Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1"

Transkript

1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta det första avsnittet av kursen får vi stifta bekantskap med matriser, ett slags matematiska objekt som spelar en mycket stor roll inom linjär algebra. En naturlig introduktion till matriser får vi genom att titta litet närmare på linjära ekvationssystem, som de flesta nog har stött på i något sammanhang. Linjära ekvationssystem är givetvis också av stort intresse i sig själva, och inte bara på grund av relationen till matriser. Denna studiehandledning i sex avsnitt innehåller främst kortfattade kommentarer och läsanvisningar till läroboken (Anton/Rorres). Som inledning till det första avsnittet följer dock här en något utförligare diskussion om linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem och Gauss-elimination (kap 1.1 och 1.2) Den här kursen börjar med att vi får lära oss en systematisk metod för att lösa linjära ekvationssystem (systems of linear equations). Sådana ekvationssystem dyker ofta upp vid den matematiska behandlingen av olika problem. En linjär ekvation är en ekvation som relaterar en eller flera variabler, s k obekanta (unknowns), och som är sådan att varje obekant ingår linjärt. Detta innebär att varje term där en obekant ingår helt enkelt består av den obekanta variabeln multiplicerad med en konstant (se Ex 1 sid 1 i läroboken). Ett system av sådana ekvationer kallas ett linjärt ekvationssystem. (Ett system av ekvationer är en samling ekvationer som samtliga ska satisfieras.) En lösning (solution) till ett ekvationssystem är en tilldelning av värden till de obekanta som satisfierar alla ingående ekvationer, d v s gör dem till sanna utsagor. Lösningsmängden (solution set) till ett ekvationssystem är mängden av alla lösningar. Exempel: 3x + 4y = 5 är ett ekvationssystem med två ekvationer och två obekanta. Vi ska strax studera detta enkla ekvationssystem lite närmare. Om man vill kan man numrera ekvationerna i ett system för att lättare kunna referera till dem. (Deras ordningsföljd spelar dock egentligen inte någon roll.) 1

2 Ibland används skrivsättet att med en klammer markera de ekvationer som ingår i ett system: (1) 3x + 4y = 5 (2) I läroboken utelämnas dock klammern och ekvationsnumreringen. Man har ofta nytta av en geometrisk tolkning av ekvationer och system. En ekvation med två obekanta (x och y) svarar mot en rät linje i ett plan. (Punkter på linjen har koordinater som satisfierar ekvationen, medan punkter utanför linjen har koordinater som inte satisfierar ekvationen.) Två ekvationer svarar mot två räta linjer, och att båda ekvationerna ska satisfieras svarar geometriskt mot punkter som ligger på båda linjerna. Normalt finns exakt en sådan punkt, men det kan också vara oändligt många eller ingen alls. Jämför Fig 1 sid 3 i läroboken. Ekvationssystemet i exemplet ovan illustreras geometriskt så här: 5 4 y x -1 x -2 Ett sätt att se på obekanta och ekvationer i linjära ekvationssystem är att varje obekant representerar en frihetsgrad, och varje ekvation en låsning. Till exempel, med två obekanta (kalla dem x och y) och inga ekvationer har vi två frihetsgrader utan någon låsning. Alla värden för x och alla värden för y är tillåtna. Geometriskt kan vi säga att alla punkter i planet representerar lösningar. Lösningsmängden är två-dimensionell. Lägger vi på en ekvation, till exempel, så låser vi en frihetsgrad. Geometriskt beskrivs lösningarna av punkterna på en linje. Lösningsmängden är en-dimensionell. Lägger vi på ytterligare en ekvation, till exempel 3x + 4y = 5, så låser vi också den återstående frihetsgraden. Geometriskt är det bara en enda punkt i planet, skärningspunkten, som är tillåten. Lösningsmängden är nolldimensionell ; det finns inga frihetsgrader kvar utan både x och y är fixerade. Ett sätt, som kanske kan tyckas ligga nära till hands, att lösa ekvationssystemet i exemplet ovan är att lösa ut en variabel ur den ena ekvationen och sätta in i den andra. Ekvation (1) ger exempelvis att 2

3 x = 3 2y. Om detta uttryck för x sätts in i ekvation (2) får vi ju 3 (3 2 y) + 4y = 5, d v s9 2 y = 5 och y = = 2. Nu kan detta resultat sättas in i vilken som helst av de ursprungliga ekvationerna och vi kan lätt se att x = 1. Lösningen till vårt ekvationssystem är alltså x = 1, y = 2. Denna metod kan ju synas vara enkel och bra, men den är ineffektiv då man har att göra med större ekvationssystem (d v s fler ekvationer och obekanta). Vi ska i stället lära oss att använda en systematisk metod som går ut på att ersätta systemet med ett ekvivalent system. Detta upprepas tills man direkt kan läsa av lösningen. Vi ska nu se hur det går till i vårt enkla exempel. I det ursprungliga ekvationssystemet 3x + 4y = 5 kan vi utan att ändra lösningsmängden ersätta den andra ekvationen med 3 gånger den första ekvationen adderad till den andra: 3x + 4y 3(x + 2y) = Avsikten med detta är att eliminera x i den andra ekvationen, d v s att koefficienten för x ska bli noll. Vi har alltså 0 x 2y = 4, som är ett system ekvivalent med det ursprungliga. Nu kan vi multiplicera den andra ekvationen med 1 2, för att där få koefficienten för y till 1: y = 2 Till slut kan vi eliminera y från den första ekvationen, genom att addera 2 gånger den andra ekvationen till den första: x = 1 y = 2 Detta system är ekvivalent med det ursprungliga, och lösningen stirrar oss i ansiktet! 3

4 Metoden kallas Gauss-Jordan-elimination. Om man stannar efter det näst sista steget har man utfört Gauss-elimination. Då kan lösningen fås genom att det kända värdet y = 2 sätts in i den första ekvationen. Detta kallas åter-substitution (back-substitution). De operationer man kan använda vid metoden är multiplicera en ekvation ledvis med nollskild konstant byta plats på två ekvationer addera en multipel av en ekvation ledvis till en annan. (Jämför sid 5 i läroboken.) Om man håller sig inom dessa ramar får man i varje steg ett system som är ekvivalent med det föregående, och alltså även med det ursprungliga systemet. En lösning till ett ekvationssystem är en uppsättning talvärden för de obekanta som gör att ekvationerna satisfieras. Vi såg ovan att lösningen till systemet 3x + 4y = 5 är x = 1, y = 2. På exakt samma sätt kan man se att lösningen till systemet u + 2v = 3 3u + 4v = 5 är u = 1, v = 2. Man kan säga att det är fråga om samma ekvationssystem och samma lösning, det är bara andra namn på variablerna. Vid lösning av ekvationssystem är variabelnamnen egentligen ganska ointressanta; det är koefficienternas värden som är avgörande. Lösningen till systemet med koefficienterna 1, 2 och 3 resp. 3, 4 och 5 är talparet 1 och 2. Detta är på grund av att = 3 och = 5. Man kan representera ett ekvationssystem med ett rektangulärt talschema, en matris, som anger koefficienternas värden och deras positioner. Vårt system kan beskrivas av matrisen Ett sådant här talschema kallas för systemets totalmatris (augmented matrix). Varje rad (row) i matrisen svarar mot en ekvation, och kolonnerna (columns) utgörs av koefficienterna för de obekanta i ordningsföljd. Den högra kolonnen består av talen i ekvationernas högerled (de konstanta termerna). Operationerna som ger ekvivalenta system kan alltså lika gärna utföras på raderna i totalmatrisen, i stället för på ekvationerna i systemet. De kallas då för elementära radoperationer. 4

5 Vi använder dessa elementära radoperationer för att skriva om ett systems totalmatris på trappstegsform (row-echelon form). Då har vi utfört Gausselimination. Vi kan också, om vi vill, fortsätta omskrivningen till reducerad trappstegsform (reduced row-echelon form). I så fall har vi utfört Gauss- Jordan-elimination. Metoden innebär att vi utför följande steg: 1) Representera det givna ekvationssysemet med en matris. 2) Med hjälp av elementära radoperationer successivt ersätta matrisen med nya matriser som representerar ekvivalenta ekvationssystem. 3) Då vi erhållit en matris på tillräckligt enkel form skriva upp motsvarande ekvationssystem och läsa av lösningen. (OBS att man inte kan sätta likhetstecken mellan matriserna som dyker upp i metoden. De representerar ekvivalenta ekvationssystem, men är olika matriser! Mer om matriser som självständiga matematiska objekt kommer alldeles strax i kursen!) Antalet lösningar till ett linjärt ekvationssystem är 0, 1 eller oändligt. Normalt gäller följande: Om det är lika många ekvationer som obekanta finns en unik lösning. (jfr. skärningspunkten mellan de två linjerna i den geometriska tolkningen av exemplet ovan). Om det är färre ekvationer än obekanta räcker inte dessa till för att låsa alla frihetsgrader. Antalet lösningar är oändligt. Om det är fler ekvationer än obekanta innebär det motstridiga villkor, och lösningar saknas. Avvikelser från dessa normalfall kan förekomma. I så fall beror det på att man i praktiken har färre ekvationer än vad som synes (vilket kan öka antalet lösningar), eller på att ekvationer är motstridiga (vilket minskar antalet lösningar till noll). Läsanvisningar och kommentarer till läroboken 1.1 Introduktion till linjära ekvationssystem Studera Ex 2 noga, så att du förstår hur man beskriver lösningsmängden med hjälp av fria parametrar då antalet obekanta överstiger antalet ekvationer. 1 Fig 1 åskådliggör geometriskt de tre typerna av lösningsmängd som kan uppkomma vid linjära system med två ekvationer och två obekanta. Mycket instruktivt! 1 Här är det visserligen bara en ekvation, men det fungerar på samma sätt för system. 5

6 Se till att du har klart för dig hur man kan representera ett ekvationssystem med en matris, totalmatrisen. I de färgade plattorna på sid 5 sammanfattas de tillåtna operationerna på ekvationssystem resp. totalmatriser. Med tillåtna menas att de fritt kan användas utan att man riskerar att ändra lösningsmängden! I Ex 3 visas mycket tydligt hur Gauss-Jordan-elimination går till (även om inte detta namn på metoden införs förrän i 1.2). Parallellt får vi följa både ekvationssystemets och totalmatrisens förenklingar till lösbar form. Ett paradexempel! Övningar: 1, 3, 4, 5, 8, Gauss-elimination Se till att du förstår ordentligt vad som menas med trappstegsform resp. reducerad trappstegsform. Studera Ex 1 och jämför med definitionen i den färgade plattan på sid 8. I Ex 2 visas hur man kan få fram lösningen till ett ekvationssystem vars totalmatris är på reducerad trappstegsform. Eventuella fria variabler används som parametrar i lösningen. (Se till att du förstår vad som menas med ledande resp. fria variabler!) Följ noga de sex stegen i de färgade plattorna på sid 11-12, som illustrerar hur Gauss-Jordan-elimination går till då man har fler obekanta än ekvationer. Läs också noga Ex 3, som visar samma sak, men där det inträffar att en rad blir idel nollor. Detta innebär att vi i praktiken hade färre ekvationer än vi trodde den sista ekvationen innebar ingen ytterligare låsning av frihetsgrader! I Ex 4 visas hur systemet i Ex 3 kan lösas med åter-substitution efter en Gauss-elimination (d v s då man nöjer sig med att uppnå trappstegsform). Jämför Ex 5 här med Ex 3 i kap 1.1. Det är viktigt att lära sig vad begreppet homogent linjärt ekvationssystem betyder (sid 17-19). Ett sådant system är alltid lösbart, ty en lösning är att samtliga obekanta antar värdet noll. Detta är den så kallade triviala lösningen. Övningar: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, Matriser och matrisoperationer Matriser användes i kapitel 1.1 och 1.2 som ett slags notation för ekvationssystem. Detta är dock ingalunda det enda användningsområdet för matriser; de har mycket stor betydelse inom både ren och tillämpad matematik. Matriser är självständiga matematiska objekt (ett slags generaliserade tal) som kan adderas, multipliceras och inverteras. Här får vi lära oss de grundläggande definitionerna och räknesätten för matriser. Givetvis måste du behärska de grundläggande definitionerna av matris, element (entry), rad, kolonn, storlek, liksom likhet mellan matriser, 6

7 summa av matriser och produkt av vanligt tal med matris. (Sid 25-28). (Vanliga tal kallas i detta sammanhang för scalars på engelska. Ibland säger man även skalärer på svenska.) Observera sättet att indexera elementen med radindex först och sedan kolonnindex. Antalen rader resp. kolonner i en matris behöver inte vara lika, men om de är det kallas matrisen kvadratisk. Sådana matriser har två diagonaler, men det är bara den ena, huvuddiagonalen, som har speciell betydelse (där är radindex och kolonnindex lika). På sid 28 glimtar ett begrepp till som har mycket djupare betydelse än vad som framgår här. Det är ingen överdrift att påstå att linjärkombination (linear combination) är ett av de mest centrala begreppen inom den linjära algebran. Lär dig den enkla innebörden av denna term redan nu, så har du mycket tillgodo inför resten av kursen! Linjärkombination är ingalunda något som är unikt för matriser. Exempelvis kan definitionen av en linjär ekvation uttryckas så här: en ekvation som säger att en linjärkombination av de obekanta variablerna är lika med en konstant. I fortsättningen av kursen kommer det framförallt att vara intressant att tala om linjärkombinationer av vektorer. Sidan 28 bjuder på ytterligare en godbit, nämligen definitionen av produkten av två matriser. Läs igenom Ex 5 mycket noga, och därefter Ex 6, och se till att du förstår hur matrismultiplikationen fungerar. När det gäller partitionerade matriser är det framförallt synsättet att en matris kan betraktas som en rad av kolonnmatriser (eller som en kolonn av radmatriser) vi kommer att använda oss av i den här kursen. Läs igenom Ex 7 om matrismultiplikation efter kolonner och rader. Ett linjärt ekvationssystem med m ekvationer och n obekanta kan skrivas som en enda matrisekvation: Ax = b, där A är en m n -matris som innehåller koefficienterna för de icke-konstanta termerna, x är en kolonnmatris 2 (n 1) som innehåller de obekanta variablerna och b är en kolonnmatris (m 1) som innehåller de konstanta termerna ( högerleden ). Vänsterledet i denna ekvation är en matrisprodukt: en m n -matris multiplicerad med en n 1- matris, vilket blir en m 1-matris. [Detta skrivsätt inspirerar till idén att lösa matrisekvationen (d v s ekvationssystemet) på samma sätt som när man skriver upp att lösningen till ekvationen ax = b är x = 1 a b. Frågan är vad 1 A ska betyda när A är en matris. Svaret är matrisinvers, vilket vi kommer till i kap 1.4. (Denna idé fungerar dock bara när m = n, och inte alltid då heller.)] Lär dig innebörden av transponering av matris och spåret (trace) av en kvadratisk matris. Övningar: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 12, 13, Lägg märke till skrivsättet med gemena bokstäver i fetstil för kolonnmatriser (används även för radmatriser), i stället för versala bokstäver i kursiv stil som normalt används för matriser. Samma skrivsätt används för vektorer, och bakgrunden är att kolonnmatriser (eller radmatriser) kan användas för att representera vektorer. 7

8 1.4 Inverser; regler för matrisaritmetik För vanliga tal gäller den kommutativa lagen för addition och för multiplikation, den associativa lagen för addition och för multiplikation samt den distributiva lagen för multiplikation och addition. Också för matriser gäller dessa räknelagar, med det viktiga undantaget att den kommutativa lagen för multiplikation inte gäller! Ordningen har alltså betydelse vid matrisprodukter; AB BA i allmänhet. (Ex 1). Dessutom gäller att en produkt AD kan vara lika med noll 3 utan att vare sig A eller D är noll! (Ex 3). Även här skiljer sig aritmetiken för matriser från den för vanliga tal. En utomordentligt viktig matris att känna till är enhetsmatrisen (identity matrix) I, som är en kvadratisk matris med ettor på huvuddiagonalen och nollor för övrigt. I är matrisernas motsvarighet till talens etta (talet 1), såtillvida att AI = A och IA = A för varje matris A. (Det förutsätts att enhetsmatrisen har lämplig storlek, så att respektive produkt är definierad.) Vissa har det, andra har det inte. När det gäller vanliga tal har alla det, förutom nollan. Men när det gäller matriser är det inte alla förunnat att ha en invers 4. Se till att du förstår begreppen inverterbarhet och invers! Det är vanligt förekommande att man vill invertera matriser, t ex för att lösa matrisekvationer av typen AX = B. Om A 1 existerar löser vi enkelt ekvationen genom att multiplicera ledvis (från vänster!) med denna. Vi får A 1 AX = A 1 B, d v s lösningen är 5 X = A 1 B. Lär dig även använda övriga räkneregler i detta kapitel, vilka i stort sett är kombinationer av räknesätt vi redan känner till. Övningar: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Elementära matriser och en metod för att hitta A 1 Det viktigaste i detta kapitel är den metod för att beräkna inversen till en given matris, som illustreras i Ex 4. Begreppet elementär matris är mest av teoretiskt intresse (se även anmärkningen mitt på sid 51). Bakgrunden till metoden i Ex 4 kan alternativt förstås på följande vis: vi vill hitta A 1, d v s lösningen till ekvationen AX = I. Om vi tänker på hur multiplikation av partitionerade matriser fungerar så inser vi att denna matrisekvation innebär att A gånger första kolonnen i X är lika med första kolonnen i I. Detta kan ses som ett linjärt ekvationssystem, där de obekanta är elementen i första kolonnen i X. För att lösa systemet skriver vi upp en totalmatris som består av A utökad med första kolonnen i I. På samma sätt innebär AX = I att A gånger andra kolonnen i X är lika med andra kolonnen i I. Motsvarande gäller även för tredje kolonnerna. Vi har alltså att lösa tre linjära ekvationssystem, vars totalmatriser är A utökad med första, andra resp. tredje kolonnerna i I. Dessa tre system kan vi lösa parallellt; Gauss-Jordan- 3 Med noll menar vi här nollmatrisen, dvs den matris vars samtliga element är lika med noll. Det finns en nollmatris av varje storlek. 4 Not för algebra-intresserade: Här avses multiplikativ invers. Additiv invers har alla tal och alla matriser. 5 Eftersom A 1 A = I och IX = X. 8

9 eliminationen innebär i samtliga tre fall att matrisen A ska skrivas om till enhetsmatrisen med elementära radoperationer. (I läroboken beskrivs på sid denna metod att parallellt lösa flera linjära ekvationssystem med samma koefficienter för de obekanta.) I Ex 5 får vi se hur det går om man med denna metod försöker invertera en matris som inte är inverterbar. Sats på sid 53 anger några ekvivalenta egenskaper för kvadratiska matriser. En liten förvarning: i takt med att fler begrepp införs under kursens lopp kommer satsen att utökas med fler och fler ekvivalenta egenskaper. (Den djärve kan ju kasta ett öga på sid 362.) Övningar: 5a, 5c, 6a, 6c, 6e, 8b, 8c. 1.6 Ytterligare resultat om ekvationssystem och inverterbarhet Kapitlet inleds med ett enkelt bevis för den viktiga satsen att antalet lösningar till ett linjärt ekvationssystem är 0, 1 eller oändligt. Idén är: givet två olika lösningar kan man konstruera ytterligare lösningar. Geometriskt innebär konstruktionen (eftersom varje lösning kan representeras av en punkt), att varje punkt på linjen som går genom de två lösningspunkterna också är en lösningspunkt. I Ex 1 visas hur man kan lösa ett kvadratiskt system (d v s ett med lika många ekvationer som obekanta) med hjälp av matrisinvers. Vi har tidigare i dessa läsanvisningar snuddat vid denna idé (1.3 och 1.4). Övningar: 1, 3, 5, 9, 11, 15, 16, Diagonala, triangulära och symmetriska matriser Vissa typer av matriser är trevligare att ha att göra med än andra. De av oss som inte är så förtjusta i överdriven räknemöda uppskattar nog diagonalmatriser. Tack vare total avsaknad av nollskilda element utanför huvuddiagonalen är de synnerligen lätta att räkna med. Triangulära matriser uppvisar i alla fall en ren sida, d v s de har bara nollor på ena sidan om huvuddiagonalen. Symmetriska matriser ser likadana ut på bägge sidor om huvuddiagonalen. Mer exakt gäller A T = A. Var och en av dessa egenskaper kan givetvis endast komma ifråga för kvadratiska matriser. (Varför?) Se till att du förstår följande 6 : produkten av två symmetriska matriser är symmetrisk om och endast om matriserna kommuterar. 6 Inte främst för att dessa resultat skulle vara särskilt viktiga, utan för att bevisen är instruktiva exempel på matrisräkning. 9

10 A T A och AA T är båda symmetriska matriser, oavsett vad A är. Övningar: 1, 6, 8, 10b, 11,

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga

reella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga . Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper

Linjär algebra. 1 Inledning. 2 Matriser. Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1. CTH/GU STUDIO 1 TMV036b /2013 Matematiska vetenskaper CTH/GU STUDIO 1 TMV06b - 2012/201 Matematiska vetenskaper Linjär algebra Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1 1 Inledning Vi fortsätter även denna läsperiod att arbete med Matlab i matematikkurserna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 1 LMA515c - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna studioövning börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Matriser och linjära ekvationssystem

Matriser och linjära ekvationssystem Linjär algebra, I1 2011/2012 Matematiska vetenskaper Matriser och linjära ekvationssystem Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = a m1 a mn Matrisen ovan har m rader

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011 UPPGIFT (1) Låt V vara mängden av vektorer (x 1, x 2, x 3 ) i R 3 som uppfyller

Läs mer

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0 1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen a 1 x 1 + a 2 x 2 + a n x n = b, med givna tal a 1,..., a n och b. Ett linjärt ekvationssystem

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 3 Kapitel 4, 9.2 och 5 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) Välkommen

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller

Definition 1 Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller April 27, 25 Vektorrum Definition Ett vektorrum M (över R) är en mängd element, vektorer, sådan att det finns en kommutativ operation + på mängden M som uppfyller. x M och y M = x + y M. 2. x + y = y +

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Matematiska Institutionen, KTH Typsatt med L A TEX 2ε och TikZ Kompilerad 8 september 2014 Inledande ord Detta häfte är baserat på en föreläsningsserie

Läs mer

Linjära ekvationssystem i Matlab

Linjära ekvationssystem i Matlab CTH/GU LABORATION 2 MVE11-212/213 Matematiska vetenskaper Linjära ekvationssystem i Matlab 1 Inledning Först skall vi se lite på matriser, vilket är den grundläggande datatypen i Matlab, sedan skall vi

Läs mer

Laboration: Vektorer och matriser

Laboration: Vektorer och matriser Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

Linjär Algebra. Roy Skjelnes. Matematiska Institutionen, KTH.

Linjär Algebra. Roy Skjelnes. Matematiska Institutionen, KTH. Linjär Algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Matematiska Institutionen, KTH. Inledande ord Detta häftet är baserad på en föreläsningsserie jag gav 2010-2011. Varje kapitel tillsvarar en

Läs mer

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 Allmänt gäller följande: Om lösningen helt saknar förklarande text till beräkningar och formler ges högst två

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Basbyten och linjära avbildningar

Basbyten och linjära avbildningar Föreläsning 11, Linjär algebra IT VT2008 1 Basbyten och linjära avbildningar Innan vi fortsätter med egenvärden så ska vi titta på hur matrisen för en linjär avbildning beror på vilken bas vi använder.

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Första föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 26 oktober, 2009 Översikt Kurspresentation Komplexa tal Kursmålen Efter genomgången kurs ska studenten vara förtrogen

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden

Exponentialmatrisen. Definition med potensserie. Egenskaper. Den sista likheten utgör definitionen av e At. Man kan nämligen visa att matrisföljden Exponentialmatrisen Moment (kapitel i Spanne) Övningar Denna stencil i första hand! Def. med serie (5.2) 8,(2) diagonaliserbar A (5.) b,2 (utnyttja svartill 3.2&3.5) Lösn. av tillståndsekv. Cayley-Hamiltons

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället

Läs mer

Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A

Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A Problem om asbyte Mikael Forsberg, 8 februari 0 Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte.. Vi har baserna A och, givna som kolonnerna till matriserna T-00 A

Läs mer

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. LINKÖPINGS UNIVERSITET ITN, Campus Norrköping Univ lekt George Baravdish Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002. Läsråd: Detta är ett stöd för dig som vill repetera inför en omtentamen. 1. Börja

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare Per Alexandersson February 27, 2013 Abstract Här är läsanvisningar samt några kompletterande uppgifter till materialet i kursboken

Läs mer