d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin"

Transkript

1 d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6 tan v /,7 9 (sin ) + v 9 9 sinv ± ± Trig. ettan: (sin v) 69 sinv / tanv / cosv sin v b/ b Uppgift b, c, d: jämför figur s. 9. sin (8 v) b R ( a, ty sin( v+ 8 ) sinv cos( v+ 8 ) cosv Vridning 9. cos( v+ 9 ) sinv b sin( v+ 9 ) cos v a. dvs T ( b, S (, b B arccos(,8) 6,87 sin(8 6,87 ),6,8 + cos (8 6,87 ),8 6 Ej definierad om nämnaren. cos då 9 + n 8. T.e. 9 och 7. sin har mavärdet och minvärdet. yma ymin, ( ) yma ymin +, + ( ) c) yma ymin ( ), c) cos v a Ledningar och lösningar till M, Liber AB

2 6 Kurvan är förskjuten åt höger och har toppvärdena, och,, dvs. amplituden,. Perioden är 8. y,sin ( ) 7 Utgå från grafens ekvation på formen y Asin k ( + v) + C. y sin y sin( ) c) y sin ( + ) 8 Utgå från grafens ekvation på formen y Asin k ( + v) + C. Kurvan har perioden 6, amplituden och är förskjuten åt höger: y sin( ) På samma sätt som i -uppgift. y,sin( ) c) y sin ( + ), ty perioden är. 9 Utgå från grafens ekvation på formen y Asin k ( + v) + C. yma ymin A yma + ymin + C T.e. y sin( ) + Perioden 7 ger k 6/7,. "Mittlinjen" C ligger mitt emellan det minsta och det största värdet: yma + ymin yma + ( ) C y ma ( ) A 7 y 7sin(, ) +, dvs. b 7 och k,. "Mittlinjen" C, A. Perioden är 8. Dessutom är kurvan förskjuten åt höger. y sin( + ) sin( 6 + ) y + y C y min ma min 6 y ma y + y y min min min yma ymin 8 A 6 yma + ymin + ( ) C 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

3 A. Perioden är 8 / 9 och kurvan kan vara förskjuten 6 åt höger eller vänster. y sin( 6 + ) sin( + ) Jämför eempel s. y cos( ) y cos( ) c) y cos ( + ) Jämför eempel s. y sinoch y cos( ) y sin( 9 ) och y cos( 8 ) cos Mittlinjen C. Amplitud. Perioden 6. t.e. y + sin Mittlinjen C. Amplitud. Perioden 6. t.e. y + cos Acos + B A+ B 6 Acos8 + B A+ B A+ B A + B 6 B och A y cos + (,) + arcsin 9, 9, + n 6 9, + n 6,7 + n 8 Den andra lösningen är (8 9, ) + n 6 7, + n 6 8, + n 8 arccos ± + n 6 + n n 8 eller + n 8 6 Se till eempel s. 6. sin( ) eller 8 Lösning : Ledningar och lösningar till M, Liber AB

4 + n 8 Lösning : 8 + n 8 7 Räknaren ger,6,6 + n 6, + n 9 eller 8,6 86, + n 6 6,6 + n 8 Använd räknare Räknaren ger + + n 6 + n 8 eller + (8 ) + n n 8, 7, 8, Räknaren ger n 6 + n 9 eller n 6, + n 9 9,, Räknaren ger + n eller 8 + n, 7, Lös på samma sätt som a-uppgift. 6 Räknaren ger, 9, 9 + n 7 eller, 8 9, + n 7, 79 7 Räknaren ger Ledningar och lösningar till M, Liber AB

5 6 + n 8 eller (8 6 ) + n n 8, 6,, n 6 + 9, 8, 7 ± 7, 7, (6 7, ) 9 Räknaren ger 7, 7, + n 6 + n 8, 6,, 76,6 och 696 Använd räknare eller dator rötter. c) Räknaren ger 8, 8, n n 7 eller 8 8, + n 6 + n 7 6, 88 d) ± 9 + n 6 9, 7, 8 Räknaren ger >,, < < (8, ) Räknaren ger sin( 9 ) (min) sin(9 ) (ma) b a b a ( ) 6 b a b+ a 6 b b,, a 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

6 7 Använd räknare eller dator. 8 tan (Räknarenger) 78,7 + n 8 tan, 6, + n 8 c) tan,, + n 8 d) tan 8, + n 8 9 tan,, + n 8 66 och tan + n 8 Räknaren ger n 6 Dela upp lösningarna: Lösning: n 6 + n n Lösning : n 6 + n 6, + n Räknaren ger Lösning : + n 6 + n 9 Lösning : 8 + n 6 + n 9 c) Räknaren ger 6,6 9,6 + n n d) Räknaren ger + 6,8 8, + n 8 9, + n 9 7,9 + n 9 tan 6,9 + n 8 Räknaren ger, Lösning :, + n 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

7 Lösning : 8, + n 6 68, + n 6 7 c) tan Räknaren ger 6, + n 8 d) Räknaren ger, 6, + n 6 Räknaren ger 6, Lösning : 8, + n 8 8, Lösning : 8 6, + n 6 6,8 + n 8 6, 8 Räknaren ger ± 8 + n 6 66,7 + n Lösning : 86,7 6,7 c) Räknaren ger 78,7 8,7 + n 8, + n 9, d) Räknaren ger,7 + n 8,7 tan 6 ka + tan ka 6 Perioden: 8 k, eftersom k tangensfunktionen har perioden 8-6 a Vi får 6 + tan, + n 8 7, + n 7, och 8, Lösning : 6 + n 6 n 6 n 8 Lösning : n n n 6 Lösning : + + n 6 saknar lösning. Lösning : Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

8 8 ( + ) + n n 8 Lösning : + + n 6 + n 8 Lösning : 8 ( + ) + n n 6, + n 9 ;, och, Lösning : + Saknar lösning. Lösning : + 8 ( ) + n n n ± + n 6 Lösning : 7 + n 6 + n 8 + n 8 Lösning : n 6 8,7 + n + n 6 Lösning : n 6 n 8 Lösning : 8 + n n 6, + n 6 Lösning : + + n 6 + n 8 Lösning : 8 ( + ) + n 6 + n 6 + n 9 Se vidare facit. ± + n 6 Lösning : n 6 Lösning : n 6 n 7 Se svaret i facit. 7 Lösning : n n 6, + n Lösning : ( ) + n n 6, + n, Se svaret i facit. ± ( ) + n 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

9 Lösning : + n 6 + n Lösning : + n 6 Se svar i facit. 8 6 ), 9 + n 6, 9 + n n ), 8 (9 ) + n 6, 9 + n n 6 Se facit för rötterna. 6 ) + v 9 / + n / v+ n 6 9 / v+ n 6 6 / v/ 6 + n 6 ) + v 8 /(9 / ) + n 6 9 / v+ n 6 / v/ + n sin(6 + ) sin6 cos + cos6 sin [se tabell] cos cos sin sin -6 Rita figur och beräkna hypotenusan: cm. sin c) cos sin sin cos 6 d) cos cos sin 6 Rita figur enligt eempel s 9. Hypotenusan: Ledningar och lösningar till M, Liber AB 9

10 sin cos c)... sin cos d)... cos sin cos cos, 8 cos, 6 cos, 8 cos sin, 8 sin, 6 sin, 6,6 c)...,8 d)...,6,8,96 - Observera förskjutningen i facit i första tryckningen. sin ±,6 ±,6 ) 7 + n 6 eller (8 7 ) + n 6 + n 6 ) 7 + n 6 eller (8 ( 7 ) + n n 6 Rita figur. Se omskrivning i facit. cos ±, 9 ) ± + n 6 ) (8 ± ) + n 6 Rita figur. Se omskrivning i facit.... cos cos cos (cos ) cos ± 9 + n 6 dvs. 9 + n 8 (cos saknar lösning). tan + n 8, + n 9 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

11 tan6,6, t + t 9 t ± + t,+, t,, sin 9 + n 6 (sin saknar lösning). Se ledning cos cos + cos Sätt cos t t + t t ± cos, ± 66 + n 6 (cos, saknar lösning). Skriv om: cos cos t + t tt ( + ) t eller t (Rita eventuellt figur) cos ± + n 6 eller cos 9 + n 8 a + b a och b y sin+ cos Avläs ur grafen: y msin( v) där m a + b a + b a b v (grafen förskj. åt höger) y sin cos ( ) + sin( + arctan ) sin( + ) 6 sin( arctan) sin( ) sin( ) 9 eller 8 c) Förläng med cos i alla led: sin cos sin cos + sin( arctan ) Se facit och s -. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

12 sin( 6,6 ) sin( 6,6 ) 6,6 6, 6,6 8 6, Eftersom cos9 är 9 en falsk rot. Division med noll är inte tillåten i ursprunglig ekvation. Se t.e. viktigruta s a + a± 8 arctan, (åt höger) 6 8 arctan, (åt vänster) 6 Grafisk lösning. Periodenr 6. Största värde,. sin, ),,97 + n,6 + n Eller:,6 + n 6,8 + n ), (, 97) + n,,7+ n, + n 8 Ur figur: Perioden: r Amplitud:, r Förskjutning: åt vänster y,sin( + ) 7 cos ±,+ n ±,6 + n Perioden:r Amplitud: r Förskjutning: åt vänster y sin ( + ) 9- Ledningar och lösningar till M, Liber AB

13 Kurvan är förskjuten rutor i höjdled a. Amplituden är b, eftersom kurvans lutning är negativ under första kvartsperioden.,8 eller,9 + n + n 8 6 r r ± r r ± 6 6 r + n r eller 6 r + n r 6 tan r + n r r r eller r + n r eller 8 r + n r 8 Se närmevärde facit. Avläs i grafen. - r r r + eller 6 6 r + n r eller 6 r + n r 7 Grafisk lösning rötter. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

14 Additionssatsen: cos cos + sin sin 6 6 (cos cos sin sin ) 6 6 sin sin sin 6 9 Summan av tre strömmar med samma amplitud förskjutna, dvs, är. 8 Additionssatsen :... sin cos + cos sin + + sin cos cos sin sin cos sin Använd additionssatsen. Se föregående uppgift. Avläs i diagram. f() har två rötter i intervallet. Rita linjen f() en rot. c) Rita linjen + fem rötter. Sätt cos t t t t t 8 t ± t + eller t n r eller r ± + n r Räkna "baklänges". Rita figur. Ansätt Ledningar och lösningar till M, Liber AB

15 r + n r eller r r + n r r sin sin eller r sin sin( r ) T.e. sin ( ),, och, I intervallet:,, 97 6 A mmhg 7 mmhg B mmhg 8mmHg Perioden, s., k,9 ( ) k y 7sin,t+ 8 ( y 7sin t+ 8) ) y / cos 6 W/m / cos W/m W/m ) y / cos, W/m 9 W/m sin cos cos, cos + sin, sin sin cos sin Flytta över och bryt ut sin : sin cos sin sin ( cos ) ) sin + n n ) y min då r cos. Men ej inom intervallet. y då 6 och då 8. Seuppgift. min y ma då cos /. y / cos W/m 6 W/m c) ma cos cos ± + n Ledningar och lösningar till M, Liber AB

16 cos 6 7 cos ±,79 + n ),79 + n,66, 66 tim min kl.. ),79 + n,66,66 +, tim,tim min kl.. d) cos > 7 cos <, ± + n ), + n 9,, tim min kl. 9. ), + n 9, + n 9, + n,8,8 tim 8 min kl..8 9, < <,8 Solinstrålningens intensitet är > W/m mellan kl. 9. och kl..8. 9,78 acos( + ) b 9,8 acos( 9 + ) b 9,78 a+ b 9,8 a+ b b 9,86, a,6 9,8,6 cos( ) + 9,86,8 cos ± 98,87 + n 9, Se facit cos( + ) + ± + n + n n Repetera t.e. sid. Positionen i - respektive y-led kan skrivas: Acos wt, y Asinwt där w r rad/min, A m och t anges i minuter. Tänk avståndet mellan två punkter som en funktion av tiden t: st ( ) ( cos t) + ( sin t) ( cos t) + ( sin t) 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

17 6 sin + sin cos + cos + sin sin cos + cos sin cos + + (sin cos ) sin sin cos cos cos sin sin cos cos 6-66 Se facit 67 + sin + sin cos + sin sin + ( sin )(+ sin ) (+ sin )( sin ) cos + sin sin + sin sin cos cos sin + sin + sin cos n cos + n Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

18 Kapitel Tangeringspunkten är (, ). Tangentens lutning är. y k + m + m m 7 y 7 6 f( + h) f( ) f ( ) lim h h ( + h) + ( + h) ( + )) lim h h + 6h + h + + h lim h h 6h + h + h lim lim 6+ h+ 6+ h h h 7 Rita figur. Vi utgår från punkten (, ), där tangenten har k. Ungefär samma lutning då, f (,),, 8 Utgå från punkten (7; ), där tangenten har k. Ungefär samma lutning då 6,8 f (6,8),,6 + m m y + m m 6 y f( ) f ( ) f () f( ) f ( ) f () g ( ) 8 ln,, g (),, kr 7 kr Se kommentar facit. 8 Linjen har lutningen k 6. y 6 y 8 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

19 ) -aeln har lutningen. y y 9 T min + 78,88 C 6 C t y 78 ln,88,88 y /,8 C/min Nej. () 78 ln,88,88 C/min y ln,8,8, 8 ln,8 ln,8 ln ln,8 7 y,, y (), Tangentens ekvation?, + m m Skär -aeln då y :, + g ( ) + p + p + p p p + p + p 6 p p 6 - Prova! Derivatan (tangentens lutning) är positiv fram till där kurvan har en etrempunkt. När kurvan är > är derivatan negativ B. 9 Kurvan skär y-aeln då. f () cos Tangentens ekvation i (, )? f () sin, dvs k. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

20 Tangentens ekvation: y k + m, där k. y m m Tangentens ekvation: y. g ( ) cos sin g () cos sin k Tangentens ekvation: y k+ m + m Sök m. Sätt in tangeringspunkten i formeln. + m m. y + y sin y k Sök tangeringspunkten: y cos ( ) Lös ut m genom att sätt in k och tangeringspunkten (, ) i formeln y k + m m. y + 6sin sin, + n r eller r (, ) + n r,66,76 Se eempel. c) y ( + ) y ( ) y ( + ) y ( + ) ( + ) ( ) y + ( + ) c) y ( ) y ( 6 e ) c) y sin cos y cos sin y cos( ) Ledningar och lösningar till M, Liber AB

21 c) y sin( ) 6 cos sin y e 6 Inre derivatan, dvs. derivatan av sin cos Den primitiva funktionen till h (), t.e. ( ) + + C c) t.e. + C 7 y (+ ) e y () + Sätt in k och tangeringspunkten i y k + m m. y + 8 y sin y k Sätt sin sin + n 6 + n f ( ) ± 9 9, - + ln(8 + ) 8 ln(8 + ) (8+ ) e 8 8 e min min (,9) 8 T ( ) T () 8 C/min, 8 C/min / / y / 6 6 ln s 9 s min s Ledningar och lösningar till M, Liber AB

22 / / 9 / 6 6 ln / e 9 / / 6 6 / / 6 6 / 9 e C C Sätt sin t t t c) y ( ) / 9 / 6 6 / nämnaren Modellen gäller inte för. / / / y + y + ( + ) + ( ) y y cos cos sin sin cos sin trig. ettan sin sin, Byt tillbaka sin t. sin + n och + n + n sin + n och + n + n + n ( ± + n ) 8 9 f() ( + ) e Tangeringspunkten är (, ). Tangentens lutning (k) i punkten: f () ( + ) e k Sätt in tangeringspunkten och k i ekvationen y k + m + m m y + 6 y e e -aeln har k. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

23 (e e ), e e 6 y ( ) f ( ) + g ( ) y () + 7 y ( ) f ( g ) ( ) + fg ( ) ( ) y () c) y ( ) f ( g ( )) g ( ) y () f () ln y ln ln ln ln e 69 e ( + ) ( ) e y e e + ( + ) e + e e, dvs tangentens lutning, k. Sätt in k i tangeringspunkten i y k + m : + m m y + Tangeringspunkten: ln y (; ) + Tangentens lutning, k: ( + ) ln y ( + ) y () In i y k + m m y 7 Kurvan: sin sin cos cos y sin (sin + cos ) sin sin Linjen: y, dvs. linjen har lutningen. Sätt sin sin sin ± Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

24 r, ± + n r 6 r, r ± + n r 6 r ligger i intervallet f ( ) ( g ( )) e ( ) e f () e e g( ) e g ( ) ± 9 7 ± rötter Se -uppgift. 7 k och m y ty, då För < finns grafen till y under - aeln. Då gäller alltså ( ) + k och m y + ty +, då, För <, finns grafen till y + under - aeln. Då gäller alltså + (+ ) ±, För < < finns grafen till under -aeln. y + för och... + för < < och c) + : + för < : + för < + < : + + < : + + (saknar lösning) : + Grafisk lösning. Rita och t.e. y. i samma diagram. m parallellförskjuter kurvan i y-led. Vi ser att ekvationssystemet har två lösningar då m >, en lösning då m och att det saknar lösningar då <. Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

25 Tangeringspunkten? y lg (; ) k y ln ln Sätt in i ekvationen y k + m: Då m > skär linjen endast den vänstra linjen ( + ). När m < skär linjen endast den högra linjen ( ). Även när m < har ekvationssystemet endast en lösning. nollställen:,, y ( )( ) ( + 8) y y lnk+ ln ln lnk lnk k m m ln ln y ln ln ln y y d) y + 7 Linjen: y + k ±, Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

26 y 8 y () Sätt in tangeringspunkten och k i ekvationen y k + m : + m m 8 Tangentens ekvation: y + 8 Sätt y : 6 f ( ) + f () ln( + ) ln8 Sätt in tangeringspunkten och k i ekvationen y k + m : ln8 + m m ln8 7 Definitionsmängdens gräns är. y-aeln är asymptot. f ( ) f ( ) 8+ f (,) 8 + 8, 8 Lokal minimipunkt f (,), +, minimipunkt i (,; ). Värdemängden? Grafisk lösning värdemängden är alla y. y + ln8 c) 7 Funktionen ln är endast definierad för >. > då < <. Definitionsmängdens gräns är. y-aeln är asymptot. Ledningar och lösningar till M, Liber AB 9

27 Vad händer om? Termen / går mot noll f( ) är också asymptot (fel i facit i första tryckningen). Sätt derivatan för att få fram etrempunkt. Kontrollera ma eller min med hjälp av andraderivatan. Värdemängden: Se figur ovan. Etrempunkter: f ( ) ± Kontrollera andraderivatan för ±. Sätt in i funktionen min- och mapunkt enligt facit. Värdemängden: 8 9 Definitionsmängdens gräns är. y-aeln är en asymptot. Vad händer om? Termen / går mot noll f( ), dvs. - aeln är också asymptot. Derivera. Sätt + t t+ t. t t+ t, ± 6, t ; t ± ± Sätt andraderivatan : 6 Sätt in,, och -: f ( ) negativ ma f ( ) positiv min f ( ) positiv min f ( ) negativ ma Sätt in,, och - i ursprunglig ekvation: Ledningar och lösningar till M, Liber AB

28 maimipunkter: (, 6) och (-; 8) minimipunkter: (-; 6) och (, 8) Ej definierad då cos, dvs. då ± + n Lös ekvationen: Etrempunkter då,,8 och,9 Se kommentar i facit. g () t t + t + t t ( ) Andraderivatan? 8 6 g ( t) t negativ > ma g( ) ( ) + ( ), 6 maimipunkt i ( ;,6) Se även kommentar i facit. 7 Sätt f ( ) sin + cos tan Sätt in i ursprunglig ekvation: f( ),8 f( ),8,9 f( ),8,8 < f() <,8 8 9 ( + ) ( ) f ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ± y ± 6 Kontrollera andraderivatan Ledningar och lösningar till M, Liber AB

29 ; maimipunkt 6 ; minimipunkt 6 A ln ( ln + ) ln e ( ger ej ma are c) ma ma A då e A y e ( e ) lne a.e e ( e ) ( ) a.e a.e e Antag plåt med A r r h+ r r, dvs. mantelarean hos en cylinder. 6 r r h rr Sätt in detta i formeln för V: 6 r r V r rh r r rr r( r r) r r r Sätt V () r r r ± r Vma r r r dm r r r dm dm r r r r v v s ( c) sinc cos c g g cosc c + n c s sin9 9 m 9,8 A + Sätt,, ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) ( ),, ( ) ( ), Ledningar och lösningar till M, Liber AB

30 ( ) ( ) ( ), 8 ± 6 y dy d dt dt 8, 7 6 V rrh Både h och r beroende av t. Uttryck r i h. (6 t) g ( t) 8sin ( ) 8 8 (6 t), sin 8 r tan r h h h h V r r 9 h (6 t) 8 + n t n 8 t n 6 t ( n) 6 (6 t) g ( t), sin 8 (6 t) g ( t), cos ( ) 8 8 (6 t) (6 t) sin cos (6 t) tan 8 8 (6 t),7 + n 8,7 8 6 t + n 8 en lösning t 6 dv h dh r dt dt dh liter/min dt r 8 dm, dm/min mm/min Minustecken i facit eftersom vattendjupet minskar. 6 r V ; A r da da dr dr r r dt dr dt dt dr dt 8 cm /min,7 cm/min 8r 6, cm dv dv dr dt dr dt r 6,,7 cm /min 9 cm /min 6 Kalla horisontell katet för. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

31 r + dr dr d d där är givet. dt d dt dt dr ( ) + d + Uttryck i r r + ± r dr d,866 + dr,866 9 km/h 78 km/h dt 6-6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

32 Kapitel Utnyttja tabell s. Glöm inte att "kompensera" för inre derivata. 8 F ( ) cos( ) F ( ) sin( ) f( ) e F ( ) e + C ( e ) v f( v) + e v v Fv ( ) lnv+ e + C c) f( z) + z Fz ( ) z + C z - f( ) k F ( ) ln k F ( ) k ln 6 ln ln f( ) ( e ) e ( ) ln ln ln F e + C + C lna k lna k f( ) ( e ) e a ( ) k lna k lna k lna k F e + C + C 7 Kurvan avtar fram till f ( ) är negativ fram till och därefter positiv, då kurvan är väande. Eftersom f() är positiv i hela intervallet kommer den primitiva funktionen F() att vara väande i hela intervallet, bortsett från en terrasspunkt i. Se kurvor i facit. 8 och s () cos, m/s cos m/s, m/s st ( ) sin, t+ C s() + C C c) Ledningar och lösningar till M, Liber AB

33 s() sin, m,8 m 6 lnt Ft () t + C ln F + C C 7 () 9 7 a F ( ) cos+ C Ekvationssystem: a cos + C a cos + C C a + C a F( ) cos cos + +, 8 y + y + y + ln + C y() + ln + C C 9- y (ln ) + ln + ln Jämför med: y (ln ) y + + ln + ln y e + C e + C C 6 y() + B B y Acos B sin y () A A y 6 C y C D () 6 + y C D 8 c) + C + C D + C + D C 6 och D 8 9- Ledningar och lösningar till M, Liber AB

34 y a y a In i given ekvation: a + a + a ( ) 6 a a (cos sin ) d sin + cos sin + cos (sin + cos ) +, a.e Var skär kurvorna varandra? sin och cos är fasförskjutna och lika då + n. (sin cos ) d cos sin cos sin ( cos sin ) + + +,8 a.e Sätt... 6,,,+, ± 6,;..., ln,, ln, (,, ln,) a.e ln, +, + ln, a.e,87 ln+ ln, a.e, a.e cos + n + n d Se kommentar facit. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

35 ... sin sin a.e a.e a.e - 6 e e d ln b b (lne ln lnb a.e lnb b e 7 8 a b b a ( b a och b a b a a b b a b d a a b a b b a b a a a b b b b a a a 6b 6b 6b 9 7 (sin(, ) + 8) d cos(, ) 8 +, d ( cos(, ) + 8 +, cos(, )), cos(, ) cos( )) 8, C 7, 7, 8 8 sin + d cos + 8 cos + 8 cos) m /min 6 m /min + 9 v ( t),, sin, t sin, t, t + n t + n,9 v,cos m/s, m/s ma Repetera ev. kap, t.e. s6. Perioden, c) Vändlägen då v(t). 8 cos, t n, t ± +, Ledningar och lösningar till M, Liber AB

36 Skiss cos(,t). Perioden a och b f ( ) 6cos Integralen beräknas med hjälp av digitalt hjälpmedel: integrationsgränserna: t,,8 t +,,8, s( t), cos, t dt,,, sin, t,,, (sin(,,) sin(, (,)) m,, m, 6m, a... cos cos a ( cos ) cosa a± arccos+ n a n a a... cos cos a ( cos ) cosa a± arccos + n a± + n a± + n a ; a s + ( f ( )) d + (6cos ) d 8, l.e. 7 b a g ( ) a b a g ( ) + b b d 96 6 a.e a.e 8 f( ) e, 7, f(,) e,79 f (), f(,) e f() e Kurvan symmetrisk runt. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

37 6 ( ) e d 8 st 9 c),,,8 e d Ja,, e d,,( +,79) A a.e,(,79 +,7) A a.e A ( A + A ), a. e tot 9 Intervallet a till b delas in i n trapetser. 8 7 ( ) e 76 d,8 % 7 ( ) 86 e d st d),, e d, e, e,, ln, 69 min ln T samma svar, / 9, ( e ) d e ( e ) v.e, v.e ; c) 7 7 ( ) 86 e d st 9 Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

38 ( ) d d (6 + ) d ( ) v.e 8, v.e Kurvan y ej def för. Undre gräns: 9 ±, ((9 ) ) d ( ) d (6 8 ) + d 6 6 v.e + 6 d d 6 ) d 6 ( ) ( ) 6 v.e a... e e a e a ( ) v.e ln() a,9... e a ( e + e ) v.e e e a ( ) e e a, a ln ln( ) a Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

39 (sin ) d sin d (sin ) d ( cos ) d sin ( sin ) 9 y ln e y y V dy e dy y e ( e ) v.e Lös ekvationen: cos + sin,6,6 (cos + sin ) d,6 (cos cos sin sin ),6 + + d (+ cos sin ) d,6 (+ sin ) d,6 cos (,6 cos(,6) + ) 8,98 v.e,,+,, V (, ) d,,, ( ) d 6, + d 6, + +, (6, + +, (6,,, + + ) 8 (, + +, + 8, ), Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

40 ;, y y (, ), y dy ( ) dy..., y, 6 A : V (6 y) dy (6 y) dy 6 y y 6y 6y (6 8 ( )) v.e 8 v.e B: Förskjutning av kurvan steg i y-led ger y. y y Dela upp i två areor och "dra bort hålet". dy dy +, y,,, dy dy y y + y y,, ( + +, ) + + ( +,) v.e v.e Kurvan symmetrisk V ( ) d (6 8 ) + d ( + ) v.e ( + ) v.e 6 ( + )v.e 8 6 v.e Förhållandet mellan det två rotationskropparnas volymer Ledningar och lösningar till M, Liber AB 9

41 c)... 8 Kapitel 9 z ; u 6 v ; w 6 w z a + z sant a a+ 6 i ( a 6 i) i falskt c) Im z 6; Im z 6 sant d) 6 6 ( + i)(6 + 8i) 8 + 8i (6 8 i)(6 + 8i) i, +, 8i z w z w, c) d) z + i; z 8 i... 7 z i + i (9 + 6 i+ i ) + i i 8 + i+ i 6 i 6+ i 9- ( + i)( + ai)... ( ai)( + ai) + ai + i + ai ( ai) + ai + i a ( + a ) ( + (a+ ) i ( + a ) Reellt om a+ a ( i) i ( + i)( i) + i Re,6 + +,6 +,6 +,6 9 ± 9 9 ; 6 Ledningar och lösningar till M, Liber AB

42 ( + i)( + i) z ( i)( + i) + i+ i + i + i + i i( i) z i i( i) i i z( i) i i(+ i) z( i) ( i)(+ i) i + i z( + i) i ( i)( i) z ( + i)( i) 6 i i i + 6 ( i) z + i ( + i)( i) 6 i 6 i 9+ z(i+ ) i ( i)( i) z ( + i)( i) 6i i 8 i i i 7 z + i iz( + i) z + i iz z z iz i i( + i) z ( i)( + i) i,, i 9+ z i ( i)( z+ i) z i z + i iz i z z + iz i + i + z( + ) i + i (+ )( i ) i z ( + )( i ) i ( 9i i+ 9,6,i ( ) ( ) + i + i + a + i i+ a a 9 ( i ) ii ( ) + a i+ + + i+ a a Ledningar och lösningar till M, Liber AB

43 ai a z ± + 9 Dubbelrot om a 9 a ± 6 ( a + bi) + a bi + i a + bi + a bi + i a + bi + i a, ; b a + bi + ( a bi) + i a + bi + a bi + i a,; b a + abi b + a + b 8 + 6i a + abi 8 + 6i a ; b eller a ; b - 6 Se eempel s. och figurer i facit. 6 Rita figur. a + bi 6+ i + + i a ; b i Samt + i ( 6 + i) Eller 6 + i ( + i) z a+ i z a + ai ( a ) + ai Rez a a alltid positiv Rez 6 Skissa figur. Avståndet mellan z och i är lika med avståndet mellan z och 6i z i. Algebraiskt: a + bi i a + bi 6i a+ ( b ) i a+ ( b 6) i a + ( b ) a + ( b 6) a + b b+ a + b b+ 6 8b b Se eempel s. 8. p k p k ( ) ( + ) ( ) () 7 k( + ) ( ) Ledningar och lösningar till M, Liber AB

44 76 P( ) 8 k+ k k k 8 k ± + 8 k ; k 77 p ( ) k ( )( ( + i))( z) Se faktaruta s. 7: Alla. z i p() k ( )( i + ) i ( + 9) Se vidare lösning i facit. 8 Se eempel. Ställ upp divisionen på ett sätt som passar dig. T.e ( ) 6 ( ) Testa om är en rot Ja. Utför polynomdivision och se facit Se eempel och facit. 9 Sätt in z i i den givna ekvationen: ( ) ( ) ( ) i + a i + b i 8i a + bi 8 b ; a 9 Polynomdivisionen a a 8. z + az + a z + ger resten Sätt detta uttryck lika med noll och lös ut a. a ; a Alternativ lösning: Faktorsatsen ger ( ) p( ) a+ a a a 8 Vilket ger a ; a 8 a + a + a ± arg z arcsin 6,9 eller 8 6,9, 9 Rita figur. v. Ledningar och lösningar till M, Liber AB

45 Rita figur. Multiplikation med i motsvarar 9 vridning: i(+ i) + i bh + ( ) + A, a.e bh a + b ( + a A a + b Då likheterna z z z z gäller bildar de tre komplea talen inritade som vektorer en liksidig triangel (se figur nedan). r a r cosv cos r b r sinv sin Multiplikation med i: iz (cos( + ) + i sin( + )) r a r cosv cos 6 r b r sinv sin 6 c) Division med i: iz (cos( ) + i sin( )) r a r cosv cos 6 r b r sinv sin 6...,(cos( 8 ) + i sin( 8 )) a,; b, + i, Vinklarna i en liksidig triangel är 6. arg z arg z och arg(z z ) Se regelrutor s. -. Multiplikation z (cos + isin ) z 6(cos6 + isin6 ) z (cos + i sin ) w a ; b c) wu 8(cos + i sin ) wu (cos7 + i sin7 ) z a ; b Ledningar och lösningar till M, Liber AB

46 k k z (cos( ) + isin( )) ( k ) ( k ) z (cos( ) + isin( )) ( k ) cos ( k ) k Rita figur och markera ett negativt reellt tal. t.e. z (cos + isin ) z (cos + isin ) Rita figur och markera ett imaginärt tal. t.e. z (cos + isin ) z (cos + isin ) 8 Skriv om på polär form och utnyttja de Moivres formel. z + r arg z arcsin 6 r r z (cos + isin ) r 9r z (cos + isin ) 6 6 r r (cos + isin ) i z + ( ) r arcsin 6 r r arg z r 6 6 r r z (cos + isin ) 6 6 r r z (cos isin ) 6 6 r r (cos + i sin ) 6 ( + i ) i) + c) z + r arg z arcsin r r z (cos + isin ) z (cosr + isin r) d) z ( ) + r arg z arcsin 6 r r z (cos + isin ) 77r 77r z 8 (cos isin ) r r 8 (cos + i sin ) 8 ( + i ) 8+ 8i i 6 + arg(6 + i) arcsin 8, 6 ( ) (cos(8, 6) sin(8, 6)) z + i 6(cos, + i sin, ) Ledningar och lösningar till M, Liber AB 6

47 r arg z arcsin 8 z 6( i ) 8 8 i + i r arg z arcsin r r (cos + i sin ) (cos r + i sin r) (cosr + i sin r) r r täljare: (cos + i sin ) r r nämnare: (cos + i sin ) a ar ar (cos + i sin ) Uttrycket reellt då: ar sin a Skriv om på polär form: n nr nr z (cos + isin ) 6 6 nr Rez då cos 6 n ±, ± 9, ±... n + 6 k, där k ±, ±, ±... zz ( + 8) i z Skriv om på polär form: z r (cos v+ isin v) och r r 8(cos + i sin ) z 8 r v + n r r r v + n z (cos + isin ) ( + i) i 7 7 z (cos + isin ) 6 6 i ( ) i z på samma sätt i De fyra rötterna ligger på en cirkel med radien och vinkeln mellan dem är. z (cos( + n ) + isin( + n )) (cos + i sin ) Gör på samma sätt för att få fram övriga rötter. Av figuren framgår att ekvationen är av femte graden n och vinkeln mellan de komplea rötterna är. z i z i Ledningar och lösningar till M, Liber AB 7

48 Åtta rötter n 8. Skriv om z på polär form: z (cos + isin ) 8 8r 8r r 6(cos + isin ) r r 6(cos + i sin ) i 6( + ) i Ekvationen är av 8:e graden vinkeln mellan rötterna är. ( ) 8 9 Rita figur. I andra kvadranten finns återfinns rötter med arg,, och 7. r För rötter gäller < arg z < r. 6 Rita in i i figur. Skriv om på polär form: r r z (cos + isin ) r n r r och arg z + 6 Rötterna ger liksidig triangel, dvs. alla vinklar 6 och sidan a ( + i ) ( + i ) i i e e e e i e e i e i e e (cos( ) + i sin( )),,8i i i e e e e i i,i e e e cos(, ) + i sin(, ) i i ee e(cos + isin ) e Ur formelsamling: a ( ) A a.e, a.e Ledningar och lösningar till M, Liber AB 8

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit.

Kapitel 1. y 4. Pythagoras: Se facit. b 2, 4 (3,2; 2, 4) bh A = 2 Q =? Samma metod som i a). Se facit. Sök höjden: h = sin 41 8,2. Se facit. Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson , MA104 Senaste uppdatering 009 04 03 Dennis Jonsson Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll 110... 6 111... 6 11... 6 1130... 7 1141... 7 114... 8

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Matematik E (MA1205)

Matematik E (MA1205) Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND

Läs mer

Planering för kurs C i Matematik

Planering för kurs C i Matematik Planering för kurs C i Matematik Läromedel: Holmström/Smedhamre, Matematik från A till E, kurs C Antal timmar: 85 (70 + 15) I nedanstående planeringsförslag tänker vi oss att C-kursen studeras på 85 klocktimmar.

Läs mer

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = 27 36 + 3 1+ 4 1 = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9 Ellips Integralkalkyl lösningar till övningsproven uppdaterad 9.5. Prov c a b 8+ d / 8 + / + 7 6 + + + + 5 d / 5 5 ( 5 5 8 8 + 5 5 5 6 6 5 9 8 5 5 5 5 7 7 5 5 d π sin d π sin d u( s s' π / cos U( s π cos

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat 2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x = UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 2004 02 4 Skrivtid: 0-5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande

Läs mer

Teorifrå gor kåp

Teorifrå gor kåp Teorifrå gor kåp. 2.2 5.2 Funktioner och dess grafer 1) Vad är en funktion? 2) Vad är den naturliga definitionsmängden ge några eempel 3) Vad är en värdemängd? 4) Vad är en sammansatt funktion? 5) Varför

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel

Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Experimentversion av Endimensionell analys 1

Experimentversion av Endimensionell analys 1 Matematikcentrum Matematik Eperimentversion av Endimensionell anals Alternativ eamination Under lp 999 kommer för Bi 99, L 99 och V 99 att ges en något modifierad kurs i Endimensionell anals. Kursen avviker

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde)

När vi ritar grafen kan vi bestämma om funktionen har globalt maximum ( =största värde) GRAFRITNING För att skissera (rita) grafen till en funktion y f () undersöker vi först några viktiga egenskaper: definitionsmängd, eventuella skärningspunkter med och y-aeln, gränsvärdena f ( ), f ( )

Läs mer

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans.

Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Del B Del C Provtid Hjälpmedel Uppgift 1-6. Endast svar krävs. Uppgift 7-15. Fullständiga lösningar krävs. 150 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal. Kravgränser Provet består

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del

NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS E VÅREN Tidsbunden del Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT

Läs mer

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier

G VG MVG Programspecifika mål och kriterier Betygskriterier Matematik C MA10 100p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA10 är en nationell kurs oc skolverkets kurs- oc betygskriterier finns på ttp://www.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016 SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper Sommarmatte del 2 Matematiska Vetenskaper 7 april 2009 Innehåll 5 Ekvationer och olikheter 1 5.1 Komplea tal.............................. 1 5.1.1 Algebraisk definition, imaginära rötter............. 1

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.08.09 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA24 Grundläggande kalkyl ÖVN2 Lösningsförslag 202.06.5 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Modul 4 Tillämpningar av derivata

Modul 4 Tillämpningar av derivata Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2015/2016 Modul 4 Tillämpningar av derivata Denna modul omfattar kapitel 4 i kursboken Calculus av Adams och Essex och undervisas på tre föreläsningar,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1 TM-Matematik Mikael Forsberg Pär Hemström Övningstenta Envariabelanalys ma034a ovnt--vt0 Skrivtid: 5 timmar. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER

VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER. STATIONÄRA(=KRITISKA) PUNKTER. KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER. INFLEXIONSPUNKTER Stationära och infleionspunkter VÄXANDE OCH AVTAGANDE FUNKTIONER STATIONÄRA(KRITISKA) PUNKTER KONVÄXA OCH KONKAVA FUNKTIONER INFLEXIONSPUNKTER 3 VÄXANDE och AVTAGANDE FUNKTIONER i) Om funktionen y f ()

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr.

Kapitel , 2102 Exempel som löses i boken a) Löneökning per månad: 400 kr. b) Skattehöjning per månad: 5576 kr 5376 kr = 200 kr. Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Kapitel.1 101, 10 Eempel som löses i boken. 10 Löneökning per månad: 400 kr Förändring i årslön = 1 400 kr = 4800 kr OBS! Fel

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x). Konveitet En funktionsgraf, som inte är en rät linje, böjer ofta av åt ett bestämt håll i ett visst intervall. För en funktion som är deriverbar två gånger kan man med hjälp av andraderivatan ta reda på

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

Läs mer

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011

ÖVNINGAR I MATEMATIK. Göran Forsling. 14 april 2011 ÖVNINGAR I MATEMATIK Göran Forsling 4 april 0 Förord. Tänker du börja studera på ett tekniskt/naturvetenskapligt program till hösten? Vill du ge dina studier en flygande start? I stort sett vilken teknisk/naturvetenskaplig

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har

Läs mer

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER 2015-09-02 GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER Nils Karlsson INDEX MATEMATISKA TAL...2 Värdesiffror...2 Absolutbelopp...3 Skala...3 STATISTIK...4 Lägesmått...4 Spridningsmått...4 Normalfördelning...4

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål Lärmål för godkänt Funktion, gränsvärde, kontinuitet, derivata. Förklara begreppen funktion, definitionsmängd och värdemängd, och bestämma (största möjliga)

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag 0.03.30 4.30 6.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation Mälardalens ögskola Akademin för undervisning, kultur oc kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0..08 08.30 0.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkl ÖVN Lösningsförslag 0.04.0 4.0 6.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer

Arcusfunktioner ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER. Potenser och logaritmer ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER Ärligt talat, så tvivlar jag på att de här kommer att upplevas som mycket lättare än gårdagens, men jag tycker ändå att de är värda att ägna litet tid åt (när man

Läs mer

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir

en primitiv funktion till 3x + 1. Vi får Integralen blir Avsnitt, Integraler 6b Beräkna integralen 4 + 3 Integranden är en rationell funktion som vi kan skriva som 4 + 3. 4 3 + 3 + 3. Vi delar upp integralen i två delar och integrerar delarna var för sig, 4

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem Räta linjens ekvation & Ekvationssstem Uppgift nr 1 Lös ekvationssstemet eakt = 3 + = 28 Uppgift nr 2 Lös ekvationssstemet eakt = 5-15 + = 3 Uppgift nr 8 Lös ekvationssstemet eakt 9-6 = -69 5 + 11 = -35

Läs mer

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)

1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p) TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area?

3. Hur snabbt förändras diametern av en cirkel med avseende på cirkelns area? Dagens 30 aug: a, 2, 3, 5, 6.. Låt Q vara antalet producerade enheter. Bestäm a. Marginalvinsten för vinstfunktionen π(q) = 3Q + Q + 2. Marginalintäkten för intäktsfunktionen R(Q) = ( + 2Q) 3/2. c. Marginalkostnaden

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Lösningsmanual Endimensionell analys

Lösningsmanual Endimensionell analys Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, December Lund Oscar Omnia mecum porto mea Tillägnas Mina vänner I Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1 SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 2 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte2 Studiematerialet

Läs mer

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90 2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar

Läs mer