MVE520 Linjär algebra LMA515 Matematik, del C

Transkript

1 MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen MVE52 Linjär algebra LMA55 Matematik, del C Hjälpmedel: inga Datum: kl 8 2 Telefonvakt: Sebastian Jobjörnsson ankn 6457 Examinator: Håkon Hoel Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper Fyll i omslaget ordentligt För godkänt på tentan krävs 2 poäng på tentamens första del (godkäntdelen) Bonuspoäng från duggor 28 räknas med För betyg 4 resp 5 krävs dessutom resp 4 poäng sammanlagt på tentamens två delar, varav minst 4 resp 6 poäng på del 2 Lösningar läggs ut på kursens hemsida Resultat meddelas via Ladok ca tre veckor efter tentamenstillfället Del : Godkäntdelen Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas Detta blad (5p) inlämnas tillsammans med övriga lösningar 2 a) Definiera begreppet inverterbar matris (2p) b) Beräkna inversen till matrisen (p) 2 A = 2 2 c) Låt B och C vara inverterbara 2 2 matriser där (p) B = [ ] Finn inversen till matrisen D = BC T och C = [ ] 7 a) En kvadratisk matris A är inverterbar om det finns en matris B av samma storlek sådan att BA = I = AB b) Gausseliminering ger / 2 5/, / / 2/ 2 5/ dvs A = 2 6 5

2 c) D = (BC T ) = (C T ) B = (C ) T B = [ ] ( 7 [ ]) = [ ] Låt punkterna A = (,, ), B = (2,, 2) och C = (,, 2) vara givna a) Beräkna arean till triangeln med hörn A, B och C (p) b) Beskriv (med en ekvation) planet Π som går genom punkterna A, B och C (2p) c) Beräkna minsta avståndet från punkten P = (, 2, ) till planet Π (2p) a) Arean till ABC är lika med hälften av arean till parallellogrammen som spänns av AB och AC Dvs Area( ABC) = 2 AB AC = = 4 2 = 2 b) n = AB AC = ( 8,, 4) T = (n, n 2, n ) T är normalvektor till Π Sedan planet går genom punkten A kan mängden av punkter i planet skrivas som ger planets ekvation Π = {(x, y, z) R (x )n + (y ( ))n 2 + (z )n = } Π : 8(x ) + 4z = c) Minsta avståndet är lika med längden av vinkelräta projektionen av AP på normalvektorn n från uppgift b) Sedan AP = (,, ) T får vi som ger projn AP = n AP n n n = 2 n 8 n = n 5 n, Minsta avstånd = projn AP = 5 4 Anpassa med minsta kvadratmetoden en rät linje y = c + c 2 x till punkterna (p) ( 2, ), (, ), (, ) och (2, ) Ekvationssystem: 2 [ ] c c 2 2 }{{}}{{} =c =A = }{{} =b

3 Minstakvadratlösningen till detta ekvationssystemet kan beräknas vid att lösa normalekvationen A T Ac = A T b där [ ] [ ] A T 4 A = och A T b = 9 9 Det ger c = 5 [ ] [ ] 9 = [ ] a) Beskriv vad som menas med att en mängd vektorer v, v 2,, v k R n är linjärt (2p) beroende b) Avgör om följande vektorer är linjärt beroende (p) 2 v = 2 2, v 2 =, v = a) Vektorerna v, v 2,, v k R n är linjärt beroende om ekvationen x v + x 2 v 2 + x k v k = har minst en icke-trivial lösning x = (x, x 2,, x k ) T b) Vektorerna är linjärt beroende endast om ekvationssystemet 2 2 x 2 x 2 = x har minst en icke-trivial lösning x Gausseliminering ger Konklusion: ekvationsystemet har entydiga lösningen x = så vektorerna är linjärt oberoende

4 Del 2: Överbetygsdelen I allmänhet kan inte poäng på dessa uppgifter räknas in för att nå godkäntgränsen 6 Avgör om följande påståenden är sanna eller falska, samt motivera ditt svar (Rätt svar utan motivering ger inga poäng) a) Om både F : R n R m och F 2 : R m R k är linjära avbildningar så måste också (2p) avbildningen G : R n R k definierad som G(x) = F 2 (F (x)) x R n vara linjär b) För tre godtyckliga vektorer i R, (2p) så gäller följande a b c a = a 2, b = b 2, c = c 2 a b c a (b c) = det([a b c]), där [a b c] betecknar matrisen med kolonner a, b och c c) Om A, B och C är kvadratiska matriser av samma storlek där A kommuterar med B (2p) och B kommuterar med C, så måste A kommutera med C d) Om a, a 2, a R är linjärt oberoende så måste följande matris vara inverterbar: (2p) B = [a (a + a 2 ) (a + a 2 + a )] (Förtydligande: kolonn nr k i matrisen B är lika med k j= a j för k ) a)om F och F 2 är linjära gäller följande för alla x, y R n och α R: G(x + y) = F 2 (F (x + y)) = F 2 (F (x) + F (y)) = F 2 (F (x)) + F 2 (F (y)) = G(x) + G(y) och G(αx) = F 2 (F (αx)) = F 2 (αf (x)) = αf 2 (F (x)) = G(x) Konklusion: G är linjär och påstanden är sann b) Påstanden är sann: a (b c) = a (b 2 c b c 2 ) + a 2 (b c b c ) + a (b c 2 b 2 c ) [ ] [ ] [ ] b2 c = a det( 2 b c ) a b c 2 det( b c ) + a b c det( ) b 2 c 2 = det([a b c]) c) Påstanden är falsk Motexempel: A = [ ], B = [ ] och C = [ ] ger trivialt att men AB = A = BA och BC = C = CB, AC = [ ] CA = [ ]

5 d) Påstanden är sann: Om vektorerna a, a 2, a är linjärt oberoende så är det([a a 2 a ]) Ekvationen B = [a a 2 a ] ger vidare att det(b) = det([a a 2 a ]) det = det([a a 2 a ]) som implicerar att B är inverterbar 7 Beskriv mängden av alla (a, b, c) R sådana att [ ] 2 A = och B = 4 [ ] a b c 4 (4p) kommuterar och AB = BA = [ a + 2c ] b + 8 a + 4c b + 6 [ ] a + b 2a + 4b c + 2 2c + 6 För att AB = BA måste följande ekvationer gälla a + 2c = a + b b + 8 = 2a + 4b a + 4c = c + 2 b + 6 = 2c + 6 Det kan skrivas som ekvationssystemet 2 a 2 b = 8 c 2 Gausseliminering ger Konklusion: Lösningsmängden (a, b, c) R så att AB = BA kan betraktas som alla punkter på räta linjen 4 L : + t 2/ t R

6 Lycka till! Håkon Hoel

7 Anonym kod sidnummer Poäng MVE52 Linjär algebra Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats (endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas) (a) Låt och beräkna: i a + 2b c, ii a (b + c), iii b c, iv och vinkeln mellan a och b 2 a = 2, b = 2, och c = (p) (p) (p) (p) i ii iii + 2() (2) a + 2b c = 2 + 2( 2) ( ) = 7 + 2() () 5 a (b + c) = 2 5 = (5) + 2( 5) + () = 4 b 2 c b c 2 b c = b c b c = 2 b c 2 b 2 c 5 iv Vinkeln mellan a och b är definierad som entydiga θ [, π] som uppfyller ekvationen cos(θ) = a b a b Sedan a b = följer det att θ = π/2 (b) i Beräkna matrisprodukten AB där (2p) A = 2 och B = 2 5 ii Låt C, D och E vara rektangulära matriser sådana att CD är en m n matris och DE är en p k matris Beskriv storleken till matriserna C och E (2p) i 2 2 = ii CD R m n implicerar att C har m rader, D har n kolonner och C har samma antal kolonner som D har rader DE R p k implicerar att D har p rader, E har k kolonner och antal kolonner i D är lika med antal rader i E Vi konkluderar direkt att D är p n matris, som vidare ger att C är m p och E är n k

8 (c) Låt 2 A = i Beräkna det(a) ii Låt B vara en 4 4 matris med det(b) = Bestäm det(abba) iii Låt C = [c c 2 c ] vara en matris där c k betecknar matrisens k-te kolonn Ge en geometrisk tolkning av det(c) (p) (2p) (2p) i det(a) = 2 det det 5 6 ( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ] ) = 2 det( ) det( ) 6 det( ) + det( ) 5 5 ii = 2(45 2) (6(4) + 4) = = 2 det(abba) = det(a) det(bba) = = (det(a)) 2 (det(b)) 2 = 4 9 = 6 iii det(c) är volymen till parallellepipeden som spänns upp av vektorerna c, c 2 och c