Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument"

Transkript

1 Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna. en riktning v 1 och två punkter P 1 och P 2 i planet är givna. tre punkter P 1, P 2 och P 3, som inte ligger på en rät linje, i planet är givna. På ett liknande sätt som för linjen kan vi föra ett resonemang som leder fram till planets ekvation på vektorform r = r 0 + v 1 s+ v 2 t För varje par av värden på s och t får vi en ny punkt i planet. Den snarlika framställningen av planet på parameterform ser ut så här x = x 0 +α 1 s+α 2 t y = y 0 +β 1 s+β 2 t z = z 0 +γ 1 s+γ 2 t Här är P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) en punkt i planet och vektorerna v 1 = (α 1,β 1,γ 1 ) och v 2 = (α 2,β 2,γ 2 ) riktningar parallella med planet. Det kanske vanligaste sättet att återge ett plan är på normalform. Betraktar vi parameterframställningen som ett ekvationssystem med de obekanta s, t och z, kommer lösningen på z att bli ett uttryck i x och y. Vi skriver om detta på formen Ax+By+Cz+D = 0 och kallar framställningen planets ekvation på normalform. Vi ska nu titta närmare på vektorn n = (A,B,C) som vi konstruerar med hjälp av koefficienterna från planets ekvation Ax + By + Cz + D = 0. Genom att bestämma x och y kan vi beräkna z och på det sättet finna punkter som ligger i planet. Med de tre punkterna P 1 = (x 1,y 1, (D+Ax 1 +By 1 )/C) P 2 = (x 2,y 2, (D+Ax 2 +By 2 )/C) P 3 = (x 3,y 3, (D+Ax 3 +By 3 )/C) Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 kan vi bestämma två riktningar som är parallella med planet. v 1 = P 1 P 2 och v 2 = P 1 P 3. När vi nu väljer att beräkna n v 1 och n v 2 får vi v 1 = P 1 P 2 = (P 1 P 2 ) = (x 1 x 2,y 1 y 2,(D+Ax 2 +By 2 D Ax 1 By 1 )/C). Denna vektor skalärt med n ger (x 1 x 2,y 1 y 2,(Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 )/C) (A,B,C) = A(x 1 x 2 )+B(y 1 y 2 )+(Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 ) = Ax 1 Ax 2 +By 1 By 2 +Ax 2 +By 2 Ax 1 By 1 = 0 På samma sätt finner vi att n v 2 = 0. Detta betyder att n är vinkelrät mot två vektorer v 1 och v 2 i planet, vilket betyder att n är vinkelrät mot alla vektorer i planet och därmed är vinkelrät mot planet! Sats 1. Vektorn n = (A, B, C), är en normalvektor till planet Ax+By+Cz+D = 0 Exempel 1. Tre punkter P 1 = (1,4,2), och P 2 = (0,2,1) och P 3 = (1,0,1) är givna. Tre punkter som inte ligger på en rät linje bestämmer ett plan. Med punkterna som hjälp, kan vi bilda två riktningar som är parallella med planet. v 1 = P 1 P 2 = (1,4,2) (0,2,1) = (1,2,1) och v 2 = P 1 P 3 = (1,4,2) (1,0,1) = (0,4,1). Vi kan nu skriva planets ekvation på vektorform r = (1,4,2) +(1,2,1)s+(0,4,1)t Som du förstår finns det många olika val att göra denna framställning på. Det kan ibland vara svårt att se om två olika framställningar av ett plan på parameterform definierar samma plan. På parameterform kan vi direkt skriva det hela x = 1+s y = 4+2s+4t z = 2+s+t Genom till exempel s = t = 1 framställer vi punkten (2,10,4), som alltså ligger på planet. När vi nu ska bestämma planets ekvation på normalform ska vi alltså lösa ekvationssystemet ovan med avseende på s, t och z. Ur första ekvationen får vi s = x 1. Detta insatt i andra ekvationen leder till y = 4+2(x 1)+4t y = 4+2x 2+4t t = (y 2x 2)/4 Med dessa uttryck på s och t kan vi till sist uttrycka den tredje ekvationen utan inblandning av s och t. z = 2 + (x 1) + (y 2x 2)/4. Efter en del räknande kommer vi fram till planets ekvation på normalform 2x+y 4z+2 = 0 Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Problemställningar Vi har nu definierat punkten, linjen och planet i rummet för att kunna lösa problem med dessa objekt inblandade. Skärningar. Vi börjar med skärningen mellan två linjer l 1 och l 2. x = x 0 +v x t x = x 1 +u x t l 1 = y = y 0 +v y t l 1 = y = y 1 +u y t z = z 0 +v z t z = z 1 +u z t I praktiken kan man säga att det endast är i undantagsfall, som två linjer i rummet skär varandra. För att få reda på om l 1 och l 2 har någon gemensam punkt ska vi finna värden på t och s, så att x 1 +u x t = x 0 +v x s y 1 +u y t = y 0 +v y s z 1 +u z t = y 0 +v z s Observera att t i l 1 och t i l 2, som linjerna framställs från början, inte är samma parameter och att vi här inför s som den andra linjens parameter. Eftersom (x 1,y 1,z 1 ), (u x,u y,u z ), (x 0,y 0,z 0 ) och (v x,v y,v z ) alla är kända har systemet två obekanta s och t och tre ekvationer. Systemet är överbestämt och vi kan ur de två första ekvationerna lösa s och t. Om dessa värden satisfierar den tredje ekvationen är punkten (x 1 +u x t,y 1 +u y t,z 1 +u z t) gemensam för de båda linjerna. Skärning mellan en linje och ett plan. En linje kan förhålla sig till ett plan på tre olika sätt: Linjen skär planet Linjen är parallell med planet och har ingen gemensam punkt med planet. Linjen ligger i planet. Det första fallet inträffar så fort linjens riktningsvektor inte är parallell med planet. I de två andra fallen är riktningsvektorn dock parallell med planet. x = x 0 +u x t x = x 1 +w x s+v x t l = y = y 0 +u y t pl = y = y 1 +w y s+v y t z = z 0 +u z t z = z 1 +w z s+v z t Från linjen l och planet pl skapar vi nu ett ekvationssystem med tre obekanta x 0 +u x p = x 1 +w x s+v x t y 0 +u y p = y 1 +w y s+v y t z 0 +u z p = z 1 +w z s+v z t där de tre obekanta är p, s och t. Från kapitlet om linjära ekvationssystem känner vi till att detta system kan ha en, ingen eller oändligt många lösningar. Var och en av dessa fall motsvarar ett förhållande mellan linjen och planet enligt punkterna ovan. Skärning mellan två plan. Precis som tidigare reder vi ut vilka fall som är möjliga. Två plan kan förhålla sig till varandra på tre olika sätt Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Planen skär varandra efter en rät linje. Planen är parallella med varandra och har ingen gemensam punkt. Planen sammanfaller. Det första fallet inträffar då planens normalvektorer inte är parallella. I de andra två fallen är just normalvektorerna parallella! De två planen pl 1 och pl 2, vi ska studera har följande ekvationer på parameterform. x = x 0 +w x s+v x t x = x 1 +u x s+r x t pl 1 = y = y 0 +w y s+v y t pl 2 = y = y 1 +u y s+r y t z = z 0 +w z s+v z t z = z 1 +u z s+r z t där P 0, P 1, w, v, u, r alla är givna. Vi får följande ekvationssystem x 0 +w x s 1 +v x t 1 = x 1 +u x s 2 +r x t 2 y 0 +w y s 1 +v y t 1 = y 1 +u y s 2 +r y t 2 z 0 +w z s 1 +v z t 1 = z 1 +u z s 2 +r z t 2 därs 1, t 1, s 2 och t 2 är obekanta. Ett ekvationssystem med fyra obekanta och tre ekvationer. Ett underbestämt system som aldrig kan ha en unik lösning. Två plan kan aldrig skära varandra på ett sådant sätt att de endast har en gemensam punkt. Vi har av ekvationssystemet att vänta oss antingen en enparametrig lösning planen har en gemensam linje. ingen lösning planen är parallella utan gemensamma punkter. en tvåparametrig lösning planen sammanfaller. Avstånd. Vi börjar med avståndet mellan två punkter i rummet, som vi förresten meddelat tidigare. Då P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) och P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) är två punkter i rummet är P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 När vi nu ska bestämma avståndet från en punkt till en linje där punkten P inte ligger på linjen l, så är det förstås det vinkelräta avståndet från P till linjen som ska bestämmas avståndet från P till en punkt P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) på linjen l l = x = x 0 +u x t y = y 0 +u y t z = z 0 +u z t Vi förstår att vektorn PP1 u. Eftersom punkten P 1 ligger på linjen l räcker följande ekvationssystem för att finna P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) x 1 = x 0 +u x t y 1 = y 0 +u y t z 1 = z 0 +u z t u x (x x 1 )+u y (y y 1 )+u z (z z 1 ) = 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Den sista ekvationen uttrycker skalärprodukten u PP1 = 0. När väl punkten P 1 är bestämd återstår endast att bestämma avståndet PP1. För avståndet från en punkt till ett plan menas avståndet från punkten P = (x,y,z) vinkelrätt mot planet pl. x = x 0 +u x s+v x t pl = y = y 0 +u y s+v y t z = z 0 +u z s+v z t Ungefär som för avståndet från en punkt till linjen ska vi finna en punkt P 1 = (x 1,y 1,z 1 ) i planet sådan att PP1 är vinkelrät mot både u och v. x 1 = x 0 +u x s+v x t y 1 = y 0 +u y s+v y t z 1 = z 0 +u z s+v z t v x (x x 1 )+v y (y y 1 )+v z (z z 1 ) = 0 u x (x x 1 )+u y (y y 1 )+u z (z z 1 ) = 0 De två sista ekvationerna uttrycker v PP1 = 0 och u PP1 = 0. Ett ekvationssystem med fem ekvationer, där u, v, P 0 och P är kända och där de fem obekanta är P 1 = (x 1,y 1,z 1 ), s och t. Värden för parametrarna s och t är vi mindre intresserade av, men då vi får reda på P 1 kan vi bestämma PP1. Avståndet mellan två linjer l 1 och l 2 x = x 0 +u x t y = y 0 +u y t z = z 0 +u z t x = x 1 +v x t y = y 1 +v y t z = z 1 +v z t Här handlar det om att finna två punkter P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) och P 3 = (x 3,y 3,z 3 ), som ligger på var sin linje, sådana att det P 2 P 3 är vinkelrät mot både u och v. Detta leder till följande ekvationssystem x 2 = x 0 +u x s y 2 = y 0 +u y s z 2 = z 0 +u z s x 3 = x 1 +v x t y 3 = y 1 +v y t z 3 = z 1 +v z t v x (x 2 x 3 )+v y (y 2 y 3 )+v z (z 2 z 3 ) = 0 u x (x 2 x 3 )+u y (y 2 y 3 )+u z (z 2 z 3 ) = 0 Åtta ekvationer och åtta obekanta, P 2 = (x 2,y 2,z 2 ) och P 3 = (x 3,y 3,z 3 ), s och t. När P 2 och P 3 är bestämda kan P 2 P 3 bestämmas och problemet är löst. Att tala om avståndet mellan två plan är endast meningsfullt då planen är parallella och ej sammanfallande. Alla punkter i det ena planet ligger lika långt ifrån det andra planet och därmed är problemet återfört till avståndet från en punkt till ett plan. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Avståndet mellan en linje och ett plan är det meningsfullt att tala om endast då linjen är parallell med planet och de saknar gemensamma punkter. Eftersom alla punkter på linjen då ligger lika långt från planet kan vi välja ut en punkt och problemet är återfört till avståndet från en punkt till ett plan. Vinklar. Vi börjar med att bestämma vinkeln mellan två plan genom att definiera att vinkeln mellan två plan är lika med vinkeln mellan två normalvektorer till planen. Om planens ekvationer är givna på formen A 1 x+b 1 y+c 1 z+d 1 = 0 och A 2 x+b 2 y+ C 2 z+d 2 = 0 är det vinkeln mellan n 1 = (A 1,B 1,C 1 ) och n 2 = (A 2,B 2,C 2 ) vi är ute efter. Vinkeln θ mellan två vektorer bestäms som vi tidigare meddelat genom cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 Vinkeln mellan två linjer l 1 och l 2, bestäms genom vinkeln mellan linjernas riktningsvektorer v 1 och v 2. Detta oavsett om linjerna skär varandra eller inte. Vinkeln mellan en linje och ett plan är π/2 arccosθ, där θ är vinkeln mellan en normalvektor till planet och en riktningsvektor till linjen. Om linjen är parallell till planet är θ = 0 Läxa Vi har de tre punkterna P 1 (1,2,3), P 2 (2,4,5) och P 3 (4,5,6) och bildar två vektorer v = (2,4,5) (1,2,3) = (1,2,2) och u = (4,5,6) (2,4,5) = (2,1,1). Observera att vi kan göra andra val och få andra vektorer som också fungerar. Nu kan vi enkelt skriva planets ekvation på parameterform: x = 1+s+2t y = 2+2s+t z = 3+2s+t Men nu var det planets ekvation på normalform det var frågan om. Ett sätt är att lösa ut s och t ur de två första ekvationerna. { x = 1+s+2t y = 2+2s+t Vi får s = 3+x 2y 3 t = y 2x 3 Dessa två uttryck substituerar vi sedan med i den tredje ekvationen. z = 3 2(3+x 2y) y 2x 3 3 3z = 9 6 2x+4y y+2x 3z = 3+3y z y = 1 Ett alternativt sätt att lösa problemet: Vi använder vektorerna v och u från ovan och tar reda på en vektor som är vinkelrät mot dessa och därmed också vinkelrätt mot planet. e x e y e z n = = 2 e x +4 e y + e z 2 e x e y 4 e z = (0,3, 3) Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 n innehåller nu koefficienterna A,B,C till Ax+By+Cz+D = 0 och vi får 3y 3z+D = 0. För att få tag i D sätter vi in en av punkterna P 1,P 2 eller P 3 i denna ekvation och får med P 1, D = 0 ger D = 3. Vi skriver nu ekvationen 3y 3z+3 = 0 eller y z+1 = 0. För att få samma svar som vid första lösningen avslutar vi med att multiplicera båda leden med ( 1). z y = 1 Läxa En punkt P(1, 2, 4) och en vektor v = (1, 1, 2) ger oss linjens ekvation x = 1+t y = 2+t z = 4+2t Denna linje skär planet x+3y 4z = 5 då 1+t+3(2+t) 4(4+2t) = 5 1+t+6+3t 16 8t = 5 t = 7 2 Med detta t = 7 2 insatt i linjens ekvation får vi skärningspunkten ( 52, 32, 3 ) Läxa Från ekvationerna för de två planen 2x+y 2z = 5 och 3x 6y 2z = 7, plockar vi ut normalvektorerna n 1 = (2,1, 2) och n 2 = (3, 6, 2). Svaret får vi genom att bestämma vinkeln mellan dessa vektorer. cosθ = n 1 n 2 n 1 n 2 (2,1, 2) (3, 6, 2) cosθ = ( 2) ( 6) 2 +( 2) 2 cosθ = 4 21 θ 1.38 Läxa a) Vektorn n = a b = (3,1,2) (1, 2, 4) = (2,3,6) är normalvektor till planet. Därför kan vi direkt skriva 2x+3y+6z+D = 0. D kan vi nu bestämma genom att sätta in punkten Q(1, 2, 4), som vi vet ligger i planet. Vi får ( 2)+6 ( 4)+D = 0 ger D = 28 och ekvationen kan skrivas 2x+3y+6z+28 = 0 Läxa b) Avståndet från punkten P( 1,1,1) till planet 2x + 3y + 6z + 28 = 0 ska bestämmas. Vi startar med att bestämma ekvationen för den linje som går genom punkten P och som är parallell med normalvektorn (2,3,6). Vi får x = 1+2t y = 1+3t z = 1+6t Nu vill vi veta var denna linje skär planet. Vi får ekvationen 2( 1+2t)+3(1+3t)+6(1+6t)+28 = 0 2+4t+3+9t+6+36t+28 = 0 t = 5 7 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Med detta t = 5 7 kan vi nu ta reda på skärningspunkten x = = 17 7 y = = 8 7 z = = 23 7 Vi avslutar så med att bestämma avståndet mellan de två punkterna ( ) 2 +( ( ) 23 ) 2 = 5 7 Om Du lyckas lära dig formeln d = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B 2 +C 2 så är det fritt fram att använda den d = 2 ( 1) = Läxa P(1, 1,3) och Q(3,3, 1) ger v = (3,3, 1) (1, 1,3) = (2,4, 4). Planet 2x+4y 4z = 5 har normalvektorn n = (2,4, 4). Eftersom v = n går vektorn v vinkelrätt planet. Det andra planet med ekvationen 12x 15y+16z = 10 har normalvektorn n = (12, 15, 16). Vi får (2,4, 4) (12, 15,16) cosθ = ( 4) ( 15) θ 48.2 (överensstämmer inte med facit!) Läxa Vi löser ut t ur de tre ekvationerna och får Den andra linjens ekvation x = 1+(1 2)t = 1 t y = 2+(2 0)t = 2+2t z = 3+(3+1)t = 3+4t 1 x = y 2 2 = z 3 4 x = 0+(0 1)t = t y = 0+(0 0)t = 0 z = 1+(1 1)t = 1 Vi ser direkt att denna linje inte skär den första. Läxa Först de två linjernas ekvationer x = 4+2t y = 2+t z = 3 t x = 7+3s y = 2+2s z = 1+s Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Vi söker nu en vektor som är vinkelrät mot v = (2, 1, 1) och u = (3, 2, 1) { (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) (2,1, 1) = 0 (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) (3,2,1) = 0 (11 3s+2t, 2s+t,2 s t) är den vektor som bildas då man väljer ett t på första linjen och ett s på den andra. Lösningen t = 1 och s = 2 ger vektorn (3, 5,1). Denna vektor är vinkelrät mot riktningsvektorerna hos de båda linjerna. Längden hos denna vektor är liktydigt med det kortaste avståndet mellan linjerna. d = 3 2 +( 5) = 35 Läxa Att skriva ned planets ekvation på parameterform är busenkelt! x = 1+2t+s y = 3+t+2s z = 4+t+3s För att få det på normalform löser vi först ut s och t ur de två första ekvationerna. { x = 1+2t+s y = 3+t+2s med lösningen s = 7+x 2y 3 t = 5 2x+y 3 Vi sätter så in dessa uttryck för s och t i den tredje ekvationen och får z = 4+t+3s z = x+y 7+x 2y 3 3z = 12 (5 2x+y)+3(7 x+2y) 3z = x y+21 3x+6y x 5y+3z 28 = 0 Vi kan nu teckna ekvationen x 5y + 3z + D = 0. Genom att sätta den givna punkten (1, 3,4) kan vi till sist bestämma D. 1 5 ( 3)+3 4+D = 0 ger D = 28 och ekvationen x 5y+3z 28 = 0 Exempel 2. Bestäm (x,x,x) (x, x,x). Vi får determinanten Som ger Svar: (2x 2,0, 2x 2 ) v u = (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) x x x x x x x 2 e x +x 2 e y x 2 e z x 2 e z x 2 e y +x 2 e x = 2x 2 e x 2x 2 e z = 2x 2 (1,0,0) +2x 2 (0,0,1) = (2x 2,0, 2x 2 ) Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 1 Vi har två punkter och ett plan givna och önskar skärningspunkten mellan den linje, som går genom de två punkterna, och planet. Vilken är din plan? 2 Vi har tre punkter givna och vill ha ekvationen för det plan som innehåller dessa punkter. Vilken är din plan? 3 Vi har en vektor v och vill ha dess projektion på vektorn u. Vilken är din plan? 4 Vi vill lösa olikheten Vilken är din plan? x 2 +x 2 x+3 > 0 Till tre givna punkter, till exempel, P 1 = (1,4,3), P 2 = (2,0,1), P 3 = (4,3,2), kan man finna ett plan genom punkterna. Vi bildar först två riktningsvektorer u = P 1 P 2 = (2,0,1) (1,4,3) = (1, 4, 2) och v = P 1 P 3 = (4,3,2) (1,4,3) = (3, 1, 1). Tänk på att man med hjälp av tre punkter kan bilda sex olika vektorer, av vilka dessa är två. Tillsammans med en punkt vilken som helst av de tre kan vi så teckna planets ekvation: p1={1,4,3}; p2={2,0,1}; p3={4,3,2}; u=p2-p1; v=p3-p1; plan1[s_,t_]:=p1+s*u+t*v För varje par av värden hos s och t får vi en ny punkt i planet. Genom plan1[1,2] plan1[0,0] får vi punkterna (8, 2, 1) och (1, 4, 3) Vi har två punkter P 1 = (3,1, 1) och P 2 = (5,1, 2) genom vilken det går en linje. Vi har tre punkter P 3 = (1,1,0), P 4 = (3,0,1) och P 5 = (0,0,2) som alla ligger i samma plan. Bestäm skärningspunkten mellan linjen och planet. p1 = {3, 1, -1}; p2 = {5, 1, -2}; p3 = {1, 1, 0}; p4 = {3, 0, 1}; p5 = {0, 0, 2}; plan1[s_, t_] := p3 + s*(p3 - p4) + t*(p3 - p5) linje1[s_] := p1 + s*(p1 - p2) Solve[plan1[s, t] == linje1[u]] Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Vi får lösningen s = 0, t = 0 och u = 1. Vi kan nu få fram skärningspunkten på två sätt plan1[0,0] linje1[1] Skärningspunkten är (1,1,0) Problem 1. Bestäm a, så att punkterna p 1 = (1,2,6), p 2 = (2,a,3), p 3 = (2,2,4) och p 4 = (a,a,5) ligger i samma plan. Svar 1. Vi definierar först de fyra punkterna och skapar med tre av dem planet pl 1. Genom att låta P 4 tillhöra planet kan vi genom ekvationen i sista satsen finna lösningarna a = 2 och a = 1. p1={1,2,6}; p2={2,a,3}; p3={2,2,4}; p4={a,a,5}; pl1=p1+s*(p1-p2)+t*(p1-p3); Solve[pl1==p4] Problem 2. Bestäm ekvationen, på normalform, för det plan i vilket de tre punkterna p 1 = (1,3,0), p 2 = (3,2,1) och p 3 = (3,3,2) ligger. Svar 2. Linjens ekvation på normalform skrivs Ax+By+Cz+D = 0. Vi ska här bestämma A, B, C och D och kommer att göra det på två sätt. Först definierar vi dock de tre punkterna P 1, P 2 och P 3. I första lösningen definierar vi planet i parameterform. För att göra det behöver vi en punkt och två rikningar. Vi tar punkten P 1 som punkt och skapar riktningarna P 1 P 2 = (1,3,0) (3,2,1) = ( 2,1, 1) och P 1 P 3 = (1,3,0) (3,3,2) = ( 2,0, 2). Planets ekvation på parameterform kan nu skrivas x = 1 2s 2t y = 3+s z = 0 s 2t För varje par av värden på (s, t) får vi en ny punkt i planet. Om vi nu löser ekvationssystemet ovan med avseende på s, t och z får vi z uttryckt i x och y. Genom att sedan placera alla termer på vänster sida har vi nått målet planets ekvation på normalform. p1={1,3,0};p2={3,2,1};p3={3,3,2}; pl1[s_,t_]:=p1+(p1-p2)s+(p1-p3)t u2=solve[{x,y,z}==pl1[s,t],{z},{s,t}] Mathematica svarar med z = 4+x+y. Den andra lösningen bygger på det faktum att linjens ekvation på normalform erhålls genom att beräkna determinanten x y z Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 För ändamålet skapar vi en funktion linekv som tar emot tre punkter och returnerar den eftersökta ekvationen. I första raden skapar vi matrisen M. Sist i varje rad, som består av koordinaterna för en punkt, fogar vi talet 1. Detta åstadkoms med Append. I sista raden anropar vi funktionen linekv med våra punkter, som argument. linekv[p1_,p2_,p3_]:=block[{m}, m={{x,y,z,1},append[p1,1],append[p2,1],append[p3,1]}; Det[m] ] linekv[p1,p2,p3] Som tur är får vi samma svar 8 2x 2y+2z = 0. Problem 3. Två plan som inte är parallella eller sammanfaller skär varandra utefter en linje. Ofta ges linjens ekvation som normalekvationen för två plan där alltså skärningen mellan planen är den avsedda linjen. Vilken linje utgör skärningen av dessa plan? { x+y+z+1 = 0 2x+3y+4z+5 = 0 Svar 3. Detta underbestämda linjära ekvationssystem har antingen ingen eller oändligt många lösningar. Ingen lösning har det då planen är parallella och oändligt många lösningar kan det ha på två olika sätt. Antingen är ekvationerna identiska planen sammanfaller, vilket ger en tvåparametrig lösning eller så finns det en parameter och lösningen är en linje e1=x+y+z+1==0; e2=2x+3y+4z+5==0; Solve[{e1,e2},{x,y}] Svaret från Mathematica, x = 2 + z, y = 3 2z betyder att linjens ekvation kan skrivas x = 2+t y = 3 2t z = t Problem 4. Ett plan är givet genom de tre punkterna p 1 = (1,0,4), p 2 = (3, 2,0) och p 3 = (0,0, 3). Ett annat plan genom de tre punkterna p 4 = (3,0,2), p 5 = (2,2,2) och p 6 = (0,4,0). Bestäm ekvationen för skärningslinjen mellan de två planen. Svar 4. Planens ekvationer definieras med hjälp av de sex punkterna. Första steget blir nu att bestämma planens ekvation på normalform, vilket är samma sak som att lösa ut s och t ur dessa ekvationssystem x = 1+2s t y = 0 2s z = 4 4s 7t x = 3 s 3t y = 0+2s+4t z = 2 2t Eftersom de båda systemen innehåller fem obekanta och tre ekvationer är systemet underbestämt. s och t är vi inte intresserade av. Som den tredje obekanta väljer vi z. Håkan Strömberg 12 KTH Syd

13 Resultatet från de två systemen blir z = 3+7x+9y och z = 4+2x+y eller omskrivet 7x+9y z 3= 0 och 2x+y z 4= 0. Något man kan fixa till direkt med Mathematica genom satserna som ger e 1 ochh e 2. Återstår nu att lösa ekvationssystemet { 7x+9y z 3 = 0 2x+y z = 0 Återigen ett underbestämt ekvationssystem, som vi väljer att lösa med avseende på x och y. Datorn ger oss svaret x = (33+8t)/11 y = (22+5t)/11 z = t som är ekvationen till den eftersökta linjen. p1={1,0,4}; p2={3,-2,0}; p3={0,0,-3}; p4={3,0,2}; p5={2,2,2}; p6={0,4,0}; pl1[s_,t_]:=p1+(p2-p1)s+(p3-p1)t pl2[s_,t_]:=p4+(p5-p4)s+(p6-p4)t u1=solve[pl1[s,t]=={x,y,z},z,{s,t}] u2=solve[pl2[s,t]=={x,y,z},z,{s,t}] e1=(z/.u1[[1]])-z==0 e2=(z/.u2[[1]])-z==0 Solve[{e1,e2},{x,y}] Problem 5. Nedan följer fyra par med ekvationer för plan. Du ska avgöra vilka par som är parallella, har en gemensam linje och är identiska { { 4x y+2z 5 = 0 x 4y 3z 2 = 0 a) b) 7x 3y+4z 8 = 0 3x 12y 9z 7 = 0 { { 2y 8x+4z 5 = 0 3x+y 2z+5 = 0 c) d) 4x y 2z = 0 6x 2y+4z 10 = 0 Svar 5. Genom att lösa ekvationerna med hjälp av Reduce får man svaret direkt. e1=4x-y+2z-5==0; e2=7x-3y+4z-8==0; e3=x-4y-3z-2==0; e4=3x-12y-9z-7==0; e5=2y-8x+4z-5==0; e6=4x-y-2z==0; e7=3x+y-2z+5==0; e8=-6x-2y+4z-10==0; Reduce[{e1,e2},{x,y}] (* Linje *) Reduce[{e3,e4},{x,y}] (* Ingen *) Reduce[{e5,e6},{x,y}] (* Ingen *) Reduce[{e7,e8},{x,y}] (* Plan *) Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 Planen i a) ger parameterlösningen x = (7 2t)/5, y = (3 + 2t)/5, z = t, vilket alltså betyder att planen har en gemensam linje. Planen i b) och c) ger svaret False, vilket betyder att, att de inte har någon gemensam punkt. Planen är parallella. Planen i d) ger en tvåparametrig lösning x = (5+s 2t)/3, y = s, z = t vilket betyder att planen sammanfaller eller är identiska. Problem 6. Tre punkter p 1 = (1,0, 1), p 2 = (3, 2,1) och p 3 = ( 1,2,0) ligger i samma plan och två punkter p 4 = (2,4,3) och p 5 = (0,0,2) ligger på samma linje. Bestäm linjens skärningspunkt med planet. Svar 6. Som vanlig inleder vi med ett antal definitioner. Förutom de fem punkterna också planets och linjens ekvationer på parameterform. p1={1,0,-1}; p2={3,-2,1}; p3={-1,2,0}; plan[s_,t_]:=p1+(p1-p2)s+(p1-p3)t p4={2,4,3}; p5={0,0,2}; linje[t_]:=p4+(p4-p5)t Om det finns värden på t, u och v sådana att planet genom u och v och linjen genom t ger samma punkt så har vi hittat skärningspunkten. Ekvationen nedan ger lösningen t = 5/6, u = 17/18 och v = 23/18. I de två sista satserna gör vi en dubbelkoll på att skärningspunkten verkligen är (1/3,2/3,13/6). Solve[linje[t]==plan[u,v]] linje[-5/6] plan[-17/18,-23/18] Problem 7. Nedan ges i två grupper ekvationen för en linje och ett plan. Bestäm skärningspunkten mellan linjen och planet. x = 5 4t a) y = 1 t x+2y+3z 9 = 0 z = 3+2t x = 3t b) y = 1+2t 4x y+2z 1 = 0 z = 2 t Svar 7. Första ekvationen ger svaret {} vilket betyder att linjen aldrig skär planet, linjen är parallell med planet. Den andra ekvationen ger ( 3/4,1/2,9/4) som skärningspunkt. l1={-5-4t,1-t,3+2t}; pl1=x+2y+3z-9==0; l2={3t,1+2t,2-t}; Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 pl2=4x-y+2z-1==0; Solve[{l1=={x,y,z},pl1}] Solve[{l2=={x,y,z},pl2}] Problem 8. Är planen 3x y+z 4 = 0 och x+2z = 0 vinkelräta mot varandra? Samma fråga för planen x 2y+3z 4 = 0 och 2x+5y+4z+1 = 0. Svar 8. Från planens ekvationer kan vi skapa dess normalvektorer. Om dessa vektorer är vinkelräta mot varandra är planen förstås vinkelräta. n1={3,-1,1}; n2={1,0,2}; n1.n2 n3={1,-2,3}; n4={-2,5,4}; n3.n4 n 1 n 2 = 5 vilket betyder att planen inte är vinkelräta mot varandra. I det andra paret däremot är n 3 n 4 = 0. Problem 9. Vektorn n = ( 1,2,4) är normalvektor till ett plan i vilken punkten p 0 = ( 1,2,4) befinner sig. Bestäm planets ekvation på normalform. Svar 9. Ett plan är bestämt om man har en punkt och två (olika) riktningar. Vi har en punkt och behöver ta reda på de två riktningarna. Riktningarna v 1 och v 2 är vinkelräta mot normalvektorn n. Först antar vi att v 1 = (a,4,2) och v 2 = (b, 1,0) och genom ekvationerna v 1 n = 0 och v 2 n = 0 får vi tag i a och b. Med dessa två vektorer kan vi skriva ner planets ekvation på parameterform x = 1+9s 2t y = 2+4s t z = 4+2s I sista steget löser vi ut z ur detta ekvationssystem och får linjens ekvation på formen z = 14+2x 4y som vi snabbt skriver om till 2x 4y z+14 = 0. p0={-1,2,4}; n={-2,4,1}; v1={a,4,2}; v2={b,-1,0}; Solve[n.v1==0] Solve[n.v2==0] v1={9,4,2}; v2={-2,-1,0}; pl[s_,t_]:=p0+v1*s+v2*t Solve[pl[s,t]=={x,y,z},z,{s,t}] Lösningen ovan kan kanske betraktas som lite omständlig när vi vet att komponenterna i n är koefficienter i Ax+By+Cz+D = 0. Alltså att 2x+4y+z+D = 0, som med hjälp av p 0 ger D enligt Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Solve[n.p0+d==0] Med svaret d = 14 Problem 10. Visa att linjen ligger i planet 6x+4y 4z = 0 x = 0 y = t z = t Svar 10. Vi börjar med att definiera plan och linje. När vi löser ekvationen i sista satsen kan vi få tre olika kategorier av svar: Ingen lösning vilket betyder att linjen är parallell med planet. en punkt vilket betyder att linjen skär planet och en parameterlösning, som i detta fall, x = 0, y = t, z = t som betyder att linjen ligger i planet. pl1[x_,y_,z_]:=6x+4y-4z l1[t_]:={0,t,t}; Solve[{l1[t]=={x,y,z},pl1[x,y,z]==0},{x,y}] Problem 11. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t a) y = 3 2t 2x+y z 5 = 0 z = 1+2t Samma uppgift för denna linje och plan. x = 2+t b) y = 1 t z = 5+3t 6x+6y 7 = 0 Svar 11. Linjens riktningsvektor ska vara parallell med planets normalvektor för att linjen ska vara vinkelrät mot planet. Sambandet cosθ = v u v u säger oss, att då cos0 = 1 är v u = v u. Vi behöver därför en funktion norm som kan beräkna vektorns längd. Planets normalvektor skriver vi n 1 = (2,1, 1) och linjens riktningsvektor till v 1 = ( 4, 2,2). v1={-4,-2,2}; n1={2,1,-1}; v1.n1/(norm[v1]*norm[n1]) Resultatet från sista satsen blir 1, vilket alltså betyder att linjen är vinkelrät mot planet. Med samma teknik löser vi så det andra problemet v2={1,-1,3}; n2={6,6,0}; v2.n2/(norm[v2]*norm[n2]) Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 och får genom svaret 0 reda på att linjen i stället är parallell med planet! Problem 12. Var och en av dessa linjer x = 2+2t x = 18+4t l 1 = y = 4+t l 2 = y = 2 2t z = 1 z = 1+t x = 12+6t l 3 = y = 9 25t z = 1+7t skär de andra två och bildar därmed en triangel. Bestäm med hjälp av Herons formel, där triangelns sidor är a, b och c denna triangelns area. s = a+b+c 2 A = s(s a)(s b)(s c) Svar 12. Först bestämmer vi skärningspunkterna mellan de tre linjerna, p 1, p 2 och p 3. Med den definierade funktionen norm, kan vi beräkna avståndet mellan två punkter. heron är en implementation av Herons formel. Genom en kombination av norm och heron kan vi direkt ta reda på triangelns area. l1[t_]:={2,4,1}+{2,1,0}t l2[t_]:={-18,2,-1}+{4,-2,1}t l3[t_]:={12,9,1}+{6,-25,7}t u1=solve[l1[t1]==l2[t2]] u2=solve[l1[t1]==l3[t2]] u3=solve[l2[t1]==l3[t2]] p1=l1[t1]/.u1[[1]] p2=l1[t1]/.u2[[1]] p3=l2[t1]/.u3[[1]] norm[p1_,p2_]:=sqrt[apply[plus,(p1-p2)^2]] heron[a_,b_,c_]:=block[{s=(a+b+c)/2}, Sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)] ] heron[norm[p1,p2],norm[p1,p3],norm[p2,p3]]//n De tre skärningspunkterna är p 1 = ( 10, 2,1), p 2 = (12,9,1) och p 3 = (18, 16,8). Arean är Problem 13. Vi söker här ekvationen till det plan som går genom punkten p 1 = ( 2,1,7) och är vinkelrät mot linjen x = 4+2s y = 2+3s z = 5s Svar 13. Vi har tidigare lärt oss det snabbaste sättet att lösa detta problem. Normalvektorn har ju samma riktning som linjens riktning, vilket ger n = (2,3, 5) och därmed har vi allt i planets ekvation utom D, som vi får genom ekvationen nedan. p1={-2,1,7}; n={2,3,-5}; Solve[n.p1+d==0] Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 Svaret blir i sin helhet 2x+3y 5z+36 = 0. Problem 14. Sök ekvationen till det plan, som går genom punkten p 1 = (1,2,3) och som är parallellt med xy-planet. Svar 14. Den enda svårigheten med detta problem är att komma på att normalvektorn n = (0,0,1), vilket leder till att ekvationen är z+d = 0 där vi får d på numera känt manér! p1={1,2,3}; n={0,0,1}; Solve[n.p1+d==0] Planets ekvation är 3z 3 = 0. Problem 15. Vi söker här ekvationen för det plan som går genom origo och som är parallellt med 7x+4y 2z+3 = 0. Svar 15. Det ny planet ska ha samma normalriktning som det givna planet. Något som n = (7, 4, 2) ger. Dessutom ska ju planet gå genom punkten p = (0, 0, 0). n={7,4,-2}; p={0,0,0}; Solve[n.p+d==0] Du kanske också tycker att det var onödigt att lösa den sista ekvationen eftersom alla plan genom origo har en konstant term som är 0. Ekvationen för planet blir 7x+4y 2z = 0. Svar till : Katter a+d+g+h = 7 c+f+g+h = 6 a+b+c+h = 5 g+h = 4 a+h = 3 c+h = 2h = 1 e = 0 Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 e = 0,h = 1,a = 2,c = 1,b = 1,g = 3,d = 1,f = 1 Svar: Det finns 10 katter Dagens problem: Fotbollsturneringen Här är slutresultatet i påskturneringen Hammarby IF AIK Djurgården if IFK Göteborg Alla lag mötte varandra var sin gång. I ingen match gjordes det fler än 5 mål. Inget resultat förekom två gånger. Till exempel vann ett lag med 3 1 så slutade ingen annan match med 3 1 eller 1 3. Hur slutade matcherna? AIK - Djurgården IF - Hammarby IF - IFK Göteborg - IFK Göteborg - AIK - Djurgården IF - Hammarby IF - AIK - Hammarby IF - IFK Göteborg - Djurgården IF - De åtta kolumnerna i tabellen har följande förklaring: 1 Lagets namn 2 Antal spelade matcher 3 Antal vunna matcher 4 Antal oavgjorda matcher 5 Antal förlorade matcher 6 Antal gjorda mål 7 Antal insläppta mål 8 Antal poäng (2 för vunnen och 1 för oavgjord match) 1 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation 2 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. 3 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 3 Beräkna ( u r) r 4 1 Faktorisera täljaren 3 Sortera nollställena i täljare och nämnare i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen Håkan Strömberg 20 KTH Syd

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut.

kan vi uttrycka med a, b och c. Avsnitt 2, Vektorer SA + AB = SB AB = SB SA = b a, Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste se ut. vsnitt 2, Vektorer kan vi uttrycka med a, b och c. W109 är basytan (en kvadrat) i en regelbunden fyrsidig pyramid med spetsen. Låt = a, = b och = c. eräkna. Vi ritar först en figur av hur pyramiden måste

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström

Vektorer för naturvetare. Kjell Elfström Vektorer för naturvetare Kjell Elfström Copyright c Kjell Elfström 2015 Första upplagan, mars 2015 Innehållsförteckning 1 Vektorer 5 1.1 Vektorbegreppet......................... 5 1.2 Operationer på vektorer.....................

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.01.09 14.30 16.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen.

Anmärkning: Härledning av ovanstående formel finns i slutet av stencilen. VSTÅNDSERÄKNING I ETT TREDIMENSIONELLT ORTONORMERT KOORDINTSYSTEM ) vstånet mellan två punkter Låt = x, och = x, y, z ) vara två punkter i rummet vstånet mellan och är x) + y y) + z ) = = x z ===================================================

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och

Linjer och plan Låt ABCD vara en fyrhörning i planet. Om A väljs till origo och Linjer oh plan Läs Sparr, avsn. 3. Många läroböker likställer koordinatsystem med rätvinkligt koordinatsystem, närmare bestämt: med ett ortonormerat system (ON-system). O:et står för ortogonal = rätvinklig,

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0.

Proof. Se uppgifterna. Definition 1.6. Två vektorer u och v är vinkelräta (ortogonala) om < u, v >= 0. 1. Punkt och Linjer När du läser denna text är det bra om du ritar bilder för att exemplifiera innehållet. Det är lite komplicerad med i.tex, och därför avstår jag från att lägga vid illustrationer även

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form.

{ (1 + i)z iw = 2, iz + (2 + i)w = 5 + 2i, där i är den imaginära enheten. Ange rötterna z och w på rektangulär form. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Grundläggande vektoralgebra Datum: 7

Läs mer

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2

Bestäm den matris B som löser ekvationen = 1 2 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Linjer och plan (lösningar)

Linjer och plan (lösningar) Linjer och plan (lösningar) 0. Enligt mittpunktsformeln (med O i just origo) OM = ³ OA + OB a) b) ((, 0, ) + (,, )) = (0,, ) µ +, +, z + z 0. Enligt tngdpunktsformeln (med O i just origo) ³ OA + OB + OC

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

1. Beräkna determinanten

1. Beräkna determinanten MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Lite sfärisk geometri och trigonometri

Lite sfärisk geometri och trigonometri Lite sfärisk geometri och trigonometri Torbjörn Tambour 8 april 2015 Geometri och trigonometri på sfären är ett område som inte nämns alls i de vanliga matematikkurserna, men som ändå är värt att stifta

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg

Version 1.0 :: 20 januari 16:52. INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg Version 1.0 :: 20 januari 2015 @ 16:52 INTRODUKTION TILL VEKTORER :: (iv) ivmikael Forsberg 20 januari 2015 ii Innehåll 1 Introduktion till vektorer 1 1.1 Begreppet vektor.....................................

Läs mer

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha

ANALYTISK GEOMETRI. Xantcha ANALYTISK GEOMETRI Xantcha 4 april 06 Innehåll Linjer och plan Linjens och planets ekvationer Linjens ekvation Planets ekvation Incidens 4 Incidens mellan plan 4 Incidens mellan linje och plan 5 3 Incidens

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra

Föreläsningsanteckningar i linjär algebra 1 Föreläsningsanteckningar i linjär algebra Per Jönsson och Stefan Gustafsson Malmö 2013 2 Innehåll 1 Linjära ekvationssystem 5 2 Vektorer 11 3 Linjer och plan 21 4 Skalärprodukt 27 5 Vektorprodukt 41

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e

1. Inledning. x y z. u = xe 1 + ye 2 + ze 3 = e . Inledning I Linjär algebra kommer vi att stdera olika objekt samt deras egenskaper. Dessa objekt kan ha geometrisk tolkning såsom geometriska vektorer men också inte som t.e. matriser. Vi har tidigare

Läs mer

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor: Tentamen i MATEMATIK, HF 700 9 nov 007 Tid :5-7:5 KLASS: BP 07 Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Miniräknare av vilken tp som helst, en formelsamling och ett bifogat formelblad. Tentamen består av 8

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen TEN4 Lösningsförslag 2012.06.07 08.30 10.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.

MATEMATIK Datum: 2015-08-19 Tid: eftermiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel. MATEMATIK Datum: 0-08-9 Tid: eftermiddag Chalmers Hjälmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Tim Cardilin Tel.: 0703-088304 Lösningar till tenta i TMV036 Analys och linjär algebra

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Skalärprodukt (lösningar)

Skalärprodukt (lösningar) Skalärprodukt (lösningar) 404. Nej : 40. Utnyttja definitionen u v u v cos θ u v 4 6 u och distributiviteten (u v) (u + v) u u 6v u + u v v v 4 5 6 0 (Ritar man noggrant, ser man att u v och u + v mycket

Läs mer

Matematik CD för TB = 5 +

Matematik CD för TB = 5 + Föreläsning 4 70 a) Vi delar figuren i två delar, en triangel (på toppen) och en rektangel. Summan av dessa två figurers area ger den eftersökta. Vi behöver följande formler: A R = b h A T = b h Svar:

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson

Vektoralgebra. En inledning Hasse Carlsson Vektoralgebra En inledning Hasse Carlsson Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 2005 Innehåll 1 Inledning 2 2 Geometriska vektorer 2 2.1 Definition av vektorer.......................

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer