Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1."

Transkript

1 Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n kallas koefficienter. Polynomets gradtal bestäms när man avgör hur stort n, ett positivt heltal, ska vara. p (x) = 7x 3 3x 2 +2x 00 p (x) är ett tredjegradspolynom. Koefficienterna kan vara 0, så därför är här p 2 (x) ett sjundegradspolynom. När man sätter p(x) = 0, som till exempel p 2 (x) = x 7 + x 3 +2x 0 = 0 får man en polynomekvation. Polynomekvationer med ett gradtal > 4 kan bara händelsevis lösas exakt. Detta visade för länge sedan en ung norsk matematiker vid namn Niels Henrik Abel. Läs mer om honom på nätet. Ekvationer av första graden, typ 3x 5 = 0 lär sig alla någon gång att lösa. Ekvationer av andra graden, till exempel x 2 +x 6 = 0, lär sig nästan alla att lösa. Ekvationer av tredje och fjärde graden kan nästan igen lösa utan hjälp av dator eller formelsamling. Då menar vi ekvationer med godtyckliga koefficienter. Däremot finns det vissa speciella polynomekvationer av gradtal högre än två, där man med hjälp av vissa trick kan finna rötterna. Lösningarna, det vill säga de x för vilka likhet råder, kallas rötter. En polynomekvation har lika många rötter som gradtal. En tredjegradsekvation har alltså tre rötter. I vår kurs finns det rötter vi inte kan ta reda på, de komplexa rötterna. Därför säger vi ibland, lite felaktigt, att vår andragradsekvation saknar rötter, och menar då att den saknar reella rötter. Håkan Strömberg KTH Syd

2 Exempel. Lös ekvationen t 3 +t = 0 Alltså en tredjegradsekvation, där koefficienten till t 2 är lika med 0, men framför allt den konstanta koefficienten är lika med 0. Detta gör det möjligt för oss att lösa ekvationen t 3 +t = 0 t(t 2 +) = 0 Detta är sant då t = 0 eller då t 2 + = 0. Vi har alltså hittat en av de tre rötterna t = 0. För att finna de andra två måste vi lösa ekvationen t 2 + = 0, en andragradsekvation. t 2 + = 0 t = 0± 0 t = 0± Diskriminanten är < 0, då finns inga reella rötter, det har vi redan talat om. Svar: t = 0 är enda reella roten. Ritar vi motsvarande graf, ser vi att den antagligen endast skär x-axeln en enda gång. Det är antalet skärningar med x-axeln, som är måttet på antalet reella rötter Exempel 2. Lös ekvationen x 4 3x 2 +2 = 0 Nu tror vi oss kunna lösa en ekvation av fjärde graden. Det kan vi också, just därför att koefficienterna till x 3 och x är 0. Vi ersätter helt enkelt x 2 = t. Detta kallas att substituera. Nu får vi istället ekvationen: t 2 3t+2 = 0 t = 3 2 ± (3 2) 2 2 t = 3 2 ± 2 t = 2 t 2 = Men det inte är slut här. Vi har ju ersatt x 2 med t. När vi nu går vidare får vi därför två enkla andragradsekvationer. x 2 = och x 2 = 2. Dessa har ju rötterna x =, x 2 = respektive x 3 = 2, x 4 = 2. Som väntat fyra rötter till en fjärdegradsekvation. Håkan Strömberg 2 KTH Syd

3 Partialbråksuppdelning Om man får i uppgift att partialbråksuppdela 3 x 2 x 2 betyder det att man ska dela upp bråket, i detta fall, i två termer. Resultatet visar sig bli x+ + x+2 Så här kommer man fram till det. Vi startar med att faktorisera nämnaren. Detta genom att lösa ekvationen x 2 x 2 = 0. Vi får rötterna x = och x 2 = 2. Nu kan vis skriva nämnaren som två faktorer (x+)(x 2) eftersom detta uttryck är lika med x 2 x 2. I nästa steg ansätter vi vår uppdelning till 3 x 2 x 2 A x+ + B x 2 Vi har fått två obekanta som vi ska identifiera. Observera att vi återfinner de två faktorerna från den ursprungliga nämnaren som nämnare i var sin term. Vi gör nu det högra uttrycket liknämnigt genom att förlänga de båda bråken med lämpliga faktorer A x+ + B x 2 = A(x 2) (x+)(x 2) + B(x+) (x 2)(x+) = A(x 2)+B(x+) x 2 x 2 Vi har nu fått tillbaka den nämnare vi hade i ursprunget. Täljaren ser dock lite knepigare ut. Vi förenklar den A(x 2)+B(x+) Ax 2A+Bx+B x(a+b)+(b 2A) Vi ska nu välja A och B så att detta uttryck får värdet 3, så att den får samma värde som den ursprungliga täljaren. Detta leder till ett ekvationssystem: { A+B = 0 B 2A = 3 A+B = 0 därför att det inte finns någon x-term från början. B 2A = 3 därför att därför att uttrycket vi startade med har värdet 3. Systemet har lösningen A = och B =. Till sist kan vi nu skriva det partialbråksuppdelade uttrycket 3 x 2 x 2 x+ + x 2 Längre fram i kursen, i samband med en del integraler kommer det att bli nödvändigt att kunna hantera denna teknik. Vi tar ett exempel till Exempel 3. Partialbråksuppdela 6 x 2 x 6 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

4 Vi startar med att faktoruppdela nämnaren genom att lösa ekvationen x 2 x 6 = 0. Rötterna är x = 2 och x 2 = 3 Vi ansätter 6 x 2 x 6 A x+2 + B x 3 Vi gör liknämnigt i det högra uttrycket och får A x+2 + B x 3 = Täljaren förenklas A(x 3) (x+2)(x 3) + B(x+2) (x 3)(x+2) = A(x 3)+B(x+2) x 2 x 6 A(x 3)+B(x+2) Ax 3A+Bx+2B x(a+b)+(2b 3A) När vi nu ska identifiera de olika termerna får vi ekvationssystemet { A+B = 0 2B 3A = 6 Systemet har lösningen A = 6 5 och B = 6 5 Nu kan vi skriva resultatet som 6 x 2 x 6 6 5(x+2) + 6 5(x 3) Polynomdivision Så här fick vi en gång i tiden lära oss att utföra en division. Bestäm genom att använda divisionsalgoritmen Exempel 4. Exempel 5. Utför divisionen : 2 4 = x 3 2x 2 5x 6 x+2 x 3 2x 2 5x +6 : x+2 = x 2 4x+3 x 3 +2x 2 4x 2 5x 4x 2 8x 3x +6 3x +6 0 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

5 Om vi så önskar kan vi nu lösa andragradsekvationen x 2 4x+3 = 0 och få rötterna x = och x 2 = 3. Utför vi till sist (x+2)(x )(x 3) får vi det ursprungliga polynomet Exempel 6. Utför divisionen Vi tar ett exempel till x 3 x 2 4x 05 x 2 8x+5 x 3 x 2 4x 05 : x 2 8x+5 = x+7 x 3 8x 2 +5x 7x 2 56x 05 7x 2 56x 05 0 Även den här gången kan vi, om vi är intresserade finna tre faktorer av första graden vars produkt överensstämmer med x 3 x 2 4x 05. När vi löser andragradsekvationen x 2 8x+5 = 0 får vi rötterna x = 3 och x 2 = 5. Detta ger uttrycket (x 3)(x 5)(x+7) = x 3 x 2 4x 05 Faktorsatsen Faktorsatsen säger att om a är en rot till polynomekvationen p(x) = 0 så gäller att p(x) = (x a) q(x) där q(x) är ett polynom med gradtal n då p(x) har gradtalet n. Exempel 7. Ekvationen x 2 +3x 08 = 0 har en rot x = 9 och vi söker den andra. Vi bortser nu från att vi kan finna den andra roten genom att lösa andragradsekvationen på vanligt sätt och funderar nu över x 2 +3x 08 (x 9)(ax+b) x 2 +3x 08 ax 2 +bx 9ax 9b q(x) = ax+b är ett förstagradspolynom, var koefficienter a och b vi nu söker. Vi identifierar nu de olika koefficienterna = a x 3 = b 9a konst 08 = 9b x 2 Ett ekvationssystem som kan lösas i huvudet ger a = och b = 2 och vi får x+2 som ger x 2 = 2. Vi har faktoriserat polynomet x 2 +3x 08 (x 9)(x+2) Exempel 8. Lös ekvationen x 3 2x 2 29x 42 = 0 Knepet här är att gissa en rot. Varken speciellt matematiskt eller verklighetstroget, men det är ofta så det går till i den väl tillrättalagda skolmatematiken. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

6 När man nu ska till att gissa, är det heltalsrötter man siktar in sig på. Det är mindre troligt att x = 7 är en bra gissning. Med största sannolikhet ska man gissa på ett heltal i intervallet 3 x 3. Efter en del tester finner vi roten x = 2. De andra två rötterna kan vi nu, via polynomdivision, bestämma utan att gissa. Alternativ möjlighet x 3 2x 2 29x 42 (x+2)(ax 2 +bx+c) x 3 2x 2 29x 42 ax 3 +(2a+b)x 2 +(2b+c)x+2c Vi kan nu direkt i huvudet identifiera koefficienterna a,b och c. a =, b = 4 och c = 2. Härifrån kan vi nu sätta upp ekvationen x 2 4x 2 = 0 Som har rötterna x 2 = 3 och x 3 = 7 och tredjegradsekvationen är nu löst och vi kan skriva den på faktoriserad form (x+3)(x 7)(x+2) = 0 Exempel 9. Ekvationen x 3 +3x 2 0x 24 = 0 har en rot x = 2. Vilka är de två andra? Problemet löser vi med polynomdivision. Genom att dividera vänsterledet i ekvationen med (x+2) får vi ett andragradspolynom, vars nollställen vi erhåller genom att lösa motsvarande andragradsekvation. x 3 +3x 2 0x 24 : x+2 = x 2 +x 2 x 3 +2x 2 x 2 0x x 2 +2x 2x 24 2x 24 Ekvationen x 2 +x 2 = 0 har rötterna x 2 = 3 och x 3 = 4 Svar: x 2 = 3 och x 3 = 4 0 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

7 Huvudräkning. Utgår vi från rötterna x = r och x 2 = r 2 till en andragradsekvation och utvecklar (x r )(x r 2 ) = 0 får vi x 2 (r +r 2 )x+r r 2 = 0 Använd detta samband mellan rötter och koefficienter genom att i huvudet lösa a) x 2 3x+2 = 0 b) x 2 5x+4 = 0 c) x 2 5x+6 = 0 d) x 2 2x 5 = 0 Huvudräkning 2. Vilken funktion har följande graf? Huvudräkning 3. Funktionen f(x) = x 2 4 har följande graf. Skissa g(x) = x Extra. Faktorisera x 2 y xy 2 x 2 y xy 2 = xy(x y) Extra 2. Faktorisera x 2 yz xy 2 z+2xyz 2 x 2 yz xy 2 z+2xyz 2 = xyz(x y+2z) Extra 3. Faktorisera ax 2by 2ay+bx ax 2by 2ay+bx = x(a+b) 2y(a+b) = (a+b)(x 2y) Håkan Strömberg 7 KTH Syd

8 Extra 4. Faktorisera x 2 +3x 0 För att finna faktorerna till x 2 +3x 0 måste man lösa motsvarande andragradsekvation x 2 +3x 0 = 0 x = 3 2 ± (3 2) 2 +0 x = 3 2 ± 49 4 Detta ger svaret (x + 5)(x 2) x = 3 2 ± 7 2 x = 5 x 2 = 2 Extra 5. Faktorisera x 2 y2 4 Med hjälp av konjugatregeln får vi Extra 6. Faktorisera 8x 4 y 4 x 2 y2 (x 4 = y )( x+ y ) 2 2 Här använder vi konjugatregeln två gånger 8x 4 y 4 = (9x 2 y 2 )(9x 2 +y 2 ) = (3x y)(3x+y)(9x 2 +y 2 ) Extra 7. Förenkla x 2 x 2 x 2 6 Om vi faktoriserar täljare och nämnare kan vi alltid hoppas att någon av faktorerna kan förkortas bort. För att klara faktorisering av täljaren behöver vi lösa en andragradsekvation. Vi gör inte det i detalj här. Rötterna är x = 4 och x 2 = 3. Vi använder konjugatregeln för nämnaren och får: (x 4)(x+3) (x 4)(x+4) = x+3 x+4 Extra 8. Förenkla x x 2 2x 3 2 x+ Här har vi att lösa en andragradsekvation och därefter att göra liknämnigt. Håkan Strömberg 8 KTH Syd

9 Ekvationen har rötterna x = och x 2 = 3 och ger x (x+)(x 3) 2 x+ x (x+)(x 3) 2(x 3) (x+)(x 3) x 2(x 3) (x+)(x 3) 5 x (x+)(x 3) Extra 9. Förenkla x 2 +3x 0 + x 2 +7x+60 Här måste vi lösa två andragradsekvationer för att komma vidare. x 2 +3x 0 = 0 har rötterna x = 5 och x 2 = 2 och ger (x + 5)(x 2). x 2 + 7x + 60 = 0 har rötterna x = 2 och x 2 = 5 och ger (x+2)(x+5). Vi får nu (x+5)(x 2) + (x+2)(x+5) = (x+2)+(x 2) (x 2)(x+5)(x+2) vidare Extra 0. Förenkla 2(x+5) (x 2)(x+5)(x+2) = 2 (x 2)(x+2) (3x+2y)(x 2y)+4xy (3x+2y)(x 2y)+4xy = 3x 2 6xy+2xy 4y 2 +4xy = 3x 2 4y 2 Extra..8 Uttryck t med hjälp av u och x u = x2 +t x 2 t u(x 2 t) = x 2 +t ux 2 ut = x 2 +t ux 2 x 2 = t+ut Extra 2. Lös olikheten x 2 (u ) = t(+u) t = x2 (u ) u+ 5 x < 2 Håkan Strömberg 9 KTH Syd

10 Vi följer idéerna från föreläsning. 5 x < 2; 5 x 2 < 0; 5 2x < 0 x Uttrycket är < 0 då x < 0 eller x > 5 2 x < 0 x = 0 0 < x < 5 2 x = 5 2 x > x x x x+2 odef + 0 Extra 3. Lös olikheten 2 x < 2 x < ; 2 x < 0; (2 x) < 0; 2 x x 2 x < 0 Uttrycket är < 0 då x < eller x > 2 x < x = < x < 2 x = 2 x > 2 x x x 2 x 0 + odef Extra 4. Lös olikheten 3x 2 x > 2 3x 2 x > 2; 3x 2 x 2 > 0; 3x 2 2(x ) > 0; x x x > 0 Uttrycket är > 0 då x < 0 eller x > x < 0 x = 0 0 < x < x = x > x x 0 + x x + 0 odef + Extra 5. Lös olikheten 3 3x 2 > x+4 3 3x 2 > x+4 ; 3 3x 2 x+4 > 0; 3(x+4) (3x 2) > 0; (3x 2)(x+4) 4 (3x 2)(x+4) > 0 Håkan Strömberg 0 KTH Syd

11 x < 4 x = 4 4 < x < 2 3 x = 2 3 x > x x (3x 2)(x+4) + odef odef + Uttrycket är > 0 då x < 4 eller x > 2 3. Så här ser grafen ut Extra 6. Lös olikheten x 2 < 2+ x Vi börjar med att skriva om uttrycket till x 2 2 x < 0. Då x 0 övergår uttrycket i x 2 2+x < 0 och då x 0 är det x 2 2 x < 0 som gäller. Problemet har nu delats upp i två problem, ett då x 0 och ett då x 0. Vi börjar med x 0 och faktoriserar x 2 2 x genom att lösa motsvarande andragradsekvation. Vi får (x )(x+2) < 0. Vi ställer upp tillhörande tabell. x < 2 x = 2 2 < x < x = x > x x 0 + (x )(x+2) Ur detta kan vi läsa att uttrycket är sant då 2 < x < och x 0. Alltså då 2 < x 0. Dags för x 0. Vi faktoriserar nu x x och får nu (x 2)(x + ) < 0. Tillhörande tabell: x < x = < x < 2 x = 2 x > 2 x x (x 2)(x+) Ur detta kan vi läsa att uttrycket är sant då < x < 2 och x 0. Alltså då 0 x < 2. Som svar får vi då 2 < x < 2. Så här ser motsvarande graf ut: Håkan Strömberg KTH Syd

12 Extra 7. Bestäm A och B så att (x+)(x 2) A x+ + B x 2 a) Uttrycket till vänster ska skrivas om till det till vänster. Detta kallas partialbråksuppdelning. Vi måste bestämma A och B (x+)(x 2) A x+ + B x 2 Vi starta med att göra uttrycket till höger liknämnigt A x+ + B x 2 = A(x 2)+B(x+) = Ax 2A+Bx+B = (A+B)x+B 2A) (x+)(x 2) (x+)(x 2) (x+)(x 2) Vi identifierar så koefficienterna och får ekvationssystemet { A+B = 0 B 2A = Vi får A = 3 och B = 3. Detta betyder att vi ni kan skriva uttrycket Extra 8. Bestäm A och B så att 3(x+) + 3(x 2) 3x+2 A(x )+B(x 2) På liknande sätt, som i föregående uppgift, ska vi identifiera A och B. Men nu enklare: 3x+2 A(x )+B(x 2) Vi fortsätter med högra ledet A(x )+B(x 2) = Ax A+Bx 2B = (A+B)x A 2B Vi får ett ekvationssystem att lösa { A+B = 3 A 2B = 2 som har lösningen A = 8 och B = 5, vilket betyder att vi kan skriva det ursprungliga uttrycket som 8(x ) 5(x 2) Håkan Strömberg 2 KTH Syd

13 Extra 9. Bestäm A och B så att 5x+ x 2 +x+ A(2x+)+B x 2 +x+ 5x+ x 2 +x+ A(2x+)+B x 2 +x+ Vi kan släppa nämnaren och koncentrera oss på täljaren Ekvationssystemet blir denna gång { A(2x+)+B 2Ax+A+B A+B = 3 A 2B = 2 Som har lösningen A = 5 2 och b = 3 2, vilket betyder att vi kan skriva uttrycket som 5 2 (2x+) 3 2 x 2 +x+ Extra 20. Beräkna med hjälp av Pascals triangel (x 3) kan vi med hjälp av 5:raden utveckla (a+b) 4. Vi får först Med vårt uttryck (x 3) 4 får vi så Till sist a 4 b 0 +4a 3 b +6a 2 b 2 +4a b 3 +a 0 b 4 x 4 ( 3) 0 +4x 3 ( 3) +6x 2 ( 3) 2 +4x ( 3) 3 +x 0 ( 3) 4 x 4 2x 3 +54x 2 08x+8 Extra 2. Beräkna med hjälp av Pascals triangel (2x+3) 5 Nu ska vi använda 5:e raden i Pascals triangel och utveckla (a+b) 5 som blir Med vårt uttryck (2x+3) 5 får vi Till sist a 5 b 0 +5a 4 b +0a 3 b 2 +0a 2 b 3 +5a b 4 +a 0 b 5 (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) 3 4 +(2x) x x x x 2 +80x+243 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

14 Extra 22. Faktorisera följande polynom och skissa grafen f(x) = x 3 2x 2 x+2 Vi behöver en rot till ekvationen x 3 2x 2 x+2 = 0. Det finns inget annat än att gissa. x = brukar vara en högoddsare : = 2 +2 = 0 Ja! Då måste en faktor vara (x ). Nästa faktor kan vi nu erhålla genom polynomdivision. x 3 2x 2 x +2 : x = x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x x 2 +x 2x +2 2x 2 0 Återstår sedan att faktorisera x 2 x 2 eftersom andragradsekvationen x 2 x 2 = 0 har rötterna x = 3 och x 2 = 4. (Vi ger fortsättningen inga detaljer lösandet av andragradsekvationer). Detta leder till svaret (x )(x + 3)(x 4) Extra b) Faktorisera följande polynom och skissa grafen f(x) = x 3 +2x 2 5x 6 Den här gången fungerar inte x =. Klurigt ska vi satsa på x = eller x = 2? Det visar sig att båda fungerar och då har vi egentligen redan hittat två faktorer x 2 och x+. Eftersom (x 2)(x+) = x 2 x 2 kan vi nu använda polynomdivision för att få fram den tredje faktorn. x 3 +2x 2 5x 6 : x 2 x 2 = x+3 x 3 x 2 2x 3x 2 3x 6 3x 2 3x 6 0 Vi kan skriva svaret (x 2)(x+)(x+3). Självklart hade det räckt med att hitta nollstället för x = (eller x = 2) och sedan gå vidare som i extrauppgift 22. Extra 24. Faktorisera följande polynom och skissa grafen f(x) = x 3 +2x 2 5x 6 Ekvationen x 4 +x 2 2 = 0 kan lösas utan att gissa, trots att det är en polynomekvation av fjärde graden. Idén består i att substituera t = x 2 och får andragradsekvationen t 2 +t 2 = 0 som har rötterna t = och t 2 = 2. Vi har nu att lösa ekvationerna x 2 = och x 2 = 2. Den första har rötterna x = och x 2 =. Den andra saknar reella rötter och kan inte faktoriseras. Detta ger (t )(t+2) = (x 2 )(x 2 +2) = (x )(x+)(x 2 +2) Håkan Strömberg 4 KTH Syd

15 Extra 25. Lös värdet av följande uttryck för x = 3, x = 0 respektive x = 3 Uttrycket x 2 2 x = ( 3) 2 2 ( 3) = 5 5 = 0 x 2 2 x = = 0 x 2 2 x = = = 0 Är det så att f(x) = x 2 2 x 0? Javisst! Extra 26. Lös värdet av följande uttryck för x = 3, x = 0 respektive x = 3 Uttrycket x 2x = ( 3) 2( 3) = 3 7 = 4 x 2x = = 0 = x 2x = = 3 5 = 2 Plottar vi funktionen f(x) = x 2x får vi följande graf Extra 27. Lös ekvationen 3x x +2 x+ =. Plottar vi ekvationen får vi men nu gäller det att lösa problemet analytiskt. Först måste vi söka upp de x då uttrycken i absolutbeloppen vänder. Detta leder till tre ekvationer x < x och x+ vänder < x < x vänder x > ingen vänder 3x (x+)+2(x+) = () 3x ( x)+2(x+) = (2) 3x (x )+2(x+) = (3) De tre ekvationerna har rötterna x = 7 2, x 2 = 5 3 respektive x 3 = 2. Det är endast x 3 = 2 som ligger i tillåtet intervall x >. Håkan Strömberg 5 KTH Syd

16 Extra 28. Lös olikheten x+ x 2 < x+ Vi överför olikheten till x + x 2 x + < 0 och nöjer oss med en grafisk lösning. En graf för varje term i olikheten, som summerar till graf (med tjockt streck) Svar: x < 3 eller < x < 3 Svar huvudräkning. a) x =, x 2 = 2 b) x =, x 2 = 4 c) x = 2, x 2 = 3 d) x = 3, x 2 = 5 Svar huvudräkning 2. f(x) = x 3 Svar huvudräkning Håkan Strömberg 6 KTH Syd

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer

Läs mer

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100 8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning

Läs mer

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L. Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................

Läs mer

Gamla tentemensuppgifter

Gamla tentemensuppgifter Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter. t 4 3t 2 +2 = 0. x 2 3x+2 = 0 Onsdag oktober kl :5, Sal 09, Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Variabelsubstitution Sats. Antag att funktionen f(x) har en primitiv funktion F(x) och att funktionen t(x) är deriverbar. Då gäller:

Läs mer

Lektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1

Lektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1 Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790

Läs mer

a = a a a a a a ± ± ± ±500

a = a a a a a a ± ± ± ±500 4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,

Läs mer

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

Fler uppgifter på andragradsfunktioner Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har

Läs mer

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10 Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen

Läs mer

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)

Läs mer

Repetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014

Repetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014 Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.

Läs mer

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22

Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22 Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom

Läs mer

Komplexa tal med Mathematica

Komplexa tal med Mathematica Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt

Läs mer

6 Derivata och grafer

6 Derivata och grafer 6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000

Läs mer

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter

Läs mer

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.

Läs mer

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3b GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet

Läs mer

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker vux 3b/3c GeoGebraexempel Till läsaren i elevböckerna i serien matematik origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5 Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.

Läs mer

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori 9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om

Läs mer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner. Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att

Läs mer

Avsnitt 2, introduktion.

Avsnitt 2, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel

Läs mer

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i. STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.

Läs mer

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73

Moment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73 Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =

f(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 = Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x. Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då

Läs mer

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61 Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför

Läs mer

Ekvationer och system av ekvationer

Ekvationer och system av ekvationer Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.

Läs mer

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59 Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde

Läs mer

Euklides algoritm för polynom

Euklides algoritm för polynom Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma

Läs mer

Formelhantering Formeln v = s t

Formelhantering Formeln v = s t Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Manipulationer av algebraiska uttryck

Manipulationer av algebraiska uttryck Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.

Läs mer

8 + h. lim 8 + h = 8

8 + h. lim 8 + h = 8 Nu ar vi kretsat kring oc förberett oss på begreppet derivata i två föreläsningar. Nu är tiden inne! Men innan dess ska vi diskutera gränsvärde, ett annat begrepp. Om vi ar uttrycket 8 + oc låter gå mot

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Moment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e

Moment 10.1,10.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T10.1,T10.2,T10.3a,b,c,e,Ö10.1a-f,Ö10.3b-e Moment 0.,0. Viktiga exempel 0.-0.5 Övningsuppgifter T0.,T0.,T0.3a,b,c,e,Ö0.a-f,Ö0.3b-e Integraler Definition. F(x) sägs vara primitiv funktion till f(x) på intervallet I om F (x) = f(x) Anmärkning. Det

Läs mer

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1 Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur

Läs mer

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z

x = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning

Läs mer

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:. KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera

Läs mer

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7 Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)

Läs mer

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor TENTAMEN Ten, Matematik Kurskod HF93 Skrivtid 3:5-7:5 Fredagen 5 oktober 3 Tentamen består av sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av uppgifter som totalt kan ge

Läs mer

Kontrollskrivning KS1T

Kontrollskrivning KS1T Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer

För att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999

För att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999 Lektion 4, Envariabelanalys den november 999 6.. Beräkna d 4. Det första vi observerar i integralen är uttrycket i nämnaren, 4. När ett uttryck av den här typen förekommer i en rationell integrand kan

Läs mer

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7 TM-Matematik Mikael Forsberg 0734-41331 Pär Hemström 06-64896 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma034a 01 10 01 Skrivtid: 09:00-14:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats: Kapitel Introduktion I detta kapitel kommer vi främst att behandla grundbegrepp. Vi undersöker några speciella samlingar av tal (kallas mängder), matematiska symboler och ser på vissa räkneregler. Dessa

Läs mer

Matematisk Grundkurs

Matematisk Grundkurs LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematisk Grundkurs för högskoleingenjörer inom byggnadsteknik Peter Holgersson Institutionen för teknik och naturvetenskap Sida 2 Syfte och mål Kursen syftar till att bidra till

Läs mer

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1: Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 316) Figur 1: a) Bestäm y som funktion av x genom att utnyttja likformiga trianglar. Se figur 1. b) Ange funktionens definitionsmängd

Läs mer

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e

5 Blandade problem. b(t) = t. b t ln b(t) = e 5 Blandade problem 5.1 Dagens Teori Ett person sätter in 10000 kr på banken vid nyår 2000 till 4% ränta. Teckna en funktion, b(t) för beloppets utveckling. b(t) = 10000 1.04 t Skriv om funktionen med basen

Läs mer

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1 Lathund inför tentan När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort Ekvationer Ekvationer av första och andra graden kommer alltid att kunna

Läs mer

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp MAA7 Derivatan 2. Funktionens egenskaper 2.1 Repetition av grundbegerepp - Det finns vissa begrepp som återkommer i nästan alla kurser i matematik. Några av dessa är definitionsmängd, värdemängd, största

Läs mer

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel matematik Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker 3c GeoGebraexempel Till läsaren I elevböckerna i serien Matematik Origo finns uppgifter där vi rekommenderar användning

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x) Ett person sätter in 0000 kr på banken vid nyår 000 till 4% ränta. Teckna en funktion för beloppets utveckling. b(t) = 0000.04 t Skriv om funktionen med basen e istället för.04. Derivera denna funktion

Läs mer