TENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor

Transkript

1 TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan ge 4 poäng. Poäng Betyg -4 A 9- B 6-8 C 3-5 D 0- E 9 Fx Fx är ett underkänt betyg men med möjlighet till komplettering. Kompletteringen kan endast göras upp till betyg E. Till samtliga inlämnade uppgifter fordras fullständiga lösningar. Börja varje ny uppgift på ett nytt blad, detta gör att rättningen blir säkrare. Skriv endast på en sida av papperet. Skriv namn och personnummer på varje blad. Inlämnade uppgifter skall markeras med kryss på omslaget Undervisande lärare: Elias Said, Jonas Stenholm, Håkan Strömberg Examinator: Armin Halilovic Said, Stenholm, Strömberg STH KTH

2 Har du klarat KS:en hoppar du över de fyra uppgifterna i ramen nedan Uppgift ( poäng. Det gäller att vektorn v är summan av vektorerna a och b, ( v = a+ b. Beräkna a om v = (,5,9 och b = (,,. Uppgift ( poäng. Givet vektorn v = (, 5, 9. Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som v. Uppgift 3 ( poäng Bestäm en vektor som är vinkelrät mot v = (,5,9 och som har en negativ z- komponent. Uppgift 4 ( poäng En triangel har sina hörn i punkterna P = (,3, P = (, och P 3 = (3,. Bestäm längden av den längsta sidan i denna triangel. Uppgift 5 (3 poäng Lös matrisekvationen då och då E är enhetsmatrisen A = ( 3 AX+5E = B B = Uppgift 6 ( poäng Bestäm samtliga lösningar till matrisekvationen X 4 = (7 6 Högerledet består alltså av en -matris ( Uppgift 7 (3 poäng För vilka värden på a har ekvationssystemet entydig, ingen eller oändligt många lösningar? x+z = x+y+az = 0 ay z = Uppgift 8 (3 poäng Givet de tre vektorerna u = (0,,, v = (,, 4, w = (0,,4. Låt z = (0,0,5. Bestäm a,b och c så att a u+b v+c w = z Uppgift 9 ( poäng Visa att påståendet: Punkterna P = (3,0,, P = (4,3,0 P 3 = (8,, är hörn i en rätvinklig triangel är sant. Vid vilken punkt ligger den räta vinkeln? Bestäm till sist triangelns area. Uppgift 0 ( poäng Bestäm a, så att determinanten till de två matriserna A och B får samma värde a a A = a B = a a a a Said, Stenholm, Strömberg STH KTH

3 Uppgift ( poäng För vilka värden på den reella konstanten a är matrisen a A = a a inverterbar, det vill säga att A har invers. Uppgift ( poäng Låt L vara skärningslinjen mellan planen x y + z 3 = 0 och x+y z +3 = 0 och låt L vara skärningslinjen mellan planen x y z = 0 och x + y + z 5 = 0. Bestäm ekvationen, på normalform, för det plan som går genom punkten (,,3 och är parallellt med både L och L. Uppgift 3 ( poäng En flaggstång, representerad av vektorn n = (,,, står med foten i origo, vinkelrätt mot den plana marken. Solstrålarna faller in i riktningen av vektorn v = (,, 3. Beräkna längden av flaggstångens skugga. Är skuggan längre än flaggstången? Said, Stenholm, Strömberg 3 STH KTH

4 Lösningar Uppgift ( poäng Det gäller att vektorn v är summan av vektorerna a och b, ( v = a + b. Beräkna a om v = (,5,9 och b = (,,. Lösning: Svar: a = (,3,0 v = a+ b a = v b a = (,5,9 (,, a = (,3,0 Uppgift ( poäng. Givet vektorn v = (, 5, 9. Bestäm en enhetsvektor med samma riktning som v. Lösning: En enhetsvektor r ges av Svar: 07 (,5,9 r = v v = (,5, = 07 (,5,9 Uppgift 3 ( poäng Bestäm en vektor som är vinkelrät mot v = (,5,9 och som har en negativ z-komponent. Lösning: En vektor, u = (a,b,c är vinkelrät mot v om v u = 0 v u = 0 (,5,9 (a,b,c = 0 a+5b+9c = 0 Det finns oändligt många lösningar, även då z-komponenten är < 0. Till exempel u = 4,, Uppgift 4 ( poäng En triangel har sina hörn i punkterna P = (,3, P = (, och P 3 = (3,. Bestäm längden av den längsta sidan i denna triangel. Lösning: Vi bestämmer de tre vektorer som utgör triangelns sidor. P P = (, (,3 = (, 4 P P 3 = (3, (, = (,3 P 3 P = (,3 (3, = (, +( 4 = 7 +3 = 0 ( + = 5 Svar: Den längsta sidan är 7 l.e. Said, Stenholm, Strömberg 4 STH KTH

5 Uppgift 5 (3 poäng Lös matrisekvationen då och då E är enhetsmatrisen Lösning: A = ( 3 AX+5E AX A AX X AX+5E = B B = ( = B = B 5E = A (B 5E = A (B 5E Vi bestämmer så A med hjälp av Jacobis metod [ ] 3 rad adderas till rad [ rad adderas till rad [ Multiplicera rad med Vi har bestämt och kan nu utföra Svar: A (B 5E = och rad med ( 3 [ A = ( 3 ( X = ( 3 ] ] ] (( = ( 4 4 ( ( 4 4 = Said, Stenholm, Strömberg 5 STH KTH

6 Uppgift 6 ( poäng Bestäm samtliga lösningar till matrisekvationen X Högerledet består alltså av en -matris 4 6 = (7 Lösning: För att matrismultiplikationen ska vara definierad måste X( 3. Låt X = (x, y, z. Eftersom X inte är kvadratisk kan den inte inverteras. Vi löser då ekvationen genom att införa den okända matrisens element ( x y z 4 6 = (7 Vi får x+4y +6z = 7. Ekvationen har oändligt många lösningar som alla ligger i planet x+4y+6z = 7. På parameterform får vi genom att sätta z = t och y = s, x = 7 s 3t Svar x = 7 s 3t y = s z = t Uppgift 7 (3 poäng För vilka värden på a har ekvationssystemet entydig, ingen eller oändligt många lösningar? x+z = x+y+az = 0 ay z = Lösning: Vi startar med att bestämma determinanten för koefficientmatrisen 0 a 0 a = a+a Determinanten = 0 då a a = 0, a = och a =. Vi vet nu att systemet har unika lösningar så länge a och a Vi undersöker nu systemet då a = och får totalmatrisen Subtrahera rad från rad ger Said, Stenholm, Strömberg 6 STH KTH

7 Subtrahera rad från rad 3 ger så Eftersom 0 a+0 b+0 c = 0 gäller för alla uppsättningar av x,y,z har systemet oändligt många lösningar då a = Återstår att undersöka systemet då a =. Vi får Subtrahera rad från rad ger Addera rad till rad Eftersom 0 a+0 b+0 c 3 för alla uppsättningar av x,y,z saknar systemet lösningar då a = Svar: Då a och a har systemet en entydig lösning. Då a = har systemet oändligt många lösningar (en-parametrig lösning. Då a = saknar systemet lösningar. Uppgift 8 (3 poäng Givet de tre vektorerna u = (0,,, v = (,, 4, w = (0,,4. Låt z = (0,0,5. Bestäm a,b och c så att a u+b v+c w = z Lösning: Det gäller alltså att bestämma a,b och c så att a u+b v+c w = z eller med talen insatta (0,a, a +(b, b, 4b+(0c,c,4c = (0,0,5 Vi får då ekvationssystemet b+0c = 0 a b+c = 0 a 4b+4c = 5 Said, Stenholm, Strömberg 7 STH KTH

8 Detta löser vi med Gausselimination och får totalmatrisen Vi multiplicerar rad 3 med och byter därefter plats på rad och rad Subtrahera rad från rad Subtrahera rad från rad Vi får nu b = 60, b = 5. Genom bakåtsubstitution får vi så c = och a = 3 Svar: 3 u 5 v+ w = z Uppgift 9 ( poäng Visa att påståendet: Punkterna P = (3,0,, P = (4,3,0 P 3 = (8,, är hörn i en rätvinklig triangel är sant. Vid vilken punkt ligger den räta vinkeln? Bestäm till sist triangelns area. Lösning: Vi kan med hjälp av de tre punkterna bilda tre vektorer P P = (4,3,0 (3,0, = (,3, P P 3 = (8,, (3,0, = (5,, 3 P P 3 = (8,, (4,3,0 = (4,, Vi bestämmer nu längden hos dessa tre vektorer Med hjälp av Pythagaros sats ser vi nu att P P = +3 +( = 4 P P 3 = 5 + +( 3 = 35 P P 3 = 4 +( +( = ( 4 + ( = ( 35 och att triangeln är rätvinklig. Detta hade man också kunna konstatera genom att skalärprodukten ger (,3, (4,, = 0. Eftersom punkten P är inblandad i de två vektorerna som är vinkelräta måste den räta vinkeln ligga vid punkten P Till sist arean b h 4 6 = = 7 Said, Stenholm, Strömberg 8 STH KTH

9 Vilket man också kan få genom 3 Svar: 7 (,3, (4,, 6 = 7 Uppgift 0 ( poäng Bestäm a, så att determinanten till de två matriserna A och B får samma värde a a A = a B = a a a a Lösning: Vi får ekvationen som utvecklat ger a a a a = a a a +a +a +4a a a = a a 4 a +4+a a +3a = 4a +a 6a +a = 0 a = 3 a = Svar: a = 3 och a = Uppgift ( poäng För vilka värden på den reella konstanten a är matrisen a A = a a inverterbar, det vill säga att A har invers. Lösning: Matrisen A är inte inverterbar då a det A = a a = 0 Vi erhåller a 3 ++ a a a = 0 a 3 3a+ = 0 Enklaste sättet att lösa denna ekvation av tredje graden är att gissa en rot. Vi ser ganska snart att a = duger. Said, Stenholm, Strömberg 9 STH KTH

10 Med hjälp av polynomdivision får vi nu a 3 a 3 a a 3a a 3a + : a = a +a a a + a + 0 Vi kan nu skriva ekvationen (a (a +a = 0 genom att lösa a +a = 0 får vi rötterna a = och a =. Vi har nu funnit rötterna a =, a = och a 3 = Svar: Matrisen är inte inverterbar då a = eller a =. Uppgift ( poäng Låt L vara skärningslinjen mellan planen x y + z 3 = 0 och x+y z +3 = 0 och låt L vara skärningslinjen mellan planen x y z = 0 och x + y + z 5 = 0. Bestäm ekvationen, på normalform, för det plan som går genom punkten (,,3 och är parallellt med både L och L. Lösning: De fyra planen har normalvektorerna: n = (,,, n = (,,, n 3 = (,, och n 4 = (,,, Riktningsvektorn för L är parallell med vektor v = n n = (0,4, = (0,, Riktningsvektorn för L är parallell med vektor: Planets normalvektor ges av v = n 3 n 4 = (, 3,4 n = v v = (,, och eftersom planet går genom punkten (,,3 är planets ekvation: x+y z+d = d = 0 d = 7 Svar: Planets ekvation är x+y z 7 = 0 Uppgift 3 ( poäng En flaggstång, representerad av vektorn n = (,,, står med foten i origo, vinkelrätt mot den plana marken. Solstrålarna faller in i riktningen av vektorn v = (,, 3. Beräkna längden av flaggstångens skugga. Är skuggan längre än flaggstången? Lösning: n = (,, är normalvektor till planet marken, i vilket punkten (0, 0, 0 ligger. Planets ekvation för marken blir då x +y+z+d = 0, ger d = 0. Flaggstångsknoppen befinner sig i punkten P = (,,. Den aktuella solstrålen går genom punkten P med riktning v. Linjens ekvation för solstrålen är (x,y,z = (+t,+t, 3t. Solstrålen når marken då (+t+(+t+ 3t = 0, som ger t = 9. Solstrålen når marken i punkten ( 7, 7,8. Skuggans längd blir då (0 7 +(0 7 +(0 8 = Flaggstångens längd är + + = 3 Svar: Skuggans längd, som är l.e., är längre än flaggstången Said, Stenholm, Strömberg 0 STH KTH