14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "14 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra"

Transkript

1 14 september, 2016 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess lösningar Uppgift Reducera följande totalmatris till reducerad trappstegsform med Gauss- Jordaneliminering Uppgift Följande linjära ekvationssystem är givet x 1 + x 2 + 7x 2 = 7 2x 1 + 3x x 3 = 16 x 1 + 2x 2 + (a 2 + 1)x 3 = 3a a Bestäm ett värde på a så att systemet saknar lösningar b Bestäm ett värde på a så att systemet har minst en fri variabel samt bestäm systemets lösning(ar) c Bestäm ett värde på a så att systemet har en unik lösning Bestäm systemets lösning för värdet på a IDAG 1 Följande tabell av reella tal kallas för en n k-matris n 1-matrisen a 11 a 21 a n1 är en (kolonn)vektor i Rn 1

2 2 1 k-matrisen a11 a 12 a 1k är en (rad)vektor En matris kallas för en kvadratisk matris om antalet av rader är lika med antalet kolonner (n = k) Följande n n-matris kallas för identitetsmatrisen och betecknas med I n Vad kan vi göra med matriser? I n = Om två matriser har samma storlek kan vi addera (eller subtrahera) dem Låt A och B vara n k matriser (n rader och k kolonner) b 11 b 12 b 1k b 21 b 22 b 2k B = b n1 b n2 b nk a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1k + b 1k a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2k + b 2k A + B = a n1 + b n1 a n2 + b n2 a nk + b nk a 11 b 11 a 12 b 12 a 1k b 1k a 21 b 21 a 22 b 22 a 2k b 2k A B = a n1 b n1 a n2 b n2 a nk b nk Vi kan multiplicera en matris med ett reellt tal c ca 11 ca 12 ca 1k ca 21 ca 22 ca 2k c ca n1 ca n2 ca nk Vi kan ta transponatet av en n k-matris A och få en k n-matris A T a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a nk A T = a 1k a 2k a nk

3 Notera att den i-te raden i A T är lika med den i-te kolonnen i A och den i-te kolonnen i A T är lika med den i-te raden i A Exempel: a 1 a 2 a n T = a 1 a 2 a n 3 och: a1 a 2 a n T = a 1 a 2 a n 3 Uppgift Låt Beräkna A + B, B + A och 3A 2B B = Läs om kommutativa och associativa lagar för addition, Sats 321 i Anton & Busby 4 Matrismultiplikation Låt A vara en n k-matris R 1 R 2 R n = där R i = a i1 a i2 a ik är den i-te raden i A Låt B vara en k m-matris, B = B 1 B 2 B m = b 11 b 12 b 1m b 21 b 22 b 2m b k1 b k2 b km

4 4 där B i = b 1i b 2i b ki är den i-te kolonnen i B Notera att för alla i och j så är B i och R T j vektorer i R k Det betyder att vi kan beräkna skalärprodukten mellan dem, R T j B i Matrismultiplikationen mellan A och B är den n m matris som ges av AB = R 1 R 2 R n B1 B 2 B m = R1 T B 1 R1 T B 2 R1 T B m R2 T B 1 R2 T B 2 R2 T B m Rn T B 1 Rn T B 2 Rn T B m Vad gäller för storleken på matriserna A och B för att multiplikationen mellan A och B ska vara definierad? 5 Uppgift Låt: B = Är matrismultiplikationen AB definierad? Är matrismultiplikationen BA definierad? I det fall den är definierad, beräkna produkten 6 Uppgift Låt Beräkna AB, BA, BC och CB B = Uppgift Låt A vara n k matris Bevisa att: I n A där I n och I k är identitet matriser AI k = A C = Notera att Att produkten AB är definierad är ingen garanti för att BA är definierad Både AB och BA kan vara definierade men de kan ha olika storlek Både AB och BA kan vara definierade men AB är inte nödvändigtvis lika med BA

5 8 Proposition (Se Sats 322 och Sats 3210 i Anton & Busby) Låt A och D vara n k-matriser, låt B vara en k m-matris och C vara en m l-matris Då gäller bland annat följande (1) (AB)C = A(BC) Vilken storlek har den resulterande produkten? (2) (A + D)B = AB + DB (3) (A T ) T = A (4) (AB) T = B T A T (5) (A + D) T = A T + D T (6) (A D) T = A T D T (7) (ca) T = c(a T ) 9 Matrismultiplikation och linjära ekvationer Betrakta en n k-matris A och en k 1-matris x: Matrismultiplikationen A x ges av a A x = 21 a 22 a 2k x 1 x 2 x k = x = x 1 x 2 x k a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1k x k a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2k x k a n1 x 1 + a n2 x 2 + a nk x k vilket betyder att vi kan skriva ett system av linjära ekvationer på följande sätt där b = b 1 b 2 b n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x k = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x k = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nk x k = b n A x = b 10 Proposition (se Sats 315, i Anton & Busby) Låt A och B vara n k-matriser, låt x och y vara vektorer i R k samt låt c vara ett reell tal Då gäller att 5

6 6 (1) A( x + y) = A x + A y (2) A(c x) = c(a x) = (ca) x (3) (A + B) x = A x + B x 11 Inre och yttre matrisprodukt Om u och v är två kolonnvektorer av samma storlek så är u T v en inre matrisprodukt Vad blir storleken på produkten? Känner vi igen detta sedan tidigare? u v T en yttre matrisprodukt Vad blir storleken på produkten? 12 Uppgift Låt Beräkna A x 13 Uppgift Låt Beräkna u T v samt u v T 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 u = v = 1 x = Inverterbara matriser En matris A är inverterbar om det finns en matris B så att AB och BA är identitetsmatriser Matrisen B kallas för inversen till A och betecknas med A 1 Notera att endast kvadratiska matriser är inverterbara Varför det? 15 Proposition (Se bland annat Sats 339 i Anton & Busby) (1) Låt A vara en n n-matris som är inverterbar och låt A 1 vara inversen till A Då AA 1 = I n och A 1 I n (2) Låt A vara en n n-matris Om B är en n n-matris och AB = I n, då är B = A 1 (3) Låt A vara en n n-matris Om B är en n n- matris och B I n, då är B = A 1 (4) En n n-matris A är inverterbar om och endast om rang(a) = n, dvs, antalet av pivotkolonner är lika med n (5) En n n-matris A är inverterbar om och endast om systemet A x = 0 bara har en lösning som ges av 0 (triviala lösningen) (6) En n n-matris A är inverterbar om och endast om systemet A x = b bara har en lösning för alla b

7 (7) En n n-matris A är inverterbar om och endast om kolonnerna är linjärt oberoende (detta återkommer vi till i F8) 7 16 Uppgift Bestäm om följande matris A är inverterbar Uppgift Avgör genom inspektion om följande homogena system har en icketrivial lösning och avgör om koefficientmatrisen är inverterbar 2x 1 + x 2 3x 3 + x 4 = 0 5x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 0 x 3 + 2x 4 = 0 x 4 = 0 18 Uppgift Hitta alla värden på a för vilka matrisen a a a 1 a a 1 1 a är inverterbar 19 Proposition (se Sats 327 i Anton & Busby) a b En 2 2-matris är inverterbar om och endast om ad bc 0 (ad bc c d kallas för determinanten av A) I detta fall ges inversen till A av A 1 1 d b = ad bc c a 20 Uppgift Bestäm om följande matris A är inverterbar och i så fall hitta inversen A

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra

15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra 5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 2 Omfattning och Innehåll 2.1 Matrisoperationer: addition av matriser, multiplikation av matris med skalär, multiplikation av matriser. 2.2-2.3 Matrisinvers, karakterisering

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 1-4. Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna -. Föreläsningarna, 6/9 /9 : I sammanfattningen kommer en del av det vi tagit

Läs mer

MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens

MATRISTEORI. Pelle Pettersson MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens MATRISTEORI Pelle Pettersson ALLMÄN MATRISKUNSKAP MATRISER En matris är ett rektangulärt schema med tal, reella eller komplexa, vilka kallas matrisens element Exempel Matrisen 2 3 4 5 6 har två rader och

Läs mer

Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.

Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM, GAUSSELIMINATION. MATRISER. Läs avsnitten 4.-4.. Lös övningarna 4.ace, 4.2acef, 4., 4.5-4.7, 4.9b, 4. och 4.abcfi. Läsanvisningar Avsnitt 4. Det här avsnittet handlar om Gauss-elimination,

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = =

MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET MED MATRISINVERSER = = = Matematiska institutionen Stockholms universitet CG Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 5 MULTIPLIKATION AV MATRISER, BASER I RUMMET SAMT FÖRSTA MÖTET

Läs mer

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: 1 1 Basvektorer i tre dimensioner: Enhetsvektor i riktningen v: v v Vektoraddition u + v = u + v = [ ] u1 u 2 u 1 u 2 + u 3 + [ v1 v 2 ] = v 1 v 2 = v 3 [ u1 + v 1 u 2 + v 2 u 1 + v 1 u 2 + v 2 u 3 + v 3 ] Multiplikation med skalär α u = α [ u1 u 2 α u = α ] = u 1 u 2

Läs mer

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1

Matriser. En m n-matris A har följande form. Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. 0 1, 0 0. Exempel 1 Matriser En m n-matris A har följande form a 11... a 1n A =.., a ij R. a m1... a mn Vi skriver också A = (a ij ) m n. m n kallas för A:s storlek. Exempel 1 1 0 0 1, 0 0 ( 1 3 ) 2, ( 7 1 2 3 2, 1 3, 2 1

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så

Läs mer

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp)

Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Stora bilden av Linjära algebran. Vektorrum, linjära transformationer, matriser (sammanfattning av begrepp) Linjär algebra består av tre grenar eller koncept: geometriska begreppet av vektorrum, analysbegreppet

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U

Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U Underrum till R n, nollrum, kolonnrum av en matris, rank, bas, koordinater, dimension. Påminnelse om R n s egenskaper: Algebraiska egenskaper hos R n i)u + v = v + U v) c(u + v) = cu + cv ii) ( u + v)

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6 Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6 Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7 Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng För var och en av

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 april 5 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 8- Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016 Lista över alla lärmål Nedan följer en sammanfattning av alla lärmål i kursen, uppdelade enligt godkänt- och överbetygskriterier. Efter denna lista följer ytterligare

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v04, 7 augusti 05 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 05-08-7 kl 080-0 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a

Läs mer

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär

Läs mer

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1

LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra II LÖSNINGAR TILL UPPGIFTER TILL RÄKNEÖVNING Lös ekvationssystemet x + y + z 9 x + 4y 3z 3x + 6z 5z med hjälp av Gausselimination Lösning:

Läs mer

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I Lösningar till MVE Linjär algebra för I 7-8-9 (a Vektorer är ortogonala precis när deras skalärprodukt är Vi har u v 8 5h + h h 5h + 6 (h (h När h och när h (b Låt B beteckna basen {v, v } Om vi sätter

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING LINJÄR ALGEBRA 206-03-4 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar Alla koordinatsystem får antas vara ortonormerade

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen MVE52 Linjär algebra LMA55 Matematik, del C Hjälpmedel: inga Datum: 28-8-29 kl 8 2 Telefonvakt: Sebastian Jobjörnsson ankn 6457 Examinator: Håkon Hoel Tentan

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten

Avsnitt 2. Matriser. Matriser. Vad är en matris? De enkla räknesätten Avsnitt Matriser Vad är en matris? De enkla räknesätten Matrismultiplikation Produkt av en rad med en kolumn Produkt av rader med en kolumn Produkt av rader med kolumner När är matrismultiplikationen definierad?

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2013-10-28 DEL A 1. Vi har matriserna 1 1 1 1 1 0 3 0 A = 1 1 1 1 1 1 1 1 och E = 0 0 0 1 0 0 1 0. 1 0 0 1 0 1 0 0 (a) Bestäm vilka elementära

Läs mer

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p) SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

A. Grundläggande matristeori

A. Grundläggande matristeori A. Matristeori A. Grundläggande matristeori A.1 Definitioner A.1.1 Matriser och vektorer En matris är en rektangulär tabell av element ordnade i rader och kolonner (kolumner). Elementen i en matris kan

Läs mer

TMV141. Fredrik Lindgren. 22 januari 2013

TMV141. Fredrik Lindgren. 22 januari 2013 TMV141 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 22 januari 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 1 / 73 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E Var god vänd! MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV4 Linjär algebra

Läs mer

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003

Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Kursplanering för Linjär algebra, HT 2003 Mikael Forsberg 12 augusti 2003 Innehåll 1 Kursbok 2 2 Kursinnehåll 2 2.1 Kursens uppläggning......................... 2 2.2 Målsättning..............................

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

Carl Olsson Carl Olsson Linjär Algebra / 18

Carl Olsson Carl Olsson Linjär Algebra / 18 Linjär Algebra: Föreläsn 1 Carl Olsson 2018-03-19 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 1 / 18 Kursinformation Kurschef Carl Olsson arbetsrum: MH:435 tel: 046-2228565 epost: calle@maths.lth.se Carl Olsson

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z

Del 1: Godkäntdelen. TMV142 Linjär algebra Z MATEMATIK Hjälpmedel: ordlistan från kurswebbsidan, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: 26083 kl 0830 230 Tentamen Telefonvakt: Christoffer Standar 0703-088304 TMV42 Linjär algebra Z Tentan

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v4, 9 augusti 4 Högskolan i Skövde (SK) Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 4-8-6 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av

Läs mer

Linjär algebra HT 2016, kurskoder 5MA160 och 6MA036

Linjär algebra HT 2016, kurskoder 5MA160 och 6MA036 Sid 1 (7) Linjär algebra HT 2016, kurskoder 5MA160 och 6MA036 Kurslitteratur Anton H., Rorres, C., Elementary Linear Algebra with Supplemental Applications. 11th ed. Wiley & Sons (2014) ISBN 978-1-118-67745-2

Läs mer

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

linjära ekvationssystem.

linjära ekvationssystem. CTH/GU LABORATION 2 TMV216/MMGD20-2017/2018 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna laboration börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 1 LMA515c - 2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Linjära ekvationssystem Denna studioövning börjar med att vi påminner oss om matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

MVE022 Urval av bevis (på svenska) MVE22 Urval av bevis (på svenska) J A S, VT 218 Sats 1 (Lay: Theorem 7, Section 2.2.) 1. En n n-matris A är inverterbar precis när den är radekvivalent med indentitesmatrisen I n. 2. När så är fallet gäller

Läs mer

Preliminärt lösningsförslag

Preliminärt lösningsförslag Preliminärt lösningsförslag v7, 7 januari 6 Högskolan i Skövde Tentamen i matematik Kurs: MA4G Linjär algebra MAG Linjär algebra för ingenjörer Tentamensdag: 5--7 kl 43-93 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU STUDIO 4 MVE465-2016/2017 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna studioövning fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser, som vi först tittade på i studioövning

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan.

LINJÄR ALGEBRA HT2013. Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. LINJÄR ALGEBRA HT2013 JONAS WIKLUND Kurslitteratur: Anton: Elementary Linear Algebra 10:e upplagan. 1. LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM OCH MATRISER 1.1 Introduktion. Till stor del bör du känna till ekvationslösning

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l. SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 5.6. DEL A. Betrakta följande punkter i rummet: A = (,, ), B = (,, ) och C = (,, ). (a) Ange en parametrisk ekvation för linjen l som går genom B

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m.

x 1 x 2 x 3 x 4 mera allmänt, om A är en (m n)-matris, då ger matrismultiplikationen en avbildning T A : R n R m. Fredagen 006 Avbildningar Låt A vara matrisen () = 0 0 Till varje vektor X i R får vi vid matrismultiplikationen AX en vektor i R Mera explicit, om X = x x x x är en given punkt i R, då får vi punkten

Läs mer

Norm och QR-faktorisering

Norm och QR-faktorisering Norm och QR-faktorisering Skalärprodukten på C n (R n ) hänger ihop med några viktiga klasser av matriser. För en komplex matris A betecknar vi med A H det Hermitiska konjugatet till A, dvs A H = A T.

Läs mer

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris Krister Svanberg, mars 2012 1 De fyra fundamentala underrummen till en matris 1.1 Definition av underrum En given delmängd M av IR n säges vara ett underrum i IR n om följande gäller: För varje v 1 M,

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016 SF624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 3 januari 206 Skrivtid: 08:00 3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Tilman Bauer Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Del

Läs mer

Geometriska vektorer

Geometriska vektorer Föreläsning 1, Linjär algebra IT VT2008 1 Geometriska vektorer De begrepp som linjär algebra kretsar kring är vektorer och matriser Dessa svarar mot datorernas fält (`arra') av dimension ett respektive

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA

Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Volodymyr Mazorchuk Ryszard Rubinsztein Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen EL, IT, K, X, ES, F, Q, W, Enstaka kurs LINJÄR ALGEBRA 007 08 16 Skrivtid:

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 2 Kapitel 2 och 3 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.) I detta avsnitt

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

Mer om linjära ekvationssystem

Mer om linjära ekvationssystem CTH/GU LABORATION 2 TMV141-212/213 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om linjära ekvationssystem Denna laboration fortsätter med linjära ekvationssystem och matriser Vi ser på hantering och uppbyggnad

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 207 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.. För

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 3 JOHAN ASPLUND INNEHÅLL Basbyten Kolonnrum, radrum och nollrum 3 Linjära avbildningar från R n till R m 4 Uppgifter 3 46:3 3 47:a 3 48:3a 4 48:a 4 49:9 4 40:7a,b BASBYTEN Om

Läs mer

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013

DN1230 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 2013 TILLÄMPAD LINJÄR ALGEBRA, DN123 1 DN123 Tillämpad linjär algebra Tentamen Onsdagen den 29 maj 213 Skrivtid: 8-13 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Anna-Karin Tornberg Betygsgränser: Betyg A B C D E

Läs mer

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes

Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Linjär algebra Tio förrätter och två efterrätter Roy Skjelnes Matematiska Institutionen, KTH Typsatt med L A TEX 2ε och TikZ Kompilerad 8 september 2014 Inledande ord Detta häfte är baserat på en föreläsningsserie

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter

Läs mer

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 6 Chalmers tekniska högskola 6 8 kl 8:3 :3 (SB Multisal) Examinator: Tony Stillfjord Hjälpmedel: ordlistan från kurshemsidan, ej räknedosa Telefonvakt: Olof Giselsson, ankn

Läs mer

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning

Läs mer

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment B, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 1 juni 2011 kl Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik moment B för D2 och F SF63 och SF63 den juni 2 kl 8.- 3.. Examinator: Olof Heden tel. 7354789. Hjälpmedel: Inga

Läs mer

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning

Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Stokastiska vektorer och multivariat normalfördelning Johan Thim johanthim@liuse 3 november 08 Repetition Definition Låt X och Y vara stokastiska variabler med EX µ X, V X σx, EY µ Y samt V Y σy Kovariansen

Läs mer

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga.

Övningshäfte 6: 2. Alla formler är inte oberoende av varandra. Försök att härleda ett par av de formler du fann ur några av de övriga. GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2005 MATEMATISK BASKURS Övningshäfte 6: Syftet med övningen är att utforska strukturen hos talsystemen under addition respektive multiplikation samt sambandet

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc)

c d Z = och W = b a d c för några reella tal a, b, c och d. Vi har att a + c (b + d) b + d a + c ac bd ( ad bc) 1 Komplexa tal 11 De reella talen De reella talen skriver betecknas ofta med symbolen R Vi vill inte definiera de reella talen här, men vi noterar att för varje tal a och b har vi att a + b och att ab

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer