Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Transkript

1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln α = arccos = π/.. Vi har att cos 6 = / så enligt definitionen av skalärprodukt så har vi = v w v w = v w w = v w w. Man kan ansätta en godtycklig vektor se vad villkoren blir, men kanske ser man direkt att t ex både w = w = löser ekvationen..5 (a) De är ortogonala om endast om skalärprodukten är noll. Vi får u v = = 9 + x = x 6, x så de är ortogonala om endast x =. (b) Vi får en sökt vektor e genom att multiplicera v med inversen av dess längd, d v s e = v v =. (c) Den ortogonala projektionen u L ges av u L = u v v v = x 6 = x.

2 . En riktningsvektor för planet ges av riktningsvektorn för linjen v = ( ) t. En andra riktningsvektor v får man genom att ta vektorn från origo till en punkt på linjen, t ex (,, ). Det ger v = ( ) t. Vi får nu en normalvektor till planet n = v v =. Därmed är ekvationen för planet given av y z + d =, där d = eftersom planet går genom origo. Svaret är alltså y z =.. Vi bestämmer de två vektorerna u = P P = v = P P = som spänner upp planet. En normal till planet ges då av u v = =, vilket ger att planet har en ekvation på formen x y + d =. För att bestämma d sätter vi in t ex punkten P får + d = slutligen alltså att ekvationen är x y + =..5 (a) En riktningsvektor ges av v = =, 5 så är en ekvation för linjen. x = + t y = t z = + t (b) Det finns oändligt många plan som innehåller linjen om vi tar ett plan med ekvationen Ax + By + Cz + D = så ligger linjen på detta om endast om = A( + t) + B( t) + C( + t) + D = (A + B + C + D) + (A B + C)t

3 för alla t. Detta är ekvivalent med att { A + B + C + D = A B + C = Detta är ekvivalent med (vi subtraherar den första ekvationen från den andra) { A + B + C + D = 7B C D = vilket har lösningarna B = s, C = t, D = 7s t A = s t där s t är fria parametrar. Ett exempel får vi om vi sätter s = t = : x z + =..6 Låt Q = (,, ). Då är Q en punkt på linjen. Om QP L är ortogonala projektionen av QP på linjen så ges avståndet d från P till linjen av d = QP QP L. Vektorn n = är en riktningsvektor för linjen. Vi har att QP = QP L = n QP n = ( ) + = = = 5 7. Alltså är det sökta avståndet d = 5/7 = /7 = Om Q är en godtycklig punkt i planet så gäller att avståndet från P till planet ges av längden av den ortogonala projektionen, QP n, av QP på normalen till planet. Vi väljer Q = (,, ). Då är QP = n =

4 är en normalvektor. Det sökta avståndet blir då n QP QP n = n + =..8 Vi ser att planens normaler respektive 8 är parallella därmed är planen parallella skär alltså inte varann. Avståndet mellan planen är samma överallt vi kan beräkna det genom att ta en punkt på det första planet, t ex P = (,, ) beräkna avståndet ifrån den till det andra planet. Låt Q vara punkten på det andra planet som ligger närmast P. Vi har att P Q är en normal till planet så Q = ( + t, + t, + t) för något t. Vi sätter in detta i planets ekvation (Q ligger ju på planet) får ekvationen = ( + t) + ( + t) + ( + t) + = 7 + t, vilket har lösningen t = 7/. Det ger att avståndet är P Q = t = =..9 Normalen till planet genom (,, ) har ekvationen x = + t y = + t z = + t. Sätter vi in denna i planets ekvation löser ut t så får vi den punkt som är den ortogonala projektionen av (,, ) på planet. Vi får = + t + ( + t) + ( + t) + = + t, så t = / = 5/7. Den sökta punkten är alltså x = 5/7 = /7 y = 5/7 = /7 z = 5/7 8/7.

5 . Låt ABCD vara den givna parallellogrammen låt M vara mittpunkten på diagonalen från A till C M mittpunkten på diagonalen från B till D. Vi ska visa att M = M. Det är ekvivalent att visa att AM = AM. Villkoren att de är mittpunkter att AB = CD ger AM = AB + BD därmed är saken klar. AM = AC = AB + ( BC + CD) = AB + ( BC AB) = ( AB + BC) = AC = AM. Låt parallellogrammen vara ABCD. Låt P QRS vara mittpunkterna i kvadraterna på sidorna AB, BC, CD respektive DA. Vi ska visa att P QRS är en kvadrat. Sätt AB = u AD = v. Låt u vara vektorn från mittpunkten av AB till P. Då gäller att u = u u u =. På motsvarande sätt låt v vara vektorn från S till mittpunkten på AD. Då är v = v v v =. Dessutom gäller att (u, u ) (v, v ) har samma orientering så u v = u v u v = u v. Den sista likheten följer av att om vinkeln mellan u v är α så är den mellan u v π α cos(π α). Om vi adderar vektorer utnyttjar att ABCD är en parallellogram så får vi P Q = SR = u + u + v + v, QR = P S = v + v u u. Vi ska visa att P Q = QR P Q QR =. Direkt beräkning samt utnyttjande av sambanden mellan u, u, v v ger P Q QR = P Q P Q QR QR = u v + u v = P Q QR = u v u v + u u v + v =. Detta var precis vad vi skulle visa därmed är saken klar. 5

6 .5 Låt a b vara de två sökta vektorerna. Diagonalerna i den parallellogram som spänns av dessa är a + b samt a b. Villkoret är alltså att (t ex) a + b = a b =. Vi kan nu välja (godtyckligt) två vektorer som har längd respektive som inte är ortogonal. Ett möjligt val är a + b = a b =. Löser vi ut a b (genom att addera subtrahera ekvationerna) så får vi a = b =..7 (a) Vi har att a + b = (a + b) (a + b) = a + a b + b a b = (a b) (a b) = a a b + b. Dessa är lika om endast om a b =, d v s om endast om a b är ortogonala. (b) Vektorerna a + b a b är diagonalerna i den parallellogram som spänns upp av a b. Alltså är diagonalerna lika långa om endast om sidorna är ortogonala, d v s om endast om parallellogrammen är en rektangel..8 Låt x = u + v y = u v. Förutsättningarna i uppgiften ger att u = v u v = cos π u v = v = v. Den sökta vinkeln α uppfyller att x y x y. Genom att utnyttja förutsättningarna så får vi att x y = (u + v) (u v) = u v = v x y = (u + v) (u + v)(u v) (u v) = ( u + v + u v)( u + v u v) = 7 v v. 6

7 Det ger att v 7 v = 7 α = arccos 7..9 (a) Vi vet att x = y att x y = cos α x y = x. Vi ska beräkna β där cos β = u v u v. Vi beräknar täljaren (kvadraten av) nämnaren var för sig: u v = (ax + by) (cx + dy) = ac x + bd y + (ad + bc)x y = (ac + bd + (ad + bc)) x u v = ((ax + by) (ax + by)) ((cx + dy) (cx + dy)) ( ) = a x + b y + abx y ( ) c x + d y + cdx y = (a + ab + b )(c + cd + d ) x. Beräknar vi kvoten så får vi att termerna som innehåller längden av x tar ut varandra vi får: β = arccos ac + bd + (ad + bc). (a + ab + b )(c + cd + d ) (b) Vi ska se till att täljaren i argumentet till arccos blir, d v s = ac + bd + (ad + bc). En lösning (bland oändligt många) är a = b = c = d =. 7

8 . Motstående hörnen i en kub med sidan a sidorna längs axlarna i koordinatsystemet har koordinaterna: (,, ) (a, a, a) (,, a) (a, a, ) (, a, a) (a,, ) (, a, ) (a,, a). Rymddiagonalerna är alltså vektorerna a a a a, a, a a a a a a. a Längden av var en av dessa är a skalärprodukten mellan dem är antingen a eller a. Det betyder att vinkeln β mellan ett par av dessa vektorer uppfyller cos β = ±a a a = ±. Om cos β < så är vinkeln mellan vektorerna trubbig cosinus av den spetsiga vinkeln mellan diagonalerna är då negationen av det värdet. Alltså är cosinus för vinkeln mellan diagonalerna alltid /.. Om någon av vektorerna är nollvektorn så är de olika produkterna trivialt nollvektorn i båda fallen. Antag nu att de inte är nollvektorn. (a) Enligt definitionen är x x = för alla vektorer x därmed är (u v) (u v) = för alla vektorer u v. (b) Om u v är parallella så är u v = då är förstås även ((u v) u) v =. Om de inte är parallella så är u v normal till planet som spänns upp av u v. Då gäller att x = (u v) u ligger i detta plan är ortogonal mot u. Vi har att x v = om endast om x v är parallella. Eftersom x, u v alla ligger i ett plan x u är ortogonala så är detta ekvivalent med att u v är ortogonala. Alltså är ((u v) u) v = x v = om endast om u v är parallella eller ortogonala.. Det räcker att visa att det är sant i rummet. Om man är i planet kan man helt enkelt betrakta detta som t ex xy-planet i rummet (med tredje koordinaten lika med noll). 8

9 Låt x y vara sidorna i parallellogrammen som har u v som diagonalvektorer. Då gäller (lite olika beroende på hur man ordnar riktar diagonalerna) att x + y = u y x = v vilket ger att y = (u + v) x = (u v). Arean av en parallellogram som spänns upp av två vektorer är lika med längden av deras vektorprodukt. Alltså är arean av P lika med u v arean av P lika med x y. Räkneregler för vektorprodukt ger x y = (u v) (u + v) = (u u + u v v u v v) = ( + u v + u v ) = (u v). Därmed är arean av P lika med (u v) alltså hälften av arean av P..5 Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som säger att vinkeln α mellan två vektorer x y satisfierar x y x y. Vinklarna mellan paren av de tre vektorerna uppfyller därmed cos γ = cos γ = cos γ = v v v v = 6 = v v v v = 5 7 v v v v = 7 =. 7 Eftersom vinkeln blir större då cosinus för den minskar (i intervallet [, π] som är det som är intressant) ( ) = 7 < 6 ( 7 = ), 7 så följer det att γ är störst. Svaret är alltså vinkeln mellan v v..6 En godtycklig vektor i detta plan är en linjärkombination au + bv. Villkoret att den är ortogonal mot v är ekvivalent med = v (au + bv) = av u + bv v = a + 9b. Ett möjligt val är a = 9 b =. Detta ger vektorn. 9