Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Transkript

1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x 13y 2z = 16 Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C då A = ( B = ( C = ( Problem 4. Bestäm vinkeln mellan linjerna l 1 och l 2 x = 3+t l 1 = y = 2+t l 2 = z = 6+t x = 4+2t y = 1+t z = t Problem 5. Bestäm p, så att linjerna l 1 och l 2 skär varandra och ange skärningspunkten x = 1+2t { x+2y z+1 = 0 l 1 = y = 2 t l 2 = 2x y+z 1 = 0 z = p+t Problem 6. Sök ekvationen till en linje som går genom punkten p = (1,1,1 och som är parallell med planen π 1 : 2x+y z = 0 och π 2 : x 2y+3z 4 = 0. Problem 7. Vad kan man säga om inversen till en symmetrisk matris? Experimentera! Problem 8. M nedan är en totalmatris M = a 0 b 2 a a a 2 b Använd RowReduce och besvara följande frågor. För vilka a och b har systemet a en unik lösning b en två-parametrig lösning c en en-parametrig lösning d ingen lösning? Problem 9. Bestäm a och b så att ( ( 1 a 1 b b 5 b a ( 2b b 1 a = ( Problem 10. Bestäm de reella talen a, b och c då man vet att: v 1 v 2 = 33, v 1 v 3 = 216 och v 2 v 3 = 102. Där v 1 = (a,3b,3a, v 2 = (a, 2,c och v 3 = (3c,a,4c +b. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 11. Här ska vi bestämma arean till en triangel, men denna gång genom den vanliga formeln. A = b h 2 Det största problemet i denna uppgift är att bestämma en av triangelns tre höjder. De tre linjerna som begränsar triangeln är x = 2+2t l 1 = y = 4+t z = 1 x = 18+4t l 2 = y = 2 2t z = 1+t x = 12+6t l 3 = y = 9 25t z = 1+7t Problem 12. Bestäm ekvationen för det plan som är normalplan till planet x+y 2z 1 = 0 och som går genom den räta linjen x = 1+2t y = 3+3t z = 2 t Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Lösningar Svar 1. Först måste vi konstatera att planen är parallella, för om de inte är det kan man inte tala om något avstånd mellan dem. Det första planet har normalvektorn n 1 = (2, 3,1 och det andra har n 2 = ( 4,6, 2. Om dessa vektorer skiljer sig åt endast genom en skalär är de parallella Solve[l*n1 == n2] ger l = 2, vilket betyder att om man multiplicerar den första normalvektorn med 2 så får man den andra. Som i sin tur betyder att planen är parallella. Avståndet mellan planen kan nu bestämmas genom att ta fram en punkt vilken som helst i det första planet och bestämma det vinkelräta avståndet till det andra planet. Om vi väljer x = 2 och y = 3 och sätter in det i det första planet kan vi genom ekvationen Solve[2*2-3*3 + z + 1 == 0] bestämma z = 4. Vi har nu punkten P 1 = (2,3,4 i det första planet. Vi tecknar nu den linje som går genom denna punkt och vinkelrätt mot det andra planet linje[t_] := p1 + t*n2 Vi ska nu bestämma skärningspunkten mellan denna linje och det andra planet. Är vi riktigt omständliga, som här, tar vi fram tre punkter i det andra planet och bildar ekvationen på vektorform med hjälp av dessa punkter. Vi får punkterna genom att sätta två värden på x och y och räkna ut z. Solve[-4*0 + 6*0-2 z + 13 == 0] p2 = {0, 0, 13/2}; Solve[-4*1 + 6*1-2 z + 13 == 0] p3 = {1, 1, 15/2}; Solve[-4*0 + 6*1-2 z + 13 == 0] p4 = {0, 1, 19/2}; Med hjälp av dessa tre punkter kan vi ställa upp planets ekvation. Därefter är det dags att söka skärningspunkten plan[s_, t_] := p2 + s (p2 - p3 + t (p2 - p4 Solve[plan[s, t] == linje[r]] Vi får bland annat r = p5=linje[-15/56] som genom ger skärningspunkten ( 43 14, 39 28, Avståndet P 1 till P 5 får vi så till sist genom Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Norm[p1-p5] 15 Svar: 2 14 Svar 2. Genom att ta reda på för vilka värden koefficientmatrisens determinant är = 0 får jag klart för mig när systemet har en entydig lösning m={{a,2,1},{2,-a-2,0},{2a+2,-13,-2}}; Solve[Det[m]==0] Determinanten är 0 då 4a a 14 = 0 då a = 7 2 totalmatrisen och börjar undersöka den då a = 7 2. respektive a = 1. Jag definierar tm={{a,2,1,2a},{2,-a-2,0,-4},{2a+2,-13,-2,-16}}/.a->-7/2; RowReduce[tm] Jag får Vilket betyder att systemet saknar lösning då a = 7 2. Över till fallet då a = 1 Jag får tm={{a,2,1,2a},{2,-a-2,0,-4},{2a+2,-13,-2,-16}}/.a->1; RowReduce[tm] Nu har jag oändligt många lösningar och börjar med att sätta z = t och via bakåtsubstitution bestämma den linje utefter vilken lösningarna ligger. Linjen har ekvationen x = 2 7 3t 7 y = 8 7 2t 7 z = t Lösningarna då a = 7 2 och a 1 får jag sedan genom b={2a,-4,16}; Inverse[m].b Lite svårare att tyda resultatet men betydligt snabbare för att lösa hela problemet är det att använda Reduce Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 e1 = a*x + 2*y + z == 2 a; e2 = 2*x - (a + 2*y == -4; e3 = 2 (a + 1 x - 13 y - 2 z == -16; Reduce[{e1, e2, e3}, {x, y, z}] // Simplify Jag får utskriften (a==1 && 4+2x == 3y && 2+7x+3z == 0 (a(5+2a!= 7 && x == (2(-1+a/(7+2a && y == 2/9(8+2a(-1+x+x && 32+(4+17ax+9z == 26a Så här tolkar jag resultatet. Då a = 1 så kan man sätta z = t och lösa ut x och y i de två ekvationerna så har jag ekvationen för en linje. Då a(5 + 2a 7 så finns det en entydig lösning. För ett givet a kan jag räkna ut x och därefter y och z och jag har den gemensamma punkten för detta a. Svar: Då a = 7 2 finns ingen lösning. Då a = 1 finns det en enparametrig lösning (en linje x = 2 7 3t 7 y = 8 7 2t 7 z = t Då a 7 2 och a 1 finns en entydig lösning x = 2a 2 7+2a y = a z = 2a2 +16a a Svar 3. Först löser jag ut X och får definierar matriserna och räknar ut X a = {{3, 2}, {0, 1}}; b = {{4, -2}, {0, -1}}; c = {{1, 1}, {0, 2}}; Inverse[a - b].c AX BX = C (A B(X = C (X = (A B 1 C Svar: ( Svar 4. Vinkeln bestäms med uttrycket cosθ = v 1 v 2 v 1 v 2 Genom den sista satsen får vi den eftersökta vinkeln i grader Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 v1={1,1,1}; v2={2,1,1}; ArcCos[v1.v2/(Norm[v1]*Norm[v2]]*180.0/Pi Svar: Svar 5. I linjen l 1 som vi definierat finns den eftersökta parametern p med. Vi startar med att bestämma linjen l 2 s ekvation l1[t_]:={1+2t,2-t,p+t} pl1:=x+2y-z+1 pl2:=2x-y+z-1 Solve[{pl1==0,pl2==0},{x,y}]//Simplify l 2 får följande utseende I nästa steg definierar vi denna linje och x = (1 t/5 y = 3(t 1/5 z = t l2[t_]:={1/5,-3/5,0}+{-1/5,3/5,1}t Solve[l1[t]==l2[u],{p,u,t}] l1[-1]/.p->7 l2[6]/.p->7 Skärningspunkt finns då p = 7. Den erhåller vi då u = 6 och t = 1 varför båda sista satserna ger oss skärningspunkten ( 1,3,6. Svar 6. Vi har två plan, pl 1 och pl 2 och en punkt p. Om planen inte skär varandra så finns det många lösningar till vårt problem. Om de däremot skär varandra skapas en linje. Den linjen vi söker ska vara parallell med den givna. pl1[x_,y_,z_]:=2x+y-z pl2[x_,y_,z_]:=x-2y+3z-4 p={1,1,1}; Solve[{pl1[x,y,z]==0,pl2[x,y,z]==0},{x,y}]//Simplify Lösningen på ekvationen ovan ger oss lösningen i form av en linje x = (4 t/5 y = (7t 8/5 z = t Som vi definierar och använder för att bestämma en riktning. Vår linje ska ha samma riktning samt gå genom punkten P = (1,1,1. l1[t_]={(4-t/5,(7t-8/5,t}; l2[t_]={1,1,1}+(l1[1]-l1[2]t Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Den sökta linjens ekvation är Svar: x = 1+t/5 y = 1 7t/5 z = 1 t Svar 7. Jag gissar att inversen till en symmetrisk matris också är symmetrisk. (Vilket är sant Svar 8. Genom m = {{a, 0, b, 2}, {a, a, 4, 4}, {0, a, 2, b}}; RowReduce[m] // TableForm får jag b a b a a Entydig lösning då a 0 och b 2 b Två-parametrisk lösning då a = 0 och b = 2 c En-parametrisk lösning då a 0 och b = 2 d Ingen lösning då a = 0 och b 2 a och d känns helt klara. För att förstå c och b sätter jag in lämpliga värden för a och b och kör RowReduce. Först c m = {{1, 0, 2, 2}, {1, 1, 4, 4}, {0, 1, 2, 2}}; RowReduce[m] // TableForm Jag får Helt klart är c en en-parametrig lösning så över till d m = {{0, 0, 2, 2}, {0, 0, 4, 4}, {0, 0, 2, 2}}; RowReduce[m] // TableForm Jag får och jag har en två-parametrig lösning Svar 9. En rakfram uppgift, som löses med en ekvation Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 m1 = {{1, a}, {b, 5}}; m2 = {{1, b}, {b, a}}; m3 = {{2 b, b}, {1, a}}; m4 = {{97, 115}, {137, 170}}; Solve[m1.m2.m3 == m4] Svar: b = 3, a = 4 Svar 10. Jag ställer upp ekvationen och hoppas på det bästa v1 = {a, 3 b, 3 a}; v2 = {a, -2, c}; v3 = {3 c, a, 4 c + b}; Solve[{v1.v2 == 33, v1.v3 == 216, v2.v3 == 102}] Jag fick åtminstone tag i en lösning Svar: a = 3, b = 2 och c = 4 Svar 11. Vi startar med att bestämma linjernas skärningspunkter. Vi väljer att låta basen vara en sträcka på linjen l 1, vilket betyder att det är avståndet från punkten p 3 till linjen l 1 som är höjden. Vektorn v = (2,1,0 visar linjen l 1 s riktning och punkten p 4 = (x 4,y 4,z 4 ska ligga på l 1, på den plats där höjden når l 1. Linjen l 4 (t är en linjen på vilken höjden är en sträcka. Två samband kan vi nu teckna v (p 4 p 3 och l1[t] = p 4. Dessa räcker för att få reda koordinaterna till punkten p 4 = (34/5,3/5,1 Så avslutar vi det hela med att bestämma höjden, avståndet mellanp 3 och p 4 och bestämma arean, som blir l1[t_]:={2,4,1}+{2,1,0}t l2[t_]:={-18,2,-1}+{4,-2,1}t l3[t_]:={12,9,1}+{6,-25,7}t u1=solve[l1[t1]==l2[t2]] u2=solve[l1[t1]==l3[t2]] u3=solve[l2[t1]==l3[t2]] p1=l1[t1]/.u1[[1]] p2=l1[t1]/.u2[[1]] p3=l2[t1]/.u3[[1]] basen=norm[p1,p2]; v={2,1,0}; p4={x4,y4,z4}; l4[t_]:=p3+(p4-p3*t; e1=v.(p4-p3==0; e2=l1[t]==p4; u1=solve[{e1,e2}] p4={x4/.u1[[1]],y4/.u1[[1]],z4/.u1[[1]]} hojden=norm[p3,p4]; basen*hojden/2//n Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Svar: areaenheter Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Svar 12. Vi ska finna ekvationen till ett plan som innehåller linjen l 1 och som är vinkelrätt mot planet pl 1. Observera hur pl 1 s ekvation i normalform har definierats, som en lista med fyra tal. Vad kommer ut av skalärprodukten pl 1 (x,y,z,1? Ekvationen ger oss skärningspunkten mellan pl 1 och l 1. Denna punkt p 1 = (3,0,1 ligger dessutom på planet vi söker. l1[t_]:={1+2t,-3+3t,2-t}; pl1={1,1,-2,-1} pl1.{x,y,z,1} Solve[{l1[t]=={x,y,z},pl1.{x,y,z,1}==0}] Vektorn n = (1,1, 2 är pl 1 normalvektor och p2 = (9,9, 2 är en annan godtycklig punkt på linjen. Med hjälp av p 2 p 1 får vi en andra riktning som överensstämmer med vårt sökta plan. Vi har nu en punkt och två riktningar och kan teckna planet pl 2 s ekvation. I sista satsen översätter vi ekvationen för pl 2 från parameterform till normalform. p1={3,0,1}; n={1,1,-2}; p2=l1[4] pl2[s_,t_]:=p1+n*s+(p2-p1t Solve[pl2[s,t]=={x,y,z},{z},{s,t}] Svaret är 5x 3y+z 16 = 0 Håkan Strömberg 10 KTH Syd