x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

Transkript

1 Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z 3 2z y 4 11x 3y 5 Vi får A x Vi vet nu att för att lösa ut x utför vi följande steg x y z A x b A 1 A x A 1 b E x A 1 b x A 1 b b Om vi har A 1 så får vi lösningen genom matrismultiplikationen A 1 b. Ekvationssystemet ovan har lösningen x 1,y 2 och z 3, vilket du lätt kan kontrollera. Om jag nu svänger mitt trollspö och påstår att: A så ska vi alltså få ut lösningen om vi utför multiplikationen x y z Vi ser alltså att om A 1 är känd är det enkelt att lösa ett ekvationssystem, med endast en matrismultiplikation. Men hur löser man ekvationssystemet om man inte har något trollspö? Det bästa metoden är säkert Gausselimination. Handlar det om ett linjärt ekvationssystem med två obekanta får vi A2 2 och då har vi en snabbmetod för att få tag i A a11 a A 12 a 21 a 22 A 1 1 a22 a 12 a 11 a 22 a 12 a 21 a 21 a 11 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 Men nu gäller det A3 3 och hur man kan beräkna A 1. Den metod vi ska använda oss av här heter Jacobis metod. Om en stund ska vi beräkna inversen till den inledande A, men vi startar med att använda metoden på en matris B B 2 5 Vi ställer upp följande schema [ Till vänster om det vertikala strecket har vi den matris vi vill invertera och till höger en E2 2. Vårt mål är nu att med samma teknik som vid Gausselimination komma fram till [ ] 1 0?? 0 1?? Det som kommer att hamna på frågetecknens plats är just B 1. Vi multiplicerar rad 1 med 2 och rad 2 med 3 och får [ ] Addera rad 1 till rad 2 [ Addera 14 rad 2 till rad 1 ] [ Dividera rad 1 med 6 och rad 2 med 1 [ Vi är framme och resultatet är inte överraskande. Vi visste ju redan att B Nu över till den verkliga utmaningen: Beräkna inversen till A På liknande sätt får vi nu med Jacobi Multiplicera rad 1 med 11 och rad 3 med ] ] ] Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Addera rad 1 till rad Multiplicera rad 2 med 5. Addera sedan rad 2 till rad Multiplicera rad 2 med 11 och rad 1 med Addera rad 2 till rad Addera 110 rad 3 till rad 2 och addera 55 rad 3 till rad Dividera rad 1 med 110 och rad 2 med Vi har lyckats! Till höger ser vi nu den invers vi redan kände till. För att vara säker på att man räknat rätt kan man så utföra A 1 A E. För den som ytterligare vill fördjupa sig i att ta fram inverser till 3 3-matriser finns se Föreläsning 15 sidorna 10, 14 en annan metod och 15. Dessutom förekommer inverser på tentorna T uppg 6 och T uppg 4 Så här tar jag reda på inversen till en matris, om jag nu händelsevis skulle behöva. Med hjälp av programmet Mathematica skriver jag a{{2,-1,1},{0,-1,2},{11,-3,0}}; Inverse[a] {{6,-3,-1},{22,-11,-4},{11,-5,-2}} Först definierar jag matrisen a sedan ber jag datorn att räkna ut inversen. Resultatet presenteras direkt raden under kommandot. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Ett antal typproblem Här presenteras ett antal typproblem med punkter, linjer och plan inblandade. Tanken är att du, för vare problem, ska ställa upp en arbetsplan som leder fram till målet. 1 Givet två punkter i rummet. Eftersökt linjens ekvation. 2 Givet tre punkter i rummet. Man vill veta om de befinner sig på samma linje 3 Givet två punkter som ligger på samma linje och dessutom två punkter som ligger utefter en annan. Man vill veta om linjerna skär varandra. 4 Givet tre punkter. Eftersökt planets ekvation på parameterform 5 Givet tre punkter. Eftersökt planets ekvation på normalform 6 Givet ekvationen till två linjer. Man vill veta om linjerna är parallella 7 Givet tre punkter som ligger i ett plan och två punkter som ligger på en linje. Eftersökt linjens skärningspunkt med planet. 8 Givet två plan som inte är parallella. Eftersökt vinkeln mellan planen 9 Givet ekvationerna till två linjer. Eftersökt vinkeln mellan linjerna 10 Givet ekvationen till två linjer. Finns det ett plan som innehåller båda linjerna? 11 Givet tre punkter och en fjärde punkt med en obekant. Bestäm den obekanta så att alla fyra punkterna ligger i samma plan. 12 Givet en punkt och ett plan. Bestäm kortaste avståndet mellan punkten och planet. 13 Givet en linje och en punkt. Bestäm kortaste avståndet mellan punkten och linjen. 14 Givet två linjer. Bestäm kortaste avståndet mellan linjerna. 15 Givet två parallella plan. Bestäm avståndet mellan planen. 16 Givet ekvationen till ett plan på parameterform. Bestäm ekvationen på normalform. 17 Givet ett plan och en linje. Ta reda på om linjen är parallell med planet. 18 Bestäm om linjen genom två givna punkter är vinkelrät mot en given linje. 19 Givet normalvektorn till ett plan och en punkt som ligger i planet. Bestäm planets ekvation på normalform. Läsanvisningar inför tentamen I princip ska man kunna allt stoff som var aktuellt inför KS1. Jag upprepar det men nu i någon form av prioritetsordning tillsammans med det stoff som tillkommit efter KS1 Skalärprodukt Läs om detta i: Vinkeln mellan två vektorer Föreläsning 5, Kokboken 1 sid Projektioner Föreläsning 5, Kokboken 1 sid Determinant Läs om detta i: Föreläsning 6 Vektorprodukt Läs om detta i: Föreläsning 6 Arean av en parallellogram Föreläsning 6, Kokboken 1 sid 41 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Arean av en triangel Föreläsning 6 Volymen av en parallellepiped Föreläsning 6 Punkter, Linjer och Plan Läs om detta i: Behärska de 19 typproblemen på föregående sida. Kokboken 1 sid 19-23, 26-27, 32-40, Föreläsning 9-12 Linjära ekvationssystem Läs om detta i: Föreläsning 4 Lösta uppgifter finns på hemsidan under rubriken Mer om ekvationssystem Kokboken 2 sid och Matrisekvationer Föreläsning 14 Kokboken 2 sid 6-10 Invers till matris 3 3 Läs om detta i: Föreläsning 15 Föreläsning 16 Kokboken 2 sid Vektorer Läs om detta i: Koordinater i rummet Avståndsformler i 2D och 3D Föreläsning 3 Addition av vektorer Föreläsning 3 Längd av vektor Föreläsning 3 Räkneoperationer på vektorer Föreläsning 3 Normerad vektor Föreläsning 3 Olikheter och Absolutbelopp Läs om detta i: Föreläsning 1 Lösta uppgifter finns i slutet av Föreläsning 4 Kokboken 1 sid 6-14 Polynomdivision Läs om detta i: Föreläsning 2 Faktorsatsen Läs om detta i: Föreläsning 2 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Extra 1. Lös ekvationen då A 1 1 A B A B Lösning: Vi startar med att få X fritt Vi bestämmer och så till sist A 1 A B A A 1 A A 1 B A A 1 B A Extra 2. Lös ekvationen X+ 2 x Lösning: Här gäller det att se att X är en kolumnvektor! Vi får då 1 1 x x1 +x 2 2x 1 +3x Vi får ett ekvationssystem som man kan lösa i huvudet x 1 1,x 2 0 Extra 3. Lös ekvationen då A Lösning: Vi startar med att få X fritt 1 1 XA 2A+B B XA 2A+B XAA 1 2A+BA 1 2A+BA Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Vi bestämmer och så till sist A Extra 4. För vilka värden på a har A en invers då 2 a 3 A 4 a Lösning: Invers saknas då determinanten 0 2 a 3 det A 4 a a a 15a 2 20a 90 0 Vi får en andragradsekvation med rötter a 1 2 och a 2 3. Detta betyder att matrisen har en invers så länge a 2 och a 3 Extra 5. Visa att B A 1 då A B Lösning: Om vi får E då vi beräknar AB. Även BA ska ge enhetsmatrisen, men vi kollar bara en! Extra 6. Lös matrisekvationen då A AXA BA B 1 2 Lösning: Först löser vi ekvationen symboliskt för att minimera arbetet AXA X X BA A 1 BAA 1 A 1 B Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Nu är det dags att bestämma det A Vi kan direkt skriva ned A 1 A Återstår så att bestämma A 1 B som är liktydigt med svaret A B Extra 7. Lös ekvationen x 2 1 x 1 x 2 0 x 1 x x 1 x 1 Lösning: Först beräknar vi den vänstra determinanten x 2 1 x 1 x 2 0 x x2 +4x 2 sedan den högra de två resultaten bildar ekvationen Svar: x 1 0 och x x x 1 x 1 Extra 8. Bestäm a så att de två planen skär varandra under rät vinkel. 6x 2 x 2 +4x 2 6x 2 x 2 +2x 0 x 1 0 x 2 2 ax+3y+z+10 0 x+ay 4z+12 0 Lösning: Planen har normalvektorerna n 1 a,3,1 respektive n 2 1,a, 4. Svar: a 2 a,3,1 1,a, 4 0 a+3a 4 0 2a 4 a 2 Extra 9. Ta reda på för vilka värden på a ekvationssystemet ax+ay+z 1 x+az 1 x+2y+z 1 har Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Entydig lösning Oändligt många lösningar Ingen lösning Du behöver inte ange lösningarna Lösning: a a a Ger ekvationen a 2 +a 2 0 med rötterna a 2 och a 1. Vi vet nu att systemet har entydig lösning då a 2 och a 1. Återstår att undersöka två fall Fall I: a 2. Vi får totalmatrisen där vi passar på att byta plats på rad 1 och rad Addera 1 gånger rad 1 till rad 2 Addera 2 gånger rad 1 till rad Addera rad 2 till rad Från detta sluter vi oss till att systemet saknar lösning då a 2 Fall II: a 1. Vi får totalmatrisen Addera 1 gånger rad 1 till rad 2 Addera 1 gånger rad 1 till rad Addera 1 gånger rad 2 till rad Från detta sluter vi oss till att systemet har oändligt många lösningar för a 1 efter linjen x,y,z 1 t,0,t Svar: a 1 oändligt antal lösningar. a 2 ingen lösning. För övrigt entydig lösning. Håkan Strömberg 9 KTH Syd