1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser"

Transkript

1 Krister Svanberg, mars Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just detta Det som möjligen kan kännas nytt är tolkningarna av vad som egentligen pågår bakom de formella kalkylerna I avsnitt 18 (kapitlets höjdpunkt) tolkas multiplikation av två matriser på fyra olika sätt I Kapitel 2 presenteras grunderna för partitionerade matriser, och i Kapitel 3 behandlas baser, inverser och besläktade ting 11 Vektorer i IR n och linjärkombinationer av sådana Mängden av reella tal betecknas IR Mängden IR n består av alla kolonnvektorer med n st reella komponenter Om x IR n och de n st komponenterna i vektorn x kallas x 1, x 2,, x n så är alltså x 1 x 2 x x n Man kan addera vektorer i IR n och man kan multiplicera en vektor i IR n med en skalär (dvs ett reellt tal) Om x IR n, y IR n och α IR så gäller per definition att x 1 y 1 x 1 + y 1 x 1 αx 1 x 2 x + y + y 2 x 2 + y 2 x 2 och α x α αx 2 x n y n x n + y n x n αx n Om x IR n så är x T en radvektor med samma komponenter som kolonnvektorn x, dvs x T brukar utläsas x-transponat x T (x 1 x 2 x n ) Låt nu v 1,, v k vara k st givna vektorer i IR n, dvs v i IR n för i 1,, k Vektorn w IR n säges vara en linjärkombination av dessa vektorer v 1,, v k om det finns k st skalärer (dvs reella tal) α 1,, α k sådana att w α 1 v α k v k k α i v i Ibland skrivs skalärerna i stället till höger om (kolonn-)vektorerna, varvid gångertecknet utelämnas, dvs w v 1 α v k α k i1 k v i α i Detta ändrar inte betydelsen på något sätt, utan är bara ett annat skrivsätt i1 1

2 (Att det ofta är naturligare att skriva skalären α i till höger om kolonnvektorn v i beror på att man då kan uppfatta kolonnvektorn som en n 1 matris och skalären som en 1 1 matris Räknereglerna för matrismultiplikation BC (se nedan) förskriver att antalet kolonner i B ska överensstämma med antalet rader i C och det är uppfyllt om B v i är n 1 och C α i är 1 1, dvs om skalären α i står till höger om kolonnvektorn v i Det är däremot inte uppfyllt om B α i är 1 1 och C v i är n 1, dvs om skalären α i står till vänster om kolonnvektorn v i, varför vi i detta fall använder gångertecknet för att markera att det inte är fråga om matrismultiplikation Gångertecknet används nämligen normalt inte vid matrismultiplikationer) Att kolonnvektorn w är en linjärkombination av kolonnvektorerna v 1,, v k är ekvivalent med att radvektorn w T är en linjärkombination av radvektorerna v T 1,, vt k, dvs w T α 1 v T α k v T k k α i vi T i1 (Här är det naturligt att skriva skalären α i till vänster om radvektorn vi T Om skalären uppfattas som en 1 1 matris och radvektorn som en 1 n matris så är räknereglerna för matrismultiplikation uppfyllda och vi behöver inte använda gångertecknet) 12 Multiplikation av radvektor och kolonnvektor ( skalärprodukt) Om x IR n och y IR n så kan man multiplicera radvektorn x T med kolonnvektorn y Resultatet blir per definition det reella talet y 1 x T y 2 y (x 1 x 2 x n ) x 1y 1 + x 2 y x n y n y n n x j y j (11) Eftersom resultatet blir en skalär brukar x T y kallas för skalärprodukten av x och y Man kan notera att ordningen på x och y inte spelar någon roll, dvs att y T x x T y Vidare följer ur definitionen att om även z IR n så är x T (y + z) x T y + x T z och (x + y) T z x T z + y T z Speciellt kan man skalärmultiplicera en vektor x IR n med sig själv, varvid erhålls x T x x x x 2 n där x betecknar (euklidiska) längden på vektorn x n x 2 j x 2, Två vektorer x IR n och y IR n säges vara ortogonala om x T y 0, dvs om skalärprodukten av x och y är noll Ibland säger man vinkelräta i stället för ortogonala, eftersom den geometriska tolkningen i IR 2 och IR 3 är att vinkeln mellan x och y är 90 grader om x T y 0 Den enda vektor som är ortogonal mot sig själv är nollvektorn, ty x T x 0 x x x 2 n 0 x 1 x 2 x n 0 x 0 j1 j1 2

3 13 Matriser i IR m n Mängden IR m n består av alla m n matriser med reella element Om matrisen A IR m n så är alltså a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A, a m1 a m2 a mn där a ij IR betecknar matriselementet i rad nr i och kolonn nr j Man kan addera matriser av samma storlek och man kan multiplicera en matris med en skalär Om A IR m n, B IR m n och α IR så gäller per definition att a 11 a 1n b 11 b 1n a 11 + b 11 a 1n + b 1n A + B + a m1 a mn och α A α b m1 b mn a 11 a 1n a m1 + b m1 a mn + b mn αa 11 αa 1n a m1 a mn αa m1 αa mn 14 Multiplikation av matris och kolonnvektor Om A IR m n och x IR n så kan man multiplicera A och x (i den ordningen) Resultatet blir per definition följande kolonnvektor Ax IR m : x a 11 a 12 a 1 1n a a 21 a 22 a 2n x 2 11 x 1 + a 12 x a 1n x n Ax a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n (12) a m1 a m2 a mn a m1 x 1 + a m2 x a mn x n x n Om den i:te komponenten i kolonnvektorn Ax betecknas (Ax) i så gäller alltså att n (Ax) i a i1 x 1 + a i2 x a in x n a ij x j, för i 1,, m (13) Denna matris-kolonnvektormultiplikation kan tolkas på (åtminstone) två olika sätt Den första tolkningen av Ax utgår från kolonnerna i A Låt â j beteckna den j:te kolonnen i matrisen A, dvs a 1j A a 2j â 1 â 2 â n, där âj IRm 3 j1 a mj

4 Ur (12) erhålls att a 11 x 1 a 1n x n a 21 x 1 Ax + + a 2n x n a m1 x 1 a mn x n a 11 a 21 a m1 x a 1n a 2ṇ a mn x n, och eftersom högerledet här är â 1 x â n x n x 1 x 2 Ax â 1 â 2 â n â 1x 1 + â 2 x â n x n x n så kan man tolka (12) på följande sätt: Kolonnvektorn Ax är alltså en linjärkombination av kolonnerna i matrisen A Den andra tolkningen av Ax utgår från raderna i A Låt ā T i beteckna den i:te raden i matrisen A, dvs A ā T 1 ā T 2 ā T m n â j x j (14) j1, där āt i (a i1 a i2 a in ), dvs ā i IR n Ur (13) erhålls då att (Ax) i a i1 x 1 + a i2 x a in x n ā T i x, vilket betyder att den i:te komponenten i vektorn Ax är skalärprodukten av den i:te raden i matrisen A och vektorn x Man kan alltså tolka (12) på följande sätt: ā T ā T 1 1 x ā Ax T 2 x ā T 2 x (15) ā T m ā T mx 15 Multiplikation av radvektor och matris Om A IR m n och u IR m så kan man multiplicera radvektorn u T (u 1 u 2 u m ) och matrisen A (i den ordningen) Resultatet blir en radvektor u T A med n st komponenter Om den j:te komponenten i denna radvektor betecknas (u T A) j så gäller per definition att (u T A) j u 1 a 1j + u 2 a 2j + + u m a mj m u i a ij, för j 1,, n (16) i1 Även denna radvektor-matrismultiplikation kan tolkas på (åtminstone) två olika sätt 4

5 Den första tolkningen av u T A utgår från kolonnerna i A Låt â j beteckna den j:te kolonnen i A Ur (16) erhålls då att (u T A) j u 1 a 1j + u 2 a 2j + + u m a mj u T â j, (17) vilket betyder att den j:te komponenten i radvektorn u T A är skalärprodukten av vektorn u och den j:te kolonnen i matrisen A Man kan alltså tolka (16) på följande sätt: u T A u T â 1 â 2 â n (utâ 1 u T â 2 u T â n ) (18) Den andra tolkningen av u T A utgår från raderna i A Låt ā T i beteckna den i:te raden i A Ur (16) erhålls då att u T A u 1 ā T 1 + u 2 ā T u m ā T m, så att (16) kan tolkas på följande sätt: u T A (u 1 u 2 u m ) ā T 1 ā T 2 ā T m u 1ā T 1 + u 2 ā T u m ā T m m u i ā T i (19) i1 Radvektorn u T A är alltså en linjärkombination av raderna i matrisen A 16 Multiplikation av radvektor, matris och kolonnvektor I detta avsnitt skall visas att om A IR m n, u IR m och x IR n så är (u T A)x u T (Ax) Genom att i tur och ordning använda (18), (11) och (14) så erhålls att (u T A)x (u T â 1 u T â 2 u T x 2 â n ) x n x 1 n u T â j x j j1 u T (Ax) Alternativt kan man i tur och ordning använda (15), (11) och (19): ā T 1 x u T ā T 2 (Ax) (u 1 u 2 u m ) x m u i ā T i x (u T A)x ā T mx Man kan alltså utan risk för tvetydighet skriva u T Ax Av ovanstående följer också att skalären u T Ax kan skrivas som dubbelsumman u T Ax m i1 j1 i1 n u i a ij x j (110) 5

6 17 Multiplikation av kolonnvektor och radvektor Om b IR m och c IR n så kan man multiplicera kolonnvektorn b och radvektorn c T (i den ordningen) Resultatet blir per definition följande matris bc T IR m n : b 1 b 1 c 1 b 1 c 2 b 1 c n b b 2 c 1 b 2 c 2 b 2 c n bc T (c 1 c 2 c n ) (111) 2 b m b m c 1 b m c 2 b m c n I denna matris bc T är varje rad en multipel av vektorn c T, medan varje kolonn är en multipel av vektorn b, ty enligt (111) är b 1 c T b 2 c T bc T och bc T bc 1 bc 2 bc n b m c T 18 Multiplikation av två matriser Om B IR m k och C IR k n så kan man multiplicera B och C (i den ordningen) Resultatet blir en m n-matris BC IR m n Om (BC) ij betecknar elementet i den i:te raden och j:te kolonnen i matrisen BC så gäller per definition att (BC) ij k b il c lj, för i 1,, m och j 1,, n (112) l1 Denna matris-matrismultiplikation kan tolkas på (åtminstone) fyra olika sätt Den första tolkningen utgår från de enskilda elementen i matrisen BC Eftersom högerledet i (112) är produkten av den i:te raden i B och den j:te kolonnen i C, dvs skalärprodukten av b i IR l och ĉ j IR l, så kan BC skrivas b T 1 b T 1 b T ĉ1 b T 1 ĉ2 b T 1 ĉn 2 b T 2 ĉ1 b T 2 ĉ2 b T 2 ĉn BC ĉ1 ĉ 2 ĉ n (113) b T mĉ 1 b T mĉ 2 b T mĉ n b T m Den andra tolkningen utgår från kolonnerna i BC Genom att jämföra en godtycklig kolonn i högerledet i (113) med högerledet i (15) så inses att den j:te kolonnen i matrisen BC är produkten av matrisen B och den j:te kolonnen i C, dvs BC B ĉ 1 ĉ 2 ĉ n Bĉ1 Bĉ 2 Bĉ n (114) 6

7 Den tredje tolkningen utgår från raderna i BC Genom att jämföra en godtycklig rad i högerledet i (113) med högerledet i (18) så inses att den i:te raden i matrisen BC är produkten av den i:te raden i B och matrisen C, dvs BC b T 1 b T 2 b T m C b T 1 C b T 2 C b T mc (115) Den fjärde tolkningen bygger på att produkten av den l:te kolonnen i B och den l:te raden i C enligt (111) ges av följande matris: b 1l b 1l c l1 b 1l c l2 b 1l c ln b 2l b 2l c l1 b 2l c l2 b 2l c ln ˆb l c T l (c l1 c l2 c ln ) b ml b ml c l1 b ml c l2 b ml c ln Om (ˆb l c T l ) ij betecknar elementet i den i:te raden och j:te kolonnen i denna matris ˆb l c T l så k är alltså (ˆb l c T l ) ij b il c lj, vilket medför att (112) kan skrivas (BC) ij (ˆb l c T l ) ij k Eftersom detta gäller för varje rad i och kolonn j så är BC ˆb l c T l Den fjärde tolkningen av produkten BC kan därmed uttryckas på följande vis: BC ˆb 1 ˆb 2 ˆb k c T 1 c T 2 c T k l1 l1 ˆb 1 c T 1 + ˆb 2 c T ˆb k c T k (116) 19 Multiplikation av tre matriser Om A IR m p, B IR p q och C IR q n så kan man enligt ovan multiplicera dels A och B, dels B och C Till resultat erhålls matriserna AB IR m q respektive BC IR p n Men det betyder att man i sin tur kan multiplicera dels AB och C, dels A och BC Till resultat erhålls då matriserna (AB)C IR m n respektive A(BC) IR m n Här ska nu visas att matrismultiplikation är associativ, dvs att (AB)C A(BC) (117) 7

8 Med hjälp av (115) och den högra likheten i (113) erhålls att ā T 1 B ā T 1 ā T 2 B Bĉ 1 ā T 1 Bĉ 2 ā T 1 Bĉ n ā T 2 Bĉ 1 ā T 2 Bĉ 2 ā T 2 Bĉ n (AB)C ĉ1 ĉ 2 ĉ n ā T mb ā T mbĉ 1 ā T mbĉ 2 ā T mbĉ n Med hjälp av (114) och den högra likheten i (113) erhålls på motsvarande sätt att ā T 1 ā T 1 ā T Bĉ 1 ā T 1 Bĉ 2 ā T 1 Bĉ n 2 ā T 2 Bĉ 1 ā T 2 Bĉ 2 ā T 2 Bĉ n A(BC) Bĉ1 Bĉ 2 Bĉ n ā T mbĉ 1 ā T mbĉ 2 ā T mbĉ n ā T m Som synes är de bägge högerleden ovan identiska Man kan alltså utan risk för tvetydighet skriva ABC 110 Transponering av matriser Att transponera matrisen A innebär att man låter rader och kolonner byta plats med varann Om A är en m n-matris med elementet a ij i rad nr i och kolonn nr j, så är därmed den transponerade matrisen A T en n m-matris med elementet a ij i kolonn nr i och rad nr j Om a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A â 1 â 2 â n a m1 a m2 a mn ā T 1 ā T 2 ā T m, så är alltså A T a 11 a 21 a m1 a 12 a 22 a m2 â T 1 â T 2 ā 1 ā 2 ā m a 1n a 2n a mn â T n Den j:te kolonnen â j i A har alltså transponerats och blivit den j:te raden â T j i AT, medan den i:te raden ā T i i A har transponerats och blivit den i:te kolonnen ā i i A T Man kan notera att om man transponerar en matris två gånger så får man tillbaka den ursprungliga matrisen, dvs (A T ) T A 8

9 Om B IR m k och C IR k n så kan man multiplicera B och C, varvid BC IR m n För de transponerade matriserna gäller då att C T IR n k och B T IR k m, vilket betyder att man kan multiplicera C T och B T, varvid C T B T IR n m Eftersom B b T 1 b T 2 b T m och C ĉ 1 ĉ 2 ĉ n, så är B T b 1 b 2 b m och C T ĉ T 1 ĉ T 2 ĉ T n Därmed är C T B T ĉ T 1 ĉ T 2 b 1 b 2 b m ĉ T b 1 1 ĉ T b 1 2 ĉ T b 1 m ĉ T b 2 1 ĉ T b 2 2 ĉ T b 2 m, ĉ T n ĉ T n b 1 ĉ T n b 2 ĉ T n b m medan BC b T 1 b T 2 ĉ1 ĉ 2 ĉ n b T 1 ĉ1 b T 1 ĉ2 b T 1 ĉn b T 2 ĉ1 b T 2 ĉ2 b T 2 ĉn b T m b T mĉ 1 b T mĉ 2 b T mĉ n Från detta ser man att (BC) T C T B T, (118) som säger oss att transponatet av två matrisers produkt är lika med produkten av matrisernas transponat fast i omvänd ordning! Detta kan generaliseras till flera matriser Antag att A IR m p, B IR p q och C IR q n Då är produkten ABC enligt tidigare väldefinierad och lika med A(BC) Upprepad användning av (118) ger då att (ABC) T (A(BC)) T (BC) T A T (C T B T )A T C T B T A T, (119) så även för tre matriser gäller att transponatet av matrisernas produkt är lika med produkten av matrisernas transponat fast i omvänd ordning Resonemanget kan enkelt upprepas för produkten av fyra matriser, och sedan fem matriser, etc 9

10 Antag speciellt att A IR m n, u IR m och x IR n Då gäller enligt (118) att (Ax) T x T A T och (u T A) T A T u, (120) ty x IR n kan uppfatts som en n 1-matris och u IR m som en m 1-matris Vidare gäller enligt (119) att (u T Ax) T x T A T u (121) Men u T Ax är en 1 1-matris, dvs en skalär, som inte påverkas av transponering Därför är (u T Ax) T u T Ax, vilket tillsammans med (121) ger att u T Ax x T A T u, (122) som innebär att skalärprodukten av vektorerna u och Ax alltid är lika med skalärprodukten av vektorerna x och A T u 10

11 2 Partitionerade matriser, även kallade blockmatriser Vi inleder med ett exempel Givet följande fyra matriser T IR p q, U IR p s, V IR r q och W IR r s : t 11 t 1q u 11 u 1s v 11 v 1q w 11 w 1s T, U, V, W t p1 t pq u p1 u ps v r1 v rq w r1 w rs Observera att T har lika många rader som U, att V har lika många rader som W, att T har lika många kolonner som V, och att U har lika många kolonner som W Då kan man bilda följande matris A med p + r st rader och q + s st kolonner: t 11 t 1q u 11 u 1s t A p1 t pq u p1 u ps v 11 v 1q w 11 w 1s v r1 v rq w r1 w rs Den naturliga beteckningen på denna matris är T U A V W Här startade vi med fyra matriser och byggde med hjälp av dessa upp en större matris Omvänt kan man förstås starta med en stor matris och dela upp den i mindre matriser: Givet en matris A med m st rader och n st kolonner, låt m 1, m 2, n 1 och n 2 vara positiva heltal sådana att m 1 + m 2 m och n 1 + n 2 n Inför sedan de fyra matriserna A 11, A 12, A 21 och A 22 enligt följande: Låt A 11 bestå av elementen i de första m 1 raderna och de första n 1 kolonnerna i A Låt A 12 bestå av elementen i de första m 1 raderna och de sista n 2 kolonnerna i A Låt A 21 bestå av elementen i de sista m 2 raderna och de första n 1 kolonnerna i A Låt A 22 bestå av elementen i de sista m 2 raderna och de sista n 2 kolonnerna i A Då kan A med beteckning i enlighet med ovan skrivas A11 A 12 A A 21 A 22 Man säger att A är en partitionerad (uppdelad) matris, eftersom A är uppdelad i delmatriser Alternativt säger man att A är en blockmatris bestående av blocken A 11, A 12, A 21 och A 22 11

12 En partitionerad matris (blockmatris) behöver inte vara uppdelade i just fyra delar (block) Allmänt ser en partitionerad matris ut på följande sätt, där M och N är givna positiva heltal: A A 11 A 12 A 1N A 21 A 22 A 2N A M1 A M2 A MN Här måste alla delmatriser A ij med gemensamt förstaindex i, exempelvis A 21, A 22,, A 2N, ha lika många rader Vidare måste alla delmatriser A ij med gemensamt andraindex j, exempelvis A 12, A 22,, A M2, ha lika många kolonner Att partitionera matriser är ofta mycket användbart för att få överblick och insikt om vad som egentligen pågår vid matriskalkyler Vi kommer att se många exempel på det längre fram Här ska nu närmast härledas några grundläggande räkneregler för partitionerade matriser, speciellt matrismultiplikation 21 Produkten av en 2 1 blockmatris och en 1 2 blockmatris Antag att B IR m k och C IR k n, så att produkten BC är definierad Antag vidare att B och C är partitionerade enligt B b T 1 b T p b T p+1 b T m B1 B 2 och C ĉ 1 ĉ q ĉ q+1 ĉ n C1 C 2, där B 1 b T 1 b T p, B 2 b T p+1 b T m, C 1 ĉ 1 ĉ q och C2 ĉ q+1 ĉ n Med hjälp av (115) erhålls då att BC B1 B 2 C b T 1 C b T p C b T p+1 C b T mc B1 C B 2 C (21) 12

13 Med hjälp av (114) erhålls i stället att BC B C 1 C 2 Bĉ1 Bĉ q Bĉ q+1 Bĉ n BC1 BC 2, (22) samt att B 1 C1 C 2 B1 ĉ 1 B 1 ĉ q B 1 ĉ q+1 B 1 ĉ n B1 C 1 B 1 C 2, (23) B 2 C1 C 2 B2 ĉ 1 B 2 ĉ q B 2 ĉ q+1 B 2 ĉ n B2 C 1 B 2 C 2 (24) Genom att kombinera räknereglerna (21), (23) och (24) erhålls därmed att B1 C B1 C 1 C 2 B1 C 1 B 1 C 2 BC B 2 C B 2 C 1 C 2 B 2 C 1 B 2 C 2 Alltså: Om antalet kolonner i såväl B 1 som B 2 överensstämmer med antalet rader i såväl C 1 som C 2 så är B1 B1 C 1 B 1 C 2 C1 C 2 (25) B 2 B 2 C 1 B 2 C 2 22 Produkten av en 1 2 blockmatris och en 2 1 blockmatris Antag nu att G IR m k och H IR k n, så att produkten GH är definierad Antag vidare att G och H är partitionerade enligt G ĝ 1 ĝ l ĝ l+1 ĝ k G1 G 2 och H h T 1 h T l h T l+1 h T k H1 H 2, där G 1 ĝ 1 ĝ l, G2 ĝ l+1 ĝ k, H1 h T 1 h T l och H 2 h T l+1 h T k Med hjälp av (116) erhålls då att GH ĝ 1 h T ĝ l h T l + ĝ l+1 h T l ĝ k h T k G 1H 1 + G 2 H 2 13

14 Alltså: Om antalet rader i G 1 antalet rader i G 2, antalet kolonner i H 1 antalet kolonner i H 2, antalet kolonner i G 1 antalet rader i H 1 och antalet kolonner i G 2 antalet rader i H 2, så är G1 G 2 H 1 H 2 G 1 H 1 + G 2 H 2 (26) 23 Produkten av en 2 2 blockmatris och en 2 2 blockmatris Antag nu att B11 B 12 C11 C 12 B B 21 B 22 och C C 21 C 22, där B ij IR m i k j och C ij IR k i n j, för i {1, 2} och j {1, 2}, så att B IR m k och C IR k n, där m m 1 +m 2, n n 1 +n 2 och k k 1 +k 2 Nu ska härledas en räkneregel för produkten BC Låt G 1 B11 B 21 Då är B G 1, G 2 B12 B 22 G 2 och C H1 BC G 1 H 1 + G 2 H 2, H 1 C 11 C 12 och H2 C 21 C 22 H 2 B11 B 21, varvid räkneregeln (26) ger att Tillämpning av räkneregeln (25) på högerledet i (27) ger att BC B12 C11 C 12 + C21 C 22 (27) B 22 B11 C 11 B 11 C 12 B12 C 21 B 12 C 22 + B 21 C 11 B 21 C 12 B 22 C 21 B 22 C 22 Alltså: Förutsatt att blocken B ij och C ij har dimensioner enligt ovan så är B11 B 12 C11 C 12 B11 C 11 + B 12 C 21 B 11 C 12 + B 12 C 22 (28) B 21 B 22 C 21 C 22 B 21 C 11 + B 22 C 21 B 21 C 12 + B 22 C 22 Om man jämför (28) med multiplikationsregeln för vanliga 2 2 matriser så ser man att blockmatriser kan multipliceras med varann genom att helt enkelt behandla blocken som element vid vanlig matrismultiplikation Detta förutsätter dock att dimensionerna på blocken är sådana att de inblandade blockmultiplikationerna och blockadditionerna är definierade Denna viktiga räkneregel gäller även för mer generella blockmatriser än 2 2 blockmatriser 14

15 24 Transponering av blockmatriser Antag att A är följande 2 2 blockmatris: t 11 t 1q u 11 u 1s A T U t p1 t pq u p1 u ps V W v 11 v 1q w 11 w 1s v r1 v rq w r1 w rs Om man här transponerar A, dvs byter plats på rader och kolonner, så erhålls t 11 t p1 v 11 v r1 A T t 1q t pq v 1q v rq u 11 u p1 w 11 w, r1 u 1s u ps w 1s w rs vilket betyder att T U T T T V T A T V W U T W T Observera att blocken U och V byter plats och att samtliga block transponeras Allmänt gäller att om A 11 A 12 A 1N A 21 A 22 A 2N A A M1 A M2 A MN så är A T A T 11 A T 21 A T M1 A T 12 A T 22 A T M2 A T 1N AT 2N AT MN 15

16 3 Baser och inverser 31 Linjärt beroende resp linjärt oberoende vektorer i IR m Låt a 1,, a n vara n st givna vektorer i IR m (dvs a i IR m för i 1,, n) Dessa vektorer säges vara linjärt beroende om det finns n st (reella) tal x 1,, x n som inte alla är 0, sådana att där 0 (0,, 0) T IR m a 1 x a n x n 0, (31) Om däremot den enda möjligheten att uppfylla (31) är att sätta x 1 x n 0 så säges vektorerna a 1,, a n vara linjärt oberoende Låt A vara en m n matris med de givna vektorerna a 1,, a n till kolonner, dvs A a 1 a n, och betrakta följande homogena ekvationssystem i variabelvektorn x (x 1,, x n ) T IR n : Ax 0 (32) Eftersom (32) bara är ett alternativt sätt att skriva (31) på, så kan ovanstående definitioner ekvivalent uttryckas så här: Kolonnerna till matrisen A är linjärt oberoende om det homogena systemet (32) endast har lösningen x 0 Om det däremot finns minst en lösning x 0 till det homogena systemet (32) så är kolonnerna till A linjärt beroende Betrakta nu följande ekvationssystem, där b IR m är en given högerledsvektor Ax b (33) Om kolonnerna i A är linjärt oberoende så har detta ekvationssystem högst en lösning x Antag nämligen att både x och y är lösningar till (33) och sätt z x y Då är Az A(x y) Ax Ay b b 0, vilket betyder att z är en lösning till det homogena systemet (32) Men eftersom kolonnerna i A är linjärt oberoende så är därmed z 0, vilket betyder att x y Notera att det faktum att kolonnerna i A är linjärt oberoende inte garanterar att det finns någon lösning x till ekvationssystemet (33) Men om det finns någon lösning så är den unik Om kolonnerna a 1,, a n i m n matrisen A är linjärt oberoende så måste n m, ty om n > m så har ekvationssystemet (32) fler obekanta än ekvationer, och sådana liggande homogena ekvationssystem har alltid oändligt många lösningar (Se exempelvis avsnitt 14 i Petermanns bok Linjär geometri och algebra) 16

17 32 Uppspännande vektorer i IR m Låt som ovan a 1,, a n vara n st givna vektorer i IR m Dessa vektorer säges spänna upp IR m om varje vektor b IR m kan skrivas som en linjärkombination av dessa vektorer, dvs om det för varje vektor b IR m finns n st tal x 1,, x n sådana att a 1 x a n x n b (34) Låt A vara en m n matris med de givna vektorerna a 1,, a n till kolonner, dvs A a 1 a n, och betrakta följande linjära ekvationssystem i variabelvektorn x (x 1,, x n ) T IR n : Ax b (35) Eftersom (35) bara är ett alternativt sätt att skriva (34) på, så kan ovanstående definition ekvivalent uttryckas så här: Kolonnerna till matrisen A spänner upp IR m om (och endast om) det för varje val av högerledsvektor b IR m gäller att ekvationssystemet (35) har minst en lösning Om kolonnerna a 1,, a n i m n matrisen A spänner upp IR m så måste n m, ty om n < m så har ekvationssystemet (35) fler ekvationer än obekanta, och sådana stående ekvationssystem saknar lösning för vissa högerledsvektorer b (Se exempelvis avsnitt 14 i Petermanns bok Linjär geometri och algebra) 33 Baser till IR m Låt som ovan a 1,, a n vara n st givna vektorer i IR m Dessa vektorer säges utgöra en bas till IR m om de är linjärt oberoende och spänner upp IR m Man kan direkt konstatera att om a 1,, a n utgör en bas till IR m så är n m, ty enligt ovan gäller att om a 1,, a n spänner upp IR m så måste n m, och om a 1,, a n är linjärt oberoende så måste n m Varje bas till IR m består alltså av exakt m st basvektorer Fortsättningsvis i detta avsnitt förutsätter vi därför att n m Låt A vara en m m matris med de givna vektorerna a 1,, a m till kolonner, dvs A a 1 a m, låt b IR m vara en given högerledsvektor och betrakta följande ekvationssystem i variabelvektorn x (x 1,, x m ) T IR m : Ax b (36) Antag att kolonnerna i A utgör en bas till IR m Då spänner de upp IR m, vilket innebär att systemet (36) har minst en lösning x Vidare är de linjärt oberoende, vilket innebär att systemet (36) har högst en lösning Slutsatsen blir att om kolonnerna i A utgör en bas till IR m så gäller, för varje val av högerledsvektor b IR m, att ekvationssystemet (36) har exakt en lösning x IR m Detta är i sin tur ekvivalent med att varje vektor b IR m på ett unikt sätt kan skrivas som en linjärkombination av basvektorerna a 1,, a m, dvs a 1 x a m x m b, 17

18 där de reella talen x 1,, x m är unikt bestämda av a 1,, a m och b Dessa tal x 1,, x m brukar kallas koordinaterna för b i basen a 1,, a m Omvänt gäller att om det kvadratiska systemet (36) för varje val av högerledsvektor b IR m har exakt en lösning x IR m så utgör kolonnerna i A en bas till IR m, ty att kolonnerna spänner upp IR m följer av att (36) har lösning för varje b IR m, och att kolonnerna är linjärt oberoende följer av att lösningen är unik även för högerledsvektorn b 0, så att endast x 0 uppfyller Ax 0 34 Viktigt samband mellan kolonner och rader för en kvadratisk matris För en kvadratisk matris A IR m m är följande sex egenskaper ekvivalenta (om en av dem gäller så gäller alla): 1 Kolonnerna i A är linjärt oberoende 2 Kolonnerna i A spänner upp IR m 3 Kolonnerna i A utgör en bas till IR m 4 Kolonnerna i A T är linjärt oberoende 5 Kolonnerna i A T spänner upp IR m 6 Kolonnerna i A T utgör en bas till IR m Här ska bevisas att , vilket medför att Därefter följer från definitionen av en bas att var och en av dessa fyra egenskaper är ekvivalent med var och en av de båda egenskaperna 3 och 6 1 2: Antag att kolonnerna a 1,, a m i A är linjärt oberoende, och tag en godtycklig vektor b IR m Vi ska visa att b är en linjärkombination av dessa kolonner Betrakta vektorerna a 1,, a m, b Eftersom detta är m + 1 st vektorer i IR m så är de linjärt beroende Alltså finns det m + 1 st tal x 1,, x m, z, som inte alla är 0, sådana att a 1 x a n x n + bz 0 Om här z 0 så måste även alla x j 0 eftersom a 1,, a m är linjärt oberoende, och detta strider mot att minst ett av talen x 1,, x m, z är 0 Alltså är z 0, varvid division med z ger att b a 1 ( x 1 /z) + + a n ( x n /z), vilket visar att b är en linjärkombination av kolonnerna a 1,, a m 2 4: Antag att kolonnerna i A spänner upp IR m, och tag en godtycklig vektor u IR m som uppfyller att u 0 Vi ska visa att A T u 0 (Detta visar att den enda lösningen till A T y 0 är y 0, vilket är just definitionen av att kolonnerna i A T är linjärt oberoende) Eftersom kolonnerna i A spänner upp IR m finns ett x IR m sådant att Ax u Men då uppfyller detta x även u T Ax u T u (som erhållits genom att multiplicera båda leden från vänster med u T ), dvs x T A T u u 2 > 0, vilket visar att A T u bevisas genom att helt enkelt byta plats på A och A T i beviset av 1 2 ovan 5 1 bevisas genom att helt enkelt byta plats på A och A T i beviset av 2 4 ovan 18

19 35 Inversa matrisen A 1 Låt A IR m m vara en kvadratisk matris och låt I beteckna m m enhetsmatrisen Om det finns en matris G IR m m sådan att AG I och GA I så säges G vara den inversa matrisen (eller kortare bara inversen) till A Beteckningen för detta är G A 1 Man har alltså att AA 1 I och A 1 A I (37) Det är lätt att visa att om A har en invers A 1 så är denna unik Om nämligen AG I, GA I, AH I och HA I, så måste G H, ty AG I H(AG) H I (HA)G H I G H G H Här ska nu visas att A har en invers matris om och endast om A har någon (och därmed samtliga!) av de sex egenskaperna i föregående avsnitt Antag först att A IR m m har de sex egenskaperna i föregående avsnitt Låt e 1,, e m beteckna de m st kolonnerna i enhetsmatrisen, så att I e 1 e m Eftersom kolonnerna i A utgör en bas till IR m så finns det, för varje i, en unik vektor y i IR m sådan att Ay i e i Låt Y vara en m m matris med dessa vektorer y i till kolonner, dvs Y y 1 y m Då är alltså AY I Eftersom även kolonnerna i A T utgör en bas till IR m så finns det, för varje i, en unik vektor z i IR m sådan att A T z i e i Låt Z vara en m m matris med dessa vektorer z i till kolonner, dvs Z z 1 z m Då är alltså A T Z I, vilket är ekvivalent med att Z T A I Det visar sig nu att Z T Y, vilket kan visas på följande sätt: Utgå från AY I och multiplicera bägge leden från vänster med Z T Då erhålls att Z T AY Z T Men eftersom Z T A I så erhålls därmed att Y Z T Matrisen Y uppfyller alltså både AY I och YA I, vilket per definition innebär att Y A 1 Antag nu omvänt att A IR m m har en invers A 1 som alltså uppfyller (37) Låt b IR m vara en godtycklig högerledsvektor och betrakta ekvationssystemet Ax b (38) Om vektorn x IR m är en lösning till detta ekvationssystem så måste x även uppfylla A 1 Ax A 1 b, dvs x A 1 b (eftersom A 1 A I) Men å andra sidan uppfyller detta unika x verkligen ekvationssystemet (38), ty Ax AA 1 b b (eftersom AA 1 I) Alltså har systemet (38), för varje högerledsvektor b IR m, en unik lösning x Detta innebär att kolonnerna i matrisen A utgör en bas till IR m Därmed har A en (och därmed samtliga) av de sex egenskaperna i föregående avsnitt Avslutningsvis kan man notera att matrisen Z ovan uppfyller både A T Z I och ZA T I (ty Y T A T I och Y T Z), vilket innebär att Z är inversen till A T, dvs Z (A T ) 1 Men Z Y T (A 1 ) T, så vi får den viktiga räkneregeln (A T ) 1 (A 1 ) T (39) 19

20 36 För kvadratiska matriser gäller ekvivalensen AG I GA I Låt A IR m m vara en given kvadratisk matris Enligt ovan är den kvadratiska matrisen G IR m m inversen till A om både AG I och GA I Det visar sig dock att man bara behöver kräva ett av dessa bägge samband, ty om ett av dem är uppfyllt så är även det andra det! Antag till att börja med att GA I Då har A linjärt oberoende kolonner, ty vi har att Ax 0 GAx G0 I x 0 x 0, vilket visar att den enda lösningen till Ax 0 är x 0 Därmed har A en av de sex egenskaperna ovan, vilket medför att A har en invers A 1 Multiplikation från höger med denna invers ger att GA I GAA 1 IA 1 G A 1, vilket visar att G är inversen till A Därmed gäller även AG I Antag nu i stället att AG I, vilket är ekvivalent med att G T A T I Då har A T linjärt oberoende kolonner, ty vi har att A T u 0 G T A T u G T 0 I u 0 u 0, vilket visar att den enda lösningen till A T u 0 är u 0 Därmed har A en av de sex egenskaperna ovan, vilket medför att A har en invers A 1 Multiplikation från vänster med denna invers ger att AG I A 1 AG A 1 I G A 1, vilket visar att G är inversen till A Därmed gäller även GA I Vi kan nu komplettera listan av ekvivalenta egenskaper för en kvadratisk matris enligt följande: För en kvadratisk matris A IR m m är följande nio egenskaper ekvivalenta (om en av dem gäller så gäller alla): 1 Kolonnerna i A är linjärt oberoende 2 Kolonnerna i A spänner upp IR m 3 Kolonnerna i A utgör en bas till IR m 4 Kolonnerna i A T är linjärt oberoende 5 Kolonnerna i A T spänner upp IR m 6 Kolonnerna i A T utgör en bas till IR m 7 Det finns en matris G IR m m sådan att AG I 8 Det finns en matris G IR m m sådan att GA I 9 A är inverterbar, dvs har en invers A 1 Det finns en tionde egenskap som också är ekvivalent med var och en av ovanstående nio Vi har ännu inte tagit upp den, men nämner den här för fullständighets skull 10 Determinanten för matrisen A är 0 En kvadratisk matris A som har en av dessa egenskaper (och därmed samtliga) säges vara icke-singulär 20

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

1 Duala problem vid linjär optimering

1 Duala problem vid linjär optimering Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Laboration: Vektorer och matriser

Laboration: Vektorer och matriser Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Matriser och linjära ekvationssystem

Matriser och linjära ekvationssystem Linjär algebra, I1 2011/2012 Matematiska vetenskaper Matriser och linjära ekvationssystem Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = a m1 a mn Matrisen ovan har m rader

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37

Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Kvantmekanik II - Föreläsning 2 Joakim Edsjö edsjo@fysik.su.se HT 2013 Kvantmekanik II Föreläsning 2 Joakim Edsjö 1/37 Innehåll 1 Formalism 2 Tillståndsvektorer 3 Operatorer 4 Mer om Dirac-notationen 5

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 1 LMA515c - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna studioövning börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt

Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT Skalärprodukt Föreläsning 3, Linjär algebra IT VT2008 1 Skalärprodukt Denition 1 Låt u oh v vara två vektorer oh låt α vara minsta vinkeln mellan dem Då denierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v os α Exempel 1

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra

MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn. Area. Volym. Determinant. Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Föreläsn Anteckn, Linjär algebra D/HT2013/Genkai Zhang 1 MMGD20-TMV216-HT13/Anteckn Area Volym Determinant Linjär Avbildning vs Matrisalgebra Vi kommer att ha lite annanlunda framställning av teorin för

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Riktade sträckor och Geometriska vektorer En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Linjära ekvationssystem i Matlab

Linjära ekvationssystem i Matlab CTH/GU LABORATION 2 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper Linjära ekvationssystem i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab, sedan skall vi

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

14. Minsta kvadratmetoden

14. Minsta kvadratmetoden 58 MINSTA KVADRATMETODEN. Minsta kvadratmetoden Eempel.. Det är inte så svårt att komma åt en trasig lampa på golvet för att byta den. Det är bara att gå fram till den. Hur är det om lampan hänger i taket?

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer