PRELIMINÄRPROV Kort matematik

Transkript

1 PRELIMINÄRPROV Kort matematik 80 Lösningar och poängförslag Lös ekvationerna x 0 x 4 x,0 a) 0x b) c) a) Multiplikation med 0; x 00x, p 0 99 b) Division med ; : x ( = =,5 ) p x = 0, x 0 +p lg lg,0 x, +p c) x,449,4 + p Om svaret bestäms genom prövning med hjälp av räknare, max p 8 Svar: a) x = 0 b) x c) x =,4 a) Ett par jeans såldes med 0 procents rabatt Vilket var det rabatterade priset, då rabatten utgjorde,50 euro? b) Linjen l är parallell med linjen x+ 4y- 5 = 0 och skär x-axeln vid punkten 0 Ange koordinaterna för den punkt där linjen skär y-axeln c) Den minsta vinkeln i en rätvinklig triangel är,000 grader och vinkelns motstående sida är,40 cm Beräkna längden av sidorna i triangeln,50 0,0 0,0 5,50 a) x 5, p x +p b) riktiningskoefficient =, l går genom punkt (0,0) +p 4 y- y = k( x- x ) ger till linjen l ekvationen 0 0 y= - x+ (= y= - 0,5x+,5 ), 4 därmed skär l y-axeln i punkt ( 0, ) +p

2 c) Den kortaste kateten,40 motsvarar den minsta vinkeln Den längsta kateten fås:,400 9,890 tan,0000,40,40 sin, 0000, 9,9 y sin,0000 tan,0000 x +p Hypotenusan y : Om fler än 6 gällande siffror i svaret: -p y +p Svar: a) 5,50 euroa b) ( 0, ) c) Suurin kateetti on 9,89 ja hypotenuusa on 9,9 4 a) Beräkna f (0), när f ( x) x 6x b) Beräkna arean av cirkeln då cirkelns omkrets är 000 c) Hyfsa 0 a) f ( x) x x, p,400 x, f (0) p 000 b) r 000, 59,549 95, r 59,549, +p r +p c) , +p +p Svaret anges som ett decimaltal: max p 9 Svar: a) 880 b) 9580 c) 90 4 Låt funktionen f ( x) ( 4x)(5x 6) Lös ekvationen f x + f x = f + f f ( x) 0x 9x 8 p ( x) 40x 9 f +p - 0x + 9x- 8 + ( 40 x) = (-40 ) + 9 +p - 0x - x+ = 0 +p 0 x = eller x +p Svar: x = eller x 0

3 5 Ämnet bly Pb har 4 stabila isotoper med olika massa Massan av isotoperna Pb-04, Pb-06 och Pb-0,0 är 04,0 u; 06,0 u respektive 0,0 u Deras respektive förekomstprocent i naturen är,4 % ; 4, % och, % Resterande delen består av isotopen Pb-08 med massan 08,0 u Beräkna den viktade atommassan för ämnet bly Beräkna även standardavvikelsen viktad atommassa: 0,04 04,0 + 0,4 06,0 + 0, 0,0 + ( 0,04 0,4 0,) 08,0 p =,4 0, Standardavvikelse: 0 +p s = 0, 04 (04-0, 4) + 0, 4 (06-0, 4) + 0, (0-0, 4) ( 0, 04 0, 4 0, ) (08 0, 4), s 0,899, 0,96 0, 9 s +p Svar: 0, u, varians 0,9 u +p 6 Ett matematikprov bestod av 6 uppgifter vilka alla skulle besvaras Maximipoängsumman per uppgift var 6p Noll poäng gav ett underkänt vitsord och 6 poäng en full tia a) Bestäm vitsordet y som funktion av poängsumman x då man vet att funktionen är linjär och av första grad b) Provet blir godkänt om vitsordet är minst 5 Hur många poäng behöver man för att bli godkänd? a) b) 6 Svar a) x k p (0,) och (6,0) finns på funktionens graf +p y ( x 0), y x, där x 0,6 +p x, +p 6 x 0,, svar (0 eller) p +p y, där 0,6 x b) p I en flaska Möllers fiskleverolja finns det 50 ml fiskleverolja med tätheten 0,95 kg/dm På flaskan etikett står det: ml olja innehåller 0 mg omega--fettsyror, varav 4 mg är eikosapentensyra (EPA) Hur många procent eikosapentensyra finns det i fiskleverolja och hur många gram eikosapentensyra finns det i flaskan? massan av fiskleveroljan: 0,95 g/cm 50 cm =,5 g p mängden av EPA: 50 0, 04 g = 8,5 g 9 g, +p 8,5,5 0,0800 8,0% +p Felaktig enhetsomvandling -p Svaret innehåller fler än gällande siffror: p Svar: 9 g, 8,0 %

4 8 Rita och skugga det område som begränsas av olikhetssystemet x 0 x y 0 y x x (, Beräkna hörnkoordinaterna för området i fråga Ligger punkten ) i området? x 0(y- axel), x- y+ = 0 och y = x + x ritade p skärningspunkterna A = (0,), B = (0,0), C = (,) och D = (-,-) +p Området ABD framgår tydligt +p Bevisat att (, ) gäller för alla olikheter +p Om punkt C är med i svaret,: -p 9 Längden i ett rätvinkligt prisma ökade med % medan bredden minskade med % Därmed ökade volymen med 0% Beskriv den eventuella förändringen i höjden Prismats mått tex x, y ja h, V = xyh V efter förändringen,0 xyh p ny längd,x och förminskad bredd 0,y +p ny höjd, tex H:,x 0,y H, 0 xyh, +p,0 xy H h,4 h,x 0,y, +p höjden växte med % +p Svaret innehåller mer än en decimal: -p Svar: %

5 0 Höjden i en pyramid med kvadratisk botten är och baskvadratens sida Sidoytorna i pyramiden är kongruenta likbenta trianglar In i pyramiden är en kub placerad så, att hörnen i kubens baskvadrat ligger i bottenplanet av pyramiden medan de fyra övriga hörnen i kuben ligger på pyramidens sidokanter Beräkna förhållandet mellan kubens och pyramidens volym Ge svaret i exakt bråkform Pyramiderna är likformiga, kubens kant CD = x, - x x ( ) PQ CD PO AB p PQ x, +p =, +p x +p, +p svar 9 4 +p Om svaret anges i decimalform: -p Svar: 9 4 Funktionen f ( x) ax bx 0 har extrempunkten (-,0) a) Bestäm konstanterna a och b b) Är punkten (-,0) en maximi- eller minimipunkt? c) Bestäm eventuella övriga extrempunkter för denna funktion a) - a- b+ 0 = 0, f (x) = ax + b, dvs a+ b= 0 p ekvationspar, a = 5 ja b = -5 +p f ( x) = 5x - 5x + 0, f (x) = 5x - 5, b) derivatas nollställen x = - eller x = +p Teckenschema, maximipunkten (-,0) +p c) Minimipunkten x = +p koordinaterna (,0) +p Svar: a) a = 5 ja b = -5 b) (-,0) är maximipunkt c) minimipunkt = (,0)

6 En tärning utgör en regelbunden polyeder med sex sidoytor, en hexaeder En tetraeder är en regelbunden polyeder med fyra sidoytor På tetraderns sidoytor finns siffrorna,, och 4 medan hexaederns sidoytor har siffror från ett till sex Hexaedern och tetraedern kastas en gång Med vilken sannolikhet visar tetraedern ett större ögontal än hexaedern? k P, där k = antal gynnsamma fall, n = antal alla fall n p n p gynnsamma fall: (4,), (4,), (4,), (,), (,) ja (,), k = 6 +p svar: k 6 n 4 4 P +p Svar: 4 I en talföljd är det femte, sjätte och sjunde elementet, 9 och 4 a) Bevisa att talföljden är geometrisk b) Ange talföljdens åttonde och första element Svara i bråkform c) Beräkna summan av de tio första elementen och svara med två decimalers noggrannhet a) b) åttonde element q (alla tre element måste användas för att få fulla poäng) p 6 a 6 a q, c) Summan 4 a( q q = 4,94 4, a6 : ( ) q 5 9 +p a (decimaltal: -p) +p n ) ( ( ) 6 0 ), +p (fler decimaler: -p) +p Svar: a) Kvoten av varandra följande element = konstant = 8, första element = 6 b) åttonde element = 8 c) Summan av tio första element = 4,9

7 4 I figuren nedan ser vi eurons kurs uttryckt i dollar Vi betraktar tiden mellan juli 008 och juli 00 a) Hur många % utgjorde förändringen i eurons kurs? b) Vilken var den genomsnittliga förändringshastigsheten per månad av eurons kurs? c) Vilken valuta revalverades (stärktes) och med hur många procent? a) euro: från,59 till, p b),,59 0,64 0,6,6%,59 (saknar tecken: -p fler än decimaler: -p),59, USD USD 0,08 kk a USD USD USD 0,8 0,8 0,05 a kk kk, +p +p c) Euro försvagades, dollarn förstärktes +p Juli 008: Juli 00: EUR, 59USD, dvs USD EUR 0,689 EUR,59 EUR, USD, dvs USD EUR 0,8008 EUR, 0,8008 0,689 0,96 0,9 9,% 0,689 Värden, och,59 skiljer med mer än 0,0: -p USD kk Svar: a) -,6% b) - 0,05 c) 9,% +p (fler än decimaler: -p) +p

8 5 Hörnpunkterna i en triangel är A = (-,), B = (, ) och C = (0,4) Sträckan AB syns från punkten C ur vinkeln a Beräkna vinkeln a med hjälp av metoder ur vektorläran vinkeln mellan CA och CB p CA = i j och CB 8 j, +p ( - i -j) (-8i - j) ( ) ( 8) ( ) ( ) cos, +p - i -j - 8 i - j ( ) ( ) ( 8) ( ) 99 cos 0,96 45, +p a = 5,9» 5,8 +p Lösningen fås trigonometriskt: -p Svar: 5,8