Sidor i boken KB 6, 66

Transkript

1 Sidor i boken KB 6, 66 Funktioner Ordet funktion syftar inom matematiken på en regel som innebär att till varje invärde associeras ett utvärde. Ofta beskrivs sambandet mellan invärde och utvärde med en matematisk formel, där invärdet representeras med en (eller flera variabler,) alternativt med en tabell eller grafiskt med en graf, ett sambandsdiagram eller ett pildiagram. En viktig egenskap hos funktioner är att de är deterministiska (det vill säga konsekventa, så att varje invärde alltid ger samma utvärde). Detta gör att funktionen kan ses som en mekanism, en maskin, som systematiskt levererar rätt utvärde så fort man stoppar in ett invärde. Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett y-värde. (Detta gäller för den här kursen) Definition. Mängden av tillåtna x-värden kallas definitionsmängd D f. Mängden av möjliga y- värden kallas värdemängd V f Exempel. Funktionen y = f(x) = x + har definitionsmängden D f = R, mängden av alla reella tal. och värdemängden V f = {y } Exempel. Bestäm definitions- och värdemängd till funktionen g(x) = x. a är bara definierad om a 0, vilket ger Dg = { x } och V g = {0 y } Elementär funktion Funktion av en variabel som kan byggas upp medelst aritmetiska operationer och potenser och deras inversa funktioner Med termen avses vanligen Polynomfunktioner, f(x) = x x Rationella funktioner, f(x) = x + x Exponentialfunktionen, f(x) = x Potensfunktioner, f(x) = x Logaritmfunktionen, f(x) = log x Trigonometriska funktioner, f(x) = sin x + cos x Arcusfunktioner f(x) = arctan x Håkan Strömberg KTH STH

2 I den här kursen ska vi bara syssla med polynomfunktioner och då enbart av första och andra graden. f(x) = x 4 är en polynomfunktion av första graden, som vi oftast skriver y = x 4 och kalla för rät linje. f(x) = x 4x+ är en polynomfunktion av andra graden och kallar för andragradsfunktion. Som vi tar upp inför KS. Läxa. Bestäm k och m till linjerna a) 7x+y+4 = 0 c) 5y l5x 0 = 0 b) x y = 9 d) 6x y = 6 Läxa. Rita linjerna i samma koordinatsystem. a) y = c) y = x b) x = d) y 4x = Läxa. Ligger punkten (4, ) på linjen? a) y = x 4 b) x 4y = 0 c) y = x+0 d) x y = 6 Läxa 4. a) Vilket värde har x i den punkt där en linje skär y-axeln? b) Vilket värde har y i den punkt där en linje skär x-axeln? c) I vilken punkt skär grafen till y + x = y-axeln? Läxa 5. Ekvationen för en linje är y = 4x+b Vilket är talet b, om linjen går genom punkten a) (,) b) (,6) Läxa 6. Skriv linjerna y+x+4 = 0 och y+6x = 8 i k-form. Läxa 7. Bestäm koordinaterna för linjernas skärningspunkter med koordinataxlarna. a) x y+6 = 0 c) 7x+y+l4 = 0 b) 4x+y l = 0 d) 6y = 0 Håkan Strömberg KTH STH

3 Läxa 8. Nadja påstår att graferna till y = 7 x och y x + = 0 är parallella. Är detta sant? Läxa 9. Undersök vilka linjer som är inbördes a) parallella b)vinkelräta? L : y = 4x L4 : 4y x = 0 L : 4x+y 5 = 0 L5 : y = 0.5x L : 5.x.y = 0 L6 : 4x+y = 8 Läxa 0. Finn talet a, om punkten P : (,a) ligger på en linje genom punkterna P : (0, ) och P : ( 9 4,0). Läxa. Linjen x +by 6 = 0 avgränsar tillsammans med koordinataxlarna en triangel i första kvadranten. Bestäm talet b, om triangeln har arean 6 areaenheter. Läxa. Var skär linjen koordinataxlarna? x a + y b = Läxa. För vilket värde på talet a är linjen ax + y = vinkelrät mot linjen x + y = 6 Läxa 4. Kan man bestämma talet t så att både linjen y = t x 5 och linjen y = 7x+t går genom punkten (,4)? Läxa 5. Visa att linjerna ax + by = c och bx ay = d, där a och b är tal skilda från noll, är vinkelräta mot varandra. Läxa Lösning. Man måste lösa ut y för att kunna läsa av k och m-värden. a) b) c) 7x+y+4 = 0 y = 7x 4 k = 7 m = 4 x y = 9 y = x 9 k = m = 9 Håkan Strömberg KTH STH

4 d) Läxa Lösning. 5y l5x 0 = 0 5y = 5x+0 y = x+ k = m = 6x y = 6 y = 6x+6 y = x+8 k = m = 8 Läxa Lösning. Läxa Lösning 4. a) 0 b) 0 c) y+ 0 = ger y =, (0, ). V.L. H.L Svar a) 4 4 = J b) 4 4 ( ) = 6 0 N c) 4+0 = N d) 4 ( ) = 6 N Läxa Lösning 5. När vi sätter in aktuell punkt får vi en ekvation i b. a) b) = 4 +b ger b = 7 6 = 4 ( )+b ger b = Läxa Lösning 6. Vi löser ut y ur de båda ekvationerna och Svar: Samma linje i två skepnader. Läxa Lösning 7. y+x+4 = 0 y = x 4 y+6x = 8 y = 6x 8 y = x 4 a) x = 0 0 y+6 = 0 y = y = 0 x 0+6 = 0 x = b) x = y = 0 y = 4 y = 0 4x+ 0 = 0 x = c) x = y+4 = 0 y = 7 y = 0 7x+ 0+4 = 0 x = d) x = 0 6y = 0 y = y = 0 6y = 0 Ingen Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Läxa Lösning 8. Vi löser ut y i den andra ekvationen y = x och ser att den första har k = och den andra k =. För att de ska vara parallella krävs att k-värdena är lika. Läxa Lösning 9. Linjerna har följande k-värden L L, L L6, L L4, L6 L4, L L5, L L5 L y = 4x k = 4 L y = 4x+5 k = 4 L y = 4x k = 4 L4 y = x 4 k = 4 L5 y = x 4 + k = 4 L6 y = 4x+8 k = 4 Läxa Lösning 0. Först bestämmer vi ekvationen genom punkterna P och P. Vi har nu Vi bestämmer m genom att sätta in P ger m =. Vi har nu linjen y Vi sätter in P k = y = x +m = 0 +m = x + a = + som ger a = Läxa Lösning. Linjen skär y-axeln då x = 0 ger y = 6 b, som också är höjden i triangeln. Linjen skär x-axeln då y = 0 ger x Vi får med hjälp av A = b h +b 0 6 = 0. Ger x = 4, som också är triangelns bas. 6 b 6 = 4 = 6 b 4 Svar: b = 4 = 6 b = 6 b b = Läxa Lösning. a 0 och b 0 antas vara konstanter. Då x = 0 skär linjen y-axeln. Detta sker då y b = eller då y = b. Då y = 0 skär linjen x-axeln. Detta sker då x a = eller då x = a. Svar: Linjen skär y-axeln då y = b och x-axeln då x = a Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Läxa Lösning. Vi måste börja med att lösa ut y i de båda ekvationerna och den andra ax+y = y = ax+ y = ax y = ax + +6 x+y = 6 y = x+6 y = x + 6 y = x + Den senare linjen har k =. I den förra linjen, som har k = a, ska vi välja a så att ) ( ) a Svar: Då a = 6 är linjerna vinkelräta. ( = = a = 6 a Läxa Lösning 4. Vilket värde måste t ha för att punkten (,4) ska ligga på y = 7x + t? Vi får ekvationen 4 = 7 +t t = Det betyder att linjen får ekvationen y = ( ) x 5 9x 5, Vi tar nu reda på vilket värde y får då x = y = Ja, det funkar! Svar: Då t = ligger punkten på båda linjerna. Läxa Lösning 5. Vi löser ut y i de två ekvationerna k-värdet är a b och ax+by = c by = c ax y = ax+c b y = ax b + c b bx ay = d ay = bx d y = bx d a y = bx a d a k-värdet är b a. Vi multiplicerar så de två k-värdena V.S.B. a b b a a b b a Håkan Strömberg 6 KTH STH