1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA."

Transkript

1 Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn a AB, b AG och c GN, P Q R S T K L M N O F G H I J A B C D E.3 Uttryck vektorn w i form av vektorerna u och v i figuren u v 3 w.4 De från samma punkt utgående vektorerna a, b, och c satisfierar ekvationen 7a 8b + c =. Visa att vektorernas ändpunkter ligger på en och samma linje..5 Visa att mittpunkterna på sidorna i en godtycklig fyrhörning bildar hörn i en parallellogram. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 2 2. Bestäm den vektor som representeras av segmentet AB när A = 6, 3 och B =, 4. Rita AB och dess ekvivalenta ortsvektorrepresentant. 2.2 Bestäm a + b, a b, 3a, och 2a + 5b när a = e + 6e 2 och b = 4e 5e Bestäm vektorformen, parameterformen och den parameterfria formen för den linje som går genom punkterna 2, 4, och 3,, Visa att betyder samma linje. x = + 2t y = 2 t z = 3 t och x = 3 2t y = + t z = 2 + t

2 2.5 Bestäm, om det är möjligt, skärningspunkterna mellan linjerna { x = 2 + 3t y = 2t och { x = 2 3t y = 4 + 2t 2.6 Visa, att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. En median är en sträcka från ett hörn i en triangel till mittpunkten på motstående sida. Om inte annat anges i uppgiften, så är det tillåtet att i nedanstående uppgifter anta att vektorerna är givna i någon ON-bas. 2.7 Bestäm a b då a = 3, 7, 3 och b = 5, 3,. 2.8 Bestäm a b då a = 3 och b = 7 och vinkeln mellan dessa är π/ För vilka värden på parametern b blir vektorerna 9, b, 2b och b, b 2, b vinkelräta? 2. Bestäm vinkeln mellan vektorerna a =,, 2 och b = 2,, Beräkna vektorn b:s ortogonala projektion på vektorn a när a =, 4, 6 och b = 7,, Bestäm vektorformen för den linje som går genom punkten 6, 6, och är vinkelrät mot planet 3x 2y + 7z = 3. I vilka punkter skär denna linje koordinatplanen? 2.3 Bestäm avståndet mellan punkten 6,, 5 och planet 2x 7y + z = Visa, att höjderna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. 2.5 Bevisa att, cosβ α = cos β cos α + sin β sin α. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 3 Om inte annat anges i uppgiften, så är det tillåtet att i nedanstående uppgifter anta att vektorerna är givna i någon positivt orienterad ON-bas. 3. Bestäm a b och b a då a = 3,, 2 och b = 6, 8,. 3.2 Bestäm arean av den parallellogram som har hörnpunkter i P,,, Q5,,, R3, 8, 8, S8, 8, Bevisa att a b a + b = 2a b. Motivera noggrannt! 2

3 3.4 Beräkna avståndet mellan punkten,, och linjen x = y = z Ett plan går genom punkterna, 2, 3, 3,,, och 2, 4, 2 och ett annat plan har ekvationen x + y + 2z = 7. Bestäm, om det är det möjligt, vinkeln mellan planen. 3.6 Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten 2,, och innehåller linjen 3x = y = z En tetraeder är en kropp med fyra hörn P, Q, R, S och fyra avgränsande triangelytor. Låt v, v 2, v 3 och v 4 vara vektorer med längder lika stora som de avgränsande triangelytorna och med riktingar som är vinkelräta mot dessa ytor samtidigt som de pekar ut från tetraedern. Visa att v + v 2 + v 3 + v 4 =. Antag nu att samtliga vinklar som möts i hörnet S är räta i tetraedern. Låt A, B, C vara arean av de trianglar som möts i S medan D antas vara arean av den motstående triangeln P QR. Visa att D 2 = A 2 + B 2 + C 2. Observera detta är en utvidgning av Pythagoras sats. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 4 4. Bestäm ekvationen för den ellips som fås från enhetscirkeln x 2 + y 2 = när punkten x, y ersätts med a x, y/2, b 3x, y och c x/5, y/ Visa, att { x = a cos t y = b sin t är en parameterframställning av ellipsen 4.3 Inför funktionerna x 2 a 2 + y2 b 2 =. cosh t = e t + e t, 2 sinh t = e t e t. 2 Visa, att { x = a cosh t y = b sinh t är en parameterframställning av hyperbeln x 2 a 2 y2 b 2 =. 3

4 4.4 Bestäm ekvationen för den hyperbel, som har brännpunkter i 2, 2 och 2, 2 när skillnaden mellan avstånden ges av Bestäm ekvationen för den parabel, som har styrlinjen x + y = och brännpunkt i,. Vilken form får denna ekvation efter variabelbytet u = 2 x + y +, v = 2 x y? Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 5 5. Betrakta nedanstående matris som en utvidgad koefficientmatris till ett linjärt system. Beskriv i ord de två närmast påföljande radoperationerna som härnäst skall utföras för att man skall erhålla en lösning till systemet Bestäm samtliga lösningar till det linjära ekvationssystemet x + 3x 2 3x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 2 2x + 3x 2 + 6x 3 x 4 + 3x 5 = 3x + 6x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 =. Ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden. 5.3 Bestäm samtliga lösningar till det linjära ekvationssystemet x + 2x 2 + 4x 3 + 6x 4 + 8x 5 = 3 5x + x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 4x 5 = 2 4x + x 2 + 8x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 6 3x + 7x 2 + 2x 3 + 2x x 5 = Ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden. 5.4 Bestäm, ifall det är möjligt, sådana värden på parametern s, att matrisen nedan svarar mot ett konsistent linjärt system. 3 s Ifall det finns värden på parametern s, som medför att systemet blir konsistent enligt ovan, avgör om lösningen i så fall är entydig eller inte. 4

5 5.5 Bestäm, ifall det är möjligt, de värden på parametern h, för vilka matrisen nedan utgör en utvidgad koefficientmatris för ett konsistent system av linjära ekvationer h 7 Ifall det finns värden på parametern h, som medför att systemet blir konsistent enligt ovan, avgör om lösningen i så fall är entydig eller inte. 5.6 I denna uppgift använder vi oss av betekningar motsvararande de som används i Exempel 5.8 för matriser i echelonform. Antag matriserna nedan representerar utvidgade koefficientmatriser för system av linjära ekvationer. Avgör om systemet är konsistent och ifall det är det, huruvida lösningen är entydig. 5.7 Bestäm det tredjegradspolynom som går igenom punkterna, 9,, 8,, 3 och 2,. Detta polynom kallas interpolationspolynomet genomde givna punkterna. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 6 6. v u y z w x Använd figuren till att skriva vektorerna w, x, y och x som en linjärkombination av vektorerna u och v. Är varje vektor i R 2 en linjärkombination av u och v? Samtliga vektorer antas ha utgå från samma referenspunkt som u och v och ha de ändpunkter som markerats. 5

6 6.2 Låt vektorerna v, v 2 och y vara givna av 3 3 v =, v 2 = och y = 5 3 h Fö vilka värden på h finns y i det plan som spänns upp av v och v Låt matrisen B vara given av B = Spänner matrisen B:s kolonner upp R 4? Har ekvationen Bx = y en lösning för varje y i R Antag att A är en 4 4 matris och att b är en vektor i R 4 med egenskapen att Ax = b har en entydig lösning. Förklara varför A:s kolonner måste vara linjärt oberoende. 6.5 Beräkna först lösningarna till det homogena systemet på parametrisk vektorform. x 2x 2 + 3x 3 = 2x 3x 2 + 6x 3 = 5x 8x 2 + 5x 3 = Beskriv därefter lösningen till nedanstående inhomogena system x 2x 2 + 3x 3 = 3 2x 3x 2 + 6x 3 = 5 5x 8x 2 + 5x 3 = 3 på parametrisk vektorform och jämför lösningarna geometriskt med lösningsmängden till det homogena systemet ovan. Vad märker du? 6.6 Avgör om vektorerna, 3 och 2, 6 är linjärt oberoende. Motivera ditt svar. 6.7 Bestän de värden på h för vilka vektorerna är linjärt beroende. 3 2,, h Låt A vara given av A = Observera att den första kolonnen plus tre gånger den andra kolonnen ger den tredje kolonnen. Bestäm en icke-trivial lösning till Ax = utan att utföra några radoperationer. 6

7 Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 7 7. Sätt och låt u = 3 A = v = Sätt T x = Ax i R 2. Rita vektorerna u, v, T u och T v i ett rektangulärt koordinatsystem. Hur långa är T u och T v? Vad gör T geometriskt med vektorn x? 7.2 Bestäm matrisen för spegling genom y-axeln i R 2, dels i den naturliga basen e = e 2 =, dels i basen e + e 2 och e e Förklara varför avbildningen T x, x 2 = 2 x, 4x 3x 2 inte är linjär. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel Låt matriserna, A, B, C, D, E, F vara givna av A = , B = 3 7 5, C = , D = 4, E = 3 7 Beräkna, om det är möjligt, matriserna 4C 3A T, A C, BC, C T C, BAC, DE 8.2 Visa, att om A och B är kvadratiska matriser, så gäller ekvivalenserna AB = BA A BA + B = A 2 B 2 och AB = BA A + B 2 = A 2 + 2AB + B Låt matriserna A och B vara givna av a b A = och B = c d Bestäm, ifall det är möjligt, villkor på koefficienterna i A så att AB = BA. 8.4 En matris, A, kallas symmetrisk om A T = A. Visa att matriserna AA T och A T A alltid är symmetriska och ge samtidigt exempel på att de inte behöver vara lika. 8.5 En matris, A, kallas skevsymmetrisk om A T = A. Visa att om A och B är skevsymmetriska matriser så är A + B skevsymmetrisk, om de ingående räkneoperationerna är definierade. 7

8 8.6 Antag att A är en kvadratisk matris. Kan man avgöra huruvida A + A T och A A T är symmetriska eller skevsymmetriska? 8.7 Om A är en kvadratisk matris, så kallas summan av alla elementen i diagonalen mellan det övre vänstra hörnet och det nedre högra hörnet för spåret av A. Detta beteknas tra. Visa att om A är en m n-matris och B är en n m-matris, så gäller trab=trba. 8.8 En kvadratisk matrisk A med elementen a ij på plats ij kallas nedåt triangulär, om a ij = när i < j. På motsvarande sätt kallas A uppåt triangulär om a ij = när i > j. Visa att produkten av två nedåt triangulära matriser är nedåt triangulär och att produkten av två uppåt triangulära matriser är uppåt triangulär under förutsättning att de ingående matrismultiplikationerna är definierade. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 9 9. Bestäm inversen till matrisen Bestäm inversen till matrisen Bestäm lösningen till ekvationssystemet 9.4 Bevisa sats 9.5! 3x + x 2 = 3 x + 2x 2 = Bestäm inverserna till elementärmatriserna 3,, Bestäm inversen till matrisprodukten c b, c a 8

9 9.7 Beräkna, ifall det är möjligt, inversen till matrisen Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Beskriv vilken den indikerade radoperationen är och hur den påverkar determinanten: a b c d, a b c + ka d + kb.2 Bestäm determinanten genom radförenkling till echelonform Avgör genom att använda determinanter om vektorerna är linjärt oberoende 4 3 7, 2 6 8, 2,.4 Låt A vara en n n-matris och låt n vara udda. Antag dessutom att A är skevsymmetrisk. Bestäm deta..5 Beräkna nedanstående determinant genom kofaktorutveckling. Välj vid varje steg den rad eller kolonn som leder till minst beräkningar Beräkna determinanten

10 .7 Beräkna den n-radiga determinanten Används Cramers regel för att bestämma en lösning till ekvationssystemet x + x 2 = 6 2x 3x 2 = 7.9 Bestäm de värden på s som garanterar en entydig lösning till systemet och bestäm denna lösning. sx + 2x 2 = 6 2x + sx 2 = 7. Använd formeln för matrisinvers för beräkna inversen till s s, s ifall den existerar.. Använd formeln för matrisinvers för beräkna inversen till a a 2 b b 2, c c 2 ifall den existerar. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Matrisen har egenvärdena λ = och λ 2 = 3. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till vart och ett av egenvärdena..2 Matrisen har egenvärdet λ = 2. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till detta egenvärde.

11 .3 Matrisen har egenvärdena λ = 2 och λ 2 = 5. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till vart och ett av egenvärdena..4 Sätt A = Bestäm två egenvärden till A utan att beräkna dessa. Bestäm sedan tre linjärt oberende egenvektorer till dessa egenvärden utan att beräkna dessa..5 Bestäm det karakteristiska polynomet och egenvärdena till matrisen Bestäm egenvärdena till matrisen Bestäm den karakteristiska ekvationen till matrisen Antag att A n = för något n Z +. Visa att A inte kan ha några andra egenvärden än noll. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 2 2. Diagonalisera matrisen 6 6 ifall det är möjligt., 2.2 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt. A = 36 3,

12 2.3 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt , 2.4 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt. Ledning: Matrisen har ett egenvärde och det är λ = 5. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 3 3. Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till matrisen A = 4 2 3, Bestäm sedan en inverterbar matris P R och en matris D R på formen a b D R = b a så att matrisen A antar formen A = P R D R P R. 3.2 Bestäm rotationsplanet för det dynamiska systemet x n + x 2 n + x 3 n + = x n x 2 n x 3 n Vilken geometrisk avbilning utförs på den egenvektoraxeln som befinner sig utanför rotationsplanet? 2

13 Svar och anvisningar till uppgifterna. a AC b BA..2 a AB, BC, CD, DE, F G, GH, HI, IJ, KL, LM, MN, NO, P Q, QR, RS, ST. b AG, BH, CI, DJ, F L, GM, HN, IO, KQ, LR, MS, NT. c AH, BI, CJ, F M, GN, HO, KR, LS, MT..3 w = v u..4 Ledning: Sätt a = OA, b = OB och c = OC. Om vektorernas ändpunkter befinner sig på en och samma linje måste det gälla att OA + tab = OC för något t. Går det att bestämma ett sådant t under givna förutsättningar? Det finns också andra lösningar..5 Ledning: Denna uppgift kan lösas såväl genom att använda sig av vektorer som genom att använda kända satser om likformighet för väl valda trianglar. Ifall man väljer vektorrepresentation kan man tex läta A, B, C, D betekna hörnen i den godtyckliga fyrhörningen ABCD och låt eventuellt dessutom O betekna någon punkt utanför fyrhörningen. Låt A, B, C, D betekna sidornas mittpunkter och representera tex vektorerna A B och C D så att de kan jämföras. Gör lika med vektorerna B C och D A. 2. AB = 7,. 2.2 a + b = 5,, a b = 3,, 3a = 3, 8, och 2a + 5b = 22, Vektorformen ges av Parameterformen ges av t x = 2 + 5t, y = 4 3t, z = 8t. Den parameterfria formen ges av x = y 4 3 = z Ledning: Undersök först om linjernas riktningsvektorer är parallella. Om så är fallet, kontrollera huruvida linjerna har någon punkt gemensam. 3

14 2.5 En skärningspunkt existerar och ges av 5, Ledning: Välj en lämplig bas och använd sedan endera Sats 2.2 eller 2.3 beroende på om du valt att uttrycka medianerna med basvektorer i triangelns plan eller med tre basvektorer utanför triangelns plan. Basvektorerna kan i det sistnämnda fallet väljas så att de går från en referenspunkt utanför triangelns plan till vart och ett av triangelns hörn. Med denna lösning kan man även erhålla ett elegant uttryck för medinarnas skärningspunkt triangelns tyngdpunkt, uttryckt med hjälp av de tre valda basvektorerna b =, b =, b = Vinkeln mellan vektorerna ges av 2 arccos Den ortogonala projektionen ges av Vektorformen ges av t Linjen skär koordinatplanen i punkterna 5 4, 6 2,, 5,, 22 och,, Avståndet är Ledning: Rita en triangel med hörn i O, A och B. Låt a = OA och b = OB. Rita in höjderna genom O och B. Dessa två höjder måste skära varandra i precis en punkt, kalla denna punkt P och sätt p = OP. Vi har nu p b a =. Varför? Hur kan de andra antagandena formuleras och vilka konsekvenser får detta? 2.5 Ledning: Det finns flera sätt att härleda denna subtraktionsformel. Eftersom vi har tillgång till två olika sätt att beräkna den skalära produkten den geometriska defiunitionen och den algebraiska formen i en ON-bas Sats 2.4, så kan vi tilllämpa dessa två representationer på ortsvektorerna cos β, sin β och cos α, sin α i enhetscirkeln. 3. Vi har att a b = 6, 9, 24 och att b a = 6, 9, 24. 4

15 3.2 Arean är Ledning: Använd de egenskaper som ges i Sats Avståndet ges av 5. Det finns åtminstone två sätt att erhålla detta svar, man 3 kan använda ortogonala projektioner i föregående kapitel, eller använda vektorprodukter i detta kapitel. 3.5 Det är möjligt att bestämma vinkeln mellan planen och den ges av θ = π Planets ekvation ges av 9x 3y + 5z =. 3.7 Ledning: Använd kryssprodukter på lämpligt sätt. Var noggrann med att kontrollera att vektorerna v i, i =,..., 4 verkligen pekar ut ur tetraedern! Det kan vara fördelaktigt att tejpa ihop en papperstetraeder med ett rätvinkligt hörn och i denna skriva in namnen på de olika hörnen, så att man håller reda på vad som var vad och vilka antaganden som gällde. 4. a x 2 + 4y 2 =, b x2 9 + y2 = och c 25x y 2 =. 4.2 Ledning: Substituera parameterformen i den givna ekvationen. 4.3 Ledning: Substituera parameterformen i den givna ekvationen. 4.4 Hyperbelns ekvation är xy =. 4.5 Parabelns ekvation är x 2 + 4x + y 2 + 4y 2xy + 4 = Efter variabelbytet antar parabelns ekvation formen u = v Nästa steg: Subtrahera den tredje raden multiplicerad med tre från den fjärde raden. Efter detta delas den fjäde raden med. 5.2 Lösningen till det givna ekvationssystemet är x /2 9 x 2 /2 4 x 3 = + s x 4 x 5 /2 + t 5 3 Lösningsmängden är ett plan i R 5 genom punkten 2, 2,,, 2. 5

16 5.3 Lösningsmängden kan skrivas på den parametriska vektorformen Detta utgör en linje i R 5. x x 2 x 3 x 4 x 5 = t Systemet är konsistent ifall s = 5/2. I annat fall är det inkonsistent. Ifall s = 5/2, så har systemet en fri variabel och drmed oändligt många lösningar. 5.5 Systemet är konsistent ifall h 5. I annat fall är det inkonsistent. Ifall h 5, så har systemet en entydig lösning. 5.6 Det första systemet är inkonsistent. Det andra systemet är konsistent, men lösningen är inte entydig eftersom systemet har fria variabler. 5.7 Ledning: Ställ upp ett lämpligt ekvationssystem där koefficienterna till det sökta polynomet är obekanta och lös det. Interpolationspolynomet genom de givna punkterna ges av ges av x 3 2x 2 4x Varje vektor i R 2 är en linjärkombination av vektorerna u och v. Vi har dessutom att x = 4u 3v, y = 2u v, z = 7 u 2v och w = 2u 2v h =. 6.3 Matrisen B:s kolonner spänner upp R 4 och därmed har ekvationen Bx = y en lösning för varje y i R Ledning: Hur många fria variabler har systemet Ax = b? 6.5 Lösningen till det homogena systemet på parametrisk vektorform ges av x x 2 x 3 = t Denna lösning utgör en linje genom origo i R 3. Det inhomogena systemet har lösningen x x 2 x 3 = 3 + t vilket är en linje som är parallell och icke-sammanfallande med den förra linjen. 3 6

17 6.6 De givna vektorerna är inte parallella och därmed är de linjärt oberoende. 6.7 Vektorerna är linjärt beroende om h = En icke-trivial lösning ges av x =, 3,. 7. Vektorerna T u och T v har längden och T vrider x π/3 radianer. 7.2 Matrisen för spegling i y-axeln ges i den naturliga basen ges av medan den i den andra basen ges av 7.3 Ledning: Det visar sig att T u + v T u + T v. 8. Det är omöjligt att beräkna matriserna A C och BC. Vi har DE = 3. De övriga matriserna ges av 4C 3A T = , C T C = Ett sådant villkor på A är att koefficienterna ges av A = s där s och t är en fria variabler, s, t R. + t, BAC = Matriserna är till exempel inte lika när de har olika storlek. Sätt tex A T = 2. Vi har A T A = 5 och 4 2 AA T = Man kan avgöra huruvida matriserna är symmetriska respektive skevsymmetriska. Matrisen A + A T är symmetrisk och A A T är skevsymmetrisk. 8.7 Ledning: Man kan använda rad-kolonn regeln, tex som i beviset till Sats 8.8 iv. 8.8 Ledning: Man kan använda rad-kolonn regeln, tex som i beviset till Sats 8.8 iv. 7

18 9. Inversen ges av /2 3/2 9.2 Inversen ges av 2/5 /5 /5 3/5 9.3 Lösningen är x = 2/5, x 2 = 9/ Inverserna till elementärmatriserna ges av 3,, 5, c 9.6 Inversen ges av a b c 9.7 Inversen existerar och ges av matrisen Radoperationen är ersätt andra raden med andra raden plus k gånger första raden. Denna radoperation påverkar inte determinanten Vektorerna är linjärt oberoende..4 deta = Ledning: Subtrahera rad 2 från rad, ersätt rad med detta resultatat, Subtrahera rad 3 från rad 2, ersätt rad 2 med resultatet, osv. Vilken matris erhålles? Börja sedan göra kolonnoperationer i den matris du fick enligt enligt: Addera kolonn till kolonn 2, ersätt kolonn 2 med resultetet, addera den nya kolonn 2 till kolonn 3, ersätt kolonn 3 med resultatet osv. Svaret blir n n 8

19 .8 x =, x 2 = 5..9 s 2 och s 2. Lösningen ges i så fall av x = 6s + 4/s 2 4 och x 2 = 7s 2/s Inversen existerar ifall s. Den ges i så fall av s 3 s 2 s s s 2 s s 2. Inversen existerar ifall a b, b c och a c. Den ges i så fall av b ac ac b bcc b acc a abb a b + cc b a + cc a a + bb a c b c a b a. Det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till vart och ett av de givna egenvärdena är en. Egenvektorn till egenvärdet λ = är, 2 T medan egenvektorn till egenvärdet λ 2 = 3 ges av 3, 4 T..2 Det finns maximalt en linjärt oberoende egenvektor och denna egenvektor ges av, T..3 Det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till egenvärdet λ = 2 är 3, medan det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till egenvärdet λ 2 = 5 är en. De linjärt oberoende egenvektorerna till egenvärdet λ = 2 är,,, 2 T,,,, T,,,, T medan egenvektorn till egenvärdet λ 2 = 5 ges av,,, T..4 Vi ser genast att A,, T = 2, 2, 2 T. Detta innebär att,, T är en egenvektor hörande till egenvärdet 2. Vi ser även att t. ex. A,, T =,, T och A,, =,, T. Detta innebär att,, T och,, T är två linjärt oberoende egenvärden till egenvärdet. Därmed har vi funnit totalt tre linjärt oberoende egenvektorer..5 Den karakteristiska ekvationen ges av λ 2 + λ 2 = och egenvärdena ges av λ = 2 och λ 2 =..6 Egenvärdena är 7, 2 och..7 Den karakteristiska ekvationen ges av λ 3 + 5λ 2 73λ + = 2. Det är inte möjligt att diagonalisera matrisen. 9

20 2.2 Matrisen kan diagonaliseras med P = 4 3 och D = 2, 2.3 Matrisen kan diagonaliseras med P = 2 och D = 2 2, 2.4 Matrisen är inte diagonaliserbar. 3. Egenvärdena är λ = 2i och λ 2 = + 2i. Motsvarande egenvektorer är i, T respektive + i, T. Vi har dessutom att P R = och D R = 2 2, 3.2 Rotationsplanet är x x 2 =. Den sökta geometriska avbildningen är förstoring med en faktor 2. 2

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

LYCKA TILL! kl 8 13

LYCKA TILL! kl 8 13 LUNDS TEKNISK HÖGSKOL MTEMTIK TENTMENSSKRIVNING Linjär algebra 0 0 kl 8 3 ING HJÄLPMEDEL Förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl Om inget annat anges är koordinatsystemen ortonormerade

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. ATM-Matematik Mikael Forsberg 34-4 3 3 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mag4 6 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 200 DEL A ( Betrakta det komplexa talet w = i. (a Skriv potenserna w n på rektangulär form, för n = 2,, 0,, 2. ( (b Bestäm

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Svar till tentan. Del A. Prov i matematik Linj. alg. o geom Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Prov i matematik Linj. alg. o geom. 1 2011-05-07 Svar till tentan. Del A 1. För vilka värden på a är ekvationssystemet { ax + y 1 2x + (a 1y 2a lösbart?

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Linjär algebra 8 kl 4 9 INGA HJÄLPMEDEL. För alla uppgifterna, utom 3, förklara dina beteckningar och motivera lösningarna väl. Alla baser får antas

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n. Övningar Linjära rum 1 Låt v 1,, v m vara vektorer i R n Ge bevis eller motexempel till följande påståenden Satser ur boken får användas a) Om varje vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3) TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 74-4 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer maa 8 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3 ATM-Matematik Pär Hemström 7 6572 Sören Hector 7 4686 Mikael Forsberg 74 42 För studerande i linjär algebra Linjär algebra ma4a 225 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0.

(d) Mängden av alla x som uppfyller x = s u + t v + (1, 0, 0), där s, t R. (e) Mängden av alla x som uppfyller x = s u där s är ickenegativ, s 0. TM-Matematik Mikael Forsberg, 734-4 3 3 Rolf Källström, 7-6 93 9 För Campus och Distans Linjär algebra mag4 och ma4a 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 2017-10-2 1 Om vi skriver ekvationssystemet på matrisform AX = Y, så vet vi att systemet har en entydig lösning X = A 1 Y då det A 0 Om det A

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF604, den 7 april 200 kl 09.00-4.00. DEL I. En triangel i den tredimensionella rymden har sina hörn i punkterna

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel.3 Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att cos α = u v u v, där α är (minsta vinkeln mellan u och v. I vårt fall så får vi cos α = 7 4 4 =. Alltså

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA 2018-08-29 kl 8 1 1 Volymen med tecken ges av determinanten a 2 2 2 4 2 1 2a 1 = a 2 2 2 0 4 2 = 4(a 2)(1 a) 0 2a 1 Parallellepipedens volym

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle Egenvärden och egenvektorer Linjär Algebra F1 Egenvärden och egenvektorer Pelle 2016-03-07 Egenvärde och egenvektor Om A är en n n matris så kallas ett tal λ egenvärde och en kolonnvektor v 0 egenvektor

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 017-05-09 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del

Läs mer

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016 Crash Course Algebra och geometri Ambjörn Karlsson c januari 2016 ambjkarlsson@gmail.com 1 Contents 1 Projektion och minsta avstånd 4 2 Geometriska avbildningar och avbildningsmatriser 5 3 Kärnan 6 3.1

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v.

Vektorer. Kapitel 1. Vektorbegreppet. 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av:

Eftersom ON-koordinatsystem förutsätts så ges vektorernas volymprodukt av: MATA15 Algebra, delprov, 6 hp Lördagen den 8:e december 01 Skrivtid: 800 100 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Ligger punkterna P 1 = (0, 1, 1), P = (1,, 0), P = (, 1, 1) och P 4 = (, 6,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA 8-- kl 4-9 a) Triangelns area är en halv av parallellograms area som spänns upp av tex P P (,, ) och P P (,, ), således area av P P P (,, ) (,,

Läs mer

ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen

ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen ANDRAGRADSKURVOR Vi betraktar ekvationen Ax + Bxy + Cy + Dx + Fy + G 0 (ekv) där minst en av A,B, eller C är skild från 0 En andragradskurva är mängden av alla punkter vilkas koordinater satisfierar en

Läs mer

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6 TM-Matematik Sören Hector :: 7-46686 Mikael Forsberg :: 734-433 kurser:: Linjär Algebra ma4a Matematik för ingenjörer ma3a 5 4 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och

Läs mer

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd. Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra

Läs mer