Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Transkript

1 Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet mellan punkterna P(4,a,10) och Q(2,1,1) blir 11 längdenheter. Problem 2. Man vet att en rot till ekvationen x 3 x 2 10x 8 = 0 är x 1 = 2. Bestäm de två andra. Problem 3. Bestäm a så att vinkeln mellan v = (a,a,4) och u = (2,,) blir 30 Problem 4. Bestäm avståndet mellan planen x+4y+8z+3 = 0 och 2x 8y 16z+66 = 0. Problem. Bestäm a så att planen ax 6y+9z+7 = 0 och 2x+4y 2az 8 = 0 blir parallella. Problem 6. Bestäm arean av den triangel som har sina hörn i punkterna P(1,2,3), Q(0,2,1) och R( 1, 2, 0). Problem 7. Bestäm x så att triangeln med hörn i punkterna P(0,4, 3), Q( 1,3,4) och R(x,1,1) blir rätvinklig med den räta vinkeln vid R Problem 8. Sök x så att b ( a b) = b a där a = (3x, 2x, 1) och b = ( 1, x,2) Problem 9. Bestäm x = (x 1,x 2,x 3 ) så att u = v u = 2 a b+ c v = 3 b+ x a Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att a u+b v = w Då u = (1,2,3), v = (2,0, 2), w = (x,1, 1). Bestäm samtidigt värdena på a och b. Problem 11. Bland dessa vektorer finns några som är vinkelräta mot varandra vilka? a = (1, 2,0) b = (0,0,3) c = (2, 1,2) d = (3,3, 1) e = ( 1, 1,0) f = (2,1,0) g = ( 1,2,3) h = (1,2,3) Problem 12. Bestäm x, så att vektorn u = (1, x, 2) blir vinkelrät mot v = (x, x, 1). Problem 13. Bestäm k så att k v = 1 då v = (3, 2,6) Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Problem 14. Bestäm vektorn u = (x, y, 0) sådan att den är vinkelrät mot v = (1, 2, 2) och dessutom u = v. Problem 1. Visa att påståendet: Punkterna P 1 = (3,0,2), P 2 = (4,3,0), P 3 (8,1, 1) är hörn i en rätvinklig triangel är sant. Vid vilken punkt ligger den räta vinkeln? Problem 16. Bestäm u ( u v) för godtyckliga vektorer i rummet. Problem 17. Bestäm k, så att u+k v blir vinkelrät mot w. Då u = (1,3, 1), v = (0,2,4) och w = (2,1, 1). Problem 18. Bestäm a, så att punkterna P 1 = (1,2,6), P 2 = (2,a,3), P 3 = (2,2,4) och P 4 = (a,a,) ligger i samma plan. Problem 19. Kan konstanterna a, b, c och d bestämmas så att parameterframställningarna x = 1+2t x = 4+as y = 2 3t y = b+cs z = t z = d+s ger samma linje? Problem 20. Två plan som inte är parallella eller sammanfaller skär varandra utefter en linje. Ofta ges linjens ekvation som normalekvationen för två plan där alltså skärningen mellan planen är den avsedda linjen. Vilken linje utgör skärningen av dessa plan? { x+y+z+1 = 0 2x+3y+4z+ = 0 Problem 21. Tre punkter p 1 = (1,0, 1), p 2 = (3, 2,1) och p 3 = ( 1,2,0) ligger i samma plan och två punkter p 4 = (2,4,3) och p = (0,0,2) ligger på samma linje. Bestäm linjens skärningspunkt med planet. Problem 22. Vektorn n = ( 1,2,4) är normalvektor till ett plan i vilken punkten P = ( 1,2,4) befinner sig. Bestäm planets ekvation på normalform. Problem 23. Visa att linjen ligger i planet 6x+4y 4z = 0 x = 0 y = t z = t Problem 24. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z = 0 Problem 2. Sök ekvationen till det plan, som går genom punkten p 1 = (1,2,3) och som är parallellt med xy-planet. Problem 26. Vi söker här ekvationen för det plan som går genom origo och som är parallellt med 7x+4y 2z+3 = 0. Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Problem 27. Det två planen 2x + y 4z = 0 och x + 2y + 1 = 0 är vinkelräta mot varandra: Sök nu ett tredje plan som är vinkelrätt mot båda dessa och som dessutom går genom punkten p = (, 2, 3) Problem 28. Sök ekvationen till ett plan som innehåller linjen l 1 och som är parallell med linjen l 2 x = 1+2t x = 1+4t l 1 = y = 2+3t l 2 = y = 3 2t z = +6t z = Problem 29. Sök ekvationen till en linje som går genom punkten p = (1,1,1) och som är parallell med planen 2x+y z = 0 och x 2y+3z 4 = 0. Problem 30. På linjen l 1 ligger punkten P 1 (, 2, 1). Bestäm en annan punkt som ligger 10 längdenheter från P 1 men fortfarande på linjen. x = 1+t l 1 = y = 2 t z = 1 Problem 31. Bestäm avståndet mellan punkten P(1,0, 2) och linjen l 1 x = 1 t l 1 = y = t z = 0 Problem 32. Bestäm avståndet mellan de två linjerna l 1 och l 2 x = 1 t x = 2 l 1 = y = 3 l 2 = y = 1+t z = 3+t z = 2t Problem 33. Bestäm vinkeln mellan linjerna l 1 och l 2 x = 3+t x = 4+2t l 1 = y = 2+t l 2 = y = 1+t z = 6+t z = t Problem 34. Bestäm vinkeln mellan de två planen pl 1 och pl 2 x = 1+s+2t x = 2+s+2t pl 1 = y = 2 t pl 2 = y = t z = 3+s z = 1+2t Problem 3. Bestäm avståndet mellan punkten P(3, 0, 1) och planet x + 2y + 2z + 4 = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Svar 1. (4 2) 2 +(a 1) 2 +(10 1) 2 = 11 (4 2) 2 +(a 1) 2 +(10 1) 2 = a 2 2a+1+81 = 121 a 2 2a 3 = 0 a 1 = a 2 = 7 Svar: a 1 = eller a 2 = 7 Svar 2. x 2 10x 8 : x+2 = x 2 3x 4 x 3 +2x 2 x 3 3x 2 10x 3x 2 6x 4x 8 4x 8 0 Återstår så att lösa x 2 3x 4 = 0 som har rötterna. Svar: x 2 = 1 och x 3 = 4 Svar 3. Först måste man känna till att cos30 = 3 2. Sedan kan man ställa upp följande ekvation 3 (a,a,4) (2,,) = 2 a 2 +a a = 2(2a+a+20) 162(2a 2 +16) = 4(7a+20) 2 162(2a 2 +16) = 4(7a+20) 2 32(31 3a+4a 2 ) = 0 a 1 = 1 a 2 = 31 4 Svar 4. Först måste de två normalvektorerna n 1 = (1,4,8) och n 2 = ( 2, 8, 16) vara parallella för att planen ska vara parallella. Är planen inte parallella skär de varandra och avståndet dem emellan är 0. Vi ser omedelbart att ( 2, 8, 16) = 2(1,4,8) Det finns ett tal (skalär) multiplicerat med den ena vektorn som gör den lika med den andra. Alltså är planen parallella. Alla punkter i det ena planet ligger lika långt från det andra planet. Vi väljer ut en punkt i det ena planet och konstruerar en linje som går genom denna punkt och med samma riktningsvektor som planens normalvektor. Vi väljer punkten P(1,2,z) och löser ekvationen z+66 = 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 ger z = 3. Den eftersökta linjen har ekvationen x = 1+t y = 2+4t z = 3+8t Denna linje skär det andra planet då (1+t)+4(2+4t)+8(3+8t)+3 = 0 ger t = 4 9 som insatt i linjens ekvation ger punkten x = = 9 y = = 2 9 z = = 9 Nu beräknar vi avståndet mellan de två punkterna ( d = 1 ) 2 +( ( ) 2 = 4 9) Svar. för att planen ska vara parallella måste normalvektorerna vara parallella, det vill säga det finns ett tal λ så att λ(a, 6,9) = ( 2,4, 2a) Vi får följande överbestämda ekvationssystem a λ = 2 6 λ = 4 9 λ = 2a Ur den andra ekvationen får vi λ = 2 3, som med hjälp av den första ekvationen leder till a = 3. Med dessa värden ser vi att de två normalvektorerna blir identiska och vi kan sluta oss till att planen är parallella då a = 3. Svar 6. Vi bildar två vektorer från de tre punkterna v = (1,2,3) (0,2,1) = (1,0,2) och u = (1,2,3) ( 1,2,0) = (2,0,3) Arean får vi ni genom A = v u 2 e x e y e z w = v u = = 4 e y 3 e y = (0,1,0) A = w 2 = = 1 2 Håkan Strömberg KTH Syd

6 Svar 7. Ekvationen blir v = PR = (0,4, 3) (x,1,1) = ( x,3, 4) u = QR = ( 1,3,4) (x,1,1) = ( 1 x,2,3) ( x,3, 4) ( 1 x,2,3) = 0 x+x = 0 x 1 = 3 x 2 = 2 Två vektorer ( 3, 1, 1) och (2, 1, 1) uppfyller villkoren. Svar 8. Först bestämmer vi (3x, 2x, 1) ( 1, x, 2) c = a e x e y e z b = 3x 2x 1 1 x 2 = 4x e x+ e y 3x 2 e z x e x 6x e y +2x e z = ( x,1 6x, 3x 2 2x) b c = ( 1, x,2) ( x,1 6x, 3x 2 2x) = x x+6x 2 6x 2 4x = 0 b a = ( 1, x,2) (3x, 2x, 1) = 3x+2x 2 2 Till sist ekvationen Svar 9. 3x+2x 2 2 = 0 x 1 = 1 2 x 2 = 2 u = 2(1, 2,0) (1, 1,2)+(0,3, 1) = (1,0, 3) v = 3(1, 1,2) +(x 1,x 2,x 3 ) (1, 2,0) = (2+x 1, 1+x 2,6+x 3 ) Ur detta får vi 2+x 1 = 1 ger x 1 = 1, 1+x 2 = 0 ger x 2 = 1 och 6+x 3 = 3 ger x 3 = 9. x = ( 1,1, 9) Svar 10. ger ekvationssystemet a(1,2,3) +b(2,0, 2) = (x,1, 1) a+2b = x 2a = 1 3a 2b = 1 Ur den andra ekvationen får vi a = 1 2. Insatt i den tredje 3 2 2b = 1 ger b = 4. Till sist insatt i första ekvationen = x ger x = 3 Svar 11. Vi har att göra inte mindre än 28 beräkningar. De flesta förhoppningsvis i huvudet. Varje gång vi hittar v u = 0 har vi hittat ett par vinkelräta. Svar: ( a, b), ( a, f),( b, e), ( b, f), ( d, g) och ( f, g) Svar 12. (1,x,2) (x,x, 1) = 0 x+x 2 2 = 0 x 1 = 2 x 2 = 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Svar 13. 9k 2 +4k 2 +36k 2 = 1 49k 2 = 1 7k = ±1 k = ± 1 7 Vektorn u = k v är normerad, har längden 1. ( 3 u = ^v = 7, 2 7, 6 ) 7 Svar 14. { (x,y,0) (1,2,2) = = x 2 +y { x+2y = 0 3 = x 2 +y Vi substituerar x = 2y i den andra ekvationen och får 3 = ( 2y) 2 +y = 4y 2 +y 2 y = ± 3 Det finns två lösningar (y = 3,x = 6 ) och (y = 3,x = 6 ) Svar 1. Vi kan bilda tre vektorer P 1 P 2 = (1,3, 2), P 1 P 3 = (,1, 3) och P 2 P 3 = (4, 2, 1). och bestämma deras längder Med hjälp av Pythagoras sats P 1 P 2 = ( 2) 2 = 14 P 1 P 3 = ( 3) 2 = 3 P 2 P 3 = 4 2 +( 2) 2 +( 1) 2 = 21 ( 14) 2 +( 21) 2 = ( 3) 2 ser vi att det hela stämmer. Den räta vinkeln ligger vid punkten P 2 Svar 16. u = (u 1,u 2,u 3 ) och v = (v 1,v 2,v 3 ). Vi börjar med att uttrycka u v e x e y e z w = u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 = u 2 v 3 e x +u 3 v 1 e y +u 1 v 2 e z u 3 v 2 e x u 1 v 3 e y u 2 v 1 e z som ger Utvecklat w = (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 2 ) u w = (u 1,u 2,u 3 ) (u 2 v 3 u 3 v 2,u 3 v 1 u 1 v 3,u 1 v 2 u 2 v 2 ) u w = u 1 (u 2 v 3 u 3 v 2 )+u 2 (u 3 v 1 u 1 v 3 )+u 3 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) u w = 0 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Svar 17. Ekvationen Svar: k = 3 Svar 18. Vi bildar två vektorer ((1,3, 1) +k(0,2,4)) (2,1, 1) = 0 (1,2k+3,4k 1) (2,1, 1) = 0 2+2k+3 4k+1 = 0 2k = 6 k = 3 a = P 2 P 1 = (1 2,2 a,6 3) = ( 1,2 a,3) b = P2 P 3 = (2 2,2 a,4 3) = (0,2 a,1) Planets normalvektor n = a e x e y e z b = 1 2 a a 1 = (2 a) e x+(a 2) e z (6 3a) e x + e y = (2a 4,1,a 2) Vi skriver nu planets ekvation på normalform (2a 4)x+y+(a 2)z+d = 0 Med en av de tre använda punkterna insatt i ekvationen kan vi bestämma d. Till exempel genom P 3 (2a 4)2+2+(a 2)4+d = 0 4a 8+2+4a 8+d = 0 d = 14 8a Vi vet att punkten P 4 = (a,a,) ligger i planet vilket ger insatt (2a 4)a+a+(a 2)+14 8a = 0 a 2 3a+2 = 0 a 1 = 1 a 2 = 2 Det finns alltså två alternativa uppsättningar punkter som ger önskat resultat. Svar 19. Först vill vi att riktningsvektorerna ska vara parallella r 1 = (2, 3,1) och r 2 = (a,c,). Med c = 1 och a = 10 får vi r 2 = r 2 = (10,1,). Om vi väljer t = 3 2 och s = 0 i de två linjerna får vi punkten (4, 2, 3 2 ), då d = 3 2 och b = Väljer vi s = 1 och t = 2 får vi för båda linjerna punkten (14, 3 2, 13 2 ). Därmed har vi visat att för framräknade värden på a = 10,b = 2,c = 1,d = 3 2 är linjerna identiska. Svar 20. Välj z = t och lös ekvationssystemet nedan med avseende på x och y. { x+y+t+1 = 0 2x+3y+4t+ = 0 Vi får { x = 2+t y = 3 2t) Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 och påstår att linjen x = 2+t y = (3+2t) z = t är skärningslinjen mellan de två planen. Alla punkter på denna linje ligger i båda planen. Svar 21. Först planets ekvation på vektorform (x,y,z) = (1,0, 1) +((3, 2,1) (1,0, 1))t +(( 1,2,0) (1,0, 1))s (x,y,z) = (1,0, 1) +(2, 2,2)t+( 2,2,1)s (x,y,z) = (1+2t 2s,0 2t+2s, 1+2t+s) Översatt till parameterform Linjens ekvation på vektorform x = 1+2t 2s y = 0 2t+2s z = 1+2t+s (x,y,z) = (2,4,3)+((2,4,3) (0,0,2))w = (2,4,3)+(2,4,1)w = (2+2w,4+4w,3+w) Översatt till parameterform x = 2+2w y = 4+4w z = 3+w Vi har nu sex ekvationer och sex obekanta x = 1+2t 2s y = 0 2t+2s z = 1+2t+s x = 2+2w y = 4+4w z = 3+w Lösning av ekvationssystemet ger oss skärningspunkten ( 1 3, 2 3, 13 ) 6 Svar 22. Första steget (x,y,z) ( 1,2,4)+d = 0 ger x+2y+4z+d = 0. När vi så sätter in punkten P i ekvationen kan vi lösa ut d och vi har ekvationen. ger planets ekvation x+2y+4z 21 = 0 ( 1) d = 0 21+d = 0 d = 21 Svar 23. Om man väljer t = 1 får man punkten (0,1,1) eftersom = 0 så ligger den punkten i planet. Om man väljer t = 0 får man (0,0,0) som man omedelbart ser att den ligger i planet = 0. Om två punkter på en linje samtidigt ligger på planet ligger hela linjen i planet! Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Svar 24. Linjen har riktningsvektorn r = ( 4, 2, 2) och planet har normalvektorn n = (2,1, 1) eftersom 2(2,1, 1) = ( 4, 2,2) är r parallell med n och därför går linjen vinkelrätt mot planet. Svar 2. xy-planet skrivet på vektorform (x,y,z) = (s,t,0). n = (0,0,1) är en normalvektor tillxy-planet. Vi får (x,y,z) (0,0,1)+d = 0 som ger z+d = 0. Eftersom n 1,2,3+d = 0 får vi d = 3 och planets ekvation z 3 = 0 Svar 26. Ett plan som är parallellt med 7x+4y 2z+3= 0 har normalvektorn n = (7,4, 2) (x,y,z) (7,4, 2) +d = 0 ger 7x+4y 2z+d = 0 eftersom punkten (0,0,0) ligger på planet får vi d = 0, vilket ger d = 0 och planets ekvation 7x+4y 2z = 0 Svar 27. Det första planet har n 1 = (2,1, 4) och det andra n 2 = ( 1,2,0). Nu ska vi hitta n 3 som är vinkelrät mot både n 1 och n 2. Det får vi genom att bestämma n 1 n 2 n 3 = n 1 n 2 = e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,) Genom (x,y,z) (8,4,) + d = 0 får vi 8x + 4y + z + d = 0 eftersom punkten (,2,3) ligger i planet får vi d = 0 som ger d = 63 och hela ekvationen är bestämd 8x+4y+z 63 = 0 Svar 28. Vektorerna v = (2, 3, 6) och u = (4, 2, 0) är linjernas riktningsvektorer och samtidigt parallella med planet. Genom v u får vi planets normalvektor. n = v u = e x e y e z = 24 e y 4 e z +12 e x 12 e z = (12,24, 16) Genom (x,y,z) (12,24, 16) + d = 0 får vi 12x + 24y 16z + d = 0. Punkten (1,2,) ligger på planet vilket ger d = 0, d = 20. Planets ekvation 12x+24y 16z+20 = 0 eller 3x+6y 4z+ = 0 Svar 29. Först räknar vi fram planens skärningslinje. Vi sätter z = t och löser ut x och y ur { 2x+y t = 0 Vi får x 2y+3t 4 = 0 x = 4 t y = 8 + 7t z = t Linjens riktningsvektor r = ( 1, 7, 1). Genom att multiplicera den först erhållna med får vi ett trevligare utseende och vi kan skriva den sökta linjens ekvation x = 1 t y = 1+7t z = 1+t Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Svar 30. Ekvationen vi har att lösa ( (1+t)) 2 +( 2 (2 t)) 2 +( 1 ( 1)) 2 = 10 (4+t) 2 +(t 4) 2 = 10 (4+t) 2 +(t 4) 2 = 100 t 1 = 4 2 t 2 = 4+ 2 Dessa t insatta i linjens ekvation ger oss de två sökta punkterna P 2 ( 2, 2+ 2, 1) och P 3 (+ 2, 2 2, 1) Svar 31. Linjen har riktningsvektorn r = ( 1,1,0). Linjen på vektorform l 1 = (1 t,t,0). v = ( t, t, 2) är alla vektorer mellan punkten P och linjen. Vi söker nu den vektor av alla v som är vinkelrät mot r. Vi får ( t,t,2) ( 1,1,0) = 0 t+t+0 = 0 t = 0 Det betyder att det är mellan punkten P 2 (1,0,0) och P(1,0, 2) som avståndet ska beräknas. Genom huvudräkning får vi d = 2. Svar 32. Den första linjen har riktningsvektorn r 1 = ( 1,0,1) och för den andra r 2 = (0,1,2). De två linjerna på vektorform l1 = (1 t,3,3 + t) och l2 = (2,s 1,2s). v = ( t 1,4 s,3 2s t) är vektorer som har startar från en punkt på l1 och slutar vid en punkt på l2. Vi är nu på jakt efter den vektor av alla v vars riktning är vinkelrät mot både r 1 och r 2. Vi får följande ekvationssystem övergår i { ( t 1,4 s,3 2s t) ( 1,0,1) = 0 ( t 1,4 s,3 2s t) (0,1,2) = 0 { 4 2s+t = 0 10 s+2t = 0 Med lösningen s = 2 och t = 0. De två punkterna vi söker är på första linjen P 1 = (1,3,3) och på andra linjen P 2 = (2, 1,4). Avståndet mellan dessa punkter är lika med avståndet mellan linjerna: d = (2 1) 2 +(1 3) 2 +(4 3) 2 = 6 Svar 33. Vinkeln mellan linjerna är lika med vinkeln mellan riktningsvektorerna. De två linjerna har riktningsvektorerna r 1 = (1,1,1) respektive r 2 = (2,1,1) Vi får cosθ = (1,1,1) (2,1,1) 3 6 = 4 18 θ = arccos 4 = arccos Svar 34. Vi har två vägar att gå. Antingen bestämmer vi de två planens ekvationer på normalform, från vilka vi enkelt kan bestämma normalvektorerna. Varefter vi bestämmer vinkeln mellan dessa vektorer. Ett annat sätt är att bestämma normalvektorn genom de två riktningsvektorerna i varje plan och därefter vinkeln mellan dessa vektorer. Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Vi väljer den senare planen, som antagligen innebär mindre räknande. För det första planet gäller riktningsvektorerna v = (1,0,1) och u = (2, 1,0). n 1 = v u = e x e y e z = 2 e y e z + e x = (1,2, 1) Samma sak för det andra planet ger v = (1,0,0) och u = (2,1,2) e x e y e z n 2 = v u = = e z 2 e y = (0, 2,1) Vinkeln mellan n 1 och n 2 bestäms av Svar: θ = π arccos cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 = 6 = 30 Svar 3. Vi ska lösa problemet på inte mindre än tre olika sätt (!). Lösning I: Då planets normalvektor n = (1,2,2) tillsammans med punkten P ger oss följande linje som går genom P och vinkelrätt mot planet x = 3+t l = y = 0+2t z = 1+2t Vi kan nu bestämma skärningspunkten mellan planet och linjen genom (3+t)+2 2t+2(1+2t)+4 = 0 3+t+2t+2+4t+4 = 0 9t+9 = 0 t = 1 ger skärningspunkten P 2 (2, 2, 1). Avståndet PP 2 till sist d = (3 2) 2 +(0 ( 2)) 2 +(1 ( 1)) 2 = 3 Lösning II: Vi startar med att bestämma planets ekvation på parameterform och börjar med att sätta y = s och z = t. Vi får så en ekvation där vi löser ut x. x+2s+2t+4 = 0 x = 4 2s 2t Planets ekvation kan nu skrivas x = 4 2s 2t y = s z = t med de två riktningsvektorerna r 1 = ( 2,1,0) och r 2 = ( 2,0,1). Vi kan nu framställa alla vektorer som har sin start i planet och slut i punkten P. v = (3,0,1) ( 4 2s 2t,s,t) = Håkan Strömberg 12 KTH Syd

13 (7+2s+2t, s,1 t). Vi söker nu den vektor av dessa som är vinkelrät med både r 1 och r 2. Vi får ekvationssystemet: { (7+2s+2t, s,1 t) ( 2,1,0) = 0 (7+2s+2t, s,1 t) ( 2,0,1) = 0 ger s = 2 och t = 1 som ger den vektor vi söker v = (1,2,2) och dess längd d = = 3 Lösning III: Så den lösning som ligger allra närmast till för en ingenjör med formelsamling: d = Ax 0 +Bx 0 +Cx 0 +D A 2 +B 2 +C 2 = = 3 Håkan Strömberg 13 KTH Syd