x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

Transkript

1 Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt. Ekvationssystemet har totalmatrisen x+2y+z = 14 x y+z = 2 x+2y 4z = Härifrån går man sedan vidare med samma teknik som vi använde på föreläsningen. Vi subtraherar rad 1 från rad 2 och samtidigt rad 1 från rad. Vi får nu Vi multiplicerar rad 2 med 4 och rad med Vi adderar nu rad 2 till rad och får Från sista raden får vi nu att 57z = 171 som ger z =. Nu inleds bakåtsubstitutionen. Från rad 2 får vi 20y+8 = 64 som ger y = 2. Till sist x+2 2+ = 14 som ger x = 1 Ekvationssystemet har en entydig lösning: x = 1, y = 2 och z =. Oändligt många lösningar Det är inte alltid man får en entydig lösning vid lösandet av ett kvadratiskt system x y+2z = 4 x 6y+4z = 7 5x+y 2z = 10 Totalmatrisen blir Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Subtrahera 5 rad 1 från rad och subtrahera rad 1 från rad 2 och vi får Multiplicera rad 2 med Subtrahera rad 2 från rad och vi får Detta resultat innebär att systemet har oändligt många lösningar. z = t, där t är ett godtyckligt tal, ingår i dem. Genom bakåtsubstitution får vi nu y = 5+2t som i sin tur ger x 5+2t +2t = 4 med x = 1 Lösning saknas Om vi, från problemet ovan, ändrar högerledet i rad till x y+2z = 4 x 6y+4z = 7 5x+y 2z = 11 Nu genomför vi samma beräkningar, för totalmatrisen, som i förra problemet och får till slut Det här systemet saknar lösning eftersom 0x + 0y + 0z 1 för alla värden på x, y och z. Ekvationssystem med parametrar ax+2y+z = 1 4x+y+z = 2 ax 2ay+z = 1 Då en eller flera parametrar ingår i det kvadratiska ekvationssystemet sätter vi determinanten för koefficientmatrisen till 0 och löser ekvationen. Vi får då a a 2a = 6a2 24 Vi får då ekvationen 6a 2 24 = 0 med rötterna a = ±2. Nu kan man fastslå att systemet har entydiga lösningar då a ±2. För övriga värden måste vi genomföra elimination med motsvarande a-värden insatta. Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Vi startar med a = 2 och får totalmatrisen Subtrahera rad 1 från rad och subtrahera 2 rad 1 till rad 2 och vi får Multiplicera rad 2 med 2 Subtrahera rad 2 från rad Detta betyder att då a = 2 har systemet ett oändligt antal lösningar. Vill man ha tag i dem får man starta med att till exempel sätta z = t och utföra bakåtsubstitution. Nu är det dags för a = 2. Vi får då Subtrahera rad 1 från rad och samtidigt addera 2 rad 1 till rad 2. Detta ger Multiplicera rad 2 med 2 och rad med Subtrahera rad 2 från rad Av detta kan vi slå fast att systemet saknar lösning då a = 2. Håkan Strömberg KTH Syd

4 Några uppgifter I de fall totalmatrisen leder till en rad Extra 1. ax+2y+z = 4 x+y+z = 1 x+az = 2 a) Visa att ekvationssystemet har en entydig lösning om a 1 och a. b) Lös ekvationssystemet för a = c) Lös ekvationssystemet för a = 1 Lösning: Vi startar med att ta fram determinanten för koefficientmatrisen a a = a 1 a+( 1) a 0 1 ( 1) 2 a 1 = a2 +2a Vi sätter determinanten till 0 och löser ekvationen a 2 +2a = 0 som har rötterna a 1 = och a 2 = 1. Detta betyder att systemet har entydiga lösningar då a och a 1. Återstår då att lösa systemet för a = 1 och a =. Vi startar med a = 1 och ställer upp totalmatrisen Vi adderar rad 1 till rad 2 och får Vi adderar rad 1 till rad och får Slutligen adderar vi 2 rad 2 till rad och får vilket betyder att systemet har oändligt många lösningar då a = 1 Om vi sätter z = t (parameter) så kommer y = 5 4t och x = 2 t. Alla lösningar ligger utefter linjen x = 2 t y = 5 4t z = t Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Nu över till a =. Vi får totalmatrisen Vi adderar rad 1 till rad och får Vi adderar 1 rad 1 till rad och får Så adderar vi 6 rad 2 till rad och får Av detta sluter vi oss till att systemet saknar lösning då a = Extra 2. Bestäm förhållandet mellan konstanterna a och b då ekvationssystemet nedan saknar entydig lösning. x+y+z = a 2x+ay 2z = b x+by z = a Lösning: Vi startar med att ta fram determinanten för koefficientmatrisen a 2 = a+2b 2+2b+2 a = 2a+4b 1 b 1 Från 2a+4b = 0 får vi fram förhållandet a b = 2. Svar: Då förhållandet mellan a och b är 2 saknar systemet lösning. Under förutsättning att b 0. Extra. För vilka värden på den reella konstanten a har ekvationssystemet { ax+ay = 4 a) en entydig lösning b) ingen lösning c) oändligt många lösningar 4x+ay = a Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Lösning: Vi startar med att ta fram determinanten för koefficientmatrisen a a 4 a = a2 4a Ekvationen a 2 4a = 0 har rötterna a 1 = 0 och a 2 = 4. Då a 0 och a 4 har systemet en entydig lösning. Då a = 0 får vi totalmatrisen ( Vi ser då direkt att systemet saknar lösning då a = 0. Då a = 4 får vi totalmatrisen ( Vi subtraherar rad 1 från rad 2 och får ( vilket betyder att systemet har oändligt många lösningar då a = 4 Extra 4. Lös ekvationssystemet ) ) ) x+2y+z = 6 2x y+2z = 4x+y+8z = 15 Lösning: Vi överför systemet till en totalmatris Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och 4 rad 1 från rad och får Så subtraherar vi rad 2 från rad och får Detta betyder att det finns oändligt många lösningar till systemet. z kan ha vilket värde som helt till exempel z = t. Om vi bestämmer oss för det betyder det att y = 9 4t 5 som i sin tur leder fram till x = 2 4t 9 t = 12 7t 5 5 Alla lösningar ligger utefter en rät linje i rummet med ekvationen { x = 12 7t 5 y = 9 4t 5 z = t Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Extra 5. 2x+2y+2z+2w = 8 x+2y+z+4w = 10 x+4y+5z+6w = 18 Lösning: Totalmatrisen får följande utseende om vi byter plats på rad 1 och rad Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och samtidigt rad 1 från rad. Då får totalmatrisen följande utseende Subtraherar vi nu rad 2 från rad får vi Här kan vi nu sätta z = t och w = s, där t och s är godtyckliga tal. Detta leder till y = 6 2t s som till sist leder till x = 10 2(6 2t s) t 4s 2+2s+t Extra 6. Lös ekvationssystemet x+2y+z = 6 x y+2z = 2 2x+y+5z = 8 Lösning: Vi får totalmatrisen Vi subtraherar rad 1 från rad 2 och samtidigt 2 rad 1 från rad och får Så subtraherar rad 2 från rad och får Detta betyder att systemet har oändligt många lösningar. Vi sätter z = t där t är ett tal vilket som helst. Då blir ger y t = 4, y = 4 t och x+2 4 t som vi löser med avseende på x och får x = 10 7t +t = 6 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Extra 7. Lös ekvationssystemet för olika värden på a x 2y+z = 4 2x+y z = 1 x y+az = Lösning: Koefficienterna ger determinanaten = a a 9 = 5a 10 1 a Ekvationen 5a 10 = 0 ger a = 2 Då a 2 har systemet en entydig lösning. Vi får totalmatrsien a Subtrahera 2 rad 1 från rad 2 och samtidigt subtrahera rad 1 från rad så uppstår totalmatrisen a 9 9 Subtrahera rad 2 från rad och få a 2 0 Vi får nu (a 2)z = 0 vilket leder tillz = 0 eftersom a 2. Vidare får vi nu 5y+( 7) 0 = 9 med lösningen y = 9 5. och till sist x = 4 med roten x = 2 5. Ovanligt nog kommer inte a med i lösningen, det vill säga lösningen är oberoende av vilket värde på a vi sätter in. Nu över till situationen då a = 2. Vi får förstås totalmatrsien när vi sätter in a = 2. detta resultat betyder att det finns oändligt många lösningar. Vi kan till exempel sätt z = t, där t är ett godtyckligt tal. Detta leder till 5y 7t = 9 som ger y = 7t 9 2 t 5. Efter lite räknande får vi så att x = 5 Extra 8. Bestäm a så att systemet får en entydig lösning 2x+y+az = 2 x 2y+z = 0 x y z = 1 Lösning: Determinanten för koefficientmatrisen blir 2 1 a 1 2 = 4 a a = 5a Ekvationen 5a + 20 = 0 har roten a = 4. Då a 4 har systemet en entydig lösning. Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Extra 9. För vilka värden på parametern a har systemet x+y+z = 2 x+2y+z = 0 y+az = 1 exakt en lösning ingen lösning oändligt många lösningar Lösning: Vi får koefficientdeterminanten a+1+0 a 0 = a a Då a = 2 är determinanten = 0 vilket betyder att systemet har entydiga lösningar för a 2 Då a = 2 får vi totalmatrisen Vi subtraherar nu rad 1 från rad 2 och får Så subtraherar nu rad 2 från rad och får Vilket betyder att systemet saknar lösning då a = 2. Därmed finns inget värde på a då systemet har oändligt många lösningar. Extra 10. För vilka värden på konstanten a har följande ekvationssystem: en entydig lösning, oändligt antal lösningar inga lösningar alls ax 2y+x = 10 4x+ay = 2y+z = 2 Lösning: Vi får koefficientdeterminanten a a = a = a 2 16 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Determinanten är = 0 då a 2 = 16 eller a 1 = 4 och a 2 = 4. Då a ±4 har systemet en entydig lösning. Vi bestämmer nu lösningarna då a = 4 och ställer upp totalmatrisen Addera rad 1 till rad 2 Subtrahera rad 2 från rad Systemet saknar lösning för a = Vi bestämmer nu lösningarna då a = 4 och ställer upp totalmatrisen Subtrahera rad 1 från rad 2 Addera rad 2 och rad Systemet saknar lösning för a = Extra 11. För vilka värden på konstanten a har följande ekvationssystem: en entydig lösning, oändligt antal lösningar inga lösningar alls ax+ay+z = 1 x+az = 1 x+2y+z = 1 Lösning: a a a = 0 Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Ger ekvationen a 2 +a 2 = 0 med rötterna a = 2 och a = 1. Vi vet nu att systemet har entydig lösning då a 2 och a 1. Återstår att undersöka två fall Fall I: a = 2. Vi får totalmatrisen där vi passar på att byta plats på rad 1 och rad Addera 1 gånger rad 1 till rad 2 Addera 2 gånger rad 1 till rad Addera rad 2 till rad Från detta sluter vi oss till att systemet saknar lösning då a = 2 Fall II: a = 1. Vi får totalmatrisen Addera 1 gånger rad 1 till rad 2 Addera 1 gånger rad 1 till rad Addera 1 gånger rad 2 till rad Från detta sluter vi oss till att systemet har oändligt många lösningar för a = 1 (efter linjen (x,y,z) = (1 t,0,t) Svar: a = 1 oändligt antal lösningar. a = 2 ingen lösning. För övrigt entydig lösning. Håkan Strömberg 11 KTH Syd