A. Grundläggande matristeori

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "A. Grundläggande matristeori"

Transkript

1 A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan vara godtyckliga objekt men här begränsar vi oss till matriser där elementen är reella eller komplexa tal och variabler (funktioner). En matris A med m rader och n kolonner, dvs dimensionen dim A m n, kan skrivas a11 a12 a1n a11 a12 a1n a 21 a22 a A 2n a eller 21 a22 a A 2n (A.1.1) am1 am2 amn am1 am2 amn där a ij, i 1,, m, j 1,, n, är matrisens element. Matrisen kan avgränsas med runda parenteser eller hakparenteser; det senare (som vi använder) är vanligare inom tekniken. Ett kortare sätt att ange vilka element en matris har är att skriva A [ ] (A.1.2) a ij Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 1

2 A.1.1 Matriser och vektorer Rader och kolonner Matrisen A :s i :te rad är i1 i2 in a a a, 1i m (A.1.3) En matrisrad, eller en matris med dimensionen 1 n, kallas även för en radvektor. Matrisen A :s j :te kolonn är a a a 1 j 2 j mj, 1 j n (A.1.4) En matriskolonn, eller en matris med dimensionen m 1, kallas för en kolonnvektor. En matris med lika många rader som kolonner kallas en kvadratisk matris. Obs. att en matris med dimensionen 1 1 är en skalär, som följer normala räkneregler för skalärer. A.1 Definitioner A 2

3 A.1.1 Matriser och vektorer ransponering ransponering av en matris innebär att man bildar en matris där rader och kolonner byter plats i den ursprungliga matrisen. ransponering betecknas med symbolen så att A betecknar transponering av A, dvs a11 a21 am1 a 12 a22 a A m2 (A.1.5) a1n a2n amn Den så erhållna matrisen A kallas A :s transponat. Märk att transponeringen innebär att en m n-matris blir en n m-matris. En matris är symmetrisk om A A. En matris är skevsymmetrisk om A A. I fortsättningen antar vi alltid, om inte annat sägs, att en vektor är en kolonnvektor. En radvektor kan då uttryckas som en transponerad vektor. Om x är en kolonnvektor, är x då en radvektor med samma element som x. A.1 Definitioner A 3

4 A.1.1 Matriser och vektorer Beteckningar En matris betecknas vanligen med en stor bokstav (en versal) ur latinska eller grekiska alfabetet. I tryckt text används normalt fet stil, i handskriven text kan bokstaven understrykas med två streck. Matrisens element betecknas normalt med motsvarande små bokstäver (gemena) skrivna med kursiv stil och med nedre index som anger deras position i matrisen. En vektor betecknas vanligen med en liten bokstav (gemena) ur latinska eller grekiska alfabetet. I tryckt text används normalt fet stil, i handskriven text kan bokstaven understrykas med ett streck. Vektorns element betecknas normalt med samma bokstav skriven med kursiv stil och med ett nedre index som anger deras position i vektorn. En skalär skrivs i tryckt text med kursiv stil, antingen stor eller (helst) liten bokstav. A.1 Definitioner A 4

5 A.1 Definitioner A.1.2 Determinant, rang och spår Determinant En determinant är ett kvadratiskt schema av storheter som har ett skalärt värde. Determinanter uppträder ofta i tillämpningar av linjär algebra. Värdet på en viss determinant säger t.ex. om det finns en entydig lösning till ett linjärt ekvationssystem. Av ovanstående följer att varje kvadratisk matris A har en determinant, som vi betecknar A eller det A. (Obs. att A inte skall uppfattas som en matris, där elementen är absolutvärdet av motsvarande element i matrisen A.) Med matriselementen utskrivna har vi a11 a12 a1n a11 a12 a1n a det 21 a22 a 2n a21 a22 a A A 2n (A.1.6) an1 an2 ann an1 an2 ann Märk att matrisen ytterst avgränsas av lodräta streck (med eller utan parenteser för själva matrisen) när determinanten avses. A. Grundläggande matristeori A 5

6 A.1.2 Determinant, rang och spår Beräkning av determinantens värde Beräkning av determinantens värde är förhållandevis komplicerat för stora matriser. Vi skall därför börja med att betrakta små matriser. För en 11-matris, dvs för en skalär, är determinantens värde lika med skalärens värde. För en 2 2-matris har vi det enkla uttrycket a11 a12 a11a22 a12a21 (A.1.7) a a För en 33-matris finns flera ekvivalenta sätt att ställa upp beräkningen. Vi har t.ex. a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a21 a22 a23 a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a11( a22a33 a23a32) a12( a21a33 a23a31) a13( a21a32 a22a31) (A.1.8) a a a a a a a a a a a a a a a a a a A.1 Definitioner A 6

7 A.1.2 Determinant, rang och spår I själva verket kan determinanten för en godtycklig kvadratisk matris beräknas genom utveckling längs vilken rad eller kolonn som helst så att varje element a ij på raden eller kolonnen multipliceras med den underdeterminant som fås då rad i och kolonn j stryks från ursprungsmatrisen och denna produkt adderas till föregående termer med tecknet ( 1) i j. Underdeterminanterna beräknas givetvis enligt samma regler. För en n n-matris fås då n n kj ik akj kj j1 i1 A ( 1) A ( 1) a A (A.1.9) där k betecknar vilken rad eller kolonn som helst och rad i och kolonn j stryks från A. Underdeterminanterna ij regler. A.1 Definitioner A 7 ik ik A är den undermatris som fås när ij A beräknas enligt samma I praktiken lönar det sig vanligtvis att utveckla enligt en rad eller kolonn som innehåller nollor, ju fler desto bättre, eftersom detta reducerar antalet termer i (A.1.8). Man kan också utnyttja olika transformationer, som inte påverkar determinantens värde, för att förenkla den slutliga beräkningen enligt (A.1.8). Se Gustafssons formelsamling.

8 A.1.2 Determinant, rang och spår Rangen av en matris Rangen av en matris är ett skalärt tal, som kan definieras på flera ekvivalenta sätt. Rangen av en matris A, betecknad rang A eller rank A, är lika med antalet kolonner (eller rader) i den största kvadratiska matris med en determinant olika noll som kan bildas ur A genom strykning av kolonner och/eller rader antalet linjärt oberoende kolonner och antalet linjärt oberoende rader i A Den sista punkten innebär att antalet linjärt oberoende kolonner alltid är lika med antalet linjärt oberoende rader i en matris. En dylik uppsättning linjärt oberoende kolonner och rader bildar en kvadratisk matris av maximal storlek med determinanten olika noll. För en matris A med dimensionen m n gäller uppenbarligen att rang A min( mn, ). Om rang A m sägs matrisen ha full radrang, om rang A n har den full kolonnrang. Spåret av en matris Spåret av en kvadratisk matris A, betecknat tr A eller trace A (från engelskans trace ) är lika med summan av matrisens diagonalelement, dvs trace A aii (A.1.10) A.1 Definitioner A 8

9 A.1 Definitioner A.1.3 Speciella matriser En nollmatris eller nollvektor, betecknad 0, har alla element lika med noll. Dess determinant har givetvis värdet noll. En diagonalmatris D är en kvadratisk matris som har alla element, förutom diagonalelementen d ii, lika med noll, dvs d 0 0 D 0 0 dnn Determinantens värde ges av 11 0 d22 0 diag( d11, d12,, dnn) n d i1 ii (A.1.11) D (A.1.12) A. Grundläggande matristeori A 9

10 A.1.3 Speciella matriser En enhetsmatris (även kallad identitetsmatris) är en diagonalmatris med alla diagonalelement lika med 1. Den vedertagna beteckningen för en sådan matris är I. Om behövligt, kan enhetsmatrisens dimension (n n) anges med ett nedre index ( I n ). Enhetsmatrisens determinant har värdet 1. I (A.1.13) En triagonal matris är en kvadratisk matris som har alla element till höger eller till vänster om huvuddiagonalen lika med noll (vänstertriagonal resp. högertriagonal), dvs l l21 l22 L 0 l l l n1 n2 nn eller r r r 0 r r R 0 0 r n 22 2n Pga nollorna ges determinanternas värden av de enkla uttrycken n l L, i1 ii r A.1 Definitioner A 10 n i1 ii nn (A.1.14) R (A.1.15)

11 A.1.3 Speciella matriser En tridiagonal matris är en kvadratisk matris där elementen som uppfyller i j 1 är lika med noll, dvs den har formen t11 t t21 t22 t t32 0 t t tnn, 1 t n1, n1 n1, n A.1 Definitioner A 11 nn (A.1.16) En tridiagonal matris är en s.k. bandmatris med bandbredden 3. En blockmatris är uppbyggd av andra matriser och dess struktur bestäms av de ingående matrisernas strukturer (ingen speciell struktur behöver dock finnas)..ex. AB CD eller A B C D (A.1.17) betecknar den matris som fås när elementen i matriserna A, B, C och D insätts på respektive matris ställe. A, B, C och D kallas också undermatriser till den matris där de ingår.

12 A. Matristeori A.2 Matrisoperationer A.2.1 Likhet vå matriser av samma dimension är lika om och endast om alla element i motsvarande positioner i de två matriserna är lika, dvs a b, i, j (A.2.1) A B ij ij A.2.2 Addition och subtraktion vå matriser av samma dimension kan adderas och subtraheras genom att addera eller subtrahera alla element i motsvarande positioner i de två matriserna, dvs C A B c ij a ij b ij, i, j C A B c ij a ij b ij, i, j (A.2.2) (A.2.3) Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 12

13 A.2 Matrisoperationer A.2.3 Multiplikation Multiplikation med en skalär En matris kan alltid multipliceras med en skalär (dvs ett tal). Resultatet fås genom att multiplicera varje element i matrisen med skalären i fråga, dvs C s A c ij s a ij, i, j (A.2.4) Multiplikationstecknet kan utelämnas. Matrismultiplikation vå matriser kan multipliceras med varandra om och endast om de är konforma. Detta innebär att matrismultiplikationen AB kan utföras om och endast om antalet kolonner i A är lika med antalet rader i B. Resultatet av multiplikationen ges av CAB cij ai11 b j ai2b2j ainbnj, i, j (A.2.5) Multiplikationstecknet kan utelämnas. Om dim A mn och dimb n p så blir dimc m p. Även om AB existerar (dvs är en giltig operation), behöver B A inte existera. Även om både AB och B A existerar, gäller i allmänhet att ABBA. Matrismultiplikation är således inte kommutativ. A. Grundläggande matristeori A 13

14 A.2.3 Multiplikation Skalärprodukt Multiplikation av två vektorer enligt matrismultiplikationsregeln ovan så att resultatet blir en skalär kallas skalärprodukten eller inre produkten av de två vektorerna. Skalärprodukten är således inte produkten av en skalär och en matris eller en vektor och inte heller (generellt sett) produkten av två skalärer! Om x och y är två kolonnvektorer med lika många element, är skalärprodukten således s x y Skalärprodukten av vektorerna x och y betecknas även ( xy, ) eller xy,. yx mellan samma vektorer, helt enligt matrismultiplikations- Vi konstaterar att produkten regeln, blir en n n-matris. (A.2.6) Potensen av en matris n Potensering är definierad för en kvadratisk matris så att A betyder att n st A -matriser multipliceras enligt matrismultiplikationsregeln (vilket inte är detsamma som att upphöja varje element i A till n :te potens). Vi har då A 0 I, A 1 A, A 2 A A, A 3 AAA,, n n1 n1 A AA A A (A.2.7) A.2 Matrisoperationer A 14

15 A.2 Matrisoperationeer A.2.4 Matrisinvertering Division är inte definierad för matriser. Vi kan dock definiera inversen av en matris. Antag att vi känner en matris A. Om det finns en unik (dvs en enda) matris X sådan att A XXAI 1 så kallar vi denna matris för inversen av A. Med beteckningen X A gäller således 1 1 A A A AI (A.2.8) Division ersätts således av multiplikation med en matrisinvers. Hur finner vi inversen av en matris? Om vi låter x i beteckna den i :te kolonnen i X och e i den i :te kolonnen i I, som även kallas den i :te enhetsvektorn (vars enda element olikt noll är en etta som i :te element), kan vi enligt (A.2.7) ställa upp matrisekvationerna A x1 e 1, 2 2 A x e,, A xn e n (A.2.9) A x ser vi att varje matrisekvation kan skrivas som ett Om vi utför multiplikationerna i linjärt ekvationssystem med elementen i vektorn x i som obekanta. Genom att lösa dess 1 n stycken ekvationssystem kan vi bestämma alla x i och därmed inversen X A. A. Grundläggande matristeori A 15

16 A.2.4 Matrisinvertering Det är inte svårt att inse att ett villkor för att det skall finnas en entydig lösning till ekvationerna (A.2.9), dvs för att inversen till A skall existera, är att A är kvadratisk (med dimensionen n n) alla rader (och kolonner) i A är linjärt oberoende En sådan matris kallas reguljär eller icke-singulär eller inverterbar (alla benämningar är ekvivalenta). Anmärkning: En kvadratisk matris för vilken gäller sägs vara ortogonal. A.2 Matrisoperationer A 16 A A A AI, dvs 1 A A, Utgående från formuleringen ovan är det inte svårt att härleda ett allmänt uttryck för inversen till en 2 2-matris. Vi får a11 a a22 a12 A a21 a 22 a11a22 a12a 21 a21 a 11 A (A.2.10) Här innebär villkoren för inversens existens att det krävs att det A a a a a 0 (A.2.11) Villkoret för inverterbarhet är således att determinanten är 0.

17 A.2.4 Matrisinvertering För en n n-matris fås allmänt 1 i j x ij ji A X, ( 1) det A /deta (A.2.12) dvs element ij i A :s invers är lika med underdeterminanten för A när rad j och kolonn i strykes (obs transponeringen ) dividerat med determinanten av A med positivt (resp. negativt) tecken om talet i j är jämnt (resp. udda). Det är således relativt komplicerat att beräkna inversen till en stor matris eftersom beräkningen av determinanterna är besvärliga. Därför används i praktiken inte (A.2.12) för numeriska beräkningar av stora matrisers inverser. För en 33-matris, där underdeterminanterna är av andra ordningen, samt för glesa större matriser (dvs matriser som innehåller mycket nollor), är formeln dock användbar. Inversen för en diagonalmatris fås genom invertering av diagonalelementen, dvs D diag(,,, ) d11 d12 d nn D diag( d, d,, d nn ) (A.2.13) A.2 Matrisoperationer A 17

18 A.2 Matrisoperationer A.2.5 Derivering och integrering Derivatan av en matris m.a.p. en skalär Derivatan av en matris m.a.p. en skalär fås då varje element i matrisen deriveras, dvs da dt d dt a ij (A.2.14) En speciell tillämpning på detta är tidsderivatan av en tillståndsvektor x, dvs 1 dx2 dx n dx dx x dt dt dt dt (A.2.15) Integralen av en matris Integralen av en matris fås genom att integrera varje element i matrisen, dvs A dt a ij dt (A.2.16) A. Grundläggande matristeori A 18

19 A.2.5 Derivering och integrering Derivatan av en skalär funktion m.a.p. en vektor Derivatan av en skalär funktion m.a.p. en vektor kallas funktionens gradient. Resultatet är df f f f d x1 x2 x (A.2.17) x n Märk att resultatet blir en radvektor av partialderivator trots att x är en kolonnvektor. Derivatan av en vektorfunktion m.a.p. en vektor Derivatan av en vektorfunktion med avseende på en vektor kallas för funktionens Jacobimatris (eller Jacobian). Om man deriverar varje funktion f i i vektorfunktionen f enligt (A.2.16) och sammanslår de erhållna gradientvektorerna till en matris, fås df1 df1 df1 dx1 dx2 dx n df (A.2.18) dx dfm dfm df m dx1 dx2 dxn A.2 Matrisoperationer A 19

20 A.2 Matrisoperationer A.2.6 Exponentialfunktionen På samma sätt som för skalärer, kan man även definiera funktioner av (kvadratiska) matriser, s.k. matrisfunktioner. Alldeles speciellt gäller detta funktioner som kan definieras via potensserier. En viktig sådan funktion är exponentialfunktionen av en kvadratisk matris A, betecknad e A eller exp A. Den definieras via exponentialfunktionens aylorserieutveckling, dvs A e I A A A (A.2.19) 1! 2! 3! Märk! Matrisen A :s exponentialfunktion fås inte genom att ta exponenten av varje enskilt element i matrisen A (förutom i vissa specialfall såsom för diagonalmatriser). Vid räkneoperationer involverande exponentialfunktionen utnyttjar man ofta serieutvecklingen ovan..ex. derivering och integrering av exponentialfunktionen blir på detta sätt enkla. A. Grundläggande matristeori A 20

21 A. Matristeori A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.1 Karakteristiska ekvationen Egenvärden och egenvektorer anger karakteristiska egenskaper hos matriser. Varje kvadratisk matris A har ett eller flera egenvärden och egenvektorer v 0 så att Av v (A.3.1) gäller. Detta är liktydigt med ( I A) v 0 (A.3.2) Om matrisen ( I A ) är inverterbar fås v ( IA) 00, vilket strider mot kravet v 0. Härav följer att matrisen ( I A ) måste vara singulär och då gäller också det ( I A ) 0 (A.3.3) som kallas matrisens karakteristiska ekvation. Vi noterar här att en matris A måste vara singulär om den har ett egenvärde 0 eftersom (A.3.3) då ger det A 0. 1 Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 21

22 A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.2 Egenvärden och deras beräkning Vi kan bestämma matrisen A :s egenvärden genom att utveckla determinanten i (A.3.3) och lösa ekvationen m.a.p.. Om matrisen har dimensionen dim A n n, ger determinantutvecklingen ett n :te gradens polynom i eftersom produkten av alla diagonalelement aii kommer att ingå i en av utvecklingens termer. Av detta följer att en n n-matris har n stycken egenvärden alla egenvärden behöver inte vara distinkta (dvs olika stora) vissa egenvärden kan vara komplexkonjugerade par (dvs komplexa egenvärden) För en 2 2-matris ger (A.3.3) dvs med lösningen a a det( IA ) ( a11)( a22) a12a21 0 a21 a22 2 ( a a ) a a a a 0 (A.3.4) ( a11 a22) ( a a22) a11a22 a12a21 (A.3.5) A. Grundläggande matristeori A 22

23 A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.3 Höger och vänsteregenvektorer Vektorn v i (A.3.1) är en högeregenvektor till matrisen A. Eftersom den kvadratiska matrisen A även måste ha egenvärden och (höger)egenvektorer, finns det egenvärden och egenvektorer w så att A w w, eller om vi transponerar vänstra och högra ledet w A w w ( IA) 0 (A.3.6) Här är w en vänsteregenvektor till matrisen A. Även här krävs att matrisen ( I A ) är singular och vi får samma karakteristiska ekvation som (A.3.3) och därmed samma lösning för egenvärdena. Egenvektorerna är i allmänhet dock olika. Av ovanstående följer även att A och A har samma egenvärden. Av det faktum att ( I A ) är singulär följer att det inte finns entydiga lösningar för egenvektorerna v och w. Ett sätt att finna unika lösningar är att normera dem så att w w v v 1 (A.3.7) Ett annat sätt är att välja ett värde olika noll för ett element i egenvektorerna. Därefter har ekvationssystemen (A.3.2) och (A.3.6) entydiga lösningar för givna egenvärden. A. Grundläggande matristeori A 23

24 A.3 Egenvärden och egenvektorer A.3.4 Positivt definita matriser En symmetrisk reell matris A A är positivt definit om x Ax 0, x 0 (A.3.8) Om likhet tillåts (dvs x Ax 0), sägs matrisen vara positivt semidefinit. Ett annat sätt att ange att en matris är positivt semidefinit är att skriva A 0 (obs inte fet nolla) eller A 0. Analogt betecknar x Ax 0, A 0 och A 0 negativt semidefinita matriser. Eftersom (A.3.1) ger v Av v v, och (A.3.8) gäller för godtyckliga x om A är positivt definit, måste alla egenvärden för en positivt definit matris vara positiva, dvs det( I A ) 0 0 (A.3.9) Detta är också ett tillräckligt villkor för att en symmetrisk matris skall vara positivt definit. En positivt semidefinit har något egenvärde lika med noll. A. Grundläggande matristeori A 24

25 A.3.4 Positivt definita matriser Vid utveckligen av determinantuttrycket (A.3.3) kommer den konstanta termen, som inte innehåller någon potens av, att vara lika med det A (se t.ex. (A.3.4)). Av detta följer att det A 0 (A.3.10) är ett nödvändigt villkor för att alla egenvärden skall vara positiva, och matrisen därmed positivt definit. x 0 i (A.3.8) att enskilda element x 0 (men alla får inte Vidare förhindrar inte kravet i vara noll samtidigt). Av detta följer att varje undermatris A, som erhålles genom att ii stryka rad i och kolonn i från A, måste vara positivt definit, och därmed också det A 0 ii (A.3.11) Detta kan föras vidare genom att stryka en rad och motsvarande kolonn från A, osv. ii Det är dock tillräckligt att kontrollera att alla ledande kvadratiska undermatriser har positiva determinanter (Sylvesters kriterium), dvs att (obs att A skall vara symmetrisk) a11 a12 a11 0, a a 21 22, 0 a a a a a a a a a ,, det 0 A (A.3.12) A.3 Egenvärden och egenvektorer A 25

26 A. Matristeori A.4 Räkneregler för sammansatta uttryck A.4.1 Addition ABBA (kommutationslagen) (A.4.1) ( A B) CA( BC ) (associationslagen) (A.4.2) A.4.2 Multiplikation ( AB) C A( BC ) (associationslagen) (A.4.3) ( AB) CACBC (distributionslagen) (A.4.4a) AB ( C) ABAC (distributionslagen) (A.4.4b) IA A, AI A (A.4.5) OBS. Samma lagar gäller vid multiplikation med skalärer så länge matrisoperationerna är dimensionsriktiga. Detta gäller även andra matrisoperationer som följer. Märk i synnerhet AB BA i allmänhet AB AC kan gälla även om B C AB 0 kan gälla även om A 0 och B 0 Reglerteknik II illståndsmetoder (419301) A 26

27 A.4 Sammansatta uttryck A.4.3 ransponering ( A ) A, ( A B) A B, En kvadratisk matris A är symmetrisk om A.4.4 Matrisinvertering 1 1 A ( AB) B A (A.4.6, 7, 8) A, ortogonal om 1 1 A A AA I. ( A ) A, ( A ) ( A ) (A.4.9, 10) ( AB) B A (A.4.11) ( ABDC) A A B( CA BD ) CA (matrisinversionslemmat) (A.4.12) Uttrycken ovan förutsätter att matrisinverserna existerar (dvs matriserna är kvadratiska och har en determinant olik noll). A.4.5 Spåret av en matris tr sa s tr A, tr A tr A (A.4.13, 14) tr ( A B) tr Atr B, tr AB tr BA (A.4.15, 16) A. Grundläggande matristeori A 27

28 A.4.6 Determinanter rang A det sa s det A, A.4 Sammansatta uttryck det A det A, det AB det A det B (A.4.17, 18, 19) A.4.7 Blockmatriser AB A C CD B D A A B B A B A B A B A B A21 A 22 B21 B 22 A 21B11 A22B21 A21B12 A22B A B A A BX CA A BX C D X CA X A B, A X C D A B Y Y BD C D D CY D D CY BD, A B D C D Y (A.4.20) (A.4.21) (A.4.22, 23) (A.4.24, 25) 1 X D CA B om 1 A exist., 1 Y A BD C om 1 D exist. (A.4.26, 27) A. Grundläggande matristeori A 28

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Laboration: Vektorer och matriser

Laboration: Vektorer och matriser Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix

Läs mer

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v . SINGULÄRA VÄRDEN Vårt huvudresultat sen tidigare är Sats.. Varje n n matris A kan jordaniseras, dvs det finns en inverterbar matris S sån att S AS J där J är en jordanmatris. Om u och v är två kolonnvektorer

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016 SF4 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 7 mars Skrivtid: 8:-: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del A på tentamen

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1: Dagens teman Linjära ODE-system av ordning 1: Egenvärdesmetoden. Lösning av homogena system x 1 (t) = a 11 x 1 (t) + + a 1n x n (t) x 2 (t) = a 21 x 1 (t) + + a 2n x n (t) x n (t) = a n1 x 1 (t) + + a

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 1 LMA515c - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna studioövning börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18.

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671 2009-01-16. DAG: Fredag 16 januari 2009 TID: 14.00-18. Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 9--6 DAG: Fredag 6 januari 9 TID: 4. - 8. SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 94 Förfrågningar: Ivar Gustafsson

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL 1 Inre produktrum 1 2 Cauchy-Schwarz olikhet 3 3 Ortogonala projektioner och Gram-Schmidts process 3 4 Uppgifter 4 61:13(a) 4 61:23(a) 4 61:29 5 62:7

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Matriser och linjära ekvationssystem

Matriser och linjära ekvationssystem Linjär algebra, I1 2011/2012 Matematiska vetenskaper Matriser och linjära ekvationssystem Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = a m1 a mn Matrisen ovan har m rader

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0 Diagonalisering Anm. Begreppet diagonaliserbarhet är relevant endast för linjära avbildningar mellan rum av samma dimension, d.v.s. sådana som representeras av kvadratiska matriser. När vi i fortsättningen

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

Beräkningsvetenskap föreläsning 2

Beräkningsvetenskap föreläsning 2 Beräkningsvetenskap föreläsning 2 19/01 2010 - Per Wahlund if-satser if x > 0 y = 2 + log(x); else y = -1 If-satsen skall alltid ha ett villkor, samt en då det som skall hända är skrivet. Mellan dessa

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

Laboration 1: Linjär algebra

Laboration 1: Linjär algebra MALMÖ HÖGSKOLA Centrum för teknikstudier MA119A VT 2010, Yuanji Cheng Viktigt information om labb Vid laborationen gäller följande: 1. Labben görs i grupp av två studenter, och redovisningsuppgifterna

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA Institutionen för Matematiska Vetenskaper Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 009-08-7 DAG: Torsdag 7 augusti 009 TID: 8.30 -.30 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 77 0

Läs mer

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID: Institutionen för Matematik Göteborg TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F, TMA67 22-8-3 DAG: Fredag 3 augusti 22 TID: 8.45-2.45 SAL: V Ansvarig: Ivar Gustafsson, tel: 772 94 (ankn. 94) Förfrågningar:

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3.

Linjära avbildningar. Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om. EX. Speglingar, rotationer, projektioner i R 3. Linjära avbildningar Definition 1 En avbildning mellan två vektorrum, F : V U, kallas linjär om F (v +v ) = F (v)+f (v ) och F (cv) = cf (v) för alla v, v V och alla skalärer c. EX. Speglingar, rotationer,

Läs mer

KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar

KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2. Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar KPP053, HT2016 MATLAB, Föreläsning 2 Vektorer Matriser Plotta i 2D Teckensträngar Vektorer För att skapa vektorn x = [ 0 1 1 2 3 5]: >> x = [0 1 1 2 3 5] x = 0 1 1 2 3 5 För att ändra (eller lägga till)

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Laboration 0: Del 2. Benjamin Kjellson Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem

Laboration 0: Del 2. Benjamin Kjellson Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem Laboration 0: Del 2 Benjamin Kjellson 2016 03 21 Introduktion till matriser, vektorer, och ekvationssystem I den här filen får ni en kort introduktion till hur man hanterar och räknar med matriser i R,

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

1 Ickelinjär optimering under bivillkor Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0.

Vektorrum. EX. Plan och linjer i rummet genom origo. Allmänt; mängden av lösningar till AX = 0. Vektorrum Denna kurs handlar till stor del om s k linjära rum eller vektorrum. Dessa kan ses som generaliseringar av R n. Skillnaden består främst i att teorin nu blir mer abstrakt. Detta är själva poängen;

Läs mer

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken

Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Linjär Algebra 764G01: Kommentarer och läsanvisningar till kursboken Här följer kommentarer om sånt i boken som kan behövas förtydligas samt anvisningar om vad som ska läsas, eller snarare vilka delar

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA II PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta är en samling kompletterande uppgifter till Linjär Algebra II för lärare. Exemplen är av varierande svårighetsgrad och

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning, Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer