Avsnitt 4, Matriser ( =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Avsnitt 4, Matriser ( ="

Transkript

1 Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( ( och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den första matrisen vara lika med antalet rader i den andra matrisen Om vi skriver matrisernas storlekar under matriserna i produkten A B så ska alltså de inre indexen vara lika vilket de är i detta fall Produktmatrisen kommer har samma storlek som de yttre indexen dvs A B a Matrismultiplikationen går till som så att rader i den första matrisen multipliceras med kolumner i den andra matrisen ( ( ( ( -elementet i produktmatrisen är produkten av rad och kolumn ( ( ( De övriga elementen får vi genom att multiplicera ihop raden som har sammar radnummer som elementet med kolumnen som har samma kolumnnummer som elementet ( ( ( Alltså är ( ( ( ( ( ( ( ( ( 7 8 c Matrisprodukten räknar vi ut på samma sätt som i a-uppgiften ( ( ( ( + ( ( ( ( 7 ( ( + ( ( ( ( ( ( ( ( ( + ( ( ( ( W a Beräkna ( b Visa att för matriserna ( ( och är endast den ena av de båda möjliga produkterna definierade Beräkna denna

2 a Den vänstra matrisen har storleken och den högra Matrismultiplikationen är alltså möjlig eftersom antal rader i den vänstra matrisen är lika med antal kolumner i den högra matrisen De inre indexen överensstämmer Produkten har samma storlek som de yttre indexen dvs Vi får produktmatrisen genom att multiplicera raden med kolumnerna ( ( + ( + ( ( b Sätt ( ( A ( + ( ( + ( ( ( och B ( Matrisen A har storleken och matrisen B har storleken Detta gör att produkten medan A B B A inte är möjlig är möjlig Produkten får vi som vanligt genom att multiplicera rader med kolumner ( ( ( + ( ( ( ( 9 + ( ( ( 9 9 ( + ( ( ( 9 W7 Beräkna AB då a A B b A B Eftersom båda matriserna är är deras produkt definierad Vi får produkten genom att multiplicera rader med kolumner a ( + ( + ( ( ( + + ( ( + ( + ( + ( ( + + ( + ( + ( + ( ( ( + + (

3 d + ( ( + ( ( + ( + ( + ( + ( ( ( + + ( + ( + ( ( ( ( + + ( + ( + ( ( + + ( ( + + ( ( ( + + ( 7 + ( + + ( + 7 ( 8 + ( + ( 8 + ( Notera att AB BA Den kommutativa lagen gäller inte för matrismultiplikation W8a Beräkna AB och BA då A och B 6 7 Vi får AB 6 7 BA ( + ( ( ( + ( ( ( + 7 ( 6 ( ( ( ( ( 6 + ( ( + 6 W Beräkna för matriserna ( A a A AA b B BB c (A + B d A + AB + B och e A + AB + BA + B och B f Jämför resultaten i c- d- och e-uppgiften ( Matrismultiplikation ger ( ( a A AA ( + ( + ( + ( ( + ( ( b B BB ( ( ( + ( + ( ( + ( + ( ( ( 7 7 ( 6 9 9

4 (( ( c (A + B + ( ( ( ( ( ( Vi har att ( ( ( ( + + ( AB ( ( + ( + ( ( 8 ( ( ( ( + ( ( + BA + ( ( + ( ( 9 och då är ( ( ( d A + AB + B ( ( ( ( ( A + AB + BA + B ( ( ( f Från c- och d-uppgiften ser vi att (A + B A + AB + B dvs den vanliga kvadreringsregeln gäller inte utan kvadreringsregeln för matriser blir (A + B A + AB + BA + B just pga att AB BA i allmänhet Wa Beräkna AB och BA då A 6 och B ( Matrisen A har storleken och B är Produkten AB A B har därför storleken Matrisen BA B A får storleken Rader multiplicerat med kolumner ger AB 6 ( + ( ( + ( + ( + ( ( + ( + ( ( + 6 ( ( + 6 ( ( BA 6 ( + ( + ( ( + ( ( ( ( + ( + 6 (

5 W Låt A B ( Beräkna var för sig matriserna (ABC och A(BC och C ( W Visa att för matriserna ( A och X ( gäller AX XA E där E är enhetsmatrisen av ordning Vi har AB ( ( (ABC ( ( BC ( ( ( A(BC Vi ser alltså att (ABC A(BC Denna likhet gäller i allmänhet och kallas för den associativa lagen Matrismultiplikation ger ( ( AX ( + ( + ( vilket visar att AX XA E ( inverser W7b Visa att matrisen A ( + ( + ( Matriserna A och X är alltså varandras 7 8 Matrisen B är en invers till A om den uppfyller AB BA E har inversen B Vi undersöker om detta är uppfyllt AB 7 8 ( ( 8 + ( ( ( 8 + ( 7 + ( 8 + ( ( + + ( + + (

6 BA ( ( + + ( ( + + ( ( + Alltså har vi visat att B uppfyller ( varför B är A ( ( ( ( ( ( Alltså är Y B A + ( + ( + ( + ( ( + + ( + + ( ( + + ( ( ( + ( ( ( + d Vi högermultiplicerar båda led med B W Låt A och B Lös med hjälp av resultaten i uppgift 7 matrisekvationerna c BY A och d Y B A c Genom att vänstermultiplicera båda led med B fås B B Y B A E Y B A Y B A I uppgift 7a visas att inversen till matrisen B är B Y BB AB Y E AB Y AB vilket ger Y AB + ( ( + ( + + ( + ( ( + ( + + ( + ( ( + ( + + ( ( + + ( ( + +

7 W Beräkna (AB t A t B t och B t A t då A ( och B När vi transponerar en matris blir raderna i ursprungsmatrisen kolumner i den transponerade matrisen A t B t ( ( Vi får nu att ( A t B t ( ( ( 8 6 ( B t A t ( ( ( + + ( Med transponeringsreglerna har vi att (AB t B t A t ( W Beräkna då matriserna A och B är givna enligt nedan dels matriserna AB och BA dels var för sig talen det(ab det(ba och ( det A (det B samt kontrollera att dessa är lika a ( ( A B b A B a Vi börjar med att bestämma matrisprodukterna ( ( AB ( ( ( + ( + 8 ( ( BA ( ( + ( + + ( + Determinanterna blir det(ab ( 7 ( 8 det(ba ( ( det A ( det B ( ( det A det B Nu ser vi att det(ab det(ba ( det A (det B

8 b Matrisprodukterna blir AB BA + ( + + ( ( ( ( + + ( ( + ( + ( + ( + ( + ( ( ( + ( ( + ( + ( + + ( ( + + ( ( + ( + + ( 6 Vi ska beräkna determinanterna med tre olika metoder Metod (Sarrus regel och dra ifrån vänsterdiagonalprodukterna det(ab ( ( + ( + 6 ( ( 8 ( det(ba ( 6 + ( ( + ( ( ( ( ( 6 ( ( det A ( + ( det B ( ( + ( + ( ( ( ( det A ( det B ( 7 77 När vi beräknar en determinant med Sarrus regel tar vi de två första kolumnerna och placerar kopior av dessa till höger om determinanten Determinantens värde får vi sedan genom att lägga ihop högerdiagonalprodukterna Alltså har vi visat att det(ab det(ba ( det A (det B Observera att Sarrus regel gäller endast för -determinanter

9 Metod (Kofaktorutveckling Vi kan välja att kofaktorutveckla en determinant längs en rad eller en kolumn i determinanten Om vi börjar med determinanten det(ab 8 6 så väljer vi först en rad eller en kolumn tex den andra kolumnen Varje element i kolumn ger upphov till en minorterm i utvecklingen 6 + ( 8 (6 ( ( + ( (8 ( (8 ( ( ( ( Tecknet framför varje term får vi från tecken-matrisen 8 6 man väljer en rad/kolumn med många nollor i sig det(ba 6 + ( + 6 (( ( ( ( ( ( ( + 6 ( ( ( ( ( ( + 6 ( 7 77 det A + + ( ( + (( 7 det B + ( ( + ( ( ( ( ( + ( ( 7 ( ( det A ( det B ( och minorerna är de determinanter som uppstår när vi stryker den rad och den kolumn som motsvarande element ingår i De andra determinanterna räknar vi ut på motsvarande sätt genom att välja en rad eller en kolumn att utveckla längs Räkningarna blir lite enklare om Alltså har vi visat att det(ab det(ba ( det A (det B Metod (Radoperationer Med hjälp av radoperationer kan vi skriva om en determinant till en triangulär determinant vars värde är produkten av diagonalelementen Vid varje radoperation ändras determinantens värde enligt reglerna A A A a A a (där a A A

10 Det första steget är att vi ser till att få nollor under ( -elementet det(ab Vi valde alltså att addera multiplar av första raden till rad och för att få nollor under ( :an Sedan går vi till nästa diagonalelement ( och utför en radoperation för att få en nolla under elementet ( 8 8 ( 8 77 Vi har nu en triangulär determinant med produkten av diagonalelementen som värde 8 ( De andra determinanterna räknar vi ut med samma strategi det(ba 9 det A det B 6 7 ( ( ( ( ( det A ( det B 7 77 Vi har alltså visat att det(ab det(ba ( det A (det B - +

11 W6 Beräkna på enklaste sätt talen det A det B och det(aba för matriserna A och B i uppgift a a och b b W8 Visa att följande matriser är inverterbara och bestäm inversen: ( 6 a ( b 8 Determinantreglerna ger att det A det(aa ( det A ( det A ( det A det B det(bbb ( det B ( det B ( det B ( det B det(aba det(ab det A Från uppgift har vi att a det A det B det(ab b det A 7 det B det(ab 77 Alltså är a det A det B det(aba b det A ( 7 9 det B det(aba 77 ( 7 9 En matris är inverterbar om dess determinant är skild från noll Vi har att a 6 b Alltså är båda matriserna inverterbara Inversen bestämmer vi med adjunktformeln A ( T +M M det A M +M där M M M och M är matrisens minorer a M 6 M 6 M 6 6 M 6 b M 8 8 M 8 M 8 M 8 Inversen är alltså a A ( 6 b A ( 8 T ( 6 T ( 8

12 W För vilka tal k har matrisen A + kb en invers om A ( Bestäm (A + kb för dessa k och B (? W Skriv följande ekvationssystem i matrisform och lös dem sedan med hjälp av koefficientmatrisens invers: x + y a x + y c x + y x y 6 Matrisen A + kb är ( A + kb ( + k ( + k + k + k ( + k ( k k k k + och den har en invers när determinanten är skild från noll dvs när det(a + kb k k k k + k(k + (k ( k k 6k + Denna andragradare har rötterna k och k Alltså är matrisen A + kb inverterbar när k och k Inversen ges av adjunktformeln (A + kb det(a + kb ( T +M M M +M där M k k k k + k + M k k k k + k M k k k k + k M k k k k + k Alltså (A + kb k 6k + ( k + k k k a De två uttrycken i vänsterledet kan skrivas som ( ( ( x + y x x + y y Elementen i matrisen är koefficienterna framför x och y Ekvationssystemet kan alltså skrivas som matrisekvationen ( ( ( x y Om koefficientmatrisen är inverterbar ger vänstermultiplikation med inversen att ( ( ( x y Matrisen är inverterbar om dess determinant är skild från noll Vi har att Alltså finns inversen Vi kan bestämma inversen med snabbformeln : delat med determinanten framför matrisen diagonalelementen byter plats och de andra två elementen byter tecken Alltså Lösningen är ( ( ( x y ( ( (

13 c Vi får ekvationssystemet i matrisform genom att skriva om vänsterledet som en matrisprodukt ( ( ( x y 6 Koefficientmatrisens determinant är ( 9 varför matrisen är inverterbar och ekvationssystemet har lösningen ( ( ( x y ( ( ( ( ( + ( ( är skild från noll Med andra ord när a och a (som är determinantpolynomets rötter Enligt Cramers regel har ekvationssystemet lösningen a a ( a(a ( ( x a a + a 6 a a a + a 6 a + a 6 a a a y a a a a + a + a 8a + a + a 6 a 6 a + a ( ( a(a a + a 6 där vi får täljardeterminanterna genom att i koefficientmatrisen ersätta kolumnen som svarar mot variabeln med högerledet W7a Lös med hjälp av Cramers regel ekvationssystemet ax y a (a x + (a y för alla värden på parametern a då detta är möjligt Vi skriver först ekvationssystemet i matrisform ( ( a x a a y ( a Cramers regel kan användas när koefficientmatrisen är inverterbar dvs när determinanten a a a a(a ( (a a + a 6

14 W9 Lös ekvationssystemen a x + y + z x + y + z x + y + z c x + y z x y + z 9 x + y + z med gausselimination a Vi skriver ekvationssystemet i ett räkneschema I den vänstra delen har vi skrivit upp koefficienterna framför x y och z i respektive kolumn I schemats högra del finns ekvationssystemets högerled Det första steget i gausselimineringen är att utföra radoperationer så att vi får en :a i övre vänstra hörnet Eftersom vi redan har en :a där behöver inget göras Nästa steg är att få nollor under :an Sedan övergår vi till nästa diagonalelement och utför en radoperation så att vi får en :a där Vi utför nu radoperationer så att övriga element i samma kolumn blir noll - När den andra kolumnen är avklarad övergår vi till det tredje diagonalelementet Det är redan så vi behöver inte utföra någon radoperation för att få detta

15 Det sista steget är att radreducera uppåt så att vi får nollor ovanför :an - - Nu är vi klara och det är bara att avläsa lösningen Enklast är nog att översätta tillbaka till ekvationsformen dvs c Vi ställer upp räkneschemat x + y + z x + y + z x + y + z x y z Från sluttablån kan vi avläsa lösningen x y z 9 Räknegången är precis densamma som i a-uppgiften 9 9 -

16 W Lös ekvationssystemen a x y + z x y + z x + y + z b x y + z 6 x y + 7z x + y z med gausselimination a Vi kan börja med att slå ihop de första två stegen (att få en :a i övre vänstra hörnet och nollor därunder Notera att radoperationerna utförs i den ordning de står (från vänster till höger I de följande stegen gör vi samma typ av rationalisering c Vi gausseliminerar som i a-uppgiften Lösningen är x y z Lösningen är alltså x y z

17 W Lös följande ekvationssystem a x + y 8z x y + z x + y z c x + y z x + y z med gausselimination a Vi sätter igång och gausseliminerar Här har vi nått sluttablån Den sista raden lyder Vi kan alltså beskriva alla lösningar till systemet genom att använda z som parameter c Vi gausseliminerar x t y t z t (t parameter 8 Denna sluttablå är av samma typ som i a-uppgiften Vi ringar in de ledande :orna 8 x + y + z dvs vilket är en trivialitet Vi kan alltså stryka den sista raden De andra två raderna lyder x z y z Detta system har oändligt många lösningar För varje värde på z får vi x- och y-värden som ger en lösning enligt x z y z Övriga variabler får fungera som parametrar dvs z Lösningarna är x + 8t y t (t parameter z t i detta fall

18 W Bestäm antalet lösningar N till följande system b x + y ax x + y ay c x y + z a x y + z x y för alla värden på parametern a värde först Sarrus regel ger att ( + ( + ( ( ( ( + + Chansningen gick alltså inte hem Vi sätter istället igång och gausseliminerar b Vi samlar först variablerna i ena ledet ( ax + y x + ( ay Eftersom högerledet är noll är systemet homogent och då finns alltid den triviala lösningen x y Om koefficientmatrisen dessutom är inverterbar är detta enda lösningen Detta inträffar då a a ( a( a a a a och a a a a a a a a + När a eller a är koefficientmatrisens determinant lika med noll och systemet har oändligt många lösningar (parameterlösning Svaret blir alltså N när a och a N när a och a c Ekvationssystemet blir i matrisform x a y z Om koefficientmatrisens determinant är skild från noll är matrisen inverterbar och då finns det exakt en lösning Vi undersöker därför determinantens Den sista raden i tablån lyder a Talet a måste alltså vara noll för att systemet ska ha någon lösning När a ges lösningen av x t y t z t (t parameter dvs vi har oändligt många lösningar Svaret blir N när a och N när a

19 W Undersök för vilka värden på konstanterna a och b som ekvationssystemet x + y + z x y + z b x y + az har precis en lösning flera olika lösningar respektive ingen lösning I de fall då lösningar finns skall dessa också bestämmas Vi gausseliminerar systemet och ser vad som händer b a b a b + b + a b - där c b + b + a ab + a + b a d b + + b + a ab + a + b 7 a Alltså finns exakt en lösning x c y d z b + a a b : Sista raden i ekvationssystemet lyder då b vilket inte är uppfyllt och systemet saknar därmed lösning a b : Sista raden är då en nollrad som kan strykas Resten av ekvationssystemet blir och har oändligt många lösningar x t + y t + z t Beroende på värdet av a och b får vi olika fall: a : I detta fall kan vi slutföra gausseliminationen b + b + a b + b + b + b+ a c d b+ a - W Visa att skärningslinjen mellan planen x y z + och x + y + z är parallell med planet x + 7y z + genom att söka lösningar till det system som bildas av de tre ekvationerna Planen i uppgiften bildar ekvationssystemet x y z x + y + z x + 7y z

20 Situationen i uppgiften uppstår om koefficientmatrisen har rang (ett av fallen eller på sid i kursboken och det får vi redan på genom att gausseliminera matrisen 7 Eftersom vi har två ledande ettor är rangen - och radreducera matrisens vänstra hälft till E I den reducerade matrisens högra hälft har vi då A (A E (E A Om vi inte kan radreducera A till E saknar A invers Vi bestämmer alltså inversen samtidigt som vi kontrollerar att inversen finns e W6 Visa att matriserna 6 e 6 8 f 6 är inverterbara och bestäm inversen med Jacobis metod Vi bestämmer inversen till matrisen A genom att ställa upp matrisen (A E f 6 -

21 Alltså existerar inverserna och är e respektive f W Lös matrisekvationen AX A t där A Sarrus regel ger att ( ( + + ( ( ( ( Alltså är A inverterbar och vi får lösningen till matrisekvationen genom att vänstermultiplicera med A X A A t Vi kan beräkna denna produkt med räkneschemat (A A t (E A A t Vi får Alltså är lösningen X A A t

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen? Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 bild 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 3 Omfattning och Innehåll Lay: 3.1-3.3 Determinanter. Definition, räkneregler och ett par viktiga satser. Huitfeldt: Om lösningsnoggrannhet: vektornorm, matrisnorm bild

Läs mer

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0

Objective:: Linjärt beroende och oberoende version 1.0 DEFINITIONEN AV LINJÄRT BEROENDE MED EXEMPEL Objective:: Linjärt beroende och oberoende version. Definitionen av linjärt beroende med exempel Vi börjar med ett inledande exempel för att motivera definitionen

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Begrepp :: Determinanten

Begrepp :: Determinanten c Mikael Forsberg 2008 1 Begrepp :: Determinanten Rekursiv definition :: Kofaktorutveckling Låt oss börja definiera determinanten för en 1 1 matris A = (a). En sådan matris är naturligtvis bara ett vanligt

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I

Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd är att räkna upp de elementen i mängden, tex Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK Mat-11510 Grundkurs

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I G. Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G. Gripenberg (TKK) Mat-1.1510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på denna för att

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Matematiska Institutionen, KTH Typsatt med L A TEX 2ε och TikZ Kompilerad 8 september 2014 Inledande ord Detta häfte är baserat på en föreläsningsserie

Läs mer

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic

Tentamen i Matematik 1 HF aug 2012 Tid: Lärare: Armin Halilovic Tentamen i Matematik HF70 6 aug 0 Tid: 3. 7. Lärare: Armin Halilovic Hjälpmedel: Formelblad (Inga andra hjälpmedel utöver utdelat formelblad.) Fullständiga lösningar skall presenteras på alla uppgifter.

Läs mer

Laboration: Vektorer och matriser

Laboration: Vektorer och matriser Laboration: Vektorer och matriser Grundläggande om matriser Begreppet matris är en utvidgning av vektorbegreppet, och det används bl a när man löser linjära ekvationssystem. Namnet Matlab står för MATrix

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A

Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A Problem om asbyte Mikael Forsberg, 8 februari 0 Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte.. Vi har baserna A och, givna som kolonnerna till matriserna T-00 A

Läs mer

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet

En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet En kortfattad redogörelse för Determinantbegreppet Göran Starius, goran@chalmers.se Matematiska vetenskaper Chalmers/GU 2009 1 Introduktion Vi skall till varje kvadratisk matris A ordna ett tal, som kallas

Läs mer

Mat Grundkurs i matematik 1, del I

Mat Grundkurs i matematik 1, del I Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I G Gripenberg TKK 8 oktober 2009 G Gripenberg (TKK) Mat-11510 Grundkurs i matematik 1, del I 8 oktober 2009 1 / 47 Mängder Det enklaste sättet att beskriva en mängd

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 2013-03-27

MA2004 Tillämpad Matematik II, 7.5hp, 2013-03-27 MA00 Tillämpad Matematik II,.hp, 0-0- Hjälpmedel: Räknedosa! Tänk på att dina lösningar ska utformas så att det blir lätt för läsaren att följa dina tankegångar. Ofullständiga lösningar, eller lösningar

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg

Version 0.82. Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium. Mikael Forsberg Version.8 Linjär algebra kapiltet från ett ODE-kompendium Mikael Forsberg 8 Den här boken är typsatt av författaren med hjälp av L A TEX. Alla illustrationer är utförda av Mikael Forsberg med hjälp av

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar. TM-Matematik Mikael Forsberg 7 Linjär algebra/matematik för ingenjörer maa, maa 5 6 Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel förutom pennor, sudd, linjal, gradskiva. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjär Algebra. Roy Skjelnes. Matematiska Institutionen, KTH.

Linjär Algebra. Roy Skjelnes. Matematiska Institutionen, KTH. Linjär Algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Matematiska Institutionen, KTH. Inledande ord Detta häftet är baserad på en föreläsningsserie jag gav 2010-2011. Varje kapitel tillsvarar en

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden

Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden Matematiska institutionen Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Version 359 Ekvationssystem, Matriser och Eliminationsmetoden - En inledning Ekvationssystem - matrisformulering Vi såg att

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 1 LMA515c - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna studioövning börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Anders Johansson Linjär algebra och geometri I för Energi, Ma-kand., Frist. Höstterminen 2010 Kurslitteratur H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra

Läs mer

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA123 Algebra för ingenjörer Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

5.7. Ortogonaliseringsmetoder

5.7. Ortogonaliseringsmetoder 5.7. Ortogonaliseringsmetoder Om man har problem med systemets kondition (vilket ofta är fallet), lönar det sig att undvika normalekvationerna vid lösning av minsta kvadratproblemet. En härtill lämplig

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift Vecka ALA-c 6 Innehåll Linearization and Stability RÄKNEÖVNING VECKA. Uppgift 9........................................ Uppgift 9.5...................................... 5 Egenvärdesproblemet 9. Uppgift

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 2011.08.11 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

MAA123 Grundläggande vektoralgebra Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation MAA123 Grundläggande vektoralgebra Tentamen 10.08.25 08.30 11.30 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng:

Läs mer

Matriser och vektorer i Matlab

Matriser och vektorer i Matlab CTH/GU LABORATION 3 TMV206-2013/2014 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Matriser och vektorer i Matlab I denna laboration ser vi på hantering och uppbyggnad av matriser samt operationer på matriser En

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer