d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

Transkript

1 d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6 tan v /,7 9 (sin ) + v 9 9 sinv ± ± Trig. ettan: (sin v) 69 sinv / tanv / cosv sin v b/ b Uppgift b, c, d: jämför figur s. 9. sin (8 v) b R ( a, ty sin( v+ 8 ) sinv cos( v+ 8 ) cosv Vridning 9. cos( v+ 9 ) sinv b sin( v+ 9 ) cos v a. dvs T ( b, S (, b B arccos(,8) 6,87 sin(8 6,87 ),6,8 + cos (8 6,87 ),8 6 Ej definierad om nämnaren. cos då 9 + n 8. T.e. 9 och 7. sin har mavärdet och minvärdet. yma ymin, ( ) yma ymin +, + ( ) c) yma ymin ( ), c) cos v a Ledningar och lösningar till M, Liber AB

2 6 Kurvan är förskjuten åt höger och har toppvärdena, och,, dvs. amplituden,. Perioden är 8. y,sin ( ) 7 Utgå från grafens ekvation på formen y Asin k ( + v) + C. y sin y sin( ) c) y sin ( + ) 8 Utgå från grafens ekvation på formen y Asin k ( + v) + C. Kurvan har perioden 6, amplituden och är förskjuten åt höger: y sin( ) På samma sätt som i -uppgift. y,sin( ) c) y sin ( + ), ty perioden är. 9 Utgå från grafens ekvation på formen y Asin k ( + v) + C. yma ymin A yma + ymin + C T.e. y sin( ) + Perioden 7 ger k 6/7,. "Mittlinjen" C ligger mitt emellan det minsta och det största värdet: yma + ymin yma + ( ) C y ma ( ) A 7 y 7sin(, ) +, dvs. b 7 och k,. "Mittlinjen" C, A. Perioden är 8. Dessutom är kurvan förskjuten åt höger. y sin( + ) sin( 6 + ) y + y C y min ma min 6 y ma y + y y min min min yma ymin 8 A 6 yma + ymin + ( ) C 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

3 A. Perioden är 8 / 9 och kurvan kan vara förskjuten 6 åt höger eller vänster. y sin( 6 + ) sin( + ) Jämför eempel s. y cos( ) y cos( ) c) y cos ( + ) Jämför eempel s. y sinoch y cos( ) y sin( 9 ) och y cos( 8 ) cos Mittlinjen C. Amplitud. Perioden 6. t.e. y + sin Mittlinjen C. Amplitud. Perioden 6. t.e. y + cos Acos + B A+ B 6 Acos8 + B A+ B A+ B A + B 6 B och A y cos + (,) + arcsin 9, 9, + n 6 9, + n 6,7 + n 8 Den andra lösningen är (8 9, ) + n 6 7, + n 6 8, + n 8 arccos ± + n 6 + n n 8 eller + n 8 6 Se till eempel s. 6. sin( ) eller 8 Lösning : Ledningar och lösningar till M, Liber AB

4 + n 8 Lösning : 8 + n 8 7 Räknaren ger,6,6 + n 6, + n 9 eller 8,6 86, + n 6 6,6 + n 8 Använd räknare Räknaren ger + + n 6 + n 8 eller + (8 ) + n n 8, 7, 8, Räknaren ger n 6 + n 9 eller n 6, + n 9 9,, Räknaren ger + n eller 8 + n, 7, Lös på samma sätt som a-uppgift. 6 Räknaren ger, 9, 9 + n 7 eller, 8 9, + n 7, 79 7 Räknaren ger Ledningar och lösningar till M, Liber AB

5 6 + n 8 eller (8 6 ) + n n 8, 6,, n 6 + 9, 8, 7 ± 7, 7, (6 7, ) 9 Räknaren ger 7, 7, + n 6 + n 8, 6,, 76,6 och 696 Använd räknare eller dator rötter. c) Räknaren ger 8, 8, n n 7 eller 8 8, + n 6 + n 7 6, 88 d) ± 9 + n 6 9, 7, 8 Räknaren ger >,, < < (8, ) Räknaren ger sin( 9 ) (min) sin(9 ) (ma) b a b a ( ) 6 b a b+ a 6 b b,, a 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

6 7 Använd räknare eller dator. 8 tan (Räknarenger) 78,7 + n 8 tan, 6, + n 8 c) tan,, + n 8 d) tan 8, + n 8 9 tan,, + n 8 66 och tan + n 8 Räknaren ger n 6 Dela upp lösningarna: Lösning: n 6 + n n Lösning : n 6 + n 6, + n Räknaren ger Lösning : + n 6 + n 9 Lösning : 8 + n 6 + n 9 c) Räknaren ger 6,6 9,6 + n n d) Räknaren ger + 6,8 8, + n 8 9, + n 9 7,9 + n 9 tan 6,9 + n 8 Räknaren ger, Lösning :, + n 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

7 Lösning : 8, + n 6 68, + n 6 7 c) tan Räknaren ger 6, + n 8 d) Räknaren ger, 6, + n 6 Räknaren ger 6, Lösning : 8, + n 8 8, Lösning : 8 6, + n 6 6,8 + n 8 6, 8 Räknaren ger ± 8 + n 6 66,7 + n Lösning : 86,7 6,7 c) Räknaren ger 78,7 8,7 + n 8, + n 9, d) Räknaren ger,7 + n 8,7 tan 6 ka + tan ka 6 Perioden: 8 k, eftersom k tangensfunktionen har perioden 8-6 a Vi får 6 + tan, + n 8 7, + n 7, och 8, Lösning : 6 + n 6 n 6 n 8 Lösning : n n n 6 Lösning : + + n 6 saknar lösning. Lösning : Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

8 8 ( + ) + n n 8 Lösning : + + n 6 + n 8 Lösning : 8 ( + ) + n n 6, + n 9 ;, och, Lösning : + Saknar lösning. Lösning : + 8 ( ) + n n n ± + n 6 Lösning : 7 + n 6 + n 8 + n 8 Lösning : n 6 8,7 + n + n 6 Lösning : n 6 n 8 Lösning : 8 + n n 6, + n 6 Lösning : + + n 6 + n 8 Lösning : 8 ( + ) + n 6 + n 6 + n 9 Se vidare facit. ± + n 6 Lösning : n 6 Lösning : n 6 n 7 Se svaret i facit. 7 Lösning : n n 6, + n Lösning : ( ) + n n 6, + n, Se svaret i facit. ± ( ) + n 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

9 Lösning : + n 6 + n Lösning : + n 6 Se svar i facit. 8 6 ), 9 + n 6, 9 + n n ), 8 (9 ) + n 6, 9 + n n 6 Se facit för rötterna. 6 ) + v 9 / + n / v+ n 6 9 / v+ n 6 6 / v/ 6 + n 6 ) + v 8 /(9 / ) + n 6 9 / v+ n 6 / v/ + n sin(6 + ) sin6 cos + cos6 sin [se tabell] cos cos sin sin -6 Rita figur och beräkna hypotenusan: cm. sin c) cos sin sin cos 6 d) cos cos sin 6 Rita figur enligt eempel s 9. Hypotenusan: Ledningar och lösningar till M, Liber AB 9

10 sin cos c)... sin cos d)... cos sin cos cos, 8 cos, 6 cos, 8 cos sin, 8 sin, 6 sin, 6,6 c)...,8 d)...,6,8,96 - Observera förskjutningen i facit i första tryckningen. sin ±,6 ±,6 ) 7 + n 6 eller (8 7 ) + n 6 + n 6 ) 7 + n 6 eller (8 ( 7 ) + n n 6 Rita figur. Se omskrivning i facit. cos ±, 9 ) ± + n 6 ) (8 ± ) + n 6 Rita figur. Se omskrivning i facit.... cos cos cos (cos ) cos ± 9 + n 6 dvs. 9 + n 8 (cos saknar lösning). tan + n 8, + n 9 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

11 tan6,6, t + t 9 t ± + t,+, t,, sin 9 + n 6 (sin saknar lösning). Se ledning cos cos + cos Sätt cos t t + t t ± cos, ± 66 + n 6 (cos, saknar lösning). Skriv om: cos cos t + t tt ( + ) t eller t (Rita eventuellt figur) cos ± + n 6 eller cos 9 + n 8 a + b a och b y sin+ cos Avläs ur grafen: y msin( v) där m a + b a + b a b v (grafen förskj. åt höger) y sin cos ( ) + sin( + arctan ) sin( + ) 6 sin( arctan) sin( ) sin( ) 9 eller 8 c) Förläng med cos i alla led: sin cos sin cos + sin( arctan ) Se facit och s -. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

12 sin( 6,6 ) sin( 6,6 ) 6,6 6, 6,6 8 6, Eftersom cos9 är 9 en falsk rot. Division med noll är inte tillåten i ursprunglig ekvation. Se t.e. viktigruta s a + a± 8 arctan, (åt höger) 6 8 arctan, (åt vänster) 6 Grafisk lösning. Periodenr 6. Största värde,. sin, ),,97 + n,6 + n Eller:,6 + n 6,8 + n ), (, 97) + n,,7+ n, + n 8 Ur figur: Perioden: r Amplitud:, r Förskjutning: åt vänster y,sin( + ) 7 cos ±,+ n ±,6 + n Perioden:r Amplitud: r Förskjutning: åt vänster y sin ( + ) 9- Ledningar och lösningar till M, Liber AB

13 Kurvan är förskjuten rutor i höjdled a. Amplituden är b, eftersom kurvans lutning är negativ under första kvartsperioden.,8 eller,9 + n + n 8 6 r r ± r r ± 6 6 r + n r eller 6 r + n r 6 tan r + n r r r eller r + n r eller 8 r + n r 8 Se närmevärde facit. Avläs i grafen. - r r r + eller 6 6 r + n r eller 6 r + n r 7 Grafisk lösning rötter. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

14 Additionssatsen: cos cos + sin sin 6 6 (cos cos sin sin ) 6 6 sin sin sin 6 9 Summan av tre strömmar med samma amplitud förskjutna, dvs, är. 8 Additionssatsen :... sin cos + cos sin + + sin cos cos sin sin cos sin Använd additionssatsen. Se föregående uppgift. Avläs i diagram. f() har två rötter i intervallet. Rita linjen f() en rot. c) Rita linjen + fem rötter. Sätt cos t t t t t 8 t ± t + eller t n r eller r ± + n r Räkna "baklänges". Rita figur. Ansätt Ledningar och lösningar till M, Liber AB

15 r + n r eller r r + n r r sin sin eller r sin sin( r ) T.e. sin ( ),, och, I intervallet:,, 97 6 A mmhg 7 mmhg B mmhg 8mmHg Perioden, s., k,9 ( ) k y 7sin,t+ 8 ( y 7sin t+ 8) ) y / cos 6 W/m / cos W/m W/m ) y / cos, W/m 9 W/m sin cos cos, cos + sin, sin sin cos sin Flytta över och bryt ut sin : sin cos sin sin ( cos ) ) sin + n n ) y min då r cos. Men ej inom intervallet. y då 6 och då 8. Seuppgift. min y ma då cos /. y / cos W/m 6 W/m c) ma cos cos ± + n Ledningar och lösningar till M, Liber AB

16 cos 6 7 cos ±,79 + n ),79 + n,66, 66 tim min kl.. ),79 + n,66,66 +, tim,tim min kl.. d) cos > 7 cos <, ± + n ), + n 9,, tim min kl. 9. ), + n 9, + n 9, + n,8,8 tim 8 min kl..8 9, < <,8 Solinstrålningens intensitet är > W/m mellan kl. 9. och kl..8. 9,78 acos( + ) b 9,8 acos( 9 + ) b 9,78 a+ b 9,8 a+ b b 9,86, a,6 9,8,6 cos( ) + 9,86,8 cos ± 98,87 + n 9, Se facit cos( + ) + ± + n + n n Repetera t.e. sid. Positionen i - respektive y-led kan skrivas: Acos wt, y Asinwt där w r rad/min, A m och t anges i minuter. Tänk avståndet mellan två punkter som en funktion av tiden t: st ( ) ( cos t) + ( sin t) ( cos t) + ( sin t) 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

17 6 sin + sin cos + cos + sin sin cos + cos sin cos + + (sin cos ) sin sin cos cos cos sin sin cos cos 6-66 Se facit 67 + sin + sin cos + sin sin + ( sin )(+ sin ) (+ sin )( sin ) cos + sin sin + sin sin cos cos sin + sin + sin cos n cos + n Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

18 Kapitel Tangeringspunkten är (, ). Tangentens lutning är. y k + m + m m 7 y 7 6 f( + h) f( ) f ( ) lim h h ( + h) + ( + h) ( + )) lim h h + 6h + h + + h lim h h 6h + h + h lim lim 6+ h+ 6+ h h h 7 Rita figur. Vi utgår från punkten (, ), där tangenten har k. Ungefär samma lutning då, f (,),, 8 Utgå från punkten (7; ), där tangenten har k. Ungefär samma lutning då 6,8 f (6,8),,6 + m m y + m m 6 y f( ) f ( ) f () f( ) f ( ) f () g ( ) 8 ln,, g (),, kr 7 kr Se kommentar facit. 8 Linjen har lutningen k 6. y 6 y 8 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

19 ) -aeln har lutningen. y y 9 T min + 78,88 C 6 C t y 78 ln,88,88 y /,8 C/min Nej. () 78 ln,88,88 C/min y ln,8,8, 8 ln,8 ln,8 ln ln,8 7 y,, y (), Tangentens ekvation?, + m m Skär -aeln då y :, + g ( ) + p + p + p p p + p + p 6 p p 6 - Prova! Derivatan (tangentens lutning) är positiv fram till där kurvan har en etrempunkt. När kurvan är > är derivatan negativ B. 9 Kurvan skär y-aeln då. f () cos Tangentens ekvation i (, )? f () sin, dvs k. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

20 Tangentens ekvation: y k + m, där k. y m m Tangentens ekvation: y. g ( ) cos sin g () cos sin k Tangentens ekvation: y k+ m + m Sök m. Sätt in tangeringspunkten i formeln. + m m. y + y sin y k Sök tangeringspunkten: y cos ( ) Lös ut m genom att sätt in k och tangeringspunkten (, ) i formeln y k + m m. y + 6sin sin, + n r eller r (, ) + n r,66,76 Se eempel. c) y ( + ) y ( ) y ( + ) y ( + ) ( + ) ( ) y + ( + ) c) y ( ) y ( 6 e ) c) y sin cos y cos sin y cos( ) Ledningar och lösningar till M, Liber AB

21 c) y sin( ) 6 cos sin y e 6 Inre derivatan, dvs. derivatan av sin cos Den primitiva funktionen till h (), t.e. ( ) + + C c) t.e. + C 7 y (+ ) e y () + Sätt in k och tangeringspunkten i y k + m m. y + 8 y sin y k Sätt sin sin + n 6 + n f ( ) ± 9 9, - + ln(8 + ) 8 ln(8 + ) (8+ ) e 8 8 e min min (,9) 8 T ( ) T () 8 C/min, 8 C/min / / y / 6 6 ln s 9 s min s Ledningar och lösningar till M, Liber AB

22 / / 9 / 6 6 ln / e 9 / / 6 6 / / 6 6 / 9 e C C Sätt sin t t t c) y ( ) / 9 / 6 6 / nämnaren Modellen gäller inte för. / / / y + y + ( + ) + ( ) y y cos cos sin sin cos sin trig. ettan sin sin, Byt tillbaka sin t. sin + n och + n + n sin + n och + n + n + n ( ± + n ) 8 9 f() ( + ) e Tangeringspunkten är (, ). Tangentens lutning (k) i punkten: f () ( + ) e k Sätt in tangeringspunkten och k i ekvationen y k + m + m m y + 6 y e e -aeln har k. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

23 (e e ), e e 6 y ( ) f ( ) + g ( ) y () + 7 y ( ) f ( g ) ( ) + fg ( ) ( ) y () c) y ( ) f ( g ( )) g ( ) y () f () ln y ln ln ln ln e 69 e ( + ) ( ) e y e e + ( + ) e + e e, dvs tangentens lutning, k. Sätt in k i tangeringspunkten i y k + m : + m m y + Tangeringspunkten: ln y (; ) + Tangentens lutning, k: ( + ) ln y ( + ) y () In i y k + m m y 7 Kurvan: sin sin cos cos y sin (sin + cos ) sin sin Linjen: y, dvs. linjen har lutningen. Sätt sin sin sin ± Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

24 r, ± + n r 6 r, r ± + n r 6 r ligger i intervallet f ( ) ( g ( )) e ( ) e f () e e g( ) e g ( ) ± 9 7 ± rötter Se -uppgift. 7 k och m y ty, då För < finns grafen till y under - aeln. Då gäller alltså ( ) + k och m y + ty +, då, För <, finns grafen till y + under - aeln. Då gäller alltså + (+ ) ±, För < < finns grafen till under -aeln. y + för och... + för < < och c) + : + för < : + för < + < : + + < : + + (saknar lösning) : + Grafisk lösning. Rita och t.e. y. i samma diagram. m parallellförskjuter kurvan i y-led. Vi ser att ekvationssystemet har två lösningar då m >, en lösning då m och att det saknar lösningar då <. Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

25 Tangeringspunkten? y lg (; ) k y ln ln Sätt in i ekvationen y k + m: Då m > skär linjen endast den vänstra linjen ( + ). När m < skär linjen endast den högra linjen ( ). Även när m < har ekvationssystemet endast en lösning. nollställen:,, y ( )( ) ( + 8) y y lnk+ ln ln lnk lnk k m m ln ln y ln ln ln y y d) y + 7 Linjen: y + k ±, Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

26 y 8 y () Sätt in tangeringspunkten och k i ekvationen y k + m : + m m 8 Tangentens ekvation: y + 8 Sätt y : 6 f ( ) + f () ln( + ) ln8 Sätt in tangeringspunkten och k i ekvationen y k + m : ln8 + m m ln8 7 Definitionsmängdens gräns är. y-aeln är asymptot. f ( ) f ( ) 8+ f (,) 8 + 8, 8 Lokal minimipunkt f (,), +, minimipunkt i (,; ). Värdemängden? Grafisk lösning värdemängden är alla y. y + ln8 c) 7 Funktionen ln är endast definierad för >. > då < <. Definitionsmängdens gräns är. y-aeln är asymptot. Ledningar och lösningar till M, Liber AB 9

27 Vad händer om? Termen / går mot noll f( ) är också asymptot (fel i facit i första tryckningen). Sätt derivatan för att få fram etrempunkt. Kontrollera ma eller min med hjälp av andraderivatan. Värdemängden: Se figur ovan. Etrempunkter: f ( ) ± Kontrollera andraderivatan för ±. Sätt in i funktionen min- och mapunkt enligt facit. Värdemängden: 8 9 Definitionsmängdens gräns är. y-aeln är en asymptot. Vad händer om? Termen / går mot noll f( ), dvs. - aeln är också asymptot. Derivera. Sätt + t t+ t. t t+ t, ± 6, t ; t ± ± Sätt andraderivatan : 6 Sätt in,, och -: f ( ) negativ ma f ( ) positiv min f ( ) positiv min f ( ) negativ ma Sätt in,, och - i ursprunglig ekvation: Ledningar och lösningar till M, Liber AB

28 maimipunkter: (, 6) och (-; 8) minimipunkter: (-; 6) och (, 8) Ej definierad då cos, dvs. då ± + n Lös ekvationen: Etrempunkter då,,8 och,9 Se kommentar i facit. g () t t + t + t t ( ) Andraderivatan? 8 6 g ( t) t negativ > ma g( ) ( ) + ( ), 6 maimipunkt i ( ;,6) Se även kommentar i facit. 7 Sätt f ( ) sin + cos tan Sätt in i ursprunglig ekvation: f( ),8 f( ),8,9 f( ),8,8 < f() <,8 8 9 ( + ) ( ) f ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ± y ± 6 Kontrollera andraderivatan Ledningar och lösningar till M, Liber AB

29 ; maimipunkt 6 ; minimipunkt 6 A ln ( ln + ) ln e ( ger ej ma are c) ma ma A då e A y e ( e ) lne a.e e ( e ) ( ) a.e a.e e Antag plåt med A r r h+ r r, dvs. mantelarean hos en cylinder. 6 r r h rr Sätt in detta i formeln för V: 6 r r V r rh r r rr r( r r) r r r Sätt V () r r r ± r Vma r r r dm r r r dm dm r r r r v v s ( c) sinc cos c g g cosc c + n c s sin9 9 m 9,8 A + Sätt,, ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ), Ledningar och lösningar till M, Liber AB

30 ( ) ( ) ( ), 8 ± 6 y dy d dt dt 8, 7 6 V rrh Både h och r beroende av t. Uttryck r i h. (6 t) g ( t) 8sin ( ) 8 8 (6 t), sin 8 r tan r h h h h V r r 9 h (6 t) 8 + n t n 8 t n 6 t ( n) 6 (6 t) g ( t), sin 8 (6 t) g ( t), cos ( ) 8 8 (6 t) (6 t) sin cos (6 t) tan 8 8 (6 t),7 + n 8,7 8 6 t + n 8 en lösning t 6 dv h dh r dt dt dh liter/min dt r 8 dm, dm/min mm/min Minustecken i facit eftersom vattendjupet minskar. 6 r V ; A r da da dr dr r r dt dr dt dt dr dt 8 cm /min,7 cm/min 8r 6, cm dv dv dr dt dr dt r 6,,7 cm /min 9 cm /min 6 Kalla horisontell katet för. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

31 r + dr dr d d där är givet. dt d dt dt dr ( ) + d + Uttryck i r r + ± r dr d,866 + dr,866 9 km/h 78 km/h dt 6-6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

32 Kapitel Utnyttja tabell s. Glöm inte att "kompensera" för inre derivata. 8 F ( ) cos( ) F ( ) sin( ) f( ) e F ( ) e + C ( e ) v f( v) + e v v Fv ( ) lnv+ e + C c) f( z) + z Fz ( ) z + C z - f( ) k F ( ) ln k F ( ) k ln 6 ln ln f( ) ( e ) e ( ) ln ln ln F e + C + C lna k lna k f( ) ( e ) e a ( ) k lna k lna k lna k F e + C + C 7 Kurvan avtar fram till f ( ) är negativ fram till och därefter positiv, då kurvan är väande. Eftersom f() är positiv i hela intervallet kommer den primitiva funktionen F() att vara väande i hela intervallet, bortsett från en terrasspunkt i. Se kurvor i facit. 8 och s () cos, m/s cos m/s, m/s st ( ) sin, t+ C s() + C C c) Ledningar och lösningar till M, Liber AB

33 s() sin, m,8 m 6 lnt Ft () t + C ln F + C C 7 () 9 7 a F ( ) cos+ C Ekvationssystem: a cos + C a cos + C C a + C a F( ) cos cos + +, 8 y + y + y + ln + C y() + ln + C C 9- y (ln ) + ln + ln Jämför med: y (ln ) y + + ln + ln y e + C e + C C 6 y() + B B y Acos B sin y () A A y 6 C y C D () 6 + y C D 8 c) + C + C D + C + D C 6 och D 8 9- Ledningar och lösningar till M, Liber AB

34 y a y a In i given ekvation: a + a + a ( ) 6 a a (cos sin ) d sin + cos sin + cos (sin + cos ) +, a.e Var skär kurvorna varandra? sin och cos är fasförskjutna och lika då + n. (sin cos ) d cos sin cos sin ( cos sin ) + + +,8 a.e Sätt... 6,,,+, ± 6,;..., ln,, ln, (,, ln,) a.e ln, +, + ln, a.e,87 ln+ ln, a.e, a.e cos + n + n d Se kommentar facit. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

35 ... sin sin a.e a.e a.e - 6 e e d ln b b (lne ln lnb a.e lnb b e 7 8 a b b a ( b a och b a b a a b b a b d a a b a b b a b a a a b b b b a a a 6b 6b 6b 9 7 (sin(, ) + 8) d cos(, ) 8 +, d ( cos(, ) + 8 +, cos(, )), cos(, ) cos( )) 8, C 7, 7, 8 8 sin + d cos + 8 cos + 8 cos) m /min 6 m /min + 9 v ( t),, sin, t sin, t, t + n t + n,9 v,cos m/s, m/s ma Repetera ev. kap, t.e. s6. Perioden, c) Vändlägen då v(t). 8 cos, t n, t ± +, Ledningar och lösningar till M, Liber AB

36 Skiss cos(,t). Perioden a och b f ( ) 6cos Integralen beräknas med hjälp av digitalt hjälpmedel: integrationsgränserna: t,,8 t +,,8, s( t), cos, t dt,,, sin, t,,, (sin(,,) sin(, (,)) m,, m, 6m, a... cos cos a ( cos ) cosa a± arccos+ n a n a a... cos cos a ( cos ) cosa a± arccos + n a± + n a± + n a ; a s + ( f ( )) d + (6cos ) d 8, l.e. 7 b a g ( ) a b a g ( ) + b b d 96 6 a.e a.e 8 f( ) e, 7, f(,) e,79 f (), f(,) e f() e Kurvan symmetrisk runt. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

37 6 ( ) e d 8 st 9 c),,,8 e d Ja,, e d,,( +,79) A a.e,(,79 +,7) A a.e A ( A + A ), a. e tot 9 Intervallet a till b delas in i n trapetser. 8 7 ( ) e 76 d,8 % 7 ( ) 86 e d st d),, e d, e, e,, ln, 69 min ln T samma svar, / 9, ( e ) d e ( e ) v.e, v.e ; c) 7 7 ( ) 86 e d st 9 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

38 ( ) d d (6 + ) d ( ) v.e 8, v.e Kurvan y ej def för. Undre gräns: 9 ±, ((9 ) ) d ( ) d (6 8 ) + d 6 6 v.e + 6 d d 6 ) d 6 ( ) ( ) 6 v.e a... e e a e a ( ) v.e ln() a,9... e a ( e + e ) v.e e e a ( ) e e a, a ln ln( ) a Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

39 (sin ) d sin d (sin ) d ( cos ) d sin ( sin ) 9 y ln e y y V dy e dy y e ( e ) v.e Lös ekvationen: cos + sin,6,6 (cos + sin ) d,6 (cos cos sin sin ),6 + + d (+ cos sin ) d,6 (+ sin ) d,6 cos (,6 cos(,6) + ) 8,98 v.e,,+,, V (, ) d,,, ( ) d 6, + d 6, + +, (6, + +, (6,,, + + ) 8 (, + +, + 8, ), Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

40 ;, y y (, ), y dy ( ) dy..., y, 6 A : V (6 y) dy (6 y) dy 6 y y 6y 6y (6 8 ( )) v.e 8 v.e B: Förskjutning av kurvan steg i y-led ger y. y y Dela upp i två areor och "dra bort hålet". dy dy +, y,,, dy dy y y + y y,, ( + +, ) + + ( +,) v.e v.e Kurvan symmetrisk V ( ) d (6 8 ) + d ( + ) v.e ( + ) v.e 6 ( + )v.e 8 6 v.e Förhållandet mellan det två rotationskropparnas volymer Ledningar och lösningar till M, Liber AB 9

41 c)... 8 Kapitel 9 z ; u 6 v ; w 6 w z a + z sant a a+ 6 i ( a 6 i) i falskt c) Im z 6; Im z 6 sant d) 6 6 ( + i)(6 + 8i) 8 + 8i (6 8 i)(6 + 8i) i, +, 8i z w z w, c) d) z + i; z 8 i... 7 z i + i (9 + 6 i+ i ) + i i 8 + i+ i 6 i 6+ i 9- ( + i)( + ai)... ( ai)( + ai) + ai + i + ai ( ai) + ai + i a ( + a ) ( + (a+ ) i ( + a ) Reellt om a+ a ( i) i ( + i)( i) + i Re,6 + +,6 +,6 +,6 9 ± 9 9 ; 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

42 ( + i)( + i) z ( i)( + i) + i+ i + i + i + i i( i) z i i( i) i i z( i) i i(+ i) z( i) ( i)(+ i) i + i z( + i) i ( i)( i) z ( + i)( i) 6 i i i + 6 ( i) z + i ( + i)( i) 6 i 6 i 9+ z(i+ ) i ( i)( i) z ( + i)( i) 6i i 8 i i i 7 z + i iz( + i) z + i iz z z iz i i( + i) z ( i)( + i) i,, i 9+ z i ( i)( z+ i) z i z + i iz i z z + iz i + i + z( + ) i + i (+ )( i ) i z ( + )( i ) i ( 9i i+ 9,6,i ( ) ( ) + i + i + a + i i+ a a 9 ( i ) ii ( ) + a i+ + + i+ a a Ledningar och lösningar till M, Liber AB

43 ai a z ± + 9 Dubbelrot om a 9 a ± 6 ( a + bi) + a bi + i a + bi + a bi + i a + bi + i a, ; b a + bi + ( a bi) + i a + bi + a bi + i a,; b a + abi b + a + b 8 + 6i a + abi 8 + 6i a ; b eller a ; b - 6 Se eempel s. och figurer i facit. 6 Rita figur. a + bi 6+ i + + i a ; b i Samt + i ( 6 + i) Eller 6 + i ( + i) z a+ i z a + ai ( a ) + ai Rez a a alltid positiv Rez 6 Skissa figur. Avståndet mellan z och i är lika med avståndet mellan z och 6i z i. Algebraiskt: a + bi i a + bi 6i a+ ( b ) i a+ ( b 6) i a + ( b ) a + ( b 6) a + b b+ a + b b+ 6 8b b Se eempel s. 8. p k p k ( ) ( + ) ( ) () 7 k( + ) ( ) Ledningar och lösningar till M, Liber AB

44 76 P( ) 8 k+ k k k 8 k ± + 8 k ; k 77 p ( ) k ( )( ( + i))( z) Se faktaruta s. 7: Alla. z i p() k ( )( i + ) i ( + 9) Se vidare lösning i facit. 8 Se eempel. Ställ upp divisionen på ett sätt som passar dig. T.e ( ) 6 ( ) Testa om är en rot Ja. Utför polynomdivision och se facit Se eempel och facit. 9 Sätt in z i i den givna ekvationen: ( ) ( ) ( ) i + a i + b i 8i a + bi 8 b ; a 9 Polynomdivisionen a a 8. z + az + a z + ger resten Sätt detta uttryck lika med noll och lös ut a. a ; a Alternativ lösning: Faktorsatsen ger ( ) p( ) a+ a a a 8 Vilket ger a ; a 8 a + a + a ± arg z arcsin 6,9 eller 8 6,9, 9 Rita figur. v. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

45 Rita figur. Multiplikation med i motsvarar 9 vridning: i(+ i) + i bh + ( ) + A, a.e bh a + b ( + a A a + b Då likheterna z z z z gäller bildar de tre komplea talen inritade som vektorer en liksidig triangel (se figur nedan). r a r cosv cos r b r sinv sin Multiplikation med i: iz (cos( + ) + i sin( + )) r a r cosv cos 6 r b r sinv sin 6 c) Division med i: iz (cos( ) + i sin( )) r a r cosv cos 6 r b r sinv sin 6...,(cos( 8 ) + i sin( 8 )) a,; b, + i, Vinklarna i en liksidig triangel är 6. arg z arg z och arg(z z ) Se regelrutor s. -. Multiplikation z (cos + isin ) z 6(cos6 + isin6 ) z (cos + i sin ) w a ; b c) wu 8(cos + i sin ) wu (cos7 + i sin7 ) z a ; b Ledningar och lösningar till M, Liber AB

46 k k z (cos( ) + isin( )) ( k ) ( k ) z (cos( ) + isin( )) ( k ) cos ( k ) k Rita figur och markera ett negativt reellt tal. t.e. z (cos + isin ) z (cos + isin ) Rita figur och markera ett imaginärt tal. t.e. z (cos + isin ) z (cos + isin ) 8 Skriv om på polär form och utnyttja de Moivres formel. z + r arg z arcsin 6 r r z (cos + isin ) r 9r z (cos + isin ) 6 6 r r (cos + isin ) i z + ( ) r arcsin 6 r r arg z r 6 6 r r z (cos + isin ) 6 6 r r z (cos isin ) 6 6 r r (cos + i sin ) 6 ( + i ) i) + c) z + r arg z arcsin r r z (cos + isin ) z (cosr + isin r) d) z ( ) + r arg z arcsin 6 r r z (cos + isin ) 77r 77r z 8 (cos isin ) r r 8 (cos + i sin ) 8 ( + i ) 8+ 8i i 6 + arg(6 + i) arcsin 8, 6 ( ) (cos(8, 6) sin(8, 6)) z + i 6(cos, + i sin, ) Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

47 r arg z arcsin 8 z 6( i ) 8 8 i + i r arg z arcsin r r (cos + i sin ) (cos r + i sin r) (cosr + i sin r) r r täljare: (cos + i sin ) r r nämnare: (cos + i sin ) a ar ar (cos + i sin ) Uttrycket reellt då: ar sin a Skriv om på polär form: n nr nr z (cos + isin ) 6 6 nr Rez då cos 6 n ±, ± 9, ±... n + 6 k, där k ±, ±, ±... zz ( + 8) i z Skriv om på polär form: z r (cos v+ isin v) och r r 8(cos + i sin ) z 8 r v + n r r r v + n z (cos + isin ) ( + i) i 7 7 z (cos + isin ) 6 6 i ( ) i z på samma sätt i De fyra rötterna ligger på en cirkel med radien och vinkeln mellan dem är. z (cos( + n ) + isin( + n )) (cos + i sin ) Gör på samma sätt för att få fram övriga rötter. Av figuren framgår att ekvationen är av femte graden n och vinkeln mellan de komplea rötterna är. z i z i Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

48 Åtta rötter n 8. Skriv om z på polär form: z (cos + isin ) 8 8r 8r r 6(cos + isin ) r r 6(cos + i sin ) i 6( + ) i Ekvationen är av 8:e graden vinkeln mellan rötterna är. ( ) 8 9 Rita figur. I andra kvadranten finns återfinns rötter med arg,, och 7. r För rötter gäller < arg z < r. 6 Rita in i i figur. Skriv om på polär form: r r z (cos + isin ) r n r r och arg z + 6 Rötterna ger liksidig triangel, dvs. alla vinklar 6 och sidan a ( + i ) ( + i ) i i e e e e i e e i e i e e (cos( ) + i sin( )),,8i i i e e e e i i,i e e e cos(, ) + i sin(, ) i i ee e(cos + isin ) e Ur formelsamling: a ( ) A a.e, a.e Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8