Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö"

Transkript

1 Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

2 ii

3 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa flera av uppgifterna är det ett tecken på att du bör gå tillbaka till dina gymnasieböcker, eller annan relevant litteratur, och repetera. Materialet som behandlas är nödvändiga förkunskaper, som vi inte kommer att ha tid att behandla under kursens gång. 1. Förenkla uttrycken 3 2 ( 3 2 och ( ( Förenkla uttrycket 1 ( så långt som möjligt (d v s skriv det som en kvot av två heltal utan gemensamma primtalsfaktorer. 3. Utveckla polynomet 18x ( 1 x(3x 2 5(2x 7x 2 (4x 3 3x(4 5x 2, och skriv det på standardformen a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n. 4. Förenkla uttrycket (3 + x 2 9x x 3 ( 2 12 x + 3 så långt som möjligt, d v s skriv det som en kvot av två polynom som saknar gemensamma faktorer. Ange för vilka värden på det reella talet x R som förenklingen är giltig. 5. Faktorisera polynomet 4 4x 3x 2 genom att, bland annat, kvadratkomplettera. 6. Lös ekvationen (96x 6x 3 (3x + 5 = Förenkla följande uttryck: a 3, 1

4 2 b 3, c Avgör för vilka reella tal x följande villkor är uppfyllda. Illustrera dina lösningar på en tallinje. a x 7 2, b x 7 2, c 2 < x 7 5, 9. Lös ekvationen 2x + 3 = x. 10. Ange de exakta värdena av sin α och cos α för α = 0, π 6, π 4, π 3 utantill!. (lär dig dessa värden 11. I en rätvinklig triangel har de två kateterna längd 1 respektive 2. Bestäm sinus och cosinus för de två spetsiga vinklarna i triangeln. Kan du säga någonting ungefärligt om storleken på dessa vinklarna? Lös ekvationen cos(3x = Bestäm ekvationen för den räta linje som innehåller punkterna (1, 1 och (3, Bestäm den reella konstanten a så att linjen y = ax 2 passerar genom punkten (2, 1.

5 1 2. Linjära ekvationssystem Läs kapitel 1: Linear equations i kursboken (B. Räknereglerna för matriser, som beskrivs i delavsnittet Matrix algebra i avsnitt 1.3, kommer att gås igenom mer grundligt i en senare del av kursen; det som framför allt är viktigt nu är definitionen av produkten av en matris med en vektor. Mängden rekommenderade uppgifter på varje kapitel är som regel ganska stor, men många av problemen är likartade. Den som anser sig behärska en viss problemtyp hoppar lämpligtvis direkt till nästa typ. Högre numrerade problem är ofta (men inte alltid av en något mer teoretisk natur. Rekommenderade uppgifter Ur kursboken: 1.1: 1, 3, 5, 7, 9, 19; 1.2: 1, 3, 5, 21, 31; 1.3: 1, 3, 5, 9, 13, 15, 27. Not: Fel facit till uppgift 1.2:21 i boken, här skall dessutom e = 0. Dessutom: 15. Lös följande linjära ekvationssystem: a b c { x 3y = 11, 4x + 5y = 7, { x + y = 3, 2x y = 2, { x y = 3, 2x + 2y = Lös följande linjära ekvationssystem: a b { x + 2y + z = 1 x y + 2z = 1 { w + 2x + y + z = 0 w x + 2y + z = 0 3

6 4 c 2y z = 2 2x + 3y 2z = 1 2w + 4x + 5y + z = Lös matrisekvationen ( ( 1 2 x 3 5 y = ( a b där a, b R är godtyckliga konstanter. 18. Lös ekvationssystemet { x + 2y = 1 3x + ay = 0 där a R är en godtycklig konstant. 19. Betrakta följande linjära ekvationssystem: x + y z = 2 x + 2y + z = 3 x + y + (k 2 5z = k där k är en godtycklig konstant. För vilka värden på k har ekvationssystemet a entydig lösning? b oändligt många lösningar? c inga lösningar? 20. Visa att ett ekvationssystem med fler obekanta än ekvationer aldrig kan ha entydig lösning. 21. Vilka av följande matriser är på reducerad trappstegsform? För vilka av dem gäller att vänsterledet är på reducerad trappstegsform? ( a ( b c ( d e Hur många lösningar har de ekvationssystem som beskrivs av totalmatriserna i uppgift 21?

7 5 Hemuppgifter 23. Lös det linjära ekvationssystemet w + 2x y + z = 1, 2w + x + 2y z = 2, 4w + 3x 4y + 3z = 0. ( Låt A vare en 3 3 -matris, och antag att matrisekvationen Ax = har unik lösning. 3 Hur många lösningar har i så fall ekvationen Ax = 0?

8 3 4. Vektorer och linjär geometri Litteratur för denna del är Kapitel 14 (sidorna i texten Fundamentals of Linear Algebra av J. B. Carrell. Den finns tillgänglig på författarens hemsida: Alla övningsuppgifter i slutet av kapitlet är användbara för denna kurs. Mitt förslag är att först göra några av de mer beräkningsmässiga uppgifterna, exempelvis , 6, 8, 9, 13, 26, 29, 30a, och därefter prova ett antal av mer teoretisk karaktär, såsom 16 19, 21, 31. Ytterligare några rekommenderade uppgifter finns härunder. 25. Låt u, v, w och z vara vektorerna som representeras av de riktade sträckorna AB, BC, CD respektive DB. Vilka riktade sträckor representerar följande vektorer? a u + v + w, b v + w + z, c u + v + w + z, d u w z, e v + w + 2z. ( Beräkna alla skalärprodukter som kan bildas mellan vektorerna u = ( 22 w =. 1 2 ( 93, v = och Bestäm längderna av vektorerna u, v och w i föregående uppgift, och vinklarna mellan dem. 28. De två vektorerna u och v uppfyller att u = 3, v = 4 och u + v = 5. Hur stor är vinklen mellan u och v? 29. Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som passerar genom punkten och är parallell med planen som ges av ekvationerna x + y + z = 0 och 2x + z = 1. ( 11 1, 6

9 7 Hemuppgifter 30. Bestäm längderna av vektorerna u = ( 1 1 och v = 0 och är parallellt med vek- 31. Bestäm ekvationen för det plan som innehåller punkten ( 12 ( 01 torerna u = och v = Bestäm det minsta avståndet från punkten A till planet π, då ( 1 a A =, π : 3x + y = 0; 2 ( 1 b A =, π : 3x + y = 2. 2 ( 1 2, och vinkeln mellan dem. 1 ( 11 1 Svar till rekommenderade uppgifter i Carrells bok ( ( ( x c b 1. = + t, t R. y 0 a 2. 3x 2y = 5 x x i y = 1 + t 1 ii y z = z 3 5 w x 1/ y = 3/2 + t 2 z Linjerna skär inte varandra. 8. x 2y + 3z = 4 9. i Skär ej. ii Linjen ligger i planet t p = , q = x + 9y 7z = 0 x 1 30a. y = t 1 z Ja, x y är ortogonal mot varje vektor på formen λ 1 x + λ 2 y, λ 1, λ 2 R.

10 5 6. Komplexa tal Rekommenderad läsning är häftet Komplexa tal. Begrepp och definitioner som kan laddas ned här: Rekommenderade problem 33. Låt z = 2 + i och w = 3 + 2i. Vad är a Re z b Im w, c z + w d z/w? 34. Skriv på formen a + bi: a (3 i 3 5, b 4i 3, 2 5i c 3 + 4i i. 35. Skriv talet (1 7i(2 + i 5 3i på formen a + bi, med a, b R. 36. Beräkna a (1 + i(1 i, b (2 4i(7i + 3, c 1 + i 1 i. 37. Beräkna värdet av uttrycket z 2 + (2 iz + 3i, då a z = 2, b z = i, c z = 2 + i. 38. Låt z = 5 + 2i och w = 3 4i. Beräkna a Im z 2, b Re(zw, c z w 2, d (z + w( z w. 39. Bestäm absolutbeloppen av följande tal: (3 2i(1 i a i, b 15 8i, c (2 + i Låt z = 3 + 4i och w = i. Bestäm zw och z/w, utan att beräkna zw och z/w. 41. Bevisa att z 2 R om och endast om Re z = 0 eller Im z = 0. 8

11 9 42. Bestäm argumenten av följande komplexa tal: (3 2i(1 i a i, b 15 8i, c (2 + i Skriv följande tal på polär form: a 1 + i, b 1 + i, c (1 + i(1 i. 1 i 44. Skriv (1 i 3 69 på formen a + bi, där a och b är reella. 45. Tolka följande relationer geometriskt, genom att skissa lösningsmängden i det komplexa talplanet: a Re z 1, b Im z < 1, c 2 < z i Lös följande ekvationer: a z 2 = 1 + i 1 i, b z 2 4z i = 0, c (4 3iz 2 25z i = Lös följande ekvationer: a z 4 = 8, b z 2 = 1 + i 3, c z 3 = 5 5i, d (z + i 3 = 1 + i. 48. Lös ekvationen (z i 3 = 1 + i, och markera rötternas lägen i det komplexa talplanet. Hemuppgifter 49. Bestäm det reella talet t så att Re ( 4 3i t+i = Bestäm absolutbeloppen av följande komplexa tal: a 4 + 5i, b 7 7i. 51. Bestäm argumenten av följande tal: a 1 3i, b 7 7i. 52. Lös nedanstående ekvationer: a z 2 (3 + 2iz i = 0, b z 6 = 7.

12 7 8. Matriser och linjära avbildningar Repetera delavsnittet Matrix algebra i avsnitt 1.3, och se till att du förstår de grundläggande koncepten och definitionerna. Läs: avsnitt 2.1 fram till och med Example 9 (återstoden av kapitlet är inte nödvändigt för kursen, men kan vara väl värt att läsa av allmänt intresse, avsnitt 2.2 (viktiga avbildningstyper är rotation, ortogonal projektion och spegling, övriga är lite överkurs, avsnitt 2.3 exklusive Block Matrices och Powers of Transition Matrices, samt avsnitt 2.4 förutom The inverse of a Block Matrix. Rekommenderade problem 1.3: 9, 16, 17, 19, 20, 25, 32, 33; 2.1: 1 3, 6, 7, 9, 11 13, 17, 19, 37, 39, 41; 2.2: 1, 2, 5, 7, 13, 17, 23; 2.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 21, 27, 29, 43, 45, 49; 2.4: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 29, 35, 41, 67. Hemuppgifter 2.1: 5; 2.2: 6, 21; 2.3: 12, 13; 2.4: 17,

13 9 11. Nollrum och värderum; linjärt oberoende; bas, dimension Dessa tre teman är nära relaterade till varandra, och behandlas därför tillsammans. I boken behandlas de i kapitel tre, som är rekommenderad läsning i sin helhet. Rekommenderade problem 3.1: 1, 3, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 31, 33, 35, 37 39, 47; 3.2: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 19, 21, 27, 29, 31, 33, 37, 39, 43, 45, 49; 3.3: 1, 3, 5, 7, 13, 19, 21, 23, 27, 29, 35, 39, 62, 63; 3.4: 1, 3, 5, 11, 15, 17, 19, 29, 31, 33, 37, 41, 43, 51, 53, 57, 59, 69. Hemuppgifter 3.1: 12, 23; 3.2: 2, 33; 3.3: 28; 3.4:

14 Ortogonalitet, Gram-Schmidts algoritm; ortogonala matriser och avbildningar Läs avsnitt Delavsnitten Correlation i 5.1, QR-factorization i 5.2 och The matrix of an orthogonal projection i 5.3 kan läsas kursivt av den som vill, men de ingår inte i kursen. De referenser som görs till QR-faktorisering i övningsuppgifterna nedan kan ignoreras. Rekommenderade problem 5.1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 19, 21, 23, 25, 27, 29; 5.2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 29, 31, 33, 35, 39; 5.3: 1, 5, 7, 9, 11, 27, 29, 31, 33 35, 37, 41. Hemuppgifter 5.1: 17; 5.2: 6; 5.3: 3, 8, 10, 12

15 14. Determinanter Läs avsnitt 6.1 och 6.2, exklusive delavsnitten The determinant of a block matrix och The determinant of a linear transformation. Avsnitt 6.3 handlar om hur determinantbegreppet kan tolkas geometriskt. Detta kan läsas kursivt av den intresserade, det kan vara användbart för att få bättre känsla för hur determinanter fungerar, men är inte nödvändigt för kursen. Rekommenderade problem 6.1: 1, 5, 7, 11, 13, 15, 23, 25, 29, 31, 33, 45, 46, : 1, 5, 7, 11, 37, 39. Hemuppgifter 6.1: 9, 17; 6.2:

16 Egenvärden och egenvektorer Här ingår avsnitt i Bretschers bok. Delavsnittet om Dynamical Systems and Eigenvectors i 7.1 är överkurs, dock kan det vara intressant att läsa igenom exemplet på sidorna , som illusterar en viktig tillämpning av egenvärdeskonceptet. Delavsnittet Eigenvalues and similarity i 7.3 kan också hoppas över. Det som står i avsnitt 7.1 och 7.2 om spåret (eng. trace av en matris/linjär avbildning, samt om algebraisk och geometrisk multiplicitet av ett egenvärde (avsnitt 7.2 och 7.3 kan ignoreras, liksom referenser till dessa begrepp i övningsuppgifterna. Rekommenderade problem 7.1: 1, 2, 3, 5, 13, 15, 17, 19, : 1, 3, 7, 9, 11, 15, : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 21, 23, 33, 35, 41. Hemuppgifter 7.1: 8; 7.2: 13; 7.3:

17 15 Svar till övningsuppgifterna ( 3 2 = 18, ( = / x x /x x 3x 2 = 3 ( x 2 3 (x x = 4, x = 5/3, x = 0 eller x = a 3, b 3, c 6 8. a 5 x 9, b x 5 eller x 9, c 2 x < 5 eller 9 < x Inga lösningar. 10. sin 0 = 0, sin(π/6 = 1/2, sin(π/4 = 1/ 2, sin(π/3 = 3/2; cos 0 = 1, cos(π/6 = 3/2, cos(π/4 = 1/ 2, cos(π/3 = 1/ sin α = cos β = 1/ 5, cos α = sin β = 2/ 5, där α är den mindre av de två vinklarna. Eftersom sin α < 1/2 = sin(π/6 så måste 0 < α < π/6, och β = π/2 α, π/3 < β < π/ x = ± π π y = 2x a = 1/2 { x = a y = 3 { x = 5/3 b y = 4/3 { x = 3 + t c där t R är ett godtyckligt tal. y = t x = t 16. a y = 1 3 t där t är ett godtyckligt reellt tal. z = t w = 5 3 s t x = 1 b 3 s där s och t är godtyckliga reella tal. y = s z = t w = t x = 3 c t där t är ett godtyckligt reellt tal. y = t z = 2 + 2t

18 ( x y = ( 2b 5a 3a b. 18. Saknar lösning om a = 6, annars är { x = a a 6, y = 3 a Entydig lösning för k ±2, oändligt många lösningar för k = 2, inga lösningar för k = a, d. Vänsterledet: a, b, d. 22. a unik lösning, b inga lösningar, c inga lösningar, d oändlingt många lösningar, e unik lösning. w = 3 + s 3t x = t 23. y = s z = 4 + 5t där s och t är godtyckliga reella tal. 24. En unik lösning x = ( a AD, b BB = 0, c AB, d AC, e DB. 26. u u = (54, v v = 106, w w = 9, u v = 22, u w = 18, v w = u = 3 6, v = 106, w = 3. (v, w = arccos(20/(3 106, (w, u = 28. Vinkeln mellan u och v är π/ ( xy z ( 11 ( 11 = + t, där t R , (u, v = arccos(11/(3 159, 30. u = 2, v = 6, (u, v = 5π x y + z = I båda fall är avståndet a 2, b 2, c 1 + 3i, d i 34. a 18 26i, b i, c i i 36. a 2, b i, c i 37. a 8 + i, b 5i, c 8 + 7i.

19 a 20, b 23, c 40, d 4 52i. 39. a 13, b 17, c zw = 65, z/w = 5/ a arctan 12 5, b arctan , c π + arctan a 2(cos π 4 + i sin π 4, b 1 (cos π 2 + i sin π 2, c 2 (cos 0 + i sin a z = ± 1 2 (1 + i, b z = 3 i or z = 1 + i, c z = 3 + 4i or z = 1 i. 47. a 2 1/4 (±1 ± i (fyra lösningar, b ± 1 ( i 6, c z = 50 1/6 (cos θ n + i sin θ n, där θ n = (7+8nπ 12 for n = 0, 1, 2, d z k = 6 2 cos α k + i ( 2 2 sin α k 1, k = 0, 1, 2, där α k = π 4 + 2kπ z 1 = 0, z 2 = 1 2 ( 3 + 3i, z 3 = 1 2 ( 3 + 3i. 49. t = 3/ a 41, b a π/3, b 5π/ a z 1 = 2 + 3i, z 2 = 1 i, b z = 7 1/6 ( cos( π 6 + n π 3 + i sin( π 6 + n π 3, n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 26 Skrivtid: 8: 3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1

den reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1 ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 25 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av linjära

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen 86 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR 6.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen Definition 6.36. Låt F : V W vara en linjär avbildning.. Nollrummet till F definierar vi som mängden av alla u V som avbildas på nollvektorn,

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

forts. Kapitel A: Komplexa tal

forts. Kapitel A: Komplexa tal forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 9

Linjär Algebra, Föreläsning 9 Linjär Algebra, Föreläsning 9 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Euklidiska rum Vi ska nu införa en extra struktur på vektorrum, en så kallad skalärprodukt, vilken vi kan använda för att definiera längd

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra Geometri. Uppgifter, 24 Tillämpad linjär algebra. Uppgift. Låt A = (,, ), B = (, 2, 3), C = (,, ) vara punkter i R 3. () Beskriva på parameter form alla plan som innehåler A, B och C. Ger ett system av

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). TM-Matematik Mikael Forsberg Linjär algebra mk4a Övningstenta LA-. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, ), x = (,, ) och x = (,, ).. För alla värden på parametern

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Referens :: Komplexa tal

Referens :: Komplexa tal Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009 KTH Matematik SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 9 1. a) Visa att sin(6 ) = /. () b) En triangel har sidor av längd 5 och 7, och en vinkel är 6 grader. Bestäm

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur

Läsanvisningar till kapitel Komplexa tals algebraiska struktur Läsanvisningar till kapitel 1.1. Jag tänkte bara kort berätta hur strukturen hos dessa läsanvisningar kommer vara innan vi kör gång på allvar. Jag kommer i dessa läsanvisningar säga vad jag anser är viktigt

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA OCH DIFFERENTIALEKVATIONER, M0031M VT-16

LINJÄR ALGEBRA OCH DIFFERENTIALEKVATIONER, M0031M VT-16 LINJÄR ALGEBRA OCH DIFFERENTIALEKVATIONER, M0031M VT-16 Denna kurs innehåller fyra olika delar: komplexa tal, linjär algebra, differentialekvationer och en laboration i Matlab. Vi börjar med en introduktion

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

Tentamen i Linjär algebra , 8 13. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Ulf Janfalk Kurskod: ETE5 Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra 5 8, 8. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. Resultatet meddelas vi e-post. För godkänt räcker

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1 Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2017-2018 Lars Filipsson Modul 1 1. MÅL FÖR MODUL 1 1. Reella tal. Känna till talsystememet och kunna använda notation för mängder och intervall

Läs mer

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer:

Linjär algebra. Föreläsningar: Lektioner: Laborationer: Linjär algebra Föreläsningar: 08.15-10.00 Lektioner: 10.30-12.00 Laborationer: 13.15-16.00 Datum Sal Kapitel Må 1/9 Hörsal D 1.1-1.2 Ekvationssystem To 4 D 1.3-1.4 Matriser Lektion MA136, 146, 156, MC313

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer