2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X =

Transkript

1 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där u = u 2 2 = u 3 =... Låt W R n vara lösningsmängden till ett homogent ekvationssystem. Vi är nu i situation som liknar gårdagens. Skillnaden är att vi inte har tillgång till ekvationssystemet. Vi vill endå hitta en bas för W. Exempel.2. Lösningsmängden W R 4 till något okänt homogent ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = AX =, där (.2.) A = x x 2 x 3 x 4 sådan att Vi vill hitta en bas för W. Om vi skriver ut vad AX = betyder får vi att W ges som lösningsmängden till följande homogena ekvationssystem x + 2x 2 + x 3 + 3x 4 = 2x + x 3 + 2x 4 =. x + x 2 + 2x 4 = Att hitta en bas för lösningsmängden till ett homogent ekvationssystem kan vi utföra. Gauss-Jordan elimination ger den reducerade trapsstegsmatrisen vilket har tre ledande ettor. Vi sätter x 4 = t, och har att x 3 =, x 2 = t, och att x = t, där t är ett godtyckligt tal. Detta betyder

2 2 att mängden W vi betraktar är t W = { t godtyckliga tal t}. t En bas för W ges av vektorn..3. Nollrum. Det är rätt klart att påståendet i exemplet ovan inte är specifikt for den valda matrisen. Om A är en given (m n)-matris, då vill elementen X R n sådan att AX = vara lösningsmängden till ett homogent ekvationssystem. Denna lösningsmängd kallas nollrummet till matrisen A. Exempel.4. Låt W R 3 vara de vektorer X sådan att AX = 2X, där A = Skriver vi ut vad AX = 2X betyder, får vi det homogena ekvationssystemet 2x 2z = (.4.) x + z = x + z = Den reducerade trappstegsmatrisen blir [ ]. Detta ger att en bas för W blir u = u 2 =. Exempel.5. Låt W R 4 vara linjen {t 2 tal t}. En bas för W är 2.

3 3 Exempel.6. Låt W R 4 vara mängden t + 2t 3 + 2t 4 W = { t 2 + t 4 t + 2t 3 + 2t 4 godtyckliga tal t, t 2, t 3, t 4 }. 2t 2 + 2t 4 Denna mängd är lösningsmängden till ett homogent ekvationssystem, och vi vill hitta en bas för W. Vi ser att W är det linjära höljet till fyra vektorer (sätt t = och t 2 = t 3 = t 4 = för att få vektorn w, sedan t 2 = och t = t 3 = t 4 = etc). 2 2 w = w 2 = w 3 = 2 w 4 = Med andra ord har vi att W = Span(w, w 2, w 3, w 4 ), och vi är nästan i en situation som vi har behandlat tidligare. Vi har att w,..., w 4 är en bas för W om vektorerna är linjärt oberoende. Vi kollar detta med att lösa ekvationen t w + t 4 w 4 =. Ekvationssystemet blir t + 2t 3 + 2t 4 = t (.6.) 2 + t 4 = t + 2t 3 + 2t 4 = 2t 3 + 2t 4 = Den tillhörande matrisen är Gauss-Jordan elimination ger matrisen [ ] 2 2 (.6.2) Lösningar till ekvationen.6. erhålles som t 4 = r en godtyclig konstant, t 3 = s en godtycklig konstant, t 2 = r, och t = 2s 2r. Lösningsmängden har två parametrar, och detta betyder att punkten t = t 2 = t 3 = t 4 = inte är den enda lösningen. Med andra ord är vektorerna w, w 2, w 3, w 4 inte linjärt oberoende. Vad gör vi nu?.7. Hur hittar man linjärt oberoende vektorer. Notera att om vi har vektorer w, w 2, w 3, w 4 i något R n som är linjär beroende, då finns det en icke trivial lösning till ekvationen t w + t 2 w 2 + t 3 w 3 + t 4 w 4 =.

4 4 Icke-trivial betyder att åtminstonde en av skalärerna t,..., t 4 är nollskild. Om t, då kan vi skriva ekvationen ovan som w = t 2 t w 2 t 3 t w 3 t 4 t w 4. Detta betyder att w är en linjär kombination av w 2, w 3, w 4. betyder vidare att Span(w, w 2, w 3, w 4 ) = Span(w 2, w 3, w 4 ). Detta Exempel.8. Med denna observationen återgår vi till vårt Exempel.6. Vi har at lösningarna till ekvationssystemet t w + t 2 w 2 + t 3 w 3 + t 4 w 4 = ges av 2r 2s { s r s godtyckliga tal r, s}. Med s = erhåller vi lösningen t = 2r, t 3 = r och t 2 = t 4 =. Detta betyder att med r = har vi w 3 = 2w. Vi har att w 3 är en linjär kombination av w, och vi kan ta bort w 3. Detta betyder att Span(w, w 2, w 3, w 4 ) = Span(w, w 2, w 4 ). Liknande, med r = och s = får vi att w 4 = 2w + w 2. Detta ger att också w 4 kan skrivas som en linjär kombination av w och w 2. Med andra ord att Span(w, w 2, w 4 ) = Span(w, w 2 ). Man kan nu kolla att w och w 2 är linjärt oberoende, vilket också garanteras av de två ledande ettorna i den reducerade trappstegsmatrisen.6.2. Vi har att w och w 2 är en bas för W. Exempel.9. Låt A vara matrisen som i.2., och låt W R 3 vara mängden W = {AX X R 4 } Mängden W är lösningsmängden till ett homogent ekvationssystem. Hitta en bas för W. Här har vi inte ens vektorer vars linjära hölje ger W. För att lösa problemet, leker vi lett med vad vi har. Ta vektorn e = i R4. Per definition har vi att Ae är med i W. Vi kallar

5 5 denna för w och räknar ut att denna blir w = Ae = 2. På liknande sätt kan vi beräkna Ae 2, Ae 3, Ae 4, där e 2 =, e 3 = och slutligen e 4 =. Detta ger tre vektorer w 2, w 3 och w 4 i W, och dessa är w 2 = 2 w 3 = w 4 = Skall vi lista upp flera vektorer? Svaret är nej. Fördi om vi tar en godtycklig vektor X i R 4 så har vi att x x X = x 2 x 3 = + x 2 + x 3 +. x 4 Med andra ord har vi att X = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 + x 4 e 4 är en linjär kombination av e,..., e 4. Av de vanliga egenskaperna till matrismultiplikation har vi att AX = A(x e + x 4 e 4 ) = x Ae + x 4 Ae 4 = x w +x 2 w 2 +x 3 w 3 x 4 w 4. Det vill säga att mängden W vi betraktar är det linjära höljet av w,..., w 4, W = Span(w, w 2, w 3, w 4 ). Att hitta en bas utifrån ett givet antal vektorer har vi precis gjort i exemplet ovan. Vi repeterar snabbt. Vi hittar först lösningarna till t w + + t 4 w 4. Detta ekvationssystem har matris Gauss-Jordan elimination ger matrisen. x 4

6 6 Vi har tre ledande ettor, vilket betyder att basen skall bestå av tre vektorer. Lösningsmängen till ekvationssystem är t 4 = t, godtyckligt tal t, och t = t 2 = t och t 3 =. Detta betyder att w w 2 + w 4 =.. En bas för W ges av w, w 2 och w 3... Uppgifter. Läs mera i Anton-Rorres, Kapitel 4.7 (4.8). Rekomenderade uppgifter 4.5: -6, 7, 2-6 och 4.7: 2, 3, 4, 6, 7,, : 9. Tentamen 2--22, Uppgift 3. Tentamen 2-3-5, Uppgift 4. Department of Mathematics, KTH, Stockholm, Sweden address: skjelnes@kth.se 9nde: 5.4: 2-8, 2, 22 och 5.5:3,6,7,,2