Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Lösningar till Matematik 3000 Komvux Kurs D, MA1204. Senaste uppdatering Dennis Jonsson"

Transkript

1 , MA104 Senaste uppdatering Dennis Jonsson

2 Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D, MA104 Fler lösningar kommer fortlöpande. Innehåll

3 a) d) TEST 1:A, UPPGIFT b) (Eempel 1) (Eempel ) TEST :1A, UPPGIFT TEST :1A, UPPGIFT 1 a) TEST :1A, UPPGIFT 1 b)

4 TEST :A, UPPGIFT

5 (Alternativ 1) (Alternativ )

6 ,75 tan v 0,75 tan v Två fall: 0,75 0,05 1 0,75 0, ,4 Svar: Längden AB () skall ligga mellan 9,4 m och 15 m. 111 Testar båda trianglarna med Pythagoras sats: ABC: (56^+33^)^(1/) 65 DEF: (45^+8^)^(1/) 53 Av detta ser vi att endast triangeln ABC är rätvinklig. Alltså har Moa rätt och Per fel. (Observera att X^(1/), roten ur.) 11 tan 53 9,5/AD AD 9,5/tan 53 [9,5/tan 53 7, ] tan 37 AB/AD AB AD tan 37 AB 7, tan 37 [7, tan 37 5, ] AB är c:a 5,4 m

7 tan α 5/ [ arctan(5/) 68, ] tan β 3/8 [arctan(3/8) 0, ] arctan(3/8)+arctan(5/) 88, För att diagonalen i den nedre rektangeln skall vara en rät linje, Så skall summan av dessa båda tangensuttryck bli 90 Eftersom inte detta uppfylls så ser vi att vi är utsatta för en synvilla Värdeuttryck Beräknat sin(10) 0, sin(0) 0, sin(30) 0,5 sin(40) 0, sin(50) 0, sin(60) 0, sin(70) 0, sin(80) 0, cos(90 10) 0, cos(90 0) 0, cos(90 30) 0,5 cos(90 40) 0, cos(90 50) 0, cos(90 60) 0, cos(90 70) 0, cos(90 80) 0, sin v cos (90 v)

8 8 114 a) (cos(1))^+(sin(1))^ 1 (cos(10))^+(sin(10))^ 1 (cos(30))^+(sin(30))^ 1 (cos(90))^+(sin(90))^ 1 (cos(180))^+(sin(180))^ tan 60 3 FB 3 tan45 1 DF 3 3 sin 60 CF 1 sin 45 CD Vinkeln CDF 45 grader Vinkeln DFC grader Vinkeln DCF 15 grader 1178 tan v 8 1, fås från bilden 8 v tan [ arctan(8/1) 33, ]

9 OBS! Vinkeln är I grader (DEG) sin 87, ( + 5) sin 87, 73 sin 87, sin 87, 73 5 sin 87,73 sin 87,73 5 sin 87,73 (1 sin 87,73) 5 sin 87,73 1 sin 87,73 (5 sin(87,73))/(1 sin(87,73)) 6366, km

10

11 11 118

12 tan 1 () arctan

13

14 a) a ger: 36/90 0,4 Jag beräknar sin 36 enligt given formel: (11 0,4 3 0,4^3)/(7+0,4^) 0, Detta ger att sidan som markerats med 58,771 m b) sin(36) , Detta ger att sidan som markerats med 58,779 m Diff: 8 mm

15 15 11

16 16 113

17 17 114

18 18 10

19 19 11 A 180 (75+40) 65 BC (13*sin(65))/sin(40) Arean (BC 13 sin(75 ))/ ((13*sin(65))/sin(40)*13*sin(75))/ 115, km² 1 km² m² 1 ha m² 1 km² 100 ha Svar: Skogsområdet är c:a ha 135 sin A sin 30 sin A,0 1,,0 sin 30 1, (,0 sin(30))/1, 0, Detta ger möjliga vinklar på A: Vinkel 1: arcsin((,0 sin(30))/1,) 56, Vinkel : , , Av figuren ser vi att det är vinkeln 56,4 som avses. Vinkeln B: 180 (30+56,4) 93,6 Sträckan AC beräknas: sin 93,6 1, sin 30 1, sin 93,6 sin 30 (1, sin(93,6))/(sin(30)), ,4 Svar: Staget bör vara,4 m långt.

20 0 136 Jag ritar en triangel för att se. Man ser redan nu av bilden att något är fel. Vad? Använder mig av sinussatsen: sin B 3 sin103 3 sin103 sin B sin103 B sin 1 7 Om jag slår detta på räknaren, så svarar den ERROR. Detta beror helt enkelt på att de givna värdena inte ger en triangel sin 95 A sin 1 34,4 740 B 180 ( ,4) 50, 6 Sträckan AC AC sin 50,6 AC 574, sin 50,6 sin 95 sin 95 Beräkning med rjcalc: (740*sin(50,6))/sin(95) 574, Svar sträckan AC är 570 meter.

21 1 140

22 141

23 3 157

24 4 160

25 5 160 Börja med att ta reda på AB, BC och AC AB , 10 BC 67, ,5 AC 67, ,5 Vi vill veta vinkeln A Använd cosinussatsen BC AB + AC AB AC cos A ( 6355,5) ( ) + ( 443,5) ,5 cos A 6355, , ,5 cos A ,5 6355,5 cos A -0, ,5 Slå på räknare: [( ,5 6355,5)/(*(33994)^(1/)*(443,5)^(1/)) 0, ] A cos 1 (- 0, ) Slå på räknare: arccos( 0, ) 95, [ cos ] 1 arccos A 95,1 Svar: Vinkeln A är c:a 95,1

26 6 161 * CN ( AN ) + ( AB) + ( BC )

27 7 17

28

29

30 30

31 a)

32 d)

33 Lös ekvationen cos cos( 30 ) ± ( 30 ) + n 360 Fall n n 360 Fall ( 30 ) + n n n n sin 4 3sin Sätt t Skriv om ekvationen 5 sin t 3sint 5 sin t 3sint 0 3 sin t sin t 0 5 Skriv om enligt formeln för dubbla vinkeln 3 sin t cost sin t 0 5 Bryt ut sin t 3 sin t ( cos t ) 0 5

34 34

35

36 36 TEST 1:A, UPPGIFT 5

37 b)

38 (Eempel 1)

39 (Eempel )

40

41 41 160

42 4 161

43 43 16 a) Skriv om uttrycket y 6 sin + 8 cos m tan v v tan 1 53, Svar: y 10 sin( + 53,1 ) på formen y m sin( + v).

44 44 TEST :1A, UPPGIFT 10

45 45 TEST :1A, UPPGIFT 1 a)

46 46 TEST :1A, UPPGIFT 1 b)

47 47 37 a) π cos t π 5000cos t π cos t π cos t 0,04 6 Detta ger alternativ I och II I π 6 t 1, t ( 1, ) π t 3,1 II π π t 1, π t π (1, ) 6 6 t ( π 1, ) π t 8,9

48 48 37 b) π π cos t cos π t π 0, Detta ger alternativ I och II I π t π 0, π 10 t 0, π t 7, t 8,0 II π π t 0, π π t + 0, π t π 0, π t 0, π t, t,0

49 49 38 a) NEJ! sin är detsamma som b) JA! (sin ) 1 tan är detsamma som arctan 1 1 (tan ) är detsamma som tan

50 50 39

51 51 40

52 5 41

53 s h 3 π v r 1, 3 3 Bågen b v r b π 1,3,7 3 Svar:,7 cm (Se sid 100) 47 b v/360 pi r 0,5/360 pi , [ 3 10³] 48

54 π π 5,9 rad Jordens radie + satellitens höjd 7600 km. Detta är radie i den cirkel på vars rand satelliten färdas. Diametern, d är 7600 km 1500 km Omkretsen, o d π 1500π km Tiden är 90 min, vilket är 1,5h Hastigheten är sträcka/tid Detta ger Hastigheten 1500π km / h 31834, km/ h 3000km/ h 1,5

55 55 5 a) 60 km/h 1 km/min 1000 m/min Radien är 0,3 meter. Det betyder att vinkelhastigheten är 1000/0,3 3,3 10³ 3 b) Hjulets omkrets är 0,6 π π meter / π 530 varv 5

56 56 53 Se lösning i boken sid 53 54

57 cos( + h) cos h cos cosh sin sinh cos h cosh 1 sinh cos sin h h sin OBS! cos( a + b) cos a cosb sin asin b Se formelsamling

58 58 Kommentar: När h 0 så: cosh 1 0 h sinh och 1 h Se sid. 10 i boken a, < 0 f ( ) cos, 0 a) cos + a där 0 cos a a 1 Svar: Ja det blir en sammanhängande graf om a 1.

59 59 b) f () 1 där < 0 [rät linje, + a] f (0) 0 eftersom sin 0 0 OBS! y cos har derivatan y sin Svar: Nej

60 60 317

61

62

63 63 343

64 64

65 65 344

66 66

67 67 345

68 68 347

69 69 TEST :A, UPPGIFT 4

70 a) y e y' 1 e e (första derivatan) y' ' 4 e e (andra derivatan) y' '' 3 8 e e (tredje derivatan) Vi ser av mönstret att den n:te derivatan får följande utseende: y ( n) n e b) 1 1 y y ' ( 1 1) y'' 3 y''' 3 4 ( 1) ( 1) y IV 1 5 ( 1) Mönstret ger följande utseende på den n:te derivatan: y ( n) ( 1) n n! ( n+ 1) Obs! n! Kallas n fakultet och fungerar på följande sätt: E: 4! 4 3 ( 1) 314 Att slå på TI 84 : MATH + nderiv((000)/( *e^(-0,5)),X,1) + ENTER Resultat i ögat på räknaren: 139,764547

71 71 Lösningar till Matematik 3000 Komvu Kurs D 31 1 ) ( f + h h h f 1 ) ( 1 0 ) ( Multiplicera täljare och nämnare med ( h) h h h h h h f ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( h h h h h h h h f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( h h h h h h h h h h h h h h h f Om h går mot 0 (noll) så får vi: 3 4 ) ( ) ( f Svar: Derivatan till 1 går mot 3 då h går mot 0.

72

73 73 317

74

75 b) f ( ) e f '( ) 4e + e 4 e 4 + e 4 4 e (4 + ) ( 4 + ) ,5 OBS! e 4 kan inte bli 0 (noll) för något.

76 a) A ( t) ( + cost)(3 + sin t) A '( t) ( + cost)(cos t) + (3 + sin t)( sin t) A '( t) ( + cost)(4cos t) + (3 + sin t)( sin t) A' ( t) 8cos t + 8cost cos t 6sin t 4sin t sin t b) A (5) 8cos(10)+8cos(5) cos(10) 6sin(5) 4sin(10) sin(5) 4, ,9 OBS! Glöm ej att ha miniräknaren inställd på radianer!

77 a) ( f + g) ( f 4 g) Enligt kvadreringsreglerna: f + fg + g ( f 4 fg + fg 4 fg 4 4 fg + g fg f g ) f + fg + g 4 f + fg g b) y f g ( f + g) ( f g) y {Se uppg 314 a)} 4 Derivering enligt produktregeln: 1 y ' (( f + g)( f ' + g') ( f g)( f ' g' ) 4 Hur kan derivatan till Vi testar: z ( f + g) ( f + g)( f + g) ( f + g) vara detsamma som ( f + g)( f ' + g')? z ' ( f + g)( f ' + g') + ( f + g)( f ' + g' ) {Enligt produktregeln} ( ff ' + fg' + gf ' + gg') + ( ff ' + fg' + gf ' + gg' ) ( ff ' + fg' + gf ' + gg') ( f + g)( f ' + g') Gör på samma sätt för att kontrollera att Vi fortsätter: 1 y ' (( f + g)( f ' + g') ( f g)( f ' g' ) 4 y ' ( ff ' + fg' + gf ' + gg') ( ff ' fg' gf ' + gg' ) 4 1 y ' ( ff ' + fg' + gf ' + gg' ff ' + fg' + gf ' gg' ) ( f g) är detsamma som ( f g)( f ' g' ).

78 78 1 y ' ( fg' + gf ' + fg' + gf ') 1 y ' ( fg' + gf ') y ' fg' + gf '

79 a) y tan sin cos y tan Här använder vi oss av trigonometriska ettan. 1 cos cos b) 1 cos cos cos 1 cos 1 vsv. y cos 1 1 (cos ) 1 y y' (cos) 3 ( sin ) sin y y' OBS! 3 cos y sin cos sin sin sin y' y' 3 cos cos cos sin 3 cos Förkortning med sin ger y' cos 1 3 cos Multiplicering med cos ger 1 ' cos y vsv.

80

81

82 I y ln II y' y Derivera I enligt produktregeln: 1 y' + 1 ln 1+ ln II VL y' y Ersätt y med ln och y med 1+ ln. Då får vi ( 1+ ln ) ln + ln ln HL vsv. 3169

83

84

85 85 317

86

87

88

89

90 (Alternativ 1)

91 (Alternativ )

92 a) Jag har funktionen y. Jag skriver om den så att den går att skriva in i programmet + 1 RJGRAPH. (Tanka ned gratis från Dennis KunDa sida) y 4*(^+1)^( 1) [funktionen] Jag deriverar denna funktion och får då Y 4*(^+1)^( )* 48(^+1)^( ) [första derivatan] Jag deriverar även denna funktion och får då (Produktregeln) Y 48( (^+1)^( 3)*)+( 48(^+1)^( ) [andra derivatan] 48( 4(^+1)^( 3))+( 48(^+1)^( ) 19*^*(^+1)^( 3) 48*(^+1)^( ) Kan även skrivas: 144*(+)*( )/((^+1)^(3)) Jag låter programmet rita upp dessa kurvor: Av grafen framgår att funktionen att när andraderivatan är negativ så är funktionen skålad nedåt. I detta fall i intervallet: < <

93 93 33 a) Kalla talen för och N (eftersom talens summa är N) 0 och 0 ger Alltså är: 0 s summan av de båda talens kvadrater s + ( N ) + N N + N + N Jag deriverar s: s' 4 N s ' 0 ger 4 N 0, N Jag deriverar igen (för att få andra derivatan): s' ' 4 Fyra är positivt, vilket medför att funktionen s har ett minimivärde. ( Glad mun ) Jag sätter in N/ i s för att få reda på funktionens lägsta värde: N N N s N + N N 4 N + N N N + N N N Funktionens lägsta värde är. Största värde fås vid s(0) s(n), vilket är värdet i ändpunkterna. Funktionens största värde är S(N) N² [ s ( N) N N N + N N ] a) N² b) N²/

94 94 34 a) sin v 1sin v [uttryck för kortsidan] 1 z cos v z 1cosv [uttryck för halva långsidan] 1 Hela långsidan z 1cosv Area kortsida långsida A 1 s1sin v 1cosv 1 1 sin v cosv 144 sin v cosv 144 sin v [dubbla vinkeln] OBS! π 0 < v < b) Med Pythagoras sats: z 144 Hela långsidan z 144 Area kortsida långsida A OBS! 0 < < 1 c) Största area Uttryck för arean: 144 sin v Största arean fås där sin v 1 M a o är den största arean 144 cm²

95 95 35

96 96 37

97

98 98 330

99 99 33 y e > 0 a) y 0, 4 e 0,4 3 e 0,4 Jag ritar grafen till denna funktion med min TI 84 och tracar sedan fram svaret. 1,1 eller 6, 5 333

100 100

101 101 Höjden är alltså 1

102 Punkten,1 ligger på grafen. Det betyder att: 3 a b e 1 3 a e b b 3 b a e 3 e a a e 3 b e b b 3 e ( upphöjt till minus ett genom ) y '

103 Pythagoras sats ger: A: y + u (16 ) + z B,C: u ( u z) + 16 Lös ut z² ur B D: z 3 16 Lös ut u ur C E: u z +16 z Det ger ( z + 16 ) F: u 4z Sätt in z 3 16 i F u ( ) 4(3 16 ) Efter diverse förkortningar fås u Sätt in u² i A y ( 16) den 9 januari :18:05}

104 104 3 y, 8 < Vi letar reda på minsta värde på y² Sätter y² q och söker minsta värde för q 3 q, 8 < Gör ett förtydligande här! q 3 ( 16) 1 För att derivera denna sammansatta funktion delar jag upp den i f() och g() Derivering utförs enligt produktregeln (sid. 18) f ( ) 3 1 g( ) ( 16) 16 f '( ) 6 g'( ) ( 16) q' 3 ( ( 16) 1 ) + ( 16) 1 6 q' 3 ( 16) q' 3 ( 16) q' ( 16) ( 16)

105 105 q' ( 16) ( 16) ( 16) 8 ( 1) ( 16) q 0 om 1 i det givna intervallet. [ 8 < 16 ] Med hjälp av att studera tecken av q ser vi att det blir ett maimum. Svar: 1 ger y min Graf av derivatan, q & // Dennis Jonsson

106 y 5 e y' 10e y ' + y 0 ger 10e + (5 e ) 0 10e + 10 e 0 v.s.v 3303 y ' y y y e y' e + e 1 e + e e ( + 1) ( e + e ) y y e + e y y e ( + 1) y y Sätt in: y y ( + 1) y y y + y y y y y v.s.v e i e ( + 1) y y

107

108 Ledning: Enligt formeln för dubbla vinkeln: cos cos 1 ger 1+ cos cos Alltså kan funktionen skrivas så här: 1 cos f ( ) + 1 sin sin F ( ) Är sin F ( ) en primitiv funktion till 4 cos f ( ) Vi testar genom att derivera sin F ( ) 4 cos cos 1 cos cos F '( ) vsv. 4 4

109

110

111

112 11 348

113

114

115

116

117

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Sidor i boken Figur 1:

Sidor i boken Figur 1: Sidor i boken 5-6 Mer trigonometri Detta bör du kunna utantill Figur 1: Triangeln till vänster är en halv liksidig triangel. Varje triangel med vinklarna 0,60,90 är en halv liksidig triangel. Hypotenusan

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a 2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a Ett plan är en yta som inte är buktig och som är obegränsad åt alla håll. På ett plan kan man rita en linje som är rak (rät). En linje är obegränsad åt båda

Läs mer

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x 23.6. cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61. Föreläning 8 Problem hämtade från boken idan 15 A 510 a) Rätvinklig triangel med vinkel och katet given. Mottående katet efterfråga. tan4 = x 5 x = 5tan 4 Svar:.6 cm x.6 A 510 b) Vinkel och hypotenuan

Läs mer

3.1 Derivator och deriveringsregler

3.1 Derivator och deriveringsregler 3. Derivator och deriveringsregler Kort om derivator Eempel derivatans definition deriveringsregler numerisk derivering andraderivatan På höjden km kan lufttrcket mbar beskrivas med funktionen = 03 e 0,

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Matematik och modeller Övningsuppgifter

Matematik och modeller Övningsuppgifter Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

Repetition inför kontrollskrivning 2

Repetition inför kontrollskrivning 2 Sidor i boken Repetition inför kontrollskrivning 2 Problem 1. I figuren ser du två likformiga trianglar. En sida i den större och motsvarande i den mindre är kända. Beräkna arean av den mindre triangeln.

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 2006-09-04 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda, båglängd, vinkel, grader, radianer, sinus, cosinus,

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller 5 september 2005 1 Första veckan Geometri med trigonometri Veckans begrepp cirkel, cirkelsegment, sektor, korda båglängd, vinkel, grader, radianer sinus, cosinus,

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp motsvarande

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 KTH Matematik 5B114 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005 1. a) Om två av sidorna i en triangel är 5 meter respektive 6 meter. Vilka längder på den tredje sidans längd

Läs mer

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π 48 a sin x + cos x = cos x Trigonometriska ettan sin v + cos v = 1 1 = cos x cos x = 1 x = ±cos 1 (1) + n π x = 0 + n π x = n π b sin x cos x = 1 Multiplicera båda led med sin x cos x = 1 sin x cos x =

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 2001 3. Skolverkets svar, #1 #6 9. Några lösningar till D-kursprov vt 2001 10 JENSENvuutbildning NpMaD vt för Ma4 (4) VERSION UNDER ARBETE. Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D VÅREN Skolverkets svar, # #6 9 Några lösningar till D-kursprov vt Digitala verktg är

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Repetitionsuppgifter. Geometri

Repetitionsuppgifter. Geometri Endimensionell anals, Geometri delkurs B1 1. Fra punkter A, B, C och D ligger pa en cirkel med radien 1 dm. Se guren! Strackorna AD och BD ar lika langa. Vidare ar vinkeln BAC och vinkeln ABC 100. D Berakna

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter

Läs mer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationer & Funktioner Ekvationer Ekvationstyp : Ekvationer av första graden När vi löser ekvationer av första graden använder vi oss av de fyra grundläggande räknesätten för att beräkna x. Vid minus

Läs mer

LNC Lösningar

LNC Lösningar LNC022 2013-05-27 Lösningar 1. (a) På en vägskylt står det att vägens lutning är 12 %. Om detta innebär att höjdskillnaden är 12 % av den körda vägsträckan, vilken är då vägens lutningsvinkel? (Rita figur.)

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Sidor i boken 8-9, 90-93

Sidor i boken 8-9, 90-93 Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta

Läs mer

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin d) cos ( v) a Kapitel 7 Rita t.e. figur enligt s 9 fel. Rita t.e. figur enligt s 9 rätt. c) Huvudräkning: 8 6 Tredje kvadranten fel. d) tan v tan (v + n 8 ) rätt 8 Pythagoras: motstående katet sin v /,6

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 6 feb 16 (prövningstillfälle ) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och KTH Matematik 1 5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren 23-24, 24-25 och 25-26 26-8-31 1 Geometri med trigonometri Övning 1.1 [5B1134:Modell:1] C =

Läs mer

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik D MA04 00p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA04 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är vår

Läs mer

Lösningar kapitel 10

Lösningar kapitel 10 Lösningar kapitel 0 Endimensionell analys Fabian Ågren, π Lösta uppgifter 0............................................... 0............................................... 0.6..............................................

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

x 1 1/ maximum

x 1 1/ maximum a), 1 1 Definitionsmängd: 1,1 En funktion kan ha lokal maximum eller lokal minimum endast i punkter x av följande tre typer: (i) stationära punkter (punkter där 0) (ii) ändpunkter till (endast de ändpunkter

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

Tentamen i Envariabelanalys 1

Tentamen i Envariabelanalys 1 Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,

Läs mer

Geometri och Trigonometri

Geometri och Trigonometri Kapitel 5 Geometri och Trigonometri I detta kapitel kommer vi att koncentrera oss på de trigonometriska funktionerna sin x, cos x och tan x. 5. Repetition Här repeteras några viktiga trigonometriska definitioner

Läs mer

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner TATM9: Föreläsning 8 Arcusfunktioner Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det inte att hitta en invers

Läs mer

MATMAT01b (Matematik 1b)

MATMAT01b (Matematik 1b) Sida 1 av 6 MATMAT01b (Matematik 1b) ATT KUNNA TILL PROV MATMAT01b1 - Öka, respektive minska temperaturer - Skriva tal skrivna med text med siffror, Ex två tiondelar = 0,2 - Hitta på två bråk som ger en

Läs mer

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Eaminator: Jan Eriksson sin( + ) sin + + n 6 LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I MATEMATIK MAA1 och MMA1 Basutbildning II i matematik

Läs mer

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS

Matematik 3 Digitala övningar med TI-82 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 Digitala övningar med TI-8 Stats, TI-84 Plus och TI-Nspire CAS Matematik 3 digitala övningar med TI-8 Stat, TI-84 Plus och TI Nspire CAS Vi ger här korta instruktioner där man med fördel kan

Läs mer

Övningsuppgifter omkrets, area och volym

Övningsuppgifter omkrets, area och volym Stockholms Tekniska Gymnasium 01-0-0 Övningsuppgifter omkrets, area och volym Uppgift 1: Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur. 4 7 Uppgift : Beräkna arean och omkretsen av nedanstående figur.

Läs mer

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG)

ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) ÖVNINGSTENTOR I MATEMATIK DEL C (MED LÖSNINGSFÖRSLAG) 0 ÖVNINGSTENTAMEN DEL C p Beräkna sidan AC p Bestäm f ( 0 ) då f ( ) ( ) p Ange samtliga etrempunkter till funktionen f ( ) 6. Ange även om det är

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.0.05 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad 146 a v = 38 v = 38 omvandlingsfaktor rad v = 38 180 rad v = 0.663 rad v 0.7 rad c v = 90 v = 90 omvandlingsfaktor rad v = 90 180 rad v = 5.061 rad v 5.1 rad b v = 196 v = 196 omvandlingsfaktor rad v =

Läs mer

geometri ma B 2009-08-26

geometri ma B 2009-08-26 OP-matematik opyright Tord Persson geometri ma 2009-08-26 Uppgift nr 1 Uppgift nr 3 26 13 z s Hur stor är vinkeln z i den här figuren? Uppgift nr 2 Hur stor är vinkeln s i den här figuren? Uppgift nr 4

Läs mer

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:

Matematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9: Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden Johan Thim augusti 0 Inverser till trigonometriska funktioner Om vi ritar upp funktionen y = sin ser vi följande: y y = sin Självklart går det

Läs mer

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan) Det som står i den här lathunden ska du kunna till provet. Du ska kunna ställa upp och räkna ut liknande tal som de nedan: a) 39,8 + 2,62 b) 16,42 5,8

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.

MATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel. MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,

Läs mer

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna.

REPETITION 2 A. a) Är sträckan proportionell mot tiden? b) Beräkna medelhastigheten under de fem första sekunderna. REPETITION Hur mcket är a) 9 b) 00 0 c) 00 På en karta i skala : 0 000 är det, cm mellan två små sjöar. Hur långt är det i verkligheten? Grafen visar hur långt en bil hinner de se första sekunderna efter

Läs mer

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Lösningsförslag till naltävlingen den 0 november 004 1. Låt A, C vara de två cirklarnas medelpunkter och B, D de två skärningspunkterna. Av förutsättningarna

Läs mer

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Prövning matematik 4 april 06 (prövningstillfälle 6) Namn Klass Personnummer (ej fyra sista) Mobiltelefonnummer e-post SKRIV TYDLIGT! Alla papper ska förses med namn och återlämnas Skriv tydligt. Oläsliga

Läs mer

PRÖVNINGSANVISNINGAR

PRÖVNINGSANVISNINGAR PRÖVNINGSANVISNINGAR Prövning i Matematik D Kurskod Ma 104 Gymnasiepoäng 100 Läromedel Prov Muntligt prov Inlämningsuppgift Kontakt med examinator Övrigt Valfri aktuell lärobok för kurs Matematik D t.ex.

Läs mer

Svar och anvisningar till arbetsbladen

Svar och anvisningar till arbetsbladen Svar och anvisningar till arbetsbladen Repetitionsmaterial (Facit) Anders Källén Notera att detta är första versionen av svaren Både felräkningar och feltrck kan förekomma! Fingeröfningar Övning,, c) 0,

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng

HF0021 TEN2. Program: Strömberg. Examinator: Datum: Tid: :15-12:15. , linjal, gradskiva. Lycka till! Poäng ENAMEN Kursnummer: Moment: Program: Rättande lärare: Eaminator: Datum: id: Hjälpmedel: Omattning oc betgsgränser: HF Matematik ör basår I EN ekniskt basår Marina Arakelan, Jonass Stenolm & Håkan Strömberg

Läs mer

Tänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem.

Tänk nu att c är en flaggstång som man lutar och som dessutom råkar befinna sig i ett koordinatsystem. Detta tänker jag att man redan vet: sin α= b c och cosα=a c och alltså också att för vinkeln. b=c sin α och a=c cos α Hypotenusan gånger antingen sinus eller cosinus Del 1 Tänk nu att c är en flaggstång

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden är att nöta in undersökandet av polynomfunktioner. 1 (Bokens nr 3204) Ett straffkast i basket följer ekvationen h(x)

Läs mer

Finaltävling i Lund den 19 november 2016

Finaltävling i Lund den 19 november 2016 SKOLORNS MTEMTIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Lund den 19 november 2016 1. I en trädgård finns ett L-format staket, se figur. Till sitt förfogande har man dessutom två färdiga raka

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2 DERIVATA Läs avsnitten 6.-6.5. Lös övningarna 6.cd, 6.2, 6.3bdf, 6.4abc, 6.5bcd, 6.6bcd, 6.7, 6.9 oc 6.. Läsanvisningar Allmänt gäller som vanligt att bevisen inte ingår i kursen, men det är mycket nyttigt

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

6.2 Implicit derivering

6.2 Implicit derivering 6. Implicit derivering 6 ANALYS 6. Implicit derivering Gränsvärden, som vi just tittat på, är ju en fundamental del av begreppet derivata, och i mattekurserna i gymnasiet har vi roat oss med att hitta

Läs mer

Facit åk 6 Prima Formula

Facit åk 6 Prima Formula Facit åk 6 Prima Formula Kapitel 1 Omkrets och area Sidan 7 1 A och C 2 D och E 3 a G, H och J b I och J c J Sidan 8 4 a 1 b 1 c 1 d 4 5 A = 0 B = 2 C = 4 D = 2 6 a 8 0 8 b 1 0 1 c 3 8 3 d 1 3 8 F7 A B

Läs mer

3. Trigonometri. A c. Inledning

3. Trigonometri. A c. Inledning 3. Trigonometri Inledning Trigonometri betyder triangelmätning. De grundläggande storheterna som vi kan mäta i en triangel är dess sidor och vinklar. Ett bra sätt att beteckna en triangels sidor och hörn

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Ledtrå dår till lektionsuppgifter Ledtrå dår till lektionsuppgifter Allmänna råd vid lösning av lektionsuppgifter: Försök inledningsvis att lösa uppgiften på egen hand, genom att omsätta innehållet i den tillhörande föreläsningen samt

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

5. Sfärisk trigonometri

5. Sfärisk trigonometri 5. Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill använda den sfäriska trigonometrin för beräkningar på storcirkelrutter längs jordytan (för sjöfart och luftfart). En storcirkel är en cirkel på sfären vars medelpunkt

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag 0.08.06 08.0 0.0 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik:

Mina videos Jag har satt samman en snabbkurs för er som behöver repetera grundskolans matematik: Behov av förkunskaper i matematik För att du ska kunna följa med i undervisningen i rörelselära (IB4) krävs förkunskaper i grundskolans matematik, samt lite trigonometri. Jag medsänder därför ett förkunskapstest

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaD ht2007 för Ma4 1(10) Innehåll Förord 1 NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS D HÖSTEN 2007 2 Del I, 9 uppgifter utan miniräknare 3 Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson (2013). Ändringar av Jakob Larsson och Emelie Fogelqvist (2014). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Avdelning 1. Trepoängsproblem

Avdelning 1. Trepoängsproblem vdelning 1. Trepoängsproblem Kängurutävlingen Matematikens hopp 1. Hur många tärningsögon finns det sammanlagt på de sidor som du inte kan se på bilden? ) 15 B) 1 C) 7 D) 7 E) Inget av dessa svar (Bulgarien).

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 44, 1961 Årgång 44, 1961 Första häftet 2298. Beräkna för en triangel (med vanliga beteckningar) ( (b 2 + c 2 )sin2a) : T (V. Thébault.) 2299. I den vid A rätvinkliga triangeln OAB är OA

Läs mer

Intromatte för optikerstudenter

Intromatte för optikerstudenter Intromatte för optikerstudenter Av Robert Rosén (2012). Ändringar av Daniel Larsson, Jakob Larsson, Emelie Fogelqvist och Simon Winter (2013 2016). Kursmål Efter intromatten vill vi att du inom matematik

Läs mer

Välkommen till Borgar!

Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Välkommen till Borgar! Vi ser fram emot att snart träffa en ny årskull med naturettor och hoppas att du kommer att trivas mycket bra hos oss. Studier i naturvetenskapliga ämnen förutsätter

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 39, 1956 Årgång 39, 1956 Första häftet 2028. En regelbunden dodekaeder och en regelbunden ikosaeder äro omskrivna kring samma klot (eller inskrivna i samma klot). Bestäm förhållandet mellan

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E.

NpMaD ht 2000. Anvisningar. Grafritande räknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs C, D och E. NpMaD ht 000 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till utgången av december 010. Anvisningar

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA Grundläggande kalkyl ÖVN Lösningsförslag.8. 8.. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen

Läs mer

Lathund, geometri, åk 9

Lathund, geometri, åk 9 Lathund, geometri, åk 9 I årskurs 7 och 8 räknade ni med sträckor och ytor i en dimension (1D) respektive två dimensioner (2D). Nu i årskurs 9 har ni istället börjat räkna volymer av geometriska kroppar

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS..07 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar. Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till

Läs mer

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden PROVET I MATEMATIK, KORT LÄROKURS.9.013 BESKRIVNING AV GODA SVAR De beskrivningar av svarens innehåll som ges här är inte bindande för studentexamensnämndens

Läs mer

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets

Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Beräkningsmetoder för superellipsens omkrets Frågeställning Svar 1. Vi förväntades ta reda på olika metoder för att beräkna en superellips eller en ellips omkrets. o Givet var ellipsens ekvation:. (Källa

Läs mer

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19

Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Tentamensskrivning i matematik GISprogrammet MAGA45 den 23 augusti 2012 kl 14 19 Tillåtna hjälpmedel: Godkänd räknare, bifogad formelsamling. Jourtelefon:

Läs mer