Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma antagning 2017 Arkitektantagningens prov i matematik , Lösningar(SERIE A)

Transkript

1 Diplomingenjörs- och arkitektutbildningens gemensamma antagning 017 Arkitektantagningens prov i matematik..017, Lösningar(SERIE A) 1. a) Vilka reella tal x uppfyller likheten x =? (1 p.) b) Vilka reella tal x uppfyller likheten x =? (1 p.) c) Vilka reella tal x uppfyller likheten 1+x+ =? (1 p.) d) Vilka reella tal x uppfyller likheten x 4x 16 =? (1 p.) e) Vilka reella tal x uppfyller olikheten x >? (1 p.) f) Vilka reella tal x uppfyller olikheten x + 1 <? (1 p.) a) Ekvationen x = uppfylls om och endast om x är eller om x är -. Svar: De reella talen och -. Serie B: x =, Svar: och -. Serie C: x =, Svar: och -. Serie D: x = 7, Svar: 7 och -7. b) Ekvationen x = uppfylls om och endast om x är eller om x är. Svar: De reella talen och. Serie B: x =, Svar: och. Serie C: x =, Svar: och. Serie D: x = 7, Svar: 7 och 7. c) Vi ser att Svar: Det reella talet. Serie B: 1+x+ =, Svar:. Serie C: 1+x+9 =, Svar:. Serie D: 1+x+1 = 7, Svar: x + = 1 + x + = 1 + x + = 6 x + 4 = 6 x = 6 4 x =. 1

2 d) Vi ser att x 4x 16 = x 4x 18 = 0. Parabelns y = x 4x 18 nollställen är x = ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 18) 1 = 4 ± = 4 ± 4 (4 + 18) = 4 ± = ±. Svar: De reella talen + och. Serie B: x 4x 1 =, Svar: + och. Serie C: x 4x 1 =, Svar: + och. Serie D: x 4x 11 = 7, Svar: + och. e) Olikheten x > uppfylls om och endast om x > eller x <. Svar: De reella tal som är strikt större än och de reella tal som är strikt mindre än. Serie B: x >, Svar: De reella tal som är strikt större än och de reella tal som är strikt mindre än. Serie C: x >, Svar: De reella tal som är strikt större än och de reella tal som är strikt mindre än. Serie D: x > 7, Svar: De reella tal som är strikt större än 7 och de reella tal som är strikt mindre än 7. f) Vi ser att x + 1 < x < 1 x < 1. Svar: De reella tal som är strikt mindre än 1. Serie B: x + 1 <, Svar: De reella tal som är strikt mindre än. Serie C: x + 1 <, Svar: De reella tal som är strikt mindre än 4. Serie D: x + 1 < 7, Svar: De reella tal som är strikt mindre än 6.. När passande trianglar skärs bort från hörnen av en kvadratisk skiva fås en regelbunden åttahörning.

3 a) Rita en figur av åttahörningen inuti kvadraten. (1 p.) b) Låt kvadratens sida vara 7 meter. Vad är längden av åttahörningens sida? Ge i svaret det exakta värdet och ett approximativt värde med två decimaler. ( p.) a) Figur: b) Låt åttahörningens sidor ha längd b och låt tringlarnas sidor ha längderna b, c och c.

4 Pythagoras sats säger att b = c + c. Vi ser att b = c + c b = c b = c c = Vi ser också att kvadratens sidolängd uppfyller 7 m = c + b + c. När vi substituerar c = b, får vi På grund av detta b = 7 m + 1 = 7 m + 1 = 7 m = b + b + b = b b. ( ) + b = + 1 b. ( 1) 7 m ( 1) ( + 1) = ( 1) 7 m ( = 7 m 7 m,90 m. ) 1 Svar: Åttahörningens sidolängd är 7 7 meter. Närmevärde med två decimalers noggrannhet är,90 meter. Serie B: Kvadratens sidolängd är 11 meter. Svar: Åttahörningens sidolängd är meter. Närmevärde med två decimalers noggrannhet är 4,6 meter. Serie C: Kvadratens sidolängd är meter. Svar: Åttahörningens sidolängd är meter. Närmevärde med två decimalers noggrannhet är,07 meter. Serie D: Kvadratens sidolängd är meter. Svar: Åttahörningens sidolängd är meter. Närmevärde med två decimalers noggrannhet är 1,4 meter.. Sannolikheten att ett objekt utskrivet med en D-skrivare är felaktigt är 1. Om man skriver ut 6 flera objekt är sannolikheterna för fel oberoende av varandra. a) Vad är sannolikheten att alla av tre utskrivna objekt är korrekta? Ge exakt svar. ( p.) b) Vad är sannolikheten att åtminstone ett objekt av tre utskrivna objekt är korrekt? Ge exakt svar. ( p.) c) Efter utskrift går objektet (felaktigt eller korrekt) igenom en efterprocess. Sannolikheten att objektet skadas och får fel i efterprocessen är 1 oberoende av om objektet fått fel redan i utskriftsprocessen. Vad är sannolikheten att det färdiga objektet är korrekt? Ge exakt svar. ( p.) a) Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1. Därför är sannolikheten att ett 6 utskrivet objekt är korrekt = = 6. 4

5 Om man skriver ut flera objekt är sannolikheterna för fel oberoende av varandra. Därför är sannolikheten att tre utskriva objekt alla är korrekta = = Svar: Sannolikheten att alla tre utskrivna objekt är korrekta är Serie B: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är Svar:. 7 4 Serie C: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1. Svar: Serie D: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1 7. Svar: b) Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1. Om man skriver ut flera objekt är 6 sannolikheterna för fel oberoende av varandra. Därför är sannolikheten att alla tre utskrivna objekt är felaktiga = = På grund av detta är sannolikheten att åtminstone ett objekt av tre utskrivna objekt är korrekt = = = Svar: Sannolikheten att åtminstone ett objekt av tre utskrivna objekt är korrekt är Serie B: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1 4. Svar:. 7 4 Serie C: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är Svar:. 1 Serie D: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1 6. Svar: c) Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1. Därför är sannolikheten att ett 6 utskrivet objekt är korrekt = = 6. Sannolikheten att objektet skadas och får fel i efterprocessen är 1 oberoende av om objektet fått fel redan i utskriftsprocessen. På grund av detta är sannolikheten att objektet inte skadas i efterprocessen 1 1 = 1 = 1 = 4 oberoende av om objektet fått fel redan i utskriftsprocessen. Därför är sannolikheten att objektet inte skadas under hela processen (med andra ord, sannolikheten att det färdiga objektet är korrekt) 6 4 = 4 6 = 4 6 =. Svar: Sannolikheten att det färdiga objektet är korrekt är. Serie B: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1, sannolikheten att objektet 7 skadas i efterprocessen är 1. Svar:. 6 7 Serie C: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1, sannolikheten att objektet skadas i efterprocessen är 1. Svar:. 4 Serie D: Sannolikheten att ett utskrivet objekt är felaktigt är 1, sannolikheten att objektet 4 skadas i efterprocessen är 1. Svar: 1.

6 4. Arkitekt K. Kansalainen äger en flott villa. Direkt eluppvärmning av denna villa kostar 000 euro per år. Arkitekt K. Kansalainen överväger att installera en luftvärmepump. Installation av pumpen kostar 000 euro. Som alternativ till luftvärmepumpen överväger K. Kansalainen jordvärme. Installation av jordvärme kostar euro. Luftvärmepumpen skulle leda till en besparing på % för de årliga uppvärmningskostnaderna. Jordvärmen skulle leda till en besparing på % för de årliga uppvärmingskostnaderna. Antag att den allmänna kostnadsnivån förblir densamma. a) Beräkna kostnaderna under en 10-års period för dessa tre uppvärmningsalternativ. ( p.) b) Arkitekt K. Kansalainen väljer luftvärmepumpen. Efter hur lång tid är den totala kostnaden för detta alternativ mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme? Vad är svaret om K. Kansalainen väljer jordvärme istället? Efter hur lång tid är den totala kostnaden för detta alternativ mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme? (4 p.) a) Direkt eluppvärmning: Direkt eluppvärmning kostar 000 euro per år, vilket ger totalkostnad över 10 år på euro = 0000 euro. Luftvärmepump: Installation av luftvärmepumpen kostar 000 euro. Luftvärmepumpen leder till en besparing på % för de årliga uppvärmningskostnaderna. På grund av detta blir kostnaden för ett år 000 euro 0, 000 euro = 000 euro 70 euro = 0 euro. Detta ger en totalkostnad över 10 år på 000 euro euro = 700 euro. Jordvärme: Installation av jordvärme kostar 0000 euro. Jordvärme leder till en besparing på % för de årliga uppvärmningskostnaderna. På grund av detta blir kostnaden för ett år 000 euro 0, 000 euro = 000 euro 160 euro = 10 euro. Detta ger en totalkostnad över 10 år på 0000 euro euro = 00 euro. Svar: Totalkostnad för direkt eluppvärmning över 10 år är 0000 euro, med luftvärmepump är totalkostnaden över 10 år 700 euro och med jordvärme är totalkostnaden över 10 år 00 euro. 6

7 Serie B: Direkt eluppvärmning kostar 00 euro per år. Installation av luftvärmepumpen kostar 7000 euro och leder till en besparing på % för de årliga uppvärmningskostnaderna. Installation av jordvärme kostar euro och leder till en besparing på % för de årliga uppvärmningskostnaderna. Svar: Totalkostnad för direkt eluppvärmning över 10 år är 000 euro, med luftvärmepump är totalkostnaden över 10 år 70 euro och med jordvärme är totalkostnaden över 10 år 90 euro. Serie C: Direkt eluppvärmning kostar 00 euro per år. Installation av luftvärmepumpen kostar 7000 euro och leder till en besparing på % för de årliga uppvärmningskostnaderna. Installation av jordvärme kostar euro och leder till en besparing på 60% för de årliga uppvärmningskostnaderna. Svar: Totalkostnad för direkt eluppvärmning över 10 år är 000 euro, med luftvärmepump är totalkostnaden över 10 år 0 euro och med jordvärme är totalkostnaden över 10 år 000 euro. Serie D: Direkt eluppvärmning kostar 000 euro per år. Installation av luftvärmepumpen kostar 7000 euro och leder till en besparing på 0% för de årliga uppvärmningskostnaderna. Installation av jordvärme kostar 0000 euro och leder till en besparing på 60% för de årliga uppvärmningskostnaderna. Svar: Totalkostnad för direkt eluppvärmning över 10 år är 0000 euro, med luftvärmepump är totalkostnaden över 10 år 8000 euro och med jordvärme är totalkostnaden över 10 år 000 euro. b) Luftvärmepumpen: Direkt eluppvärmning kostar 000 euro per år. Installation av luftvärmepumpen kostar 000 euro och årskostnaden är 000 euro 0, 000 euro = 000 euro 70 euro = 0 euro. Låt x vara antalet år. Totalkostnaderna är lika stora när 000 euro x = 000 euro+0 euro x. Eftersom 000x = x 70x = 000 x = , 000 = 0 = 6 + och = 8, ser vi att totalkostnaderna är lika stora efter 6 år och 8 månader Jordvärme: Direkt eluppvärmning kostar 000 euro per år. Installation av jordvärme kostar 0000 euro och årskostnaden är 000 euro 0, 000 euro = 000 euro 160 euro = 10 euro. Låt x vara antalet år. Totalkostnaderna är lika stora när 000 euro x = 0000 euro+10 euro x. Eftersom 000x = x 160x = 0000 x = , 0000 = 400 = och efter 1 år och 1,4 månader. = 1 4 = (1 4)/ 1, , ser vi att totalkostnaderna är lika stora Svar: Med luftvärmepump är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 6 år och 8 månader. Med jordvärme är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 1 år och 1 månad. 7

8 Serie B: Svar: Med luftvärmepump är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 11 år och månader. Med jordvärme är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 1 år och 1 månad. Serie C: Svar: Med luftvärmepump är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 8 år. Med jordvärme är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 8 år och 7 månader. Serie D: Svar: Med luftvärmepump är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 7 år och 9 månader. Med jordvärme är den totala kostnaden mindre än kostnaden för enbart direkt elvärme efter ungefär 11 år och 1 månad.. Man skall byta uppvärmningssystemet i en villa. Ägaren vill använda oljan som finns i oljetanken innan det nya systemet installeras. Tanken, formad som en rak cirkulär cylinder, ligger horisonellt under jorden. Cylinderns volym är 000 liter och diametern på de diskformade ändarna är 100 cm. Oljenivån uppmäts till 0 cm från tankens botten. Hur många veckor räcker oljan om 70 liter per vecka förbrukas? (6 p.) Vi beräknar hur mycket olja som finns kvar. Volymen av den olja som återstår proportionellt mot cylinderns volym är densamma som arean av segmentet AB proportionellt mot diskens area. Arean av segmentet AB Segmentin AB = Arean av sektorn OAB - Arean av triangeln OAB. Arean av sektorn: Eftersom diametern av disken är 100 cm och oljenivåns höjd är 0 cm, ser vi att längden OD = OA = 0 cm, OC = (0 0) cm = 0 cm och CD = 0 cm. Eftersom triangeln OAC är rätvinklig får vi cos α = OC OA = 0 0 = 8

9 och ( α = arccos =,1 ). Sektorn OAB har centrumvinkel α, vilket ger att sektorns area är Arean av triangeln: A sektor = α 60 π (0 cm) = 18,6 cm. Eftersom triangeln OAC är rätvinklig ger Pythagoras sats att Vi ser nu att triangeln OAB har area AC = 0 0 cm = 40 cm. A triangel = 1 AB OC = 1 AC OC = 40 0 cm = 100 cm. Arean av segmentet: Segmentets area A segment = A sektor A triangel. Volym av olja = Segmentets area Diskens area Tankens volym = A sektor A triangel 000 l = 18,6 cm 100 cm 000 l = 47,18 l π OD π (0 cm) Eftersom 70 liter olja per vecka förbrukas så räcker oljan 47, ,10 veckor. Svar: Oljan räcker sex veckor. Serie B: Det förbrukas 60 liter olja per vecka. Svar: Oljan räcker sju veckor. Serie C: Det förbrukas 80 liter olja per vecka. Svar: Oljan räcker fem veckor. Serie D: Det förbrukas 0 liter olja per vecka. Svar: Oljan räcker åtta veckor. 9

10 6. Klotet P har radie 6, cm. En rak cirkulär kon K (bascirkeln radie r, höjd h) placeras inuti klotet P så att konens spets och bascirkelns randkurva ligger på klotets randyta. Rita en figur. Vad är konen K:s maximala volym? Ge exakt svar. (6 p.) Figur (1 p.): Volym ( p.): Låt K vara en rak cirkulär kon med höjd h och med bascirkel som har radie är r. 10

11 Figuren och Pythagoras sats ger så att (6, cm) = (h 6, cm) + r, r = (6, cm) (h 6, cm) = (6, cm) h + 6, cm h (6, cm) = 1, cm h h. För en rak cirkulär kon gäller att volymen är 1 πr h = π (1, cm h h ) h = π (1, cm h h ) = V (h). Maximum för volymsfunktionen antas i ändpunkter på det slutna intervallet h = 0 cm, h = 1, cm eller i derivatans nollställen. Eftersom V (0 cm) = V (1, cm) = 0 cm, antas maximal volym där derivatan har sina nollställen. Derivatan av volymsfunktionen Undersökning av derivatans nollställen: V (h) = π ( cm h h ). π ( cm h h ) = 0 cm ( cm h h ) = 0 cm h( cm h) = 0 cm h = 0 cm tai cm h = 0 h = 0 cm tai h = cm. Det följer att konens maximala volym är V ( )= cm π ( ( ) ( ) ) 1, cm cm cm = 16π 16 Svar: Konen K:s maximala volym är 16π 16 cm. Serie B, C och D: Samma som serie A. cm. c 017 Aalto-universtitet, Villmanstrands tekniska universitet, Uleåborgs universitet, Tammerfors tekniska universitet, Åbo Universitet, Vasa universitet, Åbo Akademi 11