer var % av 240 personer är 0, = 36 Svar: Cirka 36 personer bör ha badat bilar besiktigades hade fel på bromssystemet och hade fel på styrsystemet. a) P (fel på bromssystemet) = , ,288 28, = % b) P (fel på styrsystemet) = , ,077 7, = % Svar: a) Sannolikeheten att en slumpvis vald bil har fel på bromssystemet är 28,8 % b) Sannolikheten för fel på styrsystemet är 7,7 % 1126, 1127 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.

4 1128 Kontakta läraren Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Kontakta läraren Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. Kapitel Exempel som löses i boken. Ta för vana att rita figur! Ofta kan du använda samma figur för flera uppgifter. Har du två föremål ritar du ett diagram med två vinkelräta axlar som i Skriv in de möjliga utfallen för respektive föremål efter axlarna. - Sätt ut prickar för alla möjliga kombinationer. Det är de möjliga utfallen. - Ringa in de prickar som utgör gynnsamt utfall och räkna dem. - Beräkna sannolikheten 1202 Ögonsumman = poängsumman = sammanlagda antalet prickar a) P (ögonsumman 1) = 0 Lägsta möjliga summa är 2, etta på båda tärningarna. b) P (ögonsumman 2) = c) P (ögonsumman 3) = = 1 prick av 36 i diagrammet antalet möjliga utfall 36 = = 2:a + 1:a och 1:a + 2:a antalet möjliga utfall d) P (ögonsumman 4) = 3 = 1 = 1/12 3 prickar av 36 i diagrammet

5 1204 Rita ett diagram motsvarande det i a) P (0 krona) = b) P (1 krona) = = antalet möjliga utfall 4 = = antalet möjliga utfall , 1206 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Se facit Lös på motsvarande sätt som i uppgift , 1210, 1211, 1212 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Exempel som löses i boken Följ rätt gren uppifrån och ned och multiplicera grenarnas sannolikheter. Sannolikheten blir 0,5 0,5 = 0,25 i alla uppgifterna 1215 Rita motsvarande träddiagram som i 1213 och skriv in sannolikheterna För varje skott är summan av sannolikheterna = 1 (Det finns inga andra alternativ än träff eller bom) Följ rätt gren och beräkna sannolikheten. a) P (2 träff) = 0,6 0,6 = 0,36 b) P (1 träff) = P (träff, bom) + P (bom, träff) =0,6 0,4+ 0,4 0,6= 0,24+ 0,24=0,48 c) P (0 träff) = P (bom, bom) = 0,4 0,4 = 0, Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheterna längs grenen. P(träff, träff) = 0,9 0, 7 = 0, Sannolikheten för en gren = produkten av sannolikheterna längs grenen. a) P(gren X) = 0,9 0, 6 = 0,54 b) P(gren Y) = 0,9 0, 4 = 0,36 c) P(gren Z) = 0,1 0, 8 = 0,08 d) P(gren U) = 0,1 0, 2 = 0,02 OBS! Summan av dessa sannolikheter skall bli 1,00. Kontroll: ( 0, ,36 + 0,08 + 0,02 = 1, 00 )

6 1218 Kontakta läraren Kontakta läraren Se facit Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Kontakta läraren. 1223, 1224, 1225, Se bokens ledning och lösningsförslag i facit. 1226, 1227, Se lösningsförslag i facit Exempel som löses i boken Händelse och komplementhändelse täcker tillsammans in alla olika möjligheter. När man söker komplementhändelsen får man alltså tänka: Vad är det om det inte är..? A: Om vi inte får minst en krona får vi två klave (eller 0 krona) Komplementhändelsen till minst en krona är två klave B: Om vi inte får minst 3 så får vi 1 eller 2, alltså högst 2 Komplementhändelsen till minst 3 är högst 2 C: Högst en sexa innebär noll sexor eller en sexa. Om vi inte får högst en sexa betyder det att vi får fler sexor. Komplementhändelsen är minst två sexor. D: Om vi inte får högst poängsumman 8 (2, 3, 4, 5, 6, 7 eller 8 poäng) så får vi fler poäng. Komplementhändelsen är minst 9 poäng (9 poäng eller mer) 1232 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit Kontakta läraren Kontakta läraren. 1235, 1236, 1237 Se bokens ledning och lösningsförslag i facit.