Repetition inför tentamen

Transkript

1 Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8 cm och DE = 6 cm. Läxa 3. Lös ekvationssystemet (y+x) y+9 = (y+6) x+3(x+y) 8 = 11+3x Läxa 4. Förenkla så långt möjligt (ab 3 ) b b 3 a Läxa 5. Lös ut b ur formeln A = h(b+d) Läxa 6. En fyrhörnings sidor är i ordning 9 cm, 1 cm, 15 cm och 18 cm. Vinkeln mellan de två förstnämnda är rät. Beräkna fyrhörningens area. Läxa 7. I en likbent triangel är omkretsen 1 cm och höjden mot basen 4 cm. Hur stor är triangelns area? Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Läxa 8. En given rektangels sidor är 8 cm och 5 cm. En rät linje parallell med kortsidan avskär en rektangel, som är likformig med den givna. Ange den mindre rektangelns sidor. Läxa 9. I ABC är AB = 5 cm, AC = 6 cm och BC = 7 cm. Transversalen DE är parallell med BC samt skär AB i D och AC i E. BD = cm. Beräkna återstående sidor i ADE. Läxa 10. I en likbent triangel är basen 10 cm och höjden mot basen 15 cm. På vilket avstånd från basen ska man dra en parallelltransversal för att dess längd ska bli 8 cm? Läxa 11. En linje, L 1, går genom punkterna (0,10) och (1,15). En annan, L, går genom punkterna (0, 8) och (1, 1). Bestäm skärningspunkten mellan L 1 och L. Läxa 1. En andragradsfunktion kan skrivas f(x) = ax +bx+c. Bestäm den andragradsfunktion vars minsta värde är 3 och för vilken gäller att f(0) = 9 och f( 1) = f( 3). Läxa 13. Linjen y = x+3 skär de båda linjerna y = x 4 och y = 3x+15. Bestäm avståndet mellan skärningspunkterna Läxa 14. Lös ekvationen x+3 5 = 0 Läxa 15. För vilka värden på a saknar ekvationssystemet lösning ax+y = 0 ax ay = 1 Läxa Lösning 1. Antag att ADB = u. tanu = u = arctan Svar: v = 10.6 tan(u+v) = u+v = arctan v = arctan 40 arctan Läxa Lösning. ABC AED. Antag att BC = x. Förhållandet ger Antag att AC = y. Med Pythagoras sats får vi x = x = 9 y = Håkan Strömberg KTH STH

3 Omkretsen blir då = 36 Svar: 36 cm Läxa Lösning 3. (y+x) y+9 = (y+6) x+3(x+y) 8 = 11+3x y+x y+9 = y+1 x+3x+3y 8 = 11+3x x y = 3 x+3y = 19 Efter förenkling kan vi nu lösa systemet med additionsmetoden 3(x y) = 3 3 x+3y = 19 7x = 8 x = 4 4 y = 3 y = 5 Svar: x = 4 och y = 5 Läxa Lösning 4. Svar: ab 5 Läxa Lösning 5. Svar: b = A hd h Läxa Lösning 6. (ab 3 ) b b 3 a a b 6 b 1 b 3 a a 1 b ab 5 A = h(b+d) A = hb+hd A hd = hb b = A hd h AD = 9 och DC = 1. Med hjälp av Pythagoras får vi CA = Det betyder att ABC är likbent och att höjden CE delar basen AB mitt itu. Med Pythagoras, åter, kan vi bestämma 15 = CE +9 CE = 15 9 CE = 1 Vi kan nu bestämma fyrhörningens area genom summan av arean hos två trianglar. A = Svar: 16 cm Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Läxa Lösning 7. Antag att de två lika långa benen är x då är basen 1 x. Höjden delar basen mitt itu. Vi har en rätvinklig triangel, där en katet är 1 x 6 x och den andra är 4. Hypotenusan har vi antagit ska vara x. Med Pythagoras får vi då x = (6 x) +4 x = 36 1x+x +16 1x = 5 x = 13 3 Arean blir då Svar: 0 3 cm Läxa Lösning 8. A = 4( ) 0 3 Antag att linjen är dragen x cm från kortsidan Svar: 5 8 cm och 5 cm Läxa Lösning 9. x 5 = 5 8 x = 5 8 Antag att DE = x cm. AD = 5 = 3 cm. Med hjälp av likformighet kan vi så teckna DE BC = AD AB x 7 = 3 5 ger x = 1 5. Antag att AE = y cm. AE AC = AD AB y 6 = 3 5 ger AE = 18 5 Svar: DE = 1 5 cm, AD = 3 cm och AD = 18 5 cm. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Läxa Lösning 10. Antag att OF = x cm. Då är OA = 15 x. ABC ADE ger Svar: 3 cm 15 x 15 = (15 x) = x = 10 10x = 30 x = 3 Läxa Lösning 11. Vi bestämmer ekvationen till L 1. Först k-värdet k = Punkten (0, 10) ger direkt m = 10 och ekvationen blir y = 5x Ekvationen till L. Först k-värdet k = ( 8) ( 1) Även här kan vi snabbt med (0, 8) bestämma m = 8 och ekvationen blir y = 4x 8. Nu kan vi bestämma skärningspunkten genom Som i sin tur ger y = 5 ( ) x+10 = 4x 8 9x = 18 x = Svar: (,0) Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Läxa Lösning 1. Symmetrilinjen ligger alltid mitt emellan två x-värden som har samma y-värde (funktionsvärde). I vårt fall ser vi att symmetrilinjen då måste vara x = 1+( 3). Då vet vi att minpunkten är (, 3). Vi har dessutom punkten (0,9) och som direkt ger värdet på c. f(0) = a 0 +b 0+c = 9, c = 9. Vi kan nu skriva f(x) = ax +bx+9 Antag att f( 1) = y då är även f( 3) = y. Tillsammans med minpunkten f( ) = 3 kan vi ställa upp följande ekvationssystem a( 1) +b( 1)+9 = y a( 3) +b( 3)+9 = y a( ) +b( )+9 = 3 8a b = 0 4a b+9 = 3 Vi får så b genom 8 3 b = 0,b = 1. Svar: f(x) = 3x +1x+9 Läxa Lösning 13. a b+9 = y 9a 3b+9 = y 4a b+9 = 3 8a b = 0 1(4a b+9) = 1 ( 3) 4a = 1 a = 3 a b+9 = 9a 3b+9 4a b+9 = 3 Vi startar med att ta reda på de två skärningspunkterna x+3 = x 4 x = 7 y = Den första skärningspunkten är (7, 10). Den andra skärningspunkten x+3 = 3x+15 4x = 1 x = 3 y = Den andra skärningspunkten är (3, 6). Avståndet mellan punkterna är (7 3) +(10 6) Svar: 5.66 l.e. Läxa Lösning 14. Så länge x 3 kan vi plocka bort absolutbeloppstecknen utan att något händer, eftersom uttrycket x+3 då är positivt. x+3 5 = 0 x = Om x < 3 påverkar absolutbeloppet uttrycket, eftersom x + 3 < 0, och vi måste vi sätta ett minustecken framför innan vi tar bort absolutbeloppstecknen. Vi får (x+3) 5 = 0 x 3 5 = 0 x = 8 Ekvationen har två lösningar. Övertyga dig om att de båda satisfierar ekvationen. Svar: x = och x = 8 Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Läxa Lösning 15. Vi löser systemet på vanligt sätt med additionsmetoden där vi betraktar a som en konstant ax 4y = 0 ax ay = 1 ax+y = 0 (ax+y) = 0 4y ay = 1 ax ay = 1 ax ay = 1 y(4+a) = 1 1 y = 4+a Vi får sedan x genom ax+ 1 4+a = 0 x = a(4+a) Vi drar så slutsatsen att systemet saknar lösning då a = 0 eller då a = 4 eftersom då nämnarna för x och/eller y blir 0. Svar: a = 0 eller a = 4. Håkan Strömberg 7 KTH STH