SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Måndagen den 24 september, 2012

Transkript

1 SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 4 september, Låt T : R R 4 vara den linjära avbildningen med standardmatris (a) Bestäm en bas för bildrummet im(t ) ( p) (b) Bestäm dimensionen för nollrummet ker(t ) ( p) Lösningsförslag Vi börjar med Gauss eliminering: addera första rad till fjärde subtrahera första rad från tredje subtrahera gånger första rad från andra subtrahera gånger andra rad från tredje subtrahera andra rad från fjerde (a) Den första och den andra kolonnen har ledande ettor Det betyder att de första två kolonnerna av den ursprungliga matrisen bildar en bas till im(t ) Alltså har vi att, är en bas till im(t ) (b) Eftersom T är en linjär avbildning från R, har vi dim(ker(t )) + dim(im(t )) Från (a) vet vi att dim(im(t )) Vi kan konstatera att dim(ker(t ))

2 Låt T : R R vara en linjär avbildning som avbildar kvadraten med hörn i punkterna (, ), (, ), (, ) och (, ) på kvadraten med hörn i punkterna (, ), (, 4), (7, ), (4, ) (a) Bestäm matrisen för T (Det finns två möjligheter) ( p) (b) Förklara varför alla kvadrater i planet avbildas på kvadrater av T ( p) Lösningsförslag a) Vi har punkterna O (, ) P (, ), Q (, ), S (, ) P (, 4), Q (7, ), S (4, ) En linjär avbildning T : R R måste skicka noll-vektorn på noll Vi har vidare att vektorn (, ) (, ) (, ), vilket betyder att avbildningen T skickar (, ) till T (, ) T (, ) Vi vill först bestämma vilka möjliga punkt T kan skicka (, ) och (, ) till Punkterna vi kan välja mellan är P, Q och S Vi har att Q S P och vi har att Q P S, och detta ger oss de två möjligheterna för avbildningen T Vi har T (P ) P T (Q) Q eller T (P ) S T (Q) Q Standardmatrisen till den första avbildningen: Vi har att () () 7 T och T 4 Avbildningen T avbildar kvadraten med hörn i punkterna O, P, Q, S till O, P, Q, S För att hitta matrisen till T vi ska först skriva och som linjär kombinationer av och För att göra detta måste vi lösa systemet: subtrahera gånger första rad från andra / / / / / / Alltså / + / / Vi kan konstatera att: () T () T + () T 7 + / 4 / /

3 () T () T () T 7 / 4 / och att matrisen till T ges av: / / / / Standardmatrisen till den andra avbildningen kan vi hitta på samma sätt som ovan, eller som följer Vi har att T (Q) Q och att T (P ) S Om vi låter A vara standardmatrisen har vi matrisekvationen Vi har vidare att A 7 4 Vi multiplicerar vår matrisekvation från höger med inversmatrisen, och erhåller att 7 4 A ( ) b) Vi noterar att T är en sammansättning av en förstoring och en rotation Båda förstoring och rotation avbildar kvadrater till kvadrater, och det följer att samma måste hända för deras sammansättning T Låt W vara det delrum som spänns upp av vektorerna u, v och w 4 6 (a) Bestäm en bas för W ( p) (b) Bestäm ett linjärt ekvationssystem vars lösningsmängd är W ( p) Lösningsförslag a) Vi börjar med Gauss eliminering av matrisen u v w: subtrahera gånger första rad från andra subtrahera gånger första rad från tredje subtrahera andra rad från tredje 4 4

4 4 Den första och den andra kolonnen är ledande kolonner Det betyder att vektorerna och bildar en bas till W b) Vi har att W är ett plan i R For att hitta en ekvation till W måste vi hitta en normal vektor till W Detta kan göras med vektorprodukten, Vi har att vektorn är normal till W, och därmed har vi att planet ges av ekvationen: 4 x + y z Svar: (a) - (b) Dimensionen till nollrummet är ett / / (a) Antigen eller / / (b) - (a) - (b) Planet ges av ekvationen x + y z

5 ALLMÄNNA BEDÖMNINGSKRITERIER För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa Det innebär speciellt att införda beteckningar definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng Om lösningen helt saknar förklarande text, eller motsvarande förklaring i form av logiska symboler, till beräkningar och formler ges högst två poäng Detta markeras vid bedömningen med FTS (Förklarande text saknas) Om lösningen har förklarande text men inte tillräckligt för att det ska gå att förstå alla steg ges högst tre poäng sammanlagt på uppgiften Detta markeras med FLFT (För lite förklarande text) Mindre räknefel ger i allmänhet inte avdrag om de inte ändrar uppgiftens karaktär eller leder till orimligheter som borde ha upptäckts Lösningen ska kunna läsas av en person som inte är insatt i problemet i förväg Bevisbördan ligger på den som skriver, inte på den som läser (a), poäng, poäng (b), poäng, poäng (a), poäng, poäng (b), poäng, poäng (a), poäng, poäng (b), poäng, poäng PRELIMINÄRA BEDÖMNINGSKRITERIER