1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA."

Transkript

1 Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn a AB, b AG och c GN, P Q R S T K L M N O F G H I J A B C D E.3 Uttryck vektorn w i form av vektorerna u och v i figuren u v 3 w.4 De från samma punkt utgående vektorerna a, b, och c satisfierar ekvationen 7a 8b + c =. Visa att vektorernas ändpunkter ligger på en och samma linje..5 Visa att mittpunkterna på sidorna i en godtycklig fyrhörning bildar hörn i en parallellogram. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 2 2. Bestäm den vektor som representeras av segmentet AB när A = 6, 3 och B =, 4. Rita AB och dess ekvivalenta ortsvektorrepresentant. 2.2 Bestäm a + b, a b, 3a, och 2a + 5b när a = e + 6e 2 och b = 4e 5e Bestäm vektorformen, parameterformen och den parameterfria formen för den linje som går genom punkterna 2, 4, och 3,, Visa att betyder samma linje. x = + 2t y = 2 t z = 3 t och x = 3 2t y = + t z = 2 + t

2 2.5 Bestäm, om det är möjligt, skärningspunkterna mellan linjerna { x = 2 + 3t y = 2t och { x = 2 3t y = 4 + 2t 2.6 Visa, att medianerna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. En median är en sträcka från ett hörn i en triangel till mittpunkten på motstående sida. Om inte annat anges i uppgiften, så är det tillåtet att i nedanstående uppgifter anta att vektorerna är givna i någon ON-bas. 2.7 Bestäm a b då a = 3, 7, 3 och b = 5, 3,. 2.8 Bestäm a b då a = 3 och b = 7 och vinkeln mellan dessa är π/ För vilka värden på parametern b blir vektorerna 9, b, 2b och b, b 2, b vinkelräta? 2. Bestäm vinkeln mellan vektorerna a =,, 2 och b = 2,, Beräkna vektorn b:s ortogonala projektion på vektorn a när a =, 4, 6 och b = 7,, Bestäm vektorformen för den linje som går genom punkten 6, 6, och är vinkelrät mot planet 3x 2y + 7z = 3. I vilka punkter skär denna linje koordinatplanen? 2.3 Bestäm avståndet mellan punkten 6,, 5 och planet 2x 7y + z = Visa, att höjderna i en triangel skär varandra i en och samma punkt. 2.5 Bevisa att, cosβ α = cos β cos α + sin β sin α. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 3 Om inte annat anges i uppgiften, så är det tillåtet att i nedanstående uppgifter anta att vektorerna är givna i någon positivt orienterad ON-bas. 3. Bestäm a b och b a då a = 3,, 2 och b = 6, 8,. 3.2 Bestäm arean av den parallellogram som har hörnpunkter i P,,, Q5,,, R3, 8, 8, S8, 8, Bevisa att a b a + b = 2a b. Motivera noggrannt! 2

3 3.4 Beräkna avståndet mellan punkten,, och linjen x = y = z Ett plan går genom punkterna, 2, 3, 3,,, och 2, 4, 2 och ett annat plan har ekvationen x + y + 2z = 7. Bestäm, om det är det möjligt, vinkeln mellan planen. 3.6 Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten 2,, och innehåller linjen 3x = y = z En tetraeder är en kropp med fyra hörn P, Q, R, S och fyra avgränsande triangelytor. Låt v, v 2, v 3 och v 4 vara vektorer med längder lika stora som de avgränsande triangelytorna och med riktingar som är vinkelräta mot dessa ytor samtidigt som de pekar ut från tetraedern. Visa att v + v 2 + v 3 + v 4 =. Antag nu att samtliga vinklar som möts i hörnet S är räta i tetraedern. Låt A, B, C vara arean av de trianglar som möts i S medan D antas vara arean av den motstående triangeln P QR. Visa att D 2 = A 2 + B 2 + C 2. Observera detta är en utvidgning av Pythagoras sats. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 4 4. Bestäm ekvationen för den ellips som fås från enhetscirkeln x 2 + y 2 = när punkten x, y ersätts med a x, y/2, b 3x, y och c x/5, y/ Visa, att { x = a cos t y = b sin t är en parameterframställning av ellipsen 4.3 Inför funktionerna x 2 a 2 + y2 b 2 =. cosh t = e t + e t, 2 sinh t = e t e t. 2 Visa, att { x = a cosh t y = b sinh t är en parameterframställning av hyperbeln x 2 a 2 y2 b 2 =. 3

4 4.4 Bestäm ekvationen för den hyperbel, som har brännpunkter i 2, 2 och 2, 2 när skillnaden mellan avstånden ges av Bestäm ekvationen för den parabel, som har styrlinjen x + y = och brännpunkt i,. Vilken form får denna ekvation efter variabelbytet u = 2 x + y +, v = 2 x y? Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 5 5. Betrakta nedanstående matris som en utvidgad koefficientmatris till ett linjärt system. Beskriv i ord de två närmast påföljande radoperationerna som härnäst skall utföras för att man skall erhålla en lösning till systemet Bestäm samtliga lösningar till det linjära ekvationssystemet x + 3x 2 3x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 2 2x + 3x 2 + 6x 3 x 4 + 3x 5 = 3x + 6x 2 + 3x 3 + 3x 4 + 3x 5 =. Ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden. 5.3 Bestäm samtliga lösningar till det linjära ekvationssystemet x + 2x 2 + 4x 3 + 6x 4 + 8x 5 = 3 5x + x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 4x 5 = 2 4x + x 2 + 8x 3 + 3x 4 + 3x 5 = 6 3x + 7x 2 + 2x 3 + 2x x 5 = Ge en geometrisk tolkning av lösningsmängden. 5.4 Bestäm, ifall det är möjligt, sådana värden på parametern s, att matrisen nedan svarar mot ett konsistent linjärt system. 3 s Ifall det finns värden på parametern s, som medför att systemet blir konsistent enligt ovan, avgör om lösningen i så fall är entydig eller inte. 4

5 5.5 Bestäm, ifall det är möjligt, de värden på parametern h, för vilka matrisen nedan utgör en utvidgad koefficientmatris för ett konsistent system av linjära ekvationer h 7 Ifall det finns värden på parametern h, som medför att systemet blir konsistent enligt ovan, avgör om lösningen i så fall är entydig eller inte. 5.6 I denna uppgift använder vi oss av betekningar motsvararande de som används i Exempel 5.8 för matriser i echelonform. Antag matriserna nedan representerar utvidgade koefficientmatriser för system av linjära ekvationer. Avgör om systemet är konsistent och ifall det är det, huruvida lösningen är entydig. 5.7 Bestäm det tredjegradspolynom som går igenom punkterna, 9,, 8,, 3 och 2,. Detta polynom kallas interpolationspolynomet genomde givna punkterna. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 6 6. v u y z w x Använd figuren till att skriva vektorerna w, x, y och x som en linjärkombination av vektorerna u och v. Är varje vektor i R 2 en linjärkombination av u och v? Samtliga vektorer antas ha utgå från samma referenspunkt som u och v och ha de ändpunkter som markerats. 5

6 6.2 Låt vektorerna v, v 2 och y vara givna av 3 3 v =, v 2 = och y = 5 3 h Fö vilka värden på h finns y i det plan som spänns upp av v och v Låt matrisen B vara given av B = Spänner matrisen B:s kolonner upp R 4? Har ekvationen Bx = y en lösning för varje y i R Antag att A är en 4 4 matris och att b är en vektor i R 4 med egenskapen att Ax = b har en entydig lösning. Förklara varför A:s kolonner måste vara linjärt oberoende. 6.5 Beräkna först lösningarna till det homogena systemet på parametrisk vektorform. x 2x 2 + 3x 3 = 2x 3x 2 + 6x 3 = 5x 8x 2 + 5x 3 = Beskriv därefter lösningen till nedanstående inhomogena system x 2x 2 + 3x 3 = 3 2x 3x 2 + 6x 3 = 5 5x 8x 2 + 5x 3 = 3 på parametrisk vektorform och jämför lösningarna geometriskt med lösningsmängden till det homogena systemet ovan. Vad märker du? 6.6 Avgör om vektorerna, 3 och 2, 6 är linjärt oberoende. Motivera ditt svar. 6.7 Bestän de värden på h för vilka vektorerna är linjärt beroende. 3 2,, h Låt A vara given av A = Observera att den första kolonnen plus tre gånger den andra kolonnen ger den tredje kolonnen. Bestäm en icke-trivial lösning till Ax = utan att utföra några radoperationer. 6

7 Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 7 7. Sätt och låt u = 3 A = v = Sätt T x = Ax i R 2. Rita vektorerna u, v, T u och T v i ett rektangulärt koordinatsystem. Hur långa är T u och T v? Vad gör T geometriskt med vektorn x? 7.2 Bestäm matrisen för spegling genom y-axeln i R 2, dels i den naturliga basen e = e 2 =, dels i basen e + e 2 och e e Förklara varför avbildningen T x, x 2 = 2 x, 4x 3x 2 inte är linjär. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel Låt matriserna, A, B, C, D, E, F vara givna av A = , B = 3 7 5, C = , D = 4, E = 3 7 Beräkna, om det är möjligt, matriserna 4C 3A T, A C, BC, C T C, BAC, DE 8.2 Visa, att om A och B är kvadratiska matriser, så gäller ekvivalenserna AB = BA A BA + B = A 2 B 2 och AB = BA A + B 2 = A 2 + 2AB + B Låt matriserna A och B vara givna av a b A = och B = c d Bestäm, ifall det är möjligt, villkor på koefficienterna i A så att AB = BA. 8.4 En matris, A, kallas symmetrisk om A T = A. Visa att matriserna AA T och A T A alltid är symmetriska och ge samtidigt exempel på att de inte behöver vara lika. 8.5 En matris, A, kallas skevsymmetrisk om A T = A. Visa att om A och B är skevsymmetriska matriser så är A + B skevsymmetrisk, om de ingående räkneoperationerna är definierade. 7

8 8.6 Antag att A är en kvadratisk matris. Kan man avgöra huruvida A + A T och A A T är symmetriska eller skevsymmetriska? 8.7 Om A är en kvadratisk matris, så kallas summan av alla elementen i diagonalen mellan det övre vänstra hörnet och det nedre högra hörnet för spåret av A. Detta beteknas tra. Visa att om A är en m n-matris och B är en n m-matris, så gäller trab=trba. 8.8 En kvadratisk matrisk A med elementen a ij på plats ij kallas nedåt triangulär, om a ij = när i < j. På motsvarande sätt kallas A uppåt triangulär om a ij = när i > j. Visa att produkten av två nedåt triangulära matriser är nedåt triangulär och att produkten av två uppåt triangulära matriser är uppåt triangulär under förutsättning att de ingående matrismultiplikationerna är definierade. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 9 9. Bestäm inversen till matrisen Bestäm inversen till matrisen Bestäm lösningen till ekvationssystemet 9.4 Bevisa sats 9.5! 3x + x 2 = 3 x + 2x 2 = Bestäm inverserna till elementärmatriserna 3,, Bestäm inversen till matrisprodukten c b, c a 8

9 9.7 Beräkna, ifall det är möjligt, inversen till matrisen Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Beskriv vilken den indikerade radoperationen är och hur den påverkar determinanten: a b c d, a b c + ka d + kb.2 Bestäm determinanten genom radförenkling till echelonform Avgör genom att använda determinanter om vektorerna är linjärt oberoende 4 3 7, 2 6 8, 2,.4 Låt A vara en n n-matris och låt n vara udda. Antag dessutom att A är skevsymmetrisk. Bestäm deta..5 Beräkna nedanstående determinant genom kofaktorutveckling. Välj vid varje steg den rad eller kolonn som leder till minst beräkningar Beräkna determinanten

10 .7 Beräkna den n-radiga determinanten Används Cramers regel för att bestämma en lösning till ekvationssystemet x + x 2 = 6 2x 3x 2 = 7.9 Bestäm de värden på s som garanterar en entydig lösning till systemet och bestäm denna lösning. sx + 2x 2 = 6 2x + sx 2 = 7. Använd formeln för matrisinvers för beräkna inversen till s s, s ifall den existerar.. Använd formeln för matrisinvers för beräkna inversen till a a 2 b b 2, c c 2 ifall den existerar. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Matrisen har egenvärdena λ = och λ 2 = 3. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till vart och ett av egenvärdena..2 Matrisen har egenvärdet λ = 2. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till detta egenvärde.

11 .3 Matrisen har egenvärdena λ = 2 och λ 2 = 5. Bestäm ett maximalt antal linjärt obereoende egenvektorer till vart och ett av egenvärdena..4 Sätt A = Bestäm två egenvärden till A utan att beräkna dessa. Bestäm sedan tre linjärt oberende egenvektorer till dessa egenvärden utan att beräkna dessa..5 Bestäm det karakteristiska polynomet och egenvärdena till matrisen Bestäm egenvärdena till matrisen Bestäm den karakteristiska ekvationen till matrisen Antag att A n = för något n Z +. Visa att A inte kan ha några andra egenvärden än noll. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 2 2. Diagonalisera matrisen 6 6 ifall det är möjligt., 2.2 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt. A = 36 3,

12 2.3 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt , 2.4 Diagonalisera matrisen ifall det är möjligt. Ledning: Matrisen har ett egenvärde och det är λ = 5. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel 3 3. Bestäm egenvärden och motsvarande egenvektorer till matrisen A = 4 2 3, Bestäm sedan en inverterbar matris P R och en matris D R på formen a b D R = b a så att matrisen A antar formen A = P R D R P R. 3.2 Bestäm rotationsplanet för det dynamiska systemet x n + x 2 n + x 3 n + = x n x 2 n x 3 n Vilken geometrisk avbilning utförs på den egenvektoraxeln som befinner sig utanför rotationsplanet? 2

13 Svar och anvisningar till uppgifterna. a AC b BA..2 a AB, BC, CD, DE, F G, GH, HI, IJ, KL, LM, MN, NO, P Q, QR, RS, ST. b AG, BH, CI, DJ, F L, GM, HN, IO, KQ, LR, MS, NT. c AH, BI, CJ, F M, GN, HO, KR, LS, MT..3 w = v u..4 Ledning: Sätt a = OA, b = OB och c = OC. Om vektorernas ändpunkter befinner sig på en och samma linje måste det gälla att OA + tab = OC för något t. Går det att bestämma ett sådant t under givna förutsättningar? Det finns också andra lösningar..5 Ledning: Denna uppgift kan lösas såväl genom att använda sig av vektorer som genom att använda kända satser om likformighet för väl valda trianglar. Ifall man väljer vektorrepresentation kan man tex läta A, B, C, D betekna hörnen i den godtyckliga fyrhörningen ABCD och låt eventuellt dessutom O betekna någon punkt utanför fyrhörningen. Låt A, B, C, D betekna sidornas mittpunkter och representera tex vektorerna A B och C D så att de kan jämföras. Gör lika med vektorerna B C och D A. 2. AB = 7,. 2.2 a + b = 5,, a b = 3,, 3a = 3, 8, och 2a + 5b = 22, Vektorformen ges av Parameterformen ges av t x = 2 + 5t, y = 4 3t, z = 8t. Den parameterfria formen ges av x = y 4 3 = z Ledning: Undersök först om linjernas riktningsvektorer är parallella. Om så är fallet, kontrollera huruvida linjerna har någon punkt gemensam. 3

14 2.5 En skärningspunkt existerar och ges av 5, Ledning: Välj en lämplig bas och använd sedan endera Sats 2.2 eller 2.3 beroende på om du valt att uttrycka medianerna med basvektorer i triangelns plan eller med tre basvektorer utanför triangelns plan. Basvektorerna kan i det sistnämnda fallet väljas så att de går från en referenspunkt utanför triangelns plan till vart och ett av triangelns hörn. Med denna lösning kan man även erhålla ett elegant uttryck för medinarnas skärningspunkt triangelns tyngdpunkt, uttryckt med hjälp av de tre valda basvektorerna b =, b =, b = Vinkeln mellan vektorerna ges av 2 arccos Den ortogonala projektionen ges av Vektorformen ges av t Linjen skär koordinatplanen i punkterna 5 4, 6 2,, 5,, 22 och,, Avståndet är Ledning: Rita en triangel med hörn i O, A och B. Låt a = OA och b = OB. Rita in höjderna genom O och B. Dessa två höjder måste skära varandra i precis en punkt, kalla denna punkt P och sätt p = OP. Vi har nu p b a =. Varför? Hur kan de andra antagandena formuleras och vilka konsekvenser får detta? 2.5 Ledning: Det finns flera sätt att härleda denna subtraktionsformel. Eftersom vi har tillgång till två olika sätt att beräkna den skalära produkten den geometriska defiunitionen och den algebraiska formen i en ON-bas Sats 2.4, så kan vi tilllämpa dessa två representationer på ortsvektorerna cos β, sin β och cos α, sin α i enhetscirkeln. 3. Vi har att a b = 6, 9, 24 och att b a = 6, 9, 24. 4

15 3.2 Arean är Ledning: Använd de egenskaper som ges i Sats Avståndet ges av 5. Det finns åtminstone två sätt att erhålla detta svar, man 3 kan använda ortogonala projektioner i föregående kapitel, eller använda vektorprodukter i detta kapitel. 3.5 Det är möjligt att bestämma vinkeln mellan planen och den ges av θ = π Planets ekvation ges av 9x 3y + 5z =. 3.7 Ledning: Använd kryssprodukter på lämpligt sätt. Var noggrann med att kontrollera att vektorerna v i, i =,..., 4 verkligen pekar ut ur tetraedern! Det kan vara fördelaktigt att tejpa ihop en papperstetraeder med ett rätvinkligt hörn och i denna skriva in namnen på de olika hörnen, så att man håller reda på vad som var vad och vilka antaganden som gällde. 4. a x 2 + 4y 2 =, b x2 9 + y2 = och c 25x y 2 =. 4.2 Ledning: Substituera parameterformen i den givna ekvationen. 4.3 Ledning: Substituera parameterformen i den givna ekvationen. 4.4 Hyperbelns ekvation är xy =. 4.5 Parabelns ekvation är x 2 + 4x + y 2 + 4y 2xy + 4 = Efter variabelbytet antar parabelns ekvation formen u = v Nästa steg: Subtrahera den tredje raden multiplicerad med tre från den fjärde raden. Efter detta delas den fjäde raden med. 5.2 Lösningen till det givna ekvationssystemet är x /2 9 x 2 /2 4 x 3 = + s x 4 x 5 /2 + t 5 3 Lösningsmängden är ett plan i R 5 genom punkten 2, 2,,, 2. 5

16 5.3 Lösningsmängden kan skrivas på den parametriska vektorformen Detta utgör en linje i R 5. x x 2 x 3 x 4 x 5 = t Systemet är konsistent ifall s = 5/2. I annat fall är det inkonsistent. Ifall s = 5/2, så har systemet en fri variabel och drmed oändligt många lösningar. 5.5 Systemet är konsistent ifall h 5. I annat fall är det inkonsistent. Ifall h 5, så har systemet en entydig lösning. 5.6 Det första systemet är inkonsistent. Det andra systemet är konsistent, men lösningen är inte entydig eftersom systemet har fria variabler. 5.7 Ledning: Ställ upp ett lämpligt ekvationssystem där koefficienterna till det sökta polynomet är obekanta och lös det. Interpolationspolynomet genom de givna punkterna ges av ges av x 3 2x 2 4x Varje vektor i R 2 är en linjärkombination av vektorerna u och v. Vi har dessutom att x = 4u 3v, y = 2u v, z = 7 u 2v och w = 2u 2v h =. 6.3 Matrisen B:s kolonner spänner upp R 4 och därmed har ekvationen Bx = y en lösning för varje y i R Ledning: Hur många fria variabler har systemet Ax = b? 6.5 Lösningen till det homogena systemet på parametrisk vektorform ges av x x 2 x 3 = t Denna lösning utgör en linje genom origo i R 3. Det inhomogena systemet har lösningen x x 2 x 3 = 3 + t vilket är en linje som är parallell och icke-sammanfallande med den förra linjen. 3 6

17 6.6 De givna vektorerna är inte parallella och därmed är de linjärt oberoende. 6.7 Vektorerna är linjärt beroende om h = En icke-trivial lösning ges av x =, 3,. 7. Vektorerna T u och T v har längden och T vrider x π/3 radianer. 7.2 Matrisen för spegling i y-axeln ges i den naturliga basen ges av medan den i den andra basen ges av 7.3 Ledning: Det visar sig att T u + v T u + T v. 8. Det är omöjligt att beräkna matriserna A C och BC. Vi har DE = 3. De övriga matriserna ges av 4C 3A T = , C T C = Ett sådant villkor på A är att koefficienterna ges av A = s där s och t är en fria variabler, s, t R. + t, BAC = Matriserna är till exempel inte lika när de har olika storlek. Sätt tex A T = 2. Vi har A T A = 5 och 4 2 AA T = Man kan avgöra huruvida matriserna är symmetriska respektive skevsymmetriska. Matrisen A + A T är symmetrisk och A A T är skevsymmetrisk. 8.7 Ledning: Man kan använda rad-kolonn regeln, tex som i beviset till Sats 8.8 iv. 8.8 Ledning: Man kan använda rad-kolonn regeln, tex som i beviset till Sats 8.8 iv. 7

18 9. Inversen ges av /2 3/2 9.2 Inversen ges av 2/5 /5 /5 3/5 9.3 Lösningen är x = 2/5, x 2 = 9/ Inverserna till elementärmatriserna ges av 3,, 5, c 9.6 Inversen ges av a b c 9.7 Inversen existerar och ges av matrisen Radoperationen är ersätt andra raden med andra raden plus k gånger första raden. Denna radoperation påverkar inte determinanten Vektorerna är linjärt oberoende..4 deta = Ledning: Subtrahera rad 2 från rad, ersätt rad med detta resultatat, Subtrahera rad 3 från rad 2, ersätt rad 2 med resultatet, osv. Vilken matris erhålles? Börja sedan göra kolonnoperationer i den matris du fick enligt enligt: Addera kolonn till kolonn 2, ersätt kolonn 2 med resultetet, addera den nya kolonn 2 till kolonn 3, ersätt kolonn 3 med resultatet osv. Svaret blir n n 8

19 .8 x =, x 2 = 5..9 s 2 och s 2. Lösningen ges i så fall av x = 6s + 4/s 2 4 och x 2 = 7s 2/s Inversen existerar ifall s. Den ges i så fall av s 3 s 2 s s s 2 s s 2. Inversen existerar ifall a b, b c och a c. Den ges i så fall av b ac ac b bcc b acc a abb a b + cc b a + cc a a + bb a c b c a b a. Det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till vart och ett av de givna egenvärdena är en. Egenvektorn till egenvärdet λ = är, 2 T medan egenvektorn till egenvärdet λ 2 = 3 ges av 3, 4 T..2 Det finns maximalt en linjärt oberoende egenvektor och denna egenvektor ges av, T..3 Det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till egenvärdet λ = 2 är 3, medan det maximala antalet linjärt oberoende egenvektorer till egenvärdet λ 2 = 5 är en. De linjärt oberoende egenvektorerna till egenvärdet λ = 2 är,,, 2 T,,,, T,,,, T medan egenvektorn till egenvärdet λ 2 = 5 ges av,,, T..4 Vi ser genast att A,, T = 2, 2, 2 T. Detta innebär att,, T är en egenvektor hörande till egenvärdet 2. Vi ser även att t. ex. A,, T =,, T och A,, =,, T. Detta innebär att,, T och,, T är två linjärt oberoende egenvärden till egenvärdet. Därmed har vi funnit totalt tre linjärt oberoende egenvektorer..5 Den karakteristiska ekvationen ges av λ 2 + λ 2 = och egenvärdena ges av λ = 2 och λ 2 =..6 Egenvärdena är 7, 2 och..7 Den karakteristiska ekvationen ges av λ 3 + 5λ 2 73λ + = 2. Det är inte möjligt att diagonalisera matrisen. 9

20 2.2 Matrisen kan diagonaliseras med P = 4 3 och D = 2, 2.3 Matrisen kan diagonaliseras med P = 2 och D = 2 2, 2.4 Matrisen är inte diagonaliserbar. 3. Egenvärdena är λ = 2i och λ 2 = + 2i. Motsvarande egenvektorer är i, T respektive + i, T. Vi har dessutom att P R = och D R = 2 2, 3.2 Rotationsplanet är x x 2 =. Den sökta geometriska avbildningen är förstoring med en faktor 2. 2

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

y z 3 = 0 z 5 16 1 i )

y z 3 = 0 z 5 16 1 i ) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-433 Sören Hector 7-46686 Rolf Källström 7-6939 Ingenjörer, Lantmätare och Distansstuderande, mfl. Linjär Algebra ma4a 4 3 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer: Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb

VEKTORGEOMETRI. Christian Gottlieb VEKTORGEOMETRI Christian Gottlieb Matematiska institutionen Stockholms universitet 2:a upplagan 2001 2014 Förord Detta kompendium har sedan några år använts i utbildningen av grundskolelärare i matematik

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a 2015 02 26. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma04a 0 0 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 27, 1944 Första häftet 1316. I vilka serier äro t1 3 +t3 2 +t3 3 + +t3 n = (t 1 +t 2 +t 3 + +t n ) 2 för alla positiva heltalsvärden på n? 1317. Huru stora äro toppvinklarna i en regelbunden n-sidig

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 36, 1953 Årgång 36, 1953 Första häftet 1848. Triangeln ABC är inskriven i cirkeln O, vars tangenter i B och C råkas i D. Sök sambandet mellan triangelns sidor, då punkterna A och D ligga

Läs mer