Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter"

Transkript

1 Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer. Genom n ekvationer och n obekanta uppstår alltså ett kvadratiskt system a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a n1 x 1 +a n x +...+a nn x n = b n Detta system har vi tidigare påpekat att det kan skrivas om på matrisform a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n... a 31 a 3... a 3n x 1 x... x n = Den första matrisen i uttrycket, vi kallar den här A, är systemets koefficientmatris och vektorn efter likhetstecknet är dess högerled. Normalt är alla koefficienter kända. Då det(a 0 har A en invers A och därmed ekvationssystemet en lösning. Den man får genom att multiplicera, från vänster, båda leden i A x = b med A. b 1 b... b n A x = b A A x = A b E x = A b x = A b Att lösa ett ekvationssystem Linjära ekvationssystem med och 3 obekanta och lika många ekvationer klarar vi att lösa för hand utan vidare, men vi löser för säkerhets skull ett med 3 obekanta här. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

2 3x y +z = 7 x +y z = 3 multiplicera med -3 x 3y +z = 1 multiplicera med -3 3x y +z = 7 addera rad 1 till och 3 3x 3y +6z = 9 3x +9y 6z = 3 3x y +z = 7 4y +8z = 16 multiplicera rad med +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +16z = 3 addera rad till 3 +8y 4z = 4 3x y +z = 7 8y +16z = 3 +1z = 36 Vi ser nu att z = 3, som vi kan använda för att få y = i andra raden och x = 1 i första raden. Då antalet obekanta växer blir arbetet dock mer svåröverskådligt och en, administrativt, klarare metod känns nödvändig. Gausselimination är ett exempel på en sådan metod. Vi önskar lösa ekvationssystemet 3x+y+z w = 6 x y+z+w = 4 x y+3z+w = 6 x+y z w = Innan vi startar lösningsproceduren måste vi acceptera följande påstående Håkan Strömberg KTH Syd

3 Sats 1. Det är, utan att förändra lösningen till ett linjärt ekvationssystem, möjligt att Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Vi skriver först om systemet i en totalmatris Vänster om det vertikala strecket finns koefficientmatrisen och på andra sidan högerledet. Genom att tillämpa de regler som finns i sats 1 ska vi nu successivt överföra denna matris till en form, från vilken vi enkelt kan avläsa lösningen. Byt plats på rad 1 och rad 4. Addera gånger rad 1 till rad Addera gånger rad 1 till rad 3. Addera 3 gånger rad 1 till rad Addera gånger rad till rad Multiplicera rad 4 med och byt plats på rad och rad Addera 3 gånger rad till rad 4. Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Addera 6 gånger rad 3 till rad Multiplicera rad 4 med 1/7 och byt plats på rad 3 och rad 4. Addera 3 gånger rad 3 till rad Multiplicera rad 4 med 1/3. Addera 7 gånger rad 3 till rad Addera 5 gånger rad 4 till rad. Addera gånger rad till rad Addera gånger rad 3 till rad Addera gånger rad 4 till rad Ur den sista matrisen kan vi så utläsa lösningen x = 1, y = 0, z = och w =. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Kvadratiska system där det(a = 0 Vi riktar nu intresset mot kvadratiska ekvationssystem där determinanten för koefficientmatrisen har värdet 0 och inleder diskussionerna med några enkla exempel Exempel 1. { x+3y = 9 x y = 1 Detta ekvationssystem har lösningen x = 3 och y = 1. Matriserna i uttrycket A x = b har följande utseende. A = ( 3 1 x = ( x y b = ( 9 1 Determinanten för koefficientmatrisen är det(a = ( 3 1 = 7, och systemet tillhör alltså inte den kategori vi tänkt studera här. Exempel. { x+y = 3x+6y = 5 Detta system har determinanten = 0 och tillhör, liksom nästa exempel, system där koefficinetmatrisens determinant är 0. Exempel 3. { 3x y = 4 9x 3y = 1 Determinanten är här 3 ( 3 ( 9 = 0. Eftersom varje ekvation i ekvationssystemen ovan motsvarar ekvationen för en rät linje kan vi grafiskt visa de tre systemen i figur 1. Figur 1: De tre systemen från ovan Vi ser att de två linjerna från exempel 1 skär varandra i punkten (3,1, vilket överensstämmer med lösningen ovan. I exempel verkar linjerna vara parallella vilket skulle betyda att lösning saknas linjerna har ingen skärningspunkt. Om vi använder tekniken från förra avsnittet för att lösa detta ekvationssystem och adderar 3 gånger rad 1 till rad får vi ( ( Från sista raden får vi att 0x+0y =, som är en omöjlighet och därför saknar ekvationssystemet lösningar. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 Ett liknande resonemang vad gäller exempel 3 ger då vi adderar 3 gånger rad 1 till rad ( ( Bara med den skillnaden att nu motsvarar sista raden 0x+0y = 0 och det är sant för alla värden på x och y. Eftersom de två linjerna blivit en, förstår vi att de två ekvationerna är identiska. Vi har egentligen endast en ekvation med två obekanta. I det läget bestämmer vi oss för att y = t och x = (4 + t/3. För varje värde på t får man en punkt på linjen, som samtidigt är en ny lösning. Det finns alltså oändligt många lösningar till det tredje ekvationssystemet. Ovan har vi med enkla exempel visat tre olika fall och redovisar nu denna sats. Sats. Linjära ekvationssystem har antingen en, ingen eller oändligt många lösningar. Homogena och inhomogena ekvationssystem Då högerledet i ekvationssystemet består av enbart nollor, kallas systemet homogent. Så fort åtminstone ett element är 0 kallas systemet däremot inhomogent 3x+4y+5z = 0 x y+3z = 0 4x+3y 4z = 0 3x+4y+5z = 1 x y+3z = 3 4x+3y 4z = Samma koefficientmatris i två olika ekvationssystem. Det vänstra är homogent och det högra är inhomogent Underbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är fler än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet underbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är alltså m < n. Betraktar vi de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element, så vet man att de n kolonnvektorena är linjärt beroende. Detta medför att det homogena systemet alltid har oändligt många lösningar där den triviala lösningen, den då x 1 = x = x 3 =... = x n = 0, är en. För det inhomogena systemet kan antalet lösningar vara ingen eller oändligt många. Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Överbestämda ekvationssystem Då antalet obekanta är mindre än antalet ekvationer kallas ekvationssystemet överbestämt. a 11 x 1 +a 1 x +...+a 1n x n = b 1 a 1 x 1 +a x +...+a n x n = b a 31 x 1 +a 3 x +...+a 3n x n = b 3 a 41 x 1 +a 4 x +...+a 4n x n = b 4... a m1 x 1 +a m x +...+a mn x n = b m I systemet ovan är m > n. Betraktar vi även här de n kolonnerna i koefficientmatrisen som vektorer med m element. Så kan dessa kolonner vara antingen linjärt beroende eller linjärt oberoende. Tar vi med både homogena och inhomogena system, så får vi fyra olika kategorier av överbestämda system. För homogena system med linjärt oberoende kolonnvektorer finns bara den triviala lösningen. För det inhomogena systemet med linjärt oberoende kolonnvektorer finns det antingen ingen eller endast en lösning. Då kolonnvektorerna är linjärt beroende har det homogena systemet oändligt många lösningar och det inhomogena ingen eller oändligt många lösningar. Sammanfattning Vi avslutar genomgången av olika typer av linjära ekvationssystem med en översiktstabell där m står för antalet ekvationer och n för antalet obekanta. n < m Kolonnerna oberoende n < m Kolonnerna beroende n = m Kolonnerna oberoende n = m Kolonnerna beroende n > m Kolonnerna beroende linjärt linjärt linjärt linjärt linjärt Homogent system Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Entydig lösning (den triviala Oändligt många lösningar Oändligt många lösningar Inhomogent system Ingen eller en enda lösning Ingen eller oändligt många lösningar Entydig lösning Ingen eller oändligt många lösningar Ingen eller oändligt många lösningar Extra 1. Givet matriserna A = ( B = ( Bestäm 4A+3B. Lösning: ( ( = ( ( = ( Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Extra. Lös ekvationssystemet med avseende på x och y { x+8y = u x+7y = v Lösning: Vi får x = 7u 8v 6 och y = u+v Den sökta inversen är ( x y 6 och kan ställa upp följande matrisuttryck = 1 ( ( 7 8 u 6 v ( Extra 3. Lös ekvationssystemet med hjälp av matrisalgebra { x+3y = 8 5x y = 1 Lösning: Vi får uppställningen ( 3 5 ( x y = ( 8 1 Vi vet nu att A till A( är 1 ( a a 1 a 11 a a 1 a 1 a 1 a 11 Eftersom A x = b har lösningen x = A b kan vi direkt skriva ( ( ( x = y ( ( x y = 1 19 ( 9 38 = ( 1 1 Vi har matrisen A nedan. Vilka värden har a 3 och a 31? A = Vilken typ är A av? 3 Utför matrismultiplikationen nedan BC = Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 4 Tre matriser A(4, B(3 4, C( 5 ska multipliceras samman till D. Ställ upp det enda möjliga uttrycket för denna multiplikation. Vilken typ får D? 5 Beskriv detta ekvationssystem med ett matrisuttryck. 3x z = 1 z+y = 0 4x = 7 1 a 3 = 1 och a 31 = A( BAC. D får typen ( x y z = Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Så beräknas en invers Vi har i tidigare föreläsning sett vikten av att känna till A, Bland annat vid lösandet av ekvationssystem. Att hitta inversen till A( är som vi vet ganska enkelt. Här ska vi först koncentrera oss på matriser av typen (3 3 och deras inverser. Ett krav, för att det ska finnas en invers till A, är att det(a 0. Vi är redan bekanta med hur determinanten till (3 3-matriser bestäms. Om vi har matrisen A = så kan vi först ange följande formel för A = 1 det(a a 11 a 1 a 13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 13 a 3 a 1 a 33 a 1 a 3 a 13 a a 3 a 31 a 1 a 33 a 11 a 33 a 13 a 31 a 13 a 1 a 11 a 3 a 1 a 3 a a 31 a 1 a 31 a 11 a 3 a 11 a a 1 a 1 Denna formel är svår att lära sig utantill. Så här kommer man fram till den. Vi startar med A(3 3 a 11 a 1 a 13 A = a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33 och bildar en tillfällig matris B a a 33 a 3 a 3 (a 1 a 33 a 3 a 31 a 1 a 3 a a 31 B = (a 1 a 33 a 13 a 3 a 11 a 33 a 13 a 31 (a 11 a 3 a 1 a 31 a 1 a 3 a 13 a (a 11 a 3 a 13 a 1 a 11 a a 1 a 1 Ett element i B bildas genom att stryka den rad och den kolumn som elementet befinner sig i och bestämma determinanten till den ( matris som återstår. Dessutom får elementen tecken enligt När vi sedan bestämmer B T får vi adj A och A = 1 det A adj A Bättre är då kanske, att försöka finna en metod att räkna sig fram till inversen. Vi använder här Jacobis metod som fungerar för alla matriser A sådana att det(a 0. Exempel Målet är nu att få en E-matris till vänster om det lodräta strecket. Matrisen till höger om strecket är då A. Samma tre regler som vid Gausselimination gäller även här. Håkan Strömberg 10 KTH Syd

11 Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Addera rad1 till rad Addera rad1 till rad3 Addera rad till rad Multiplicera rad och rad3 med Addera rad till rad1 Addera rad3 till rad1 Addera rad3 till rad Äntligen har vi kommit fram till att 6 A = Det är fritt fram att kontrollera att A A = E. Exempel 5. När vi ska lösa ekvationssystemet 3x y z = 3z+y = y x = kan man ställa upp ekvationen A x = b, söka A och till sist få lösningen genom x = A b. Det är dock enklare att lösa ekvationssystemet med Gausselimination. Vi har gjort det förut och vi gör det igen! Håkan Strömberg 11 KTH Syd

12 Multiplicera rad3 med 3 Addera rad1 till rad3 Multiplicera rad med 4 Addera rad till rad Vi få nu direkt z = och sätter in detta värde i rad och får 4y( = 8 som ger y = 1. Till slut sätter vi in z = och y = 1 i rad1 och får 3x 1( =, som ger x = 0. Svar: x = 0,y = 1 och z = Exempel 6. För att ett ekvationssystem ska ha en entydig lösning måste determinanten av koefficientmatrisen var 0. Med hjälp av denna kunskap kan vi avgöra för vilket a detta ekvationssystem har en entydig lösning x+3ay+z = 7 x+z = 3 y+z = 4 Koefficientmatrisen är När vi bestämmer det(a A = A = 3a a = 4+3a 8 deta = 0 då 4+3a 8 = 0, alltså a = 4. Svar: Då a = 4 har ekvationen ingen entydig lösning. Håkan Strömberg 1 KTH Syd

13 Exempel 7. För vilka värden på a har ekvationssystemet entydiga lösningar? ax+y+3z = 4 x+y+5z = 7 3x+y+az = Koefficientmatrisen är A = a a A = a a = a a+a = a 4a 6 Ekvationen a 4a 6 = 0 har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: Systemet saknar entydig lösning då a = eller a = 3. Exempel 8. Undersök hur många lösningar ekvationssystemet har för olika värden på a. Ange dessutom lösningarna { x+ay+ a = 0 ( ax 3y+1 = 0 Vi börjar med att hyfsa till systemet, så att vi kan hitta koefficientmatris och högerled. { x+ay = a ( ax 3y = A = ( 1 a a 3 det(a = 3 a( a. det(a = 0 då a a 3 = 0, som har rötterna a 1 = och a = 3. Systemet har entydig lösning då a 1 och a 3. x = y = 1 a 1+a 1+a Det är uppenbart att då a = så saknar systemet lösning. Addera 3 gånger rad1 till rad [ [ Vilket visar att lösning saknas. Men hur är det då a = 3? Totalmatrisen ser då ut så här [ ] Addera rad1 till rad. [ Vilket betyder oändligt många lösningar. ] ] ] Håkan Strömberg 13 KTH Syd

14 Exempel 9. Bestäm inversen till A = Lösning: Vi startar med att bestämma 1 1 det A = = = 1 Nu är det dags att bestämma adj A, men först B, eftersom vi inte orkar transponera direkt. ( B = ( 3 ( som sedan ger För säkerhets skull en test: A = 1 1 adj A = AA = = = Problem 1. Lös ekvationen Där Svar: x 1 = 8,x = 3 ( 0 1 B = 5 1 Problem. Lös tipsekvationen BC x = b C = 1 x x ( = 0 b = ( 3 Svar: x 1 = 1,x = 4 Problem 3. Lös ekvationen då Svar: x = 6 A = ( AB = BA B = ( x Håkan Strömberg 14 KTH Syd

15 1 Det är visserligen långt ifrån huvudräkning, men ändå, bestäm med Jacobis metod, A då 1 4 A = Utför du detta en gång till så sitter det sedan. Alltså, bestäm med Jacobis metod, A då A = Kan du beräkna den här determinanten i huvudet? det(a = 0 A = A = Håkan Strömberg 15 KTH Syd

16 Mer om ekvationssystem Exempel 10. I figuren ovan ser vi de åtta möjligheter som tre plan kan förhålla sig till varandra. Studera figurerna och fyll i tabellen under rubriken antal lösningar. Svaren kan Håkan Strömberg 16 KTH Syd

17 vara 0, 1, oändligt många plan eller oändligt många linje. Figur Antal lösningar System I nästa steg ska du klassificera följande åtta ekvationssystem. De beskriver var och en ett av de åtta fallen i figurerna. Fyll i tabellen ovan med bokstaven för det system som motsvarar viss figur. a c e g 3x1y+z = 4 x 4y+z = x 6y+3z = x+y z = x+y z = 0 x y+z = x+y+z = x y z = 4 x+4y+4z = 10 x+y+z = 3 x+y+z = 8 x y+3z = a b d f h x+y z = 3 6x y+4z = 6 x+y z = 3 x y z = 4 x+y = 0 x+y z = 5x+1y+z = 15x+36y+3z = 10 0x+48y+4z = 3x+y+z = 6x 4y z = 4 15x+10y+5z = 10 Addera /3 gånger rad1 till rad3 och rad /3 1/3 /3 0 7/3 7/3 0/3 Addera 7 gånger rad till rad /3 1/3 / Håkan Strömberg 17 KTH Syd

18 Systemet saknar lösning. Om vi tittar på två plan i taget får vi tre ekvationssystem { 3x1y+z = 4 x 4y+z = som har lösningen l 1 = ( 6,,0 +(3,1,1t, en linje. Sätt z = t och lös ekvationssystemet med avseende på x och y. Lös först ut x, x = 4 t+11y 3 ur första ekvationen och sätt in i den andra 4 t+11y 3 4y+t = 4 t+11yy+3t = 6 y = +t Detta ger x = 4 t+11( +t 3 x = 6+3t { 3x1y+z = 4 x 6y+3z = som har lösningen l = (46/7,10/7,0 +(3,1,1t en linje. { x 4y+z = x 6y+3z = som har lösningen l 3 = (10,,0+(3,1,1t en linje. Varje par av plan skär varandra utefter en rät linje. Riktningsvektorern (3, 1, 1 är gemensam för de tre linjerna, vilket betyder att de är parallella. Figur 3. b Addera gånger rad1 till rad. Addera /3 gånger rad1 till rad /3 4/3 Byt plats på rad och rad /3 4/ Systemet har oändligt många lösningar. Vi ser att planen i rad1 och rad är identiska, till exempel genom att dividera båda led i plan med. Det tredje planet skär dessa två efter en rät linje. Figur 5. Håkan Strömberg 18 KTH Syd

19 c Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad Planet på rad1 är identiskt med planet på rad3. Planet på rad är parallellt med de andra två planen. Systemet har alltså ingen lösning. Figur 7. d Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera gånger rad till rad Systemet har en entydig lösning, nämligen z =, y = och x = 1. Figur 8 e Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Addera rad till rad Systemet har oändligt många lösningar. Då vi som i a löser ekvationen mellan två plan i sänder får vi varje gång samma linje: l = (,3,0 +(0,,1t. Figur 6 Håkan Strömberg 19 KTH Syd

20 f Addera 3 gånger rad1 till rad. Addera 4 gånger rad1 till rad Systemet saknar lösning. Vi ser att det handlar om tre parallella plan. Figur. g Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad Byt rad med rad Systemet saknar lösning. Vi ser att planet i rad 1 är parallellt med planet i rad. Det tredje planet skär de andra två. Figur 4. h Addera gånger rad1 till rad. Addera 5 gånger rad1 till rad Systemet har oändligt många lösningar. De tre planen är identiska. Figur 1. Håkan Strömberg 0 KTH Syd

21 Här har vi den ifyllda tabellen Figur Antal lösningar System 1 plan h ingen f 3 ingen a 4 ingen g 5 linje b 6 linje e 7 ingen c 8 punkt d Exempel 11. Lös ekvationen Från determinanten får vi x 1 x x 3 = 0 Som har rötterna x 1 = 5 och x = 3 Exempel 1. Lös olikheten Från determinanten får vi ekvationen 1x +455x 6x = 0 3x +45 6x = 0 x +x5 = 0 3 x 1 1 x 3 > x x x8 = 0 x x 4 = 0 x x = 0 som har rötterna x 1 = 3 och x = 4. Vi kan nu skriva olikheten (x+3(x 4 > 0 Med gammal känd teknik får vi x < 3 eller x > 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd

22 Problem 4. Bestäm inversen till Addera rad1 till rad3. Multiplicera rad med Addera 3 gånger rad till rad3. C = Multiplicera rad3 med Addera rad3 till rad Addera gånger rad till rad1 Den sökta inversen är C = 4 3 Håkan Strömberg KTH Syd

23 Exempel 13. Lös för alla möjliga a, ekvationssystemet ax+y+z = 1 x+ay+z = a x+z+az = a Först bestämmer vi determinanten för koefficientmatrisen. a a a = a (1+a+1 a (1+a = a 3 +a a Ekvationen a 3 +a a = 0 har rötterna a 1 = 0, a = 1 och a 3 =. För dessa tre värden på a finns ingen entydig lösning till systemet. Vi ställer nu upp totalmatrisen och ser vad Gausseliminationen leder till för de tre fallen. Då a = 0 By plats på rad 1 och rad. Addera gånger rad1 till rad När a = 0 har vi oändligt många lösningar. För att se vad dessa lösningar bildar sätter vi z = t, som ger y = 1 t och till sist x = t. Lösningarna bildar alltså linjen (x,y,z = (0,1,0 +(1,,t Då a = Vi får totalmatrisen Byt plats på rad1 och rad Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad Håkan Strömberg 3 KTH Syd

24 Addera /3 gånger rad till rad Ur totalmatrisen får vi då att för a = saknas lösning. Då a = Addera gånger rad1 till rad. Addera gånger rad1 till rad3. Byt plats på rad och rad Systemet har oändligt många lösningar. Som tidigare sätter vi z = t och får då y+t = 0, y = t. Till sist får vi x + t + t = 1, som ger x = 1 t. Lösningarna ligger utefter linjen: (x,y,z = (1,0,0 +(,1,1t För a då det(a 0 Detta blir den mest krävande beräkningen. Vår totalmatris är a a 1 a a a Byt plats på rad1 och rad a a 1 a 1 a a Addera gånger rad1 till rad. Addera a gånger rad1 till rad a a 0 a a a a a a 1 a 3 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

25 Addera /a gånger rad till rad a a 0 a a a a 0 0 a a a 3 +a Jaha! Vi får z = a3 +a a a+ = a(a(a+1 = a(a+1 (a(a+ a+ Detta z substituerar vi nu i rad och får ay a (a+1 a+ y = y = y = y = = a a a a + a (a+1 a+ a (a a (a++a (a+1 a+ a (a a (a++a (a+1 a+ a a+ a a y = a+ Återstår så att lösa ut x. Vi får genom substitution x+ a(a+1 a+ = a x = a (a+ a(a+1 a+ x = a a+ Till sist får vi lösningen: x = a a+ y = a+ z = a(a+1 a+ Håkan Strömberg 5 KTH Syd

26 Exempel 14. Bestäm under vilken vinkel linjen x = 3 t y = 1+t z = t skär planet 3x+y z = 0. Vi har linjens riktningsvektor r = (,1, och planets normalvektor n = (3,,. Vi startar med att med hjälp av formeln θ = arccos bestämma vinkeln mellan dessa två vektorer n r n r θ = arccos (3,, (,1, (3,, (,1, Detta leder till θ = arccos 3 7 Slår vi detta resultat på dosa får vi θ Vinkeln mellan de två vektorerna kan ses som både och Vi är intresserade av ett resultat som är < 90 och väljer därför Vinkeln mellan planet och linjen blir då Exempel 15. Lös ekvationssystemet { x 3y+z = 8 4x 6y+z = 17 Lösningen kan ses som skärningen mellan två plan. Systemet är underbestämt, det finns fler obekanta än ekvationer. Vi vet att detta system inte kan ge en entydig lösning två plan kan inte skära varandra i endast en punkt! Vi tar till Gausselimination och ställer upp totalmatrisen [ ] Addera gånger rad1 till rad [ Detta betyder att systemet saknar lösning. Planen är parallella vilket vi lätt kan se när vi betraktar planens normalvektorer ] Håkan Strömberg 6 KTH Syd

27 Exempel 16. Vi tar ett till liknande { x+3y z = 5 4x+6y+z = 8 Upp med totalmatrisen Addera gånger rad1 till rad [ [ ] ] Ur detta får vi att z = 3. Men sedan? Vi substituerar z i första ekvationen och får x+3y+ 3 = 5 x+3y = 13 3 Sätt y = t och lös ekvationen med avseende på x Lösningen är som väntat en linje x+3t = 13 3 x = t x = 13 9t 6 y = t z = 3 Exempel 17. Lös ekvationssytemet x+y+z+w = 1 x y+z w = 1 x y+z+w = 1 Åter ett underbestämt problem med följande totalmatris Addera gånger rad1 till rad. Addera rad1 till rad Sätt w = t ger z = 1 t. Sätt in w = t i rad, ger y t = 0, y = t. Till sist får vi x genom x t+(1 t+t = 1 och x = t. Svar: x = t,y = t,z = 1 t,w = t Håkan Strömberg 7 KTH Syd

28 Exempel 18. Lös det underbestämda ekvationssystemet x+y+z+w = 8 x+y+3z+4w = 10 3x+4y+5z+6w = 18 Vi får totalmatrisen Byt plats på rad1 och rad Addera gånger rad1 till rad. Addera 3 gånger rad1 till rad Addera gånger rad till rad Sätt z = s och w = t ger från rad ekvationen y 4s 6t =, y = 6 3t s. In med y,z och w i rad1 ger x+(6 3t s+3s+4t = 10, x = +s+t. Svar: x = +s+t y = 6 3t s z = s w = t Exempel 19. Denna uppgift består i att först bestämma två tredjegradspolynom och därefter ta reda på i vilka punkter de skär varandra. Man vet att det första polynomet går genom följande punkter och att det andra har följande data x y x y Vi första polynomet har följande utseende p 1 (xa 3 x 3 +a x +a 1 x+a 0 Håkan Strömberg 8 KTH Syd

29 Det andra p (xb 3 x 3 +b x +b 1 x+b 0 Det är de 8 koefficienterna som ska bestämmas. Det första polynomet med tillhörande data ger ekvationssystemet 15a 3 +5a +5a 1 +a 0 = 50 51a 3 +64a +8a 1 +a 0 = 838 7a 3 +9a +3a 1 +a 0 = 68 8a 3 +4a +a 1 +a 0 = Har en lösning som leder fran till polynomet Över till det andra polynomet som har en lösning som leder till p 1 (x = x 3 +5x +x0 b 3 +b +b 1 +b 0 = 64b 3 +16b +4b 1 +b 0 = b 3 +5b +5b 1 +b 0 = 306 8b 3 +4b b 1 +b 0 = p (x = x 3 +3x 3x 4 För att se var dessa polynom skär varandra sätter vi p 1 (x = p (x x 3 +5x +x0 = x 3 +3x 3x 4 x 3 x 5x+6 = 0 Här kan man gissa all tre rötterna om man har tur! x =, x = 1 och x = 3. Återstår att bestämma p 1 ( =,p 1 (1 = och p 1 (3 = 68, som ger skärningspunkterna (,, (1,, (3, Håkan Strömberg 9 KTH Syd

30 Extra 4. Beräkna A, A 3, A 4, A 5 och gissa vad A n blir då ( 0 A = 0 3 Lösning: En korrekt gissning är ( A 4 0 = 0 9 ( A = 0 81 A n = ( n n Extra 5. För vilka värden på a har matrisen A en invers a 1 a ( A = 0 7 ( A = 0 43 Lösning: Bestäm a 1 a = a a a då a a 3 = 0 saknar matrisen invers. Ekvationen har rötterna a 1 = och a = 3. Svar: för a och a 3 har matrisen en invers. Håkan Strömberg 30 KTH Syd

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1

Övningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1 Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x

Läs mer

Avsnitt 4, Matriser ( =

Avsnitt 4, Matriser ( = Avsnitt Matriser W Beräkna AB då ( a A ( - b A B B ( 8 7 6 ( - - - och Först måste vi försäkra oss om att matrismultiplikationen verkligen går att utföra För att det ska gå måste antalet kolumner i den

Läs mer

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0

Övningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0 Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 1 Måndagen den 29 november, 2010 SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning Måndagen den 29 november, 200 UPPGIFT () Betrakta det linjära ekvationssystemet x + x 2 + x 3 = 7, x x 3 + x 4

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem

Läs mer

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination

Läs mer

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13

Innehåll. 1 Linjärt ekvationssystem (ES) 5. 2 Grundläggande algebra 13 LINJÄR ALGEBRA Innehåll Linjärt ekvationssstem (ES) 5 Grundläggande algebra 3 3 Matrisalgebra 5 3 Addition av matriser 5 3 Multiplikation mellan matriser 7 33 Enhetsmatris 34 Invers matris 34 Nollmatris

Läs mer

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser

1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Krister Svanberg, mars 2015 1 Grundläggande kalkyler med vektorer och matriser Trots att läsaren säkert redan behärskar grundläggande vektor- och matriskalkyler, ges här i Kapitel 1 en repetition om just

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor

TENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Onsdagen 17 november 2010. Tentamen består av 3 sidor TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Onsdagen 17 november 2010 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,

Läs mer

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser

Dagens program. Linjära ekvationssystem och matriser Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers,

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t SF624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag måndag, 3 mars 207 Betrakta vektorerna P =, Q = 3, u = Låt l vara linjen som går genom 2 0 P och Q och låt l 2 vara linjen som är parallell med u

Läs mer

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON

EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON EXEMPEL OCH LÖSNINGAR I LINJÄR ALGEBRA PER ALEXANDERSSON Sammanfattning. Detta kompendie är främst avsett som ett komplement till Tengstrands Linjär algebra med vektorgeometri, [Ten05]. Materialet innehåller

Läs mer

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA.

1.1 Skriv följande vektorsummor som en vektor (a) AB + BC (b) BC + CD + DA. Övningsuppgifter i anslutning till Kapitel. Skriv följande vektorsummor som en vektor a AB + BC b BC + CD + DA..2 Sök i nedanstående figur de vektorer som har samma längd och samma riktning som vektorn

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

M = c c M = 1 3 1

M = c c M = 1 3 1 N-institutionen Mikael Forsberg Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a Deadline :: 8 9 4 Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 6 Institutionen för matematik KTH 11 november 2016 Feedback Innan vi börjar: En liten feedback-övning Vad menas med rangen av en matris? Vad menas med ett homogent linjärt ekvationssystem?

Läs mer

8 Minsta kvadratmetoden

8 Minsta kvadratmetoden Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från

Läs mer

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan).

Studieanvisningar. H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra och geometri I, 5 hp (distans) 2-3-7 Studieanvisningar. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A () (a) Använd Gauss-Jordans metod för att bestämma lösningsmängden till ekvationssystemet 2x + 4x 2 + 2x 3 + 2x 4 = 2, 3x + 6x 2 x 3

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 69 kl 4-8 Tentamen Telefonvakt: Linnea Hietala 55 MVE48 Linjär algebra S Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A (1) Vid lösningen av ekvationssystemet x 1 3x 2 +3x 3 4x 4 = 1, x 2 +x 3 x 4 = 0, 4x 1 +x 2 x 3 2x 4 = 5, kommer man genom Gausselimination

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Vektorer i planet och i rummet III Innehåll

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A (1) (a) Bestäm de övriga rötterna till ekvationen z 3 11z 2 + 43z 65 = 0 när det är känt att en av rötterna

Läs mer

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen?

c) Sarrus regel ger L6.2 Hur många lösningar har ekvationssystemen? Avsnitt Determinanter L Använd determinanter för att avgöra om följande matriser är inverterbara ( ) a) b) 5 8 ( ) cos ϕ sin ϕ c) d) sin ϕ cos ϕ En matris A är inverterbar om och endast om det A Vi beräknar

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl

Linjär algebra. Lars-Åke Lindahl Linjär algebra Lars-Åke Lindahl 2009 Fjärde upplagan c 2009 Lars-Åke Lindahl, Matematiska institutionen, Uppsala universitet Innehåll Förord................................. v 1 Linjära ekvationssystem

Läs mer

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.

Moment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning. Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A =

6. Matriser Definition av matriser 62 6 MATRISER. En matris är ett rektangulärt schema av tal: a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n A = 62 6 MATRISER 6 Matriser 6 Definition av matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal: A a a 2 a 3 a n a 2 a 22 a 23 a 2n a m a m2 a m3 a mn Matrisen A säges vara av typ m n, där m är antalet rader

Läs mer

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1 Omfattning: Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll: Olika aspekter av linjära ekvationssystem: skärning mellan geometriska objekt, linjärkombination

Läs mer

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med :

Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av. Vi delar båda led i trig. 1:an med : 1 Onsdag v 1 Några saker som jag inte hann: Ur trigonometriska ettan kan vi uttrycka och i termer av Vi delar båda led i trig 1:an med : Detta ger också att vi kan uttrycka : Formeln ger också en formel

Läs mer

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1

Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Svante Ekelin Institutionen för matematik KTH 1995 Studiehandledning till linjär algebra Avsnitt 1 Kapitel 1 och 11.2 alt. 11.9 i Anton/Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications version (7:e uppl.)

Läs mer

8.5 Minstakvadratmetoden

8.5 Minstakvadratmetoden 8.5 Minstakvadratmetoden 8.5. Ett exempel Man ville bestämma ett approximativt värde på tyngdaccelerationen g: En sten slängdes från en hög byggnad och man noterade med hjälp av fotoceller placerade på

Läs mer

1.1 MATLABs kommandon för matriser

1.1 MATLABs kommandon för matriser MATLABs kommandon för matriser Det finns en mängd kommandon för att hantera vektorer, matriser och linjära ekvationssystem Vi ger här en kort sammanfattning av dessa kommandon För en mera detaljerad diskussion

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar I Innehåll En liten tillbakablick:

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning.

En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. En vektor är mängden av alla sträckor med samma längd och riktning. Slappdefinition En vektor är en riktad sträcka som får parallellförflyttas. Tänk på vektorn som en pil. Betecknar vektorer med små bokstäver

Läs mer

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra

TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1. Omfattning. Innehåll 2012-01-20. Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra TMV166/186 Linjär Algebra M/TD 2011/2012 Läsvecka 1 Omfattning Lay, kapitel 1.1-1.9, Linjära ekvationer i linjär algebra Innehåll Olika aspekter av linjära ekvationssystem 1. skärning mellan geometriska

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009 DEL A 1 a Bestäm de komplexa koefficienterna a, b och c så att polynomet Pz z 3 + az 2 + bz + c har nollställena

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 8

Linjär Algebra, Föreläsning 8 Linjär Algebra, Föreläsning 8 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Linjärkombinationer (repetition) Låt v 1, v 2,..., v n vara vektorer i ett vektorrum V. Givet skalärer λ 1, λ 2,..., λ n R så kallas λ

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 2: Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning MATEMATISKA VETENSKAPER TMV66 07 Chalmers tekniska högskola Datorlaboration Examinator: Tony Stillfjord TMV66 Linjär algebra för M Datorlaboration : Matrisalgebra och en mekanisk tillämpning Allmänt Den

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER

STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 STABILITET FÖR LINJÄRA HOMOGENA SYSTEM MED KONSTANTA KOEFFICIENTER Innehåll Stabilitet för en kritisk punkt (grundbegrepp) Stabilitet för ett linjärt homogent system

Läs mer

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället!

INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! INFÖR TENTAN (Av Göran Rundqvist, goranr@math.kth.se) Allmänna råd: Gör inte för mycket av dina räkningar i huvudet, skriv ner dem istället! Ska du t ex förenkla 2(a + b) 2 3(b a) 2 utför först kvadreringarna

Läs mer

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion

VEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Minsta kvadratmetoden

Minsta kvadratmetoden Minsta kvadratmetoden där Överbestämda ekvationssystem Det är lämpligt att uppfatta matrisen A som bestående av n kolonnvektorer: A a a a n a a a n a n a n a nn a j a j a nj a a a n j n Då kan vi skriva

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden NUMPROG, D, vt 006 Föreläsning, Numme-delen Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden En av de vanligaste numeriska beräkningar som görs i ingenjörsmässiga tillämpningar är att lösa ett

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt. Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS. Lösningar till några övningar i Kap 1 i Vektorgeometri 17. I figuren är u en spetsig vinkel som vi har markerat i enhetscirkeln. Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014 SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 214 Skrivtid: 14.-19. Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Roy Skjelnes Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31

För studenter på distans och campus Linjär algebra ma014a 2014 02 10. ATM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41 23 31 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För studenter på distans och campus Linjär algebra maa Skrivtid: 9:-:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Föreläsning 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination Vanlig gausselimination för det linjära ekvationssystemet Ax = b utgår från den utökade matrisen [A b] och applicerar elementära radoperationer på

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri 1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Ryszard Rubinsztein Oswald Fogelklou Linjär algebra och geometri 1 för K1, W1, KandKe1 Höstterminen 2008 Kurslitteratur H.Anton, C.Rorres, Elementary Linear

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Repetera hur man nner bas för rum som spänns upp av några vektorer Reptetera hur man nner bas för summa och snitt av delrum. Reptetera

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: 1 0 1. 1 c 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-4 3 3 För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma4a 5 4 Skrivtid: :-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2

2 = 3 = 1. ekvationssystem är beskriven som de vektorer X = 2 0 1 2. 1 1 0 2 . Tisdagen 35 Igår visade vi att lösningsmängden W R 5 till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x 4 x 5 = (..) 2x 2 + x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 4 5x 5 = har bas u och u 2 och u 3 där 5 2 6

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Linjär algebra med MATLAB

Linjär algebra med MATLAB INGENJÖRSHÖGSKOLAN Matematik Fredrik Abrahamsson, Anders Andersson Innehåll Linjär algebra med MATLAB 1 Grundläggande begrepp 1 1.1 Introduktion...................................... 1 1.2 Genomförande

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer