MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp,

Transkript

1 MA004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, Hjälpmedel: Penna, radergummi och rak linjal. Varken räknedosa eller formelsamling är tillåtet! Tentamen består av 0 frågor! Endast Svarsblanketten ska lämnas in! Inget tentamensomslag! Svarsalternativ i Bold Courier New ska tolkas som text i en Input Cell. Övrig text som i en Text Cell. Beteckningar enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsida. Lösningsförslag anslås på kursens hemsida efter tentamen. Lycka till! Bertil. Beräkna. (p) Låt vektorerna,,,, 0, 4 och,,. Del A 5 poäng med fokus på räknefärdighet för hand, samt grundläggande färdighet i Mathematica. Lösningsförslag: Sådan subtraktion är inte definierad! a, 5, 9 b 0, 0, 8 c 4,, d 6, 0, 8 e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e. Låt vara en enhetsvektor med samma riktning som och bestäm dess projektion på. (p) Lösningsförslag: Först enhetsvektorn. 5,0, 4 5 Sedan den önskade projektionen.. 6 5, 5, 9 5 a 7,, b,, c 9 4,, d,, e Inget av a till d. 5. Låt punkterna A och B ha ortsvektorerna respektive. Sök avståndet mellan mittpunkterna på OA och AB. (p) Lösningsförslag: Vi söker tydligen längden av vektorn Norm 5 a 6 b Norm c 7 d Norm e Inget av a till d. 4. Bestäm skalären s så att vektorn s blir vinkelrät mot z-axeln. (p) Lösningsförslag: Vi vet att s s0, 0, 0, så Solve s.0, 0, 0 s 4 a b 5 c d 4 e Inget av a till d. 5. Beräkna om, och. (p)

2 Lösningsförslag: Vi får a 7 b 8 c 9 d 0 e Inget av a till d. 6. Kraften N flyttar en låda från en lagerplats med ortsvektorn m till en annan lagerplats med ortsvektorn m. Sök det uträttade arbetet. (p) Lösningsförslag: Här är såväl kraft som förflyttning givna på "ren" vektorform så vi får direkt A. Nm Nm a Nm b Nm c 6Nm d 8 Nm e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: a 7. Kraften N angriper i en punkt vars ortsvektor är m. Bestäm momentet kring origo. (p) Lösningsförslag: Även i denna uppgift är såväl kraft som ortsvektor givna på "ren" vektorform så vi får direkt momentet kring koordinataxlarna. Nm 4Nm,5 Nm, Nm a 4, 5, Nm b 4, 5, Nm c 4, 5, Nm d 4, 5, Nm e Inget av a till d. 8. Låt. Beräkna. (p) Lösningsförslag: Räkna på!. 5 a 5 b 5 c 5 d 5 e Inget av a till d. 9. Låt c d. Bestäm talen c och d så att. (p) Lösningsförslag: Räkna på! Likhet för matriser ger sedan c och d.. c d c Solve d 0 0 c d dcc d c 0 0 c 6, d a c, d b c, d c c 5, d d c 6, d e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e 0. Sök en matris så att 5 a a 5 a a a a a a. (p) a a Lösningsförslag: Förmultiplikation med permutationsmatris för att göra linjärkombinationer av rader. Med lite känsla för matrismultiplikation och lite provande har vi ;-)

3 5 0. a a a a 5 a a 5 a a a a a a a a Rätt svarsalternativ: a a 5 0 b 5 c Finns ej d 5 0 e Inget av a till d.. Låt r r r vara given. För vilka r existerar inte? (p) Lösningsförslag: Inversen existerar om 0, dvs ej singulär. Med utveckling längs exempelvis första raden har vi r rr rrrrr rr r. Det r r r r r Factor Solve 0 r, r, r Så existerar inte när r eller r. a r, b r, c r, 0 d r, e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: a. Låt 5. Bestäm. (p) Lösningsförslag: Vi har a b c d d b c a, om ad bc 0. Det 5 5, Inverse 7, a 7 5 b 7 5 c ej inverterbar d Inv e Inget av a till d.. Lös matrisekvationen då. (p) Lösningsförslag: Enklast är nog att ansätta. Likhet ger sedan ett enkelt ekvationssystem att lösa. x x x x ;. Solve First. 0 0 x x x x x x x x x x x x Eller med invers

4 0,, 5 Rätt svarsalternativ: a Inverse a 0 4 b 0 c d e Inget av a till d. 4. Bestäm alla egenvärden till 4 4. (p) Lösningsförslag: Egenvärdena ges av sekularekvationen Λ 0. sekekv Det 4 4 Λ Λ 8 Λ7 0 SolvesekEkv Λ, Λ 7 a SolveDet 4 Λ0 b, 4 c, 7 d, e Inget av a till d Bestäm en egenvektor till det minsta egenvärdet till matrisen i föregående uppgift. (p) Lösningsförslag: Egenvektor till Λ; Avslutningsvis hela sagan utom tävlan. 4 4 x y x y x y 0 x y 0. Ok, parallella! Så exempelvis e,. Eigensystem 4 4 7,, a, b, c, d, e Inget av a till d. Del B 5 poäng med fokus på modellering och Mathematica. 60. Ortsvektorerna och pekar ut två punkter på en rät linje. Sök avståndet från denna till punkten P,,. 6. Bestäm ortsvektorn 0 för en punkt på linjen. (p) Lösningsförslag: Meka ihop en passande 0 a 0 b 0 c 0 d 0,, e Inget av a till d. 7. Bestäm en riktningsvektor längs linjen. (p) Lösningsförslag: Meka ihop en passande 6,, a b c d e Inget av a till d. 4

5 8. Bestäm vektorn från 0 till P. (p) Lösningsförslag: Visst, OP 0.,, 0, 5, 9 a 0,, b,, 0 c,, 0 d,, 0 e Inget av a till d. 9. Bestäm projektionen av på. (p) Lösningsförslag: Standard beräkningsmolekyl i vår värld!.. 66,, Rätt svarsalternativ: a a.... b c d e Inget av a till d Bestäm slutligen det sökta avståndet. (p) Lösningsförslag: Sätt in aktuellt t i linjens ekvation! Norm a b c Norm d Norm 0 e Inget av a till d.. Bestäm ortsvektorn för en punkt i planet x y z 5 0. (p) Lösningsförslag: Ortsvektor P0 för punkt i planet, exempelvis genom att prova x P0,, får vi x, y, z. Solvex y z 5 0, x. y, z First 4,, a x,,. Solvex y z 5 0, x First b x, y, z. y, z. Solvex y z 5 0, x First c x, y, z. Solvex y z 5 0, x. y, z First d x, y, z. Solvex y z 5 0, y, z. y, z First e Inget av a till d. 5. Ett flygplan håller alltid farten 50 ms. En dag blåser det 0 ms i riktning mot sydost. Vilken riktning ska flygplanet nu välja för att resan ska gå rakt österut och vad blir den resulterande farten?. Låt x axeln peka österut och y axeln norrut. Använd vinkeln Θ i förhållande till positiva x axeln och teckna flygplanets sökta enhetsriktning. (p) Lösningsförslag: Det är bara att följa receptet. CosΘ, SinΘ; 5

6 a CosΘ, SinΘ b CosΘ, SinΘ c SinΘ, CosΘ d, Θ e Inget av a till d.. Teckna flygplanets hastighet. (p) Lösningsförslag: Med vanlig nedbrytning av en vektor i sina två atomer har vi flygplanets hastighet u cosθ, 50 sinθ a 50 b 50 CosΘ c 50 d 50 e Inget av a till d. 4. Teckna vindhastigheten. (p) Lösningsförslag: På samma sätt vindens hastighet v. 0 Cos45, Sin45 0,0 a 0 Cos45, Sin45 b 0 Cos45, Sin45 c 0 Cos0, Sin0 d 0 Cos5, Sin5 e Inget av a till d. 5. Formulera frågeställningen som en vektorekvation där även planets resulterande fart w österut ingår. Lös ut Θ och w. (p) Lösningsförslag: Rita en figur så inser vi att w, 0. y Θ x Solve w, 0, 0Θ Π w 0 0 6, Θ sin 5 Rätt svarsalternativ: a a Solve w, 0, 0Θ Π b Solve w, 0 Θ Π c Solve w, 0, 0Θ Π d Solve w 0,, 0Θ Π e Inget av a till d. 69. Anpassa y ax bx med (MKM) till mätvärdena x 0 y. 6. Ange i det överbestämda ekvationssystemet a b. (p) Lösningsförslag: De tre mätpunkterna möblerar och i det överbestämda ekvationssystemet a b för de sökta konstanterna a och b, där, 0 ;,

7 a 0 b 0 c 0 d e Inget av a till d. 7. Ange normalekvationerna till det överbestämda ekvationssystemet a b. (p) Lösningsförslag: Normalekvationerna a b får vi genom att förmultiplicera båda sidor i det överbestämda ekvationssystemet a b med transponatet till, alltså...a, b. 5 a 9 b,9a 7 b 8, 4 a a b b.. a b. c..a, b. d..a, b. e Inget av a till d. 8. Bestäm a och b med lämplig funktion i Mathematica. (p) Lösningsförslag: Naturligtvis är det Solve som är lämplig (som vanligt). I detta fall blir det en enkel match att lösa eftersom ekvationerna tydligen är okopplade, så slutligen det efterlängtade. aåb NSolve..a, b. a.5, b 0.5 Men, men...bland alternativen är det Fit som är rätt och snabbaste vägen då vi har linjär (MKM)! Ordningen i spelar ingen roll. Fit 0, x, x,x.5 x 0.5 x a Fit 0, x, x,x b Minimize 0, x,, x c Minimize 0, x, x,x d Fit 0, x,x, x e Inget av a till d. 9. Antag att a och b är sparade som regler i aåb. Rita modellen med mätpunkterna markerade. Välj färger, pynta axlarna osv! (p) Lösningsförslag: En bild piggar alltid upp. Plota x bx. aåb, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel x, y, Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 y x 7

8 a b c d PlotaÅb. axb x, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 PlotaÅb. axb x, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 Plota xb x. aåb, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 Plota xb x. aåb, x, 0,, PlotStyle Orange, AxesLabel "x", "y", Epilog PointSize0.0, Red, Point 0 e Inget av a till d. 0. Tomten håller kor och får. En ko behöver LE ladugårdsenheter och ett får LE på grund av frigång inomhus. Tomten förfogar över 0 LE. En ko äter HE höenheter medan ett får nöjer sig med HE. Totalt finns 0 HE tillgängliga. Slutligen finns även en begränsning på VE vattenenheter där en ko såväl som ett får förbrukar VE. Hur ska han hålla djur om han vill maximera sin vinst då vinsten för en ko är Pengar och 4 P för ett får? Formulera och lös LPproblemet som besvarar Tomtens funderingar. p Lösningsförslag: Vi får direkt (Icke-neagitivetskraven på djuren är överflödiga i detta fall) Maximize kor 4 får, Vinst kor får 0, LE kor får 0, HE kor får, VE kor 0, får 0, kor, får 44, kor 4, får 8 a Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får b Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får c Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får d Maximize kor 4 får, kor får 0, kor får 0, kor får, kor, får e Inget av a till d. Rätt svarsalternativ: e 8