SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Transkript

1 SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För vilka värden på konstanten c har ekvationssystemet nedan exakt en lösning, oändligt många lösningar, respektive ingen lösning alls? cx + y = x + 2y + cz = 3 x + 2y + 3z = 8 2. Låt f = e 2 + 2e 3, f 2 = e + 2e 2 och f 3 = 4e 3e 2 + e 3 vara tre vektorer i rummet, uttryckta i given bas (e,e 2,e 3 ). (a) Visa att (f,f 2,f 3 ) också är en bas. (b) Vilka koordinater har vektorn u = 7e 8e 2 +0e 3 i basen (f,f 2,f 3 )? 3. Låtu = (,,),v = (,a, )ochw = (,,a)varatrevektorerirummet. (a) Visa att systemet (u,v,w) är positivit orienterat, för alla värden på det reella talet a. (b) För vilka värden på a spänner u, v och w upp en tetraeder med volymen 2? 4. Låt A = (0,,), B = (,0,), C = (,,0) och D = (2,,a) vara fyra punkter i rummet. För vilka värden på konstanten a har trianglarna ABD och BCD samma area? Vilka är triangelareorna i dessa fall? 5. Om u = (x,x 2,x 3 ) är en vektor av längd i rummet, och X = x x 2 x 3 är motsvarande kolonnmatris, så kallas matrisen H u = E 2XX T för Householder-matrisen till u (efter den amerikanske matematikern Alston Scott Householder ( )). (a) Bestäm Householder-matrisen till u = (2/3, /3, 2/3) (som ju är en vektor av längd ). (b) Visa att Householder-matrisen du beräknade i (a) är inverterbar och beräkna dess invers.

2 SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Lösningsförslag. Vi ser direkt att om c = 3 så kommer lösningar att saknas till systemet eftersom vi då har två ekvationer med identiska vänsterled men olika högerled. Men då c även spökar i den första ekvationen, kan det finnas fler kritiska värden på c. För att ta reda på dessa, undersöker vi när determinanten för koefficientmatrisen är noll. Vi har c 0 2 c 2 3 = 0 2c2 +7c 3 = 0 c c+ 3 2 = 0 (7 c = 7 ) 2 4 ± = ± = 7 4 ± 5 4. Det finns alltså, förutom c = 7/4+5/4 = 3, ytterligare ett värde på c som gör att determinanten blir noll, nämligen c = 7/4 5/4 = /2. Om vi sätter in c = /2 i ekvationssystemet, får vi 2 x + y = x + 2y = 2 x + 2y + 2 z = 3 2x + 4y + z = 6 x + 2y + 3z = 8 x + 2y + 3z = 8 2 x + 2y = 2 z = 2 3z = 6. Detta ekvationssystem säger att vi måste ha z = 2. Vad x och y beträffar kommer det finnas oändligt många lösningar för dessa två variabler; sätter vi y = t blir x = 2 2y = 2 2t. Således har vi oändligt många lösningar om c = /2. För övriga värden på c har ekvationssystemet entydig lösning (och hur denna lösning i själva verket ser ut, beror på värdet av konstanten c). Svar: Oändligt många lösningar om c = /2, medan lösningar saknas om c = 3. För alla övriga c är lösningen entydig. 2. (a) Bilda den matris T, som har f, f 2 och f 3 som kolonnvektorer, d.v.s. 0 4 T = Vektorerna f,f 2,f 3 kommer att bilda en bas, om och endast om de är linjärt oberoende, eller ekvivalent, om och endast om volymen av den parallellepiped som spänns upp av dessa tre vektorer är nollskild. Då denna volym ges (så när som på tecknet) av determinanten för ovanstående matris, ger detta att (f,f 2,f 3 ) är en bas, om och endast om dett 0.

3 Om vi använder Sarrus regel för att beräkna denna determinant, får vi efter litet räkningar att dett = 0. Betta bevisar att (f,f 2,f 3 ) är en bas. (b) Om X är den kolonnmatris som sina element har koordinaterna för u i basen (e,e 2,e 3 ) och Y motsvarande kolonnmatris för u:s koordinater i basen (f,f 2,f 3 ), så gäller sambandet X = TY, () där T är basbytets så kallade transformationsmatris, som vi redan har plockat fram i (a) ovan. Eftersom u = 7e 8e 2 +0e 3 vet vi att 7 X = 8. 0 Det är kolonnmatrisen Y vi önskar räkna ut, och genom att sätta Y = så får vi från () att y,y 2,y 3 uppfyller det linjära ekvationssystemet y 2 + 4y 3 = 7 y + 2y 2 3y 3 = 8 2y + y 3 = 0 med T som koefficientmatris och X som högerled. Gausselimination ger y 2 + 4y 3 = 7 y 2 + 4y 3 = 7 y + 2y 2 3y 3 = 8 y + 2y 2 3y 3 = 8 2y + y 3 = 0 2 4y 2 5y 3 = 6 4 y 2 + 4y 3 = 7 y + 2y 2 3y 3 = 8 y 3 = 22, där det nu från den sista ekvationen framgår att y 3 = 2. Detta värde på y 3 insatt i den första ekvationen ger y y 2 y 3, y 2 +8 = 7 y 2 =. Slutligen ger y 2 = och y 3 = 2 i den mittersta ekvationen att y +2 6 = 8 y = 4. Slutsatsen blir att u = 4f +f 2 +2f 3 eller, om man så vill, u = (4,,2) i basen (f,f 2,f 3 ). Svar: (b) u = (4,,2) 3. (a) Tre vektorer u, v och w, uppräknade i denna ordning, bildar ett positivit orienterat system, då och endast då volymfunktionen V(u, v, w)

4 är positiv. Volymfunktionen beräknas som determinanten av den matris, vars kolonner utgörs (i tur och ordning, från vänster till höger) av koordinaterna för u, v respektive w. I detta fall har vi alltså V(u,v,w) = a a = a2 ++ ( ) ( a) a = a 2 +3 med hjälp av Sarrus regel. Eftersom a är reellt gäller a > 0, oavsett värdet på a, vilket visar att (u,v,w) alltid är positivt orienterat. (b) Volymfunktionen V(u, v, w) returnerar (bortsett från tecknet) volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna u, v och w. Volymen av motsvarande tetraeder är lika med en sjättedel av denna parallellepipeds volym. För just vektorerna i denna uppgift vet vi från deluppgift (a) att volymfunktionen alltid är positiv, så vad vi har att göra är alltså att bestämma de värden på a, för vilka Vi får 6 V(u,v,w) = 2 a2 +3 = 2. 6 a 2 +3 = 2 a 2 = 9 a = 3 eller a = 3. Volymen av tetraedern blir alltså 2 om antingen a = 3 eller a = 3. Svar: (b) a = 3 eller a = 3 4. Arean av ABD är lika med halva arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna AB = (,,0) och AD = (2, 2,a ). Denna area fås i sin tur av längden av vektorprodukten av dessa två vektorer. Eftersom AB AD = (,,0) (2, 2,a ) = ( a, a,0) har alltså ABD arean AB AD = 2( a) På samma sätt har BCD arean BC BD = 2 2 (0,, ) (,,a ) = 2 (a 2,, ) = 2 (a 2)2 +2. Dessa två areor ska alltså vara lika, och för detta krävs det att uttrycken under de båda rottecknen är lika, d.v.s. 2( a) 2 = (a 2) a+2a 2 = a 2 4a+6 a 2 = 4 a = ±2. Således är triangelareorna lika om a = 2, och då ges triangelareorna av 2( ( 2))2 = = 2, 2

5 eller om a = 2, i vilket fall trianglarnas areor blir 2( 2)2 = 2 2 = 2. 2 Svar: a = 2 (area 3/ 2) eller a = 2 (area / 2) 5. (a) Direkt uträkning ger 0 0 2/3 H u = /3 ( 2/3 /3 2/3 ) 0 0 2/ /9 2/9 4/9 = /9 /9 2/ /9 2/9 4/9 /9 4/9 8/9 = 4/9 7/9 4/9 = /9 4/9 /9 8 4 (b) VikanbevisaattH u ärinverterbarheltenkeltgenomattförsökaberäkna matrisens invers. Lyckas detta så är den inverterbar, annars inte. För att bestämma H u löser vi ett ekvationssystem H u Z = Y med H u som koefficientmatris och med ett allmänt högerled Y: 9 z 4 9 z z 3 = y 4 9 z z z 3 = y z 4 9 z z 3 = y z 4 9 z z 3 = y z 2 4z 3 = 4y + y 2 4z 2 7z 3 = 8y + y z 4 9 z z 3 = y mult. med 9 z 2 4z 3 = 4y + y 2 mult. med 9z 3 = 8y 4y 2 + y 3 div. med 9 z 4z 2 8z 3 = 9y 8 z 2 + 4z 3 = 4y y 2 4 z 3 = 8 9 y 4 9 y y 3 z 4z 2 = 7 9 y 32 9 y y 4 3 z 2 = 4 9 y y y 3 z 3 = 8 9 y 4 9 y y 3 z = 9 y 4 9 y y 3 z 2 = 4 9 y y y 3 z 3 = 8 9 y 4 9 y y 3, Orsaken till att vi inte skriver H ux = Y som vi brukar göra, är att X redan är upptaget som beteckning för den kolonnmatris som svarar mot u.

6 i vilket den sökta matrisinversen kan läsas av i form av koefficentmatrisen till högerledet. Detta bevisar att H u och att dess invers ges av H u = Anmärkning: Lägg märke till att H u = H u. Detta är ingen tillfällighet; man bevisa att varje Householder-matris lika med sin egen invers. Svar: (a) H u = (b) H u = H u 9 8 4