Sidor i boken Figur 1: Sträckor

Transkript

1 Sidor i boken Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen kan beskrivas med ett enda tal. Som till exempel omkretsen hos en triangel, summan av en serie eller massan hos en kropp. I stället för tal kommer vi här ofta att använda ordet skalär. Det finns dock andra objekt, som kräver flera tal för att låta sig beskrivas en kraft eller en förflyttning från en punkt till en annan. Dessa objekt beskrivs med en vektor. Det mest klassiska exemplet för att visa skillnaden mellan en skalär och en vektor är skillnaden mellan fart och hastighet. Fart ges som en skalär, 60 km/tim eller 10 m/s, medan hastighet både kräver en storlek, farten, och en riktning, rakt norr ut. I denna föreläsning ska vi studera geometriska vektorer, som kommer att dyka upp i planet. Figur 1: Sträckor Riktad sträcka och vektor I figur 1 ser vi två punkter, P 1 och P 2 i planet. Linjestycket mellan två punkter kallas sträcka. Sträckan i figur 1 betecknas P 1 P 2. Om hänsyn tas till ordningen mellan punkterna är sträckan P 1 P 2 inte samma sträcka som P 2 P 1. Eftersom ordningen är viktig för oss kommer vi fortsättningsvis att tala om riktad sträcka, som vi betecknar P 3 P 4 och ritar med en pil, som i figuren. Den riktade sträckan P 5 P 5 kallar vi i en nollsträcka. I rummet finns förstås oändligt många riktade sträckor, med samma storlek och riktning, som sträckan P 3 P 4. Definition 1. Vektor. En vektor v är mängden av riktade sträckor med samma längd och riktning. Två riktade sträckor hör till samma vektor, om den ena kan överföras till den andra, genom en parallellförflyttning Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Figur 2: 16 riktade sträckor men bara en vektor! Som ett extra förtydligande betonar vi. En riktad sträcka har längd, riktning, startpunkt och slutpunkt. En vektor har endast längd och riktning. Kör man rakt söder ut med 100 km/tim i Haparanda är det i vektoriellt sammanhang samma sak, som att köra rakt söder ut med 100 km/tim i Ystad. Koordinatsystem i planet För att kunna räkna med vektorer på det sätt vi vill analytiskt måste vi införa ett koordinatsystem. Låt v vara en vektor i planet. Ofta, kommer vi att välja den representant för v som har sin startpunkt i origo i ett vanligt rektangulärt koordinatsystem. Koordinaterna för slutpunkten, (v 1,v 2 ), kallas vektorns komponenter. Vi skriver så vektorn som v = (v 1,v 2 ). Två vektorer v och w är identiska då och endast då v 1 = w 1 och v 2 = w 2, då komponenterna är identiska. Räkneoperationer för vektorer i planet. Definition 2. Vi adderar två vektorer v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ) genom v+ u = (v 1 +u 1,v 2 +u 2 ) Vi subtraherar två vektorer v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ) genom v u = (v 1 u 1,v 2 u 2 ) När vi multiplicerar en vektor v med en skalär k, får vi k v = (kv 1,kv 2 ) En vektors längd och avståndet mellan punkter Sats 1. Längden av en vektor i planet. En vektor v = (v 1,v 2 ) i planet är given. Vektorns längd, skrivs v och bestäms genom v = v 2 1 +v2 2 Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Sats 2. Avståndsformeln. Om P 1 (x 1,y 1 ) och P 2 (x 2,y 2 ) är två punkter i planet är avståndet, d, mellan dessa punkter lika med längden av vektorn med en representant P 1 P 2. Eftersom P 1 P 2 = (x 2 x 1,y 2 y 1 ) är d = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 Parallella vektorer Definition 3. Vi säger att vektorerna v och u är parallella, v u, om u kan skrivas som u = t v. Alla vektorer anses vara parallella med nollvektorn 0. Figur 3: Exempel 1. a) Uttryck g med hjälp av a och b b) Uttryck f med hjälp av b och c c) Uttryck e med hjälp av c och d d) Uttryck e med hjälp av f, g och h Lösning: a) g = a+ b b) f = c+ b c) e = c+ d d) e = f g+ h Exempel 2. Bestäm avståndet d, mellan punkterna P 1 = (1,5) och P 2 = (4,9). Svar: Avståndet är 5 l.e. d((1,5),(4,9)) = (1 3) 2 +(5 9) Exempel 3. Är vektorerna v = (3, 4) och w = ( 21,28) parallella? Det vill säga finns det ett reellt tal t sådant att t v = w? Lösning: Vi får ett överbestämt ekvationssystem, två ekvationer men endast en obekant. { 3t = 21 4t = 28 För t = 7 gäller likheten för båda ekvationerna. Vektorerna är visserligen parallella men riktade åt olika håll! Svar: Ja Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Figur 4: Exempel 4. En kraft F har storleken 60 N. En annan kraft G har storleken 75 N. Vinkeln mellan krafterna är 45. Bestäm resultanten till storlek och riktning. Lösning: Vi ska alltså ta reda på längden hos OC. Då vi känner sträckorna ON och NC kan vi enkelt bestämma OC med hjälp av Pythagoras sats. Först konstaterar vi att CN = AC sin45. Eftersom AC = 75 får vi CN = På liknande sätt kan vi så bestämma AN = AC cos45 = Till sist OC 2 = OC = ( ) 2 ( ) ( ) OC Problem 1. Läs av vektorerna i figuren (enbart heltal) och bestäm deras resultant genom att summera dem. Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Lösning: Avläsningen ger vektorerna v 1 = (3,2), v 2 = (3,1), v 3 = ( 2,2) som vi summerar till: Svar: Resultanten r = (4, 5) r = (3,2)+(3,1)+( 2,2) (4,5) Problem 2. Vandringen startade i P(2,2), gick över Q(5,6) och slutade i R(0, 3). Hur många längdenheter lång var vandringen? Lösning: Vi har att bestämma två längder PQ + QR = (5 2) 2 +(6 2) 2 + (0 5) 2 +(( 3) 6) Svar: Vandringen är 15.4 l.e. Problem 3. Vektorerna u = (1, 2) och v = (3, 1) är givna Bestäm a och b så att Lösning: Vi får a u+b v = (3,13) a(1,2)+b(3, 1) = (3,13) (a,2a)+(3b, b) = (3,13) Vi vet då att a+3b = 3 och 2a b = 13. Vi har ett ekvationssystem { a+3b = 3 2a b = 13 { a+3b = 3 3(2a b) = 3 13 { a+3b = 3 6a 3b = 39 Via additionsmetoden får vi så 7a = 42 med roten a = 6 och sedan 6 6 3b = 39 med roten b = 1. Svar: a = 6 och b = 1. Läxa 1. Bestäm längden av vektorn v = (6, 8) Läxa 2. Bestäm längden av resultanten till vektorerna v 1 = (16, 10) och v 2 = ( 7,22) Läxa 3. Läs av vektorerna i figuren (enbart heltal) och bestäm längden hos deras resultant. Läxa 4. Hur många längdenheter tjänar man genom att gå direkt från P(3,5) till Q(8,10) istället för att ta omvägen via R(5,7)? Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Läxa 5. Det är vår och Adam, Bertil och Curt spelar kula. När leken är över har Adam dubbelt så många kulor som Bertil och Curt tillsammans. Bertil har 5 fler än Curt. Tillsammans har de 213 kulor. Ta reda på hur många kulor var och en har genom att göra ett antagande, ställa upp en ekvation, lösa den och ge ett fullständigt svar. Läxa 6. Två av dessa uttryck är identiska. Visa vilka genom förenkling. A) ab+a 2 +b 2 +ab a+b B) ab+a 2 b 2 ab a+b C) ab+a 2 b 2 ab b a D) ab+a 2 +b 2 ab a b Läxa 7. I andragradsekvationen (2p) 3x 2 +a x 612 = 0 är inte x-koefficienten känd. Däremot är ena roten x 1 = 12. Bestäm a och den andra roten x 2 Läxa 8. Lös ekvationen x+ x 12 = 0 Läxa 9. En rät linje går genom punkterna P(1,5) och Q(5,7). Ange a så att även punkten (8,a) ligger på linjen. Läxa 10. I en triangel är en sida 5.8 cm kortare än höjden mot denna sida. Bestäm längden av denna sida om arean av triangeln är 28.6 cm 2. Läxa 11. Sidan AB i en rätvinklig triangel är 61 cm, BCA är 10.5 och CDA är 8.2. Beräkna längden CD. Läxa Lösning 1. v = Svar: 10 l.e. Läxa Lösning 2. Först bestämmer vi r r = v 1 + v 2 = (16, 10)+( 7,22) = (9,12) och så Svar: 15 r = Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Läxa Lösning 3. v 1 = (5,0), v 2 = (0,2), v 3 = (2,2), v 4 = ( 2,3), v 4 = (4,2) så bestämmer vi längden av r Svar: r = 9 2 Läxa Lösning 4. Avståndet från P till Q är Avståndet från P till Q via R är a 2 = PR + RQ = r = (5,0)+(0,2)+(2,2)+( 2,3)+(4,2) (9,9) r = a 1 = PQ = (8 3) 2 +(10 5) 2 = 50 (5 3) 2 +(7 5) 2 + a 2 a 1 = 50 ( 8+ 18) = 0 (8 5) + (10 7) 2 = Vad kan man säga om resultatet? Att besöka R är ingen omväg eftersom R ligger på sträckan PQ. Svar: 0. Läxa Lösning 5. Antag: Curt har x kulor, Bertil x + 5 och Adam 2(2x + 5) Ekvation x+(x+5)+2(2x+5) = 213 2x+5+4x+10 = 213 6x = 198 x = 33 Svar: Adam har 142, Bertil har 38 och Curt har 33 kulor. Läxa Lösning 6. Efter förenkling får vi: Svar: B och D är identiska. A) a+b B) a b C) (a+b) D) a b Läxa Lösning 7. Då vi sätter in x 1 = 12 i ekvationen får vi 3 ( 12) 2 +a( 12) 612 = 0. Ur detta erhåller vi a = 15 och kan nu skriva ekvationen 3x 2 15x 612 = 0 som har rötterna x 1 = 12 och x 2 = 17. Svar: a = 15 och x 2 = 17 Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 Läxa Lösning 8. Vi testar rötterna Svar: x = 9 x+ x 12 = 0 x = 12 x ( x) 2 = (12 x) 2 x = x+x 2 x 2 25x+144 = x = 25 2 ± x = 25 2 ± 49 4 x = 25 2 ± 7 2 x 1 = 16 x 2 = 9 x 1 = 16 H.L V.L H.L. V.L. x 2 = 9 H.L. 9 3 V.L H.L. = V.L. Läxa Lösning 9. Vi bestämmer först ekvationen för linjen genom P och Q. k = Vi har nu y = x 2 +m. Med hjälp av punkten P kan vi bestämma m. 5 = 1 2 +m ger m = 9 2 och ekvationen y = x Bestäm så a så att punkten (8,a) ligger på linjen. a = Svar: a = 17 2 Läxa Lösning 10. Antag: höjden är h. Basen b är då h 5.8. Genom formeln A = b h 2 får vi ekvationen 28.6 = h(h 5.8) = h 2 5.8h h 2 5.8h 57.2 = 0 h = 2.9± h = 2.9±8.1 h 1 = 11 (h 2 = 5.2) Basen blir då = 5.2 cm Svar: Basen är 5.2 cm. Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Läxa Lösning 11. tan BCA = AB BC BC = AB tan BAC tan CDA = AB BD BD = AB tan CDA AB CD = BD BC = tan BAC AB tan CDA = 61 tan cm tan10.5 Svar: 94 cm Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 Tekniskt basår MER OM VEKTORER 3 Matematik I Basvektorer ON system En vektor kan alltid delas upp i komposante er längs tvåå givna riktningar. Dessa riktningar ges i planet av två vektorer, och, dvs. i respektive riktning. Om de väljss så att de inte är parallella sägs vektorparet vara basvektorer, de utgör en bas. Om de dessutom är vinkelräta och har längden ett utgör de enn så kallad ON bas, ett ON system. ON betyder ortonormal, orto från (vinkelrät) och normerat därför att basvektorerna har längden ett. Varje vektor kan alltidd skrivas som en summa av och. I figuren nedan blir 3 +2 ellerr om man underförstå år basvektorerna, 3, 2. Man säger att vektorn harr koordinaterna 3, 2. Komposanterna till vektor är 3 och 2. Parallella vektorer Exempel 1 Lösning Två vektorer och är parallellaa om och endast om,. Bestäm det reella talett t så att vektor 3,1 1,, 2 blir parallell med vektor 1, 1. 3, 1 1,, 2 3, 1 2 ska vara parallell medd 1, 1. Det ska alltså finnas ett tal k, sådant att 1, 1 3,1 2 Denna vektorekvationn ger upphov till ekvationssystemet: som har lösningen 2 5 Det reella talet 2 gör att 3, 1 1,, 2 3, 1 2 1, 2 3, 1 2, 4 5,5 vilket är parallell med 1, 1. 3 Sid något omarbetat från: L. A. Callenberg (2006), Matematik Breddning, Studentlitteraturr AB, ISBN

11 Tekniskt basår Matematik I Ekvivalens klass Två vektorer sägs varaa ekvivalenta om de är lika långaa och har samma riktning. Man kan också säga att de tillhör samma s ekvivalensklass. Vektorer ur samma ekvivalensklass. Ortvektor Om en vektor i ekvivalensklassenn har sin början i origo, så har denna vektor samma koordinater som den punkt där d vektornn slutar, och kallas ortsvektor. Om man i sitt koordinatsystem ritar in en vektor med start i punkten och slut i punkten kan man kalla denna vektor v. Koordinaterna för vektorn blir, om, och,, dvs. slutpunktens koordinater minus startpunktens koordinater. I figuren inses även attt Exempel 2 Lösning Punkterna och har koordinaterna 3, 4 4 respektive 5, 3. Bestäm koordinaterna för vektorerna, ochh. är vektorn som går mellan origo och punkten P 1 och vektorns koordinaterr är naturligtvis 3,4 5 3, 3 4 2, 1 3 5, 4 3 2, 1 14

12 Tekniskt basår Matematik I Exempel 3 Punkterna och har koordinaterna 0, 1 1 respektive 2, 0. a)bestäm koordinaterna för vektorn Q Q. b)vektorn Q Q är ekvivalent med av vektorerna i Exempel 2. Vilken? Varför? c)ortsvektorn i denna ekvivalensklass startar i origo och slutar i en punkt. Vilken punkt? Lösning a) 2 0,0 1 2, 1 b) P P har samma längd och riktning som Q Q eftersom vektorernas koordinaterr är samma. c) En vektor som börjar i origo och slutar i punkten p (2, 1) har samma längd och riktning som Q Q Vektorlängd I många tillämpningarr är det viktigt att kunna beräknaa en vektors längd. Om man har angett vektors koordinater i ON bas blir detta väldigt enkelt. Längden av en vektor kallas ofta också för beloppet. b Längden av vektorn, eller beloppet, skrivs. Längden av en vektor är ett reellt tal kopplat till vektorn. I en ON bas är om koordinaterna för är,. Exempel 4 Vektor 3, 2 är given. Beräkna , 2 6,

13 Tekniskt basår Matematik I 301. Låt u 1, 4 och v 2, 2. Beräkna i koordinatform a) 3 b) 2 c) 3 d) Vektorn 2, 5 och 1, 4 är givna. Beräkna a) b) Vektorerna 0, 4 och 4, 3 är givna. Beräkna a) 3 b) 2 3 c) d) 304. I ett koordinatsystem är en triangel ritad. Hörnen är placerade i punkterna 1, 2, 4, 0 och 1, 1. Ange koordinaterna för vektorerna a) b) c) d) 305. Visa att punkterna 1, 0, 4, 2 och 6, 10 3 ligger på en rät linje genom att beräkna koordinaterna för vektorerna och Bestäm så att de tre punkterna 1, 2, 0, 4 och 3, ligger på en rät linje. 16