Dagens program. Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper

Transkript

1 Dagens program Repetition Determinanten Definition och grundläggande egenskaper Radoperationers påverkan på erminanten Beräkning av erminanten för en trappstegsmatris Utveckling efter rad eller kolonn Kofaktorer Geometriska tolkningar

2 4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition En tillåten produkt ur en n n-matris A är en produkt av n st element ur A, a 1p1 a 2p2 a npn, där ingen av faktorerna i produkten står i samma rad eller samma kolonn i A som någon av de andra faktorerna i produkten Tillåten produkt Otillåten produkt

3 4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition Ett negativt par ur en tillåten produkt a 1p1 a 2p2 a npn är ett par av faktorer a ipi a jpj där i < j men p i > p j Radindex: i < j, dvs rad i är ovanför rad j Kolonnindex: p i > p j, dvs kolonn p i är till höger om kolonn p j Negativt par. Tänk ovanför till höger: a ipi a jpj

4 4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition Tecknet för en tillåten produkten a 1p1 a 2p2 a npn ges av 1 N(p 1,p 2,,p n ) där N p 1, p 2,, p n = antalet negativa par i a 1p1 a 2p2 a npn T ex i produkten nedan är totalt 3 negativa par vilket medför att 1 N(p 1,p 2,p 3,p 4 ) = 1 3 = 1

5 4.2. Determinantdefinitionen, steg för steg Definition Låt A vara en n n-matris. Determinanten av A, A, definieras som summan av de tillåtna produkterna inklusive deras tecken, d v s A = 1 N(p 1,p 2,,p n ) a 1p1 a 2p2 a npn Exempel 1. A = a b c d A = ad cb Exempel 2. Determinanten blir lättare att räkna om finns flera nollor: = = = 2 Observation: om en matris A har en nollrad (eller nollkolonn) så är A = 0

6 Multiplikation av rad med nollskild konstant Sats Låt A vara en n n-matris och B den n n-matris som fås då en rad (eller en kolonn) ur A multipliceras med ett tal k 0. Då är B = k A. T ex a 11 a 12 a 13 ka 21 ka 22 ka 23 = k a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Exempel = =

7 Spaltning Sats Låt n n-matriserna B, A 1, A 2 har egenskap att A 1 och A 2 är lika, sånär som på en rad, och elementen i denna rad i matrisen B är summan av motsvarande element ur matriserna A 1 och A 2. Då gäller att T ex B = A 1 + A 2 a 11 a 12 a 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 = a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 + a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 b 21 b 22 b 23 a 31 a 32 a 33 Exempel. 1 + x 1 + 2x 1 + 3x = x 2x 3x = = x 2x 3x = x = 0

8 Elementära räkneoperationer Multiplicera rad (kolonn) med nollskild konstant Byta plats på två rader Addera konst*(rad) till annan rad Hela erminanten multipliceras med konstanten Determinanten byter tecken Determinanten ändras ej = = = = 1 = = 0

9 Elementära räkneoperationer Exempel = = = = = = = 14

10 Kofaktorer Huvudidé: att krympa en erminant till en summa av erminanter av en storlek mindre. Definition Låt A vara en n n-matris och låt (n 1) (n 1)-matrisen A ij vara den matris som fås då rad i och kolonn j stryks ur A. Då kallas M ij = A ij minoren till elementet a ij och C ij = 1 i+j M ij kallas kofaktorn till elementet a ij. Exempel. Låt För i = 1 och j = 1 För i = 2 och j = 2 A = C 11 = C 22 = = = = 3 = = = 12

11 Kofaktorer Sats Låt A vara en n n-matris. Då gäller att A = a i1 C i1 + a i2 C i2 + + a in C in A = a 1j C 1j + a 2j C 2j + + a nj C nj (utveckling efter rad i) (utveckling efter kolonn j) Exempel. Låt A = A = = = 0

12 Determinanter och ekvationssystem Korollarium Låt A vara en n n-matris och T en trappstegsmatris sådan att A T. Då gäller att A 0 T 0 Sats Låt A vara en n n-matris. Följande påståenden är ekvivalenta: A 0 A är inverterbar Matrisekvationen AX = Y har entydig lösning för alla n 1-matriser Y. Matrisekvationen AX = 0 har endast den triviala lösningen, X = 0. rang A = n A är radekvivalent med enhetsmatrisen

13 Korollarium Determinantkriteriet (A) 0 Ekvationssystemet AX = Y är entydigt lösbart för alla högerled Y. A = 0 Ekvationssystemet AX = Y saknar lösning eller har oändligt många lösningar. Exempel För vilka a ekvationssystemet är entydigt lösbart x + y + z = 1 2x + ay + 2z = 0 x + 3y + 2az = 1 Lösning. Söker erminanten först: a a = a 2 3 2a a + 2 a 1 3 = 2a2 5a + 2 = (2a 1)(a 2) För all a 2 och a 1 matrisen A är inverterbar så att systemet har entydigt lösning 2 Om a = 2 x + y + z = 1 x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 0 x + y + z = 0 har ingen lösning x + 3y + 4z = 1 x + 3y + 4z = 1 Om a = / ~ / ~ / har oändligt många lösningar

14 Transponering och produktlagen Sats (Transponering). Låt A vara en n n-matris. Då gäller att A t = A. Sats Låt A och B vara en n n-matriser. Då gäller att AB = A B Korollarium Låt A vara en inverterbar n n- matris. Då gäller att A 1 = 1 A

15 Geometriska tolkningar Vektorprodukten kan skrivas som en erminant:

16 Geometriska tolkningar Area av parallellogram i planet Även volymprodukten kan skrivas som en erminant