Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
|
|
- Ingemar Andersson
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem med lika många obekanta som ekvationer. Genom n ekvationer och n obekanta uppstår alltså ett kvadratiskt system a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2... a n1 x 1 +a n2 x a nn x n = b n Att lösa ett ekvationssystem Linjära ekvationssystem med 2 och 3 obekanta och lika många ekvationer klarar vi att lösa för hand utan vidare, men vi löser för säkerhets skull ett med 3 obekanta här. Innan vi startar lösningsproceduren måste vi acceptera följande påstående Sats 1. Det är, utan att förändra lösningen till ett linjärt ekvationssystem, möjligt att Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Håkan Strömberg 1 KTH Syd
2 3x y +2z = 7 x +y 2z = 3 multiplicera med -3 x 3y +2z = 1 multiplicera med -3 3x y +2z = 7 addera rad 1 till 2 och 3 3x 3y +6z = 9 3x +9y 6z = 3 3x y +2z = 7 4y +8z = 16 multiplicera rad 2 med 2 +8y 4z = 4 3x y +2z = 7 8y +16z = 32 addera rad 2 till 3 +8y 4z = 4 3x y +2z = 7 8y +16z = z = 36 Vi ser nu att z = 3, som vi kan använda för att få y = 2 i andra raden och x = 1 i första raden. Då antalet obekanta växer blir arbetet dock mer svåröverskådligt och en, administrativt, klarare metod känns nödvändig. Det får vi vänta med ett par veckor då vi åter ska ta upp linjära ekvationssystem! Exempel 1. Lös ekvationssystemet x+y+z = 6 x+2y+2z = 9 x+y+2z = 7 Lösning: Detta är ett ganska snällt ekvationssystem. Om vi subtraherar rad 1 från rad 2 och subtraherar rad 1 från rad 3 får vi x+y+z = 6 y+z = 3 z = 1 Vi har alltså redan fått ut z = 1 som vi substituerar i rad 2 och får y+1 = 3 som ger y = 2. Med dessa två värden kan vi så med hjälp av rad 1 få ut x, x+2+1 = 6 ger x = 3. Nu är det långt ifrån alltid det går så lätt! Exempel 2. Lös ekvationssystemet { x+y+2z = 1 2x+2y+4z = 3 Lösning: Detta är ett underbestämt ekvationssystem. Det vill säga det finns fler obekanta än ekvationer. Detta betyder att vi aldrig kan få ett genomgående numeriskt svar för de tre obekanta. Håkan Strömberg 2 KTH Syd
3 Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och får { x+y+2z = 1 0 = 1 Vilket betyder att systemet saknar lösning. Exempel 3. Lös ekvationssystemet { x+4y+5z = 1 2x+8y+10z = 2 Lösning: Vi tar till samma medicin som i förra exemplet och får { x+4y+5z = 1 Hur ska vi tolka det här resultatet? Eftersom rad 2 är ute ur räkningen räcker det att hitta (x,y,z) så att rad 1 satisfieras. Till exempel x = 0,y = 1 och z = 1. Vi förstår att det finns oändligt många lösningar. Välj ett godtyckligt x och y och fixa till z så att resultatet bli 1. rad 1 beskriver ett plan i rummet (ska vi ta upp senare). rad 2 beskriver samma plan. Det är ju bara att dividera båda sidor med 2 i rad 2. Alla punkter som ligger på detta plan är lösningar till systemet. Lösningen brukar man skri skriva så här x = 1 4t 5s y = t z = s Där s och t är godtyckliga tal. Exempel 4. Lös ekvationssystemet x+y = 2 2x+2y = 4 3x+3y = 7 Lösning: Den här gången handlar det om ett överbestämt ekvationssystem. Det vill säga det finns fler ekvationer än obekanta. Normalt lämnar man då ekvationer åt sidan. I det här fallet rad 3 och löser systemet för de övriga rad 1 och rad 2. Men den här gången är det enklare än så. Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och 3 rad 1 från rad 3 och får x+y = 2 0 = 1 Detta betyder beroende på 0 = 1 att systemet saknar lösningar. Exempel 5. Lös ekvationssystemet x+y = 2 2x+2y = 4 x y = 0 Håkan Strömberg 3 KTH Syd
4 Lösning: Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och rad 1 från rad 3 och får x+y = 2 2y = 2 rad 3 ger y = 1 och därefter får vi i rad 1 x+1 = 2 som ger x = 1. Den skarpögde ser att det handlar om tre räta linjer och att rad 1 och rad 2 är samma räta linje. Denna linje skär den från rad 3 i punkten (1,1). Exempel 6. Lös ekvationssystemet x+y = 2 2x+2y = 4 3x+3y = 6 Lösning: Vi subtraherar 2 rad 1 från rad 2 och 3 rad 1 från rad 3 och och får x+y = 2 Självklart är det här samma linje i alla tre raderna. Vilket betyder att alla punkter som ligger på denna linje är lösning till systemet. Vi kan skriva lösningen på parameterform { x = 2 t y = t Där t är ett godtyckligt tal. Exempel 7. x+y+z = 7 x+2y+3z = 11 2x+y+2z = 12 Lösning: Vi startar med att subtrahera rad 1 från radrad 2 och 2 rad 1 från rad 3. Vi får då x+y+z = 7 y+2z = 4 y = 2 Från detta får vi att y = 2, som vi substituerar i rad 2 och får z = 1. Till sid får vi i rad 1 x+2+1 = 7 som ger x = 4. Exempel 8. x+y+z = 3 x+2y+2z = 5 2x+3y+3z = 2 Lösning: Vi startar med att subtrahera rad 1 från rad 2 och 2 rad 1 från rad 3. Vi får då: x+y+z = 3 y+z = 2 y+z = 4 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 Subtraherar vi rad 2 från rad 3 får vi så x+y+z = 3 y+z = 2 0 = 6 Detta betyder då som tidigare att systemet saknar lösning. Exempel 9. Lös följande system med avseende på x och y för alla värden på a och b. { x+2y = 1 2x+ay = b Lösning: Ser enkelt ut eller? Vi startar med att subtrahera 2 rad 1 från rad 2 och får { x+2y = 1 Vi löser ut y och får (a 4)y = b 2 y = b 2 a 4 Finns det något tal vi inte kan tillåta som värde hos a. Om a = 4 så får vi 0 i nämnare och det är inte kul. Men så fort a 4 så får vi en lösning, vilket värde b än har. Fall I a 4 Vi löser med hjälp av rad 1 ut x och får när vi substituerar lösningen av y x = 1 2 b 2 a 4 Vi gör liknämnigt och får till slut x = a 2b a 4 Vad händer då egentligen om a = 4? Vi vet nu att det kommer att innebära att nämnaren blir 0. Men om b = 2 så blir även täljaren 0 och vi får 0 0. Just nu bestämmer vi oss att b 2. Systemet får då följande form Fall II a = 4 och b 2 { x+2y = 1 0 = b 2 Eftersom b 2, betyder det att alla andra värden på b leder till att systemet saknar lösning. Fall III a = 4 och b = 2 Återstår då att låta a = 4 och b = 2. Då får vi { x+2y = 1 och då har systemet plötsligt oändligt många lösningar. I första fallet Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 Exempel 10. Vi har nått målet! ett system med 3 obekanta och 2 parametrar. Lös följande system med avseende på x,y och z för alla värden på a och b. x+y+z = 2 x+2y+2z = 3 2x+3y+az = b Lösning: Vi börjar med att subtrahera rad 1 från rad 2 och 2 rad 1 från rad 3 och får x+y+z = 2 y+z = 1 y+(a 2)z = b 4 I nästa steg subtraherar vi rad 2 från rad 3 och nu har vi x+y+z = 2 y+z = 1 (a 3)z = b 5 Nu är det dags att lösa ut z. z = b 5 a 3 Precis som i förra exemplet ser vi nu tre fall Fall I a 3 Här får vi exakt en lösning. Efter en del räknande Fall II a = 3 och b 5 Systemet har då formen z = b 5 a 3 y = a b+2 a 3 x = 1 x+y+z = 2 y+z = 1 0 = b 5 Eftersom b här inte får vara = 5, saknar systemet lösning. Fall III a = 3 och b = 5 Systemet får då följande form x+y+z = 2 y+z = 1 Vi subtraherar rad 2 från rad 1 och får x = 1 y+z = 1 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 Nu har vi plötsligt ett system med 3 obekanta och endast 2 ekvationer. Systemet är underbestämt. Vi tar in en ny parameter t och bestämmer att z = t. Då blir y = 1 t. Vi vet dessutom att x = 1. Sätter vi in dessa värden i det ursprungliga systemet, så ser vi att det stämmer. Jag hoppas att vi ska förstå detta bättre när vi senare kommer plan och linjer i rummet! Nu ska vi avsluta med att skriva ett ordentligt svar: Fall I a 3 Fall II a = 3 och b 5 Ingen lösning x = 1 y = a b+2 a 3 z = b 5 a 3 Fall III a = 3 och b = 5 Oändligt många lösningar x = 1 y = 1 t z = t där t är ett godtyckligt tal. Räkneövningar Utdelat den 4 sep Problem 1. (KS ) Lös olikheten Problem 2. (KS ) Lös ekvationen Problem 3. (KS A 7) Lös olikheten Problem 4. (KS B 7) Lös olikheten Problem 5. (KS ) Lös ekvationen Problem 6. (KS ) Lös olikheten Problem 7. (KS ) Lös olikheten x 2 2x+3 < 1 x 4 +1 x 2 = 0 x 2 > 2x+1 x 3 > 2x 1 2 x 2 = x+4 x 2 3 x+1 x 2x+5 < 3 x Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 Problem 8. (KS ) Lös olikheten Problem 9. (KS ) Lös olikheten x 2 +3x 1 x+2 < 1 Problem 10. (KS ) Lös olikheten 6 x > 2x 8 x 2 x 1 3x+4 Problem 11. (KS ) Avgör om punkterna ( 1, 2, 1),(8, 1, 7) och (5, 0, 5) ligger på samma linje. (3p) Problem 12. (KS ) Bestäm avståndet mellan punkterna ( 2, 2, 4) och (3, 2, 1). Problem 13. (KS ) För vilka värden på s och t är vektorerna u = (4, 3,s) och v = (2,t, 1) parallella? Problem 14. (T050114) Vektorerna u = ( 1,2,3), v = (2, 1,5) och w = ( 7,8, 1) är givna. Bestäm talen a och b så att w = a u+b v Problem 15. (T060822) För vilka reella tal p är linjerna L 1 = (1,1,1) +t(3,5,p +1) och L 2 = (1,1,1) +t(6,10,12) parallella Svar 1. (KS ) < 1 x 2 2x+3 < 1; x 2 2x+3 1 < 0; x 2 2x 3 < 0; 2x+3 (x+1)(x 3) 2x+3 < 0; x < 3 2 x = < x < 1 x = 1 1 < x < 3 x = 3 x > 3 x x x (x+1)(x 3) 2x+3 odef Svar: x < 3 2 eller 1 < x < 3 Svar 2. (KS ) Eftersom x 4 = 0 då x = 4 sönderfaller ekvationen i två delproblem. Ett då x < 4 och ett då x 4. Då x 4: x 4+1 x 2 = 0 x = 6 och då x 4: (x 4)+1 x 2 = 0 x = 10 3 Efter att ha testat rötterna i den ursprungliga ekvationen kan vi skriva svaret: x 1 = 6 och x 2 = 10 3 Svar 3. (KS A 7) a) x 2 = x 2 då x 2 och x 2 = (x 2) då x < 2 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 b) 2x+1 = 2x+1 då x 1 2 och 2x+1 = (2x+1) då x < 1 2 Vi har att lösa tre delproblem Svar: 3 < x < 1 3 Svar 4. (KS B 7) Då Olikhet Lösning Intervall x < 1 2 (x 2) > (2x+1) x > 3 3 < x < x 2 (x 2) > 2x+1 x < x < 1 3 x > 2 x 2 > 2x+1 x < 3 inget x a) x 3 = x 3 då x 3 och x 3 = (x 3) då x < 3 b) 2x 1 = 2x 1 då x 1 2 och 2x 1 = (2x 1) då x < 1 2 Vi har att lösa tre delproblem Svar: 2 < x < 4 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 1 2 (x 3) > (2x 1) x > 2 2 < x < x 3 (x 3) > 2x 1 x < x < 4 3 x > 3 x 3 > 2x 1 x < 2 inget x Svar 5. (KS ) Ekvationen sönderfaller i två beståndsdelar a) x 2; 2(x 2) = x+4; 2x 4 = x+4; x = 8 b) x < 2; 2(x 2) = x+4; 2x+4 = x+4; x = 0 För a) ser vi att x = 8 ligger i intervallet x 2 och för b) att x = 0 också ligger i intervallet. Svar: x 1 = 0 och x 2 = 8 Svar 6. (KS ) Först skriver vi x 2 3 x+1 x 0. Vi tar reda på när uttrycken innanför absolutbeloppstecknen är = 0 genom att lösa de två ekvationerna. x 2 leder genom x 2 = 0, x = 2 leder till x < 2; (x 2) x 2; x 2 x+1 leder genom ekvationen x+1 = 0, x = 1 till x < 1; (x+1) x 1; x+1 Vi har nu att ta hänsyn till tre intervall och får följande tabell: Då Olikhet Lösning Intervall x < 1 (x 2)+3(x+1) x 0 x 5 x 5 1 x < 2 (x 2) 3(x+1) x 0 x x 2 x 2 (x 2) 3(x+1) x 0 x 5 3 x > 2 Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 Svar: x 5 eller x 1 5 Svar 7. (KS ) för 2x+5 3 x < 0 undersöker vi de båda absolutbeloppen. 2x+5 leder genom ekvationen 2x+5 = 0, x = 5 2 till x < 5 2 ; (2x+5) x 5 2 ; 2x+5 3 x leder genom ekvationen 2x+5 = 0, x = 5 2 till Detta leder till tre intervall x 3; 3 x x > 3; (3 x) Då Olikhet Lösning Intervall x < 5 2 (2x+5)+3 x < 0 x > 8 8 < x < x < 3 2x+5 (3 x) < 0 x < x < 2 3 x > 2 2x+5+3 x x < 8 inget Svar: 8 < x < 2 3 Svar 8. (KS ) Vi startar med att skriva om uttrycket x 2 +3x 1 x+2 1 < 0; x 2 +3x 1 (x+2) x+2 och sedan faktorisera täljaren till (x 1)(x+3). Vi har nu (x 1)(x+3) x+2 < 0 < 0; x2 +2x 3 x+2 Vi betraktar nu de tre linjära uttrycken och tar reda på när de är = 0. Vi får x = 1, x = 3 och x = 2. Nu över till tabellen x < 3 x = 3 3 < x < 2 x = 2 2 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x (x 1)(x+3) x odef 0 + Svar: x < 3 eller 2 < x < 1 Svar 9. (KS ) Först får vi 6 x 2x 8 > 0 och undersöker sedan de båda absolutbeloppen. 6 x leder genom ekvationen 6 x = 0, x = 6 till x 6; 6 x x > 6; (6 x) 2x 8 leder genom ekvationen 2x 8 = 0, x = 4 till x < 4; (2x 8) x 4; 2x 8 Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 Detta leder till tre intervall Då Olikhet Lösning Intervall x < 4 6 x+(2x 8) > 0 x > 2 2 < x < 4 4 x 6 6 x (2x 8) > 0 x < x < 14 3 x > 6 (6 x) (2x 8) > 0 x < 2 inget Svar: 2 < x < 14 3 Svar 10. (KS ) Vi startar med att skriva om uttrycket x 2 x 1 3x+4 1 < 0; x 2 x 1 (3x+4) 3x+4 och sedan faktorisera täljaren till (x+1)(x 5). Vi har nu < 0; x2 4x 5 3x+4 (x+1)(x 5) 3x+4 Vi betraktar nu de tre linjära uttrycken och tar reda på när de är = 0. Vi får x = 1, x = 5 och x = 4 3. Nu över till tabellen < 0 x < 4 3 x = < x < 1 x = 1 1 < x < 5 x = 5 x > 5 x x x (x+1)(x 5) 3x+4 odef Svar: x < 4 3 eller 1 < x < 5 Svar 11. Riktningsvektor för linjen genom de två förstnämnda punkterna är Linjens ekvation blir då ( 1,2, 1)(8, 1, 7) = (8, 1, 7) ( 1,2, 1) = (9, 3, 6) 5 = 1+9t 0 = 2 3t 5 = 1 6t När vi löser de tre ekvationerna får vi i samtliga fall t = 2 3, vilket visar att punkterna ligger på samma linje. Svar 12. Vi får direkt ( 2 3) 2 +( 2 ( 2) 2 +(4 1) 2 = ( 5) = 34 Svar 13. Att de är parallella betyder inte att de måste vara lika långa. Vi får ekvationssystemet 4 = 2 k 3 = t k s = 1 k med lösningen k = 2,t = 3 2 och s = 2 Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 Svar 14. Svaret får vi genom att lösa ekvationssystemet a+2b = 7 2a b = 0 3a+5b = 1 Med lösningen a = 3 och b = 2 Svar 15. Linjerna är parallella endast då Vi löser ekvationen 6 3 = 10 5 = 12 p = 12 p+1 som har roten p = 5. Linjerna är parallella endast då p = 5 Håkan Strömberg 12 KTH Syd
x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs merx+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2
Problem 1. Avgör för vilka värden på a som ekvationssystemet nedan har oändligt antal lösningar. Ange lösningarna i dessa fall! Lösning: Genom x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2 1 2 3 1 a 11 2 1 1 =
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merDär a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att
Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet
Läs merx = som är resultatet av en omskrivning av ett ekvationssystemet som ursprungligen kunde ha varit 2x y+z = 3 2z y = 4 11x 3y = 5 Vi får y z
Ett nytt försök med att ta fram inversen till en matris Innan vi startar med att bestämma inversen till en matris måste vi veta varför vi skulle kunna behöva den. Vi har A x b som är resultatet av en omskrivning
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs mer2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =
Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn
Läs mer2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s
Extra 1. Ta fram räta linjens ekvation på parameterform då linjen går genom punkterna (1, 1,0) och (2,0,1) (3, 1,4) och ( 1,1,6) (4,3, 1) och (7, 2,5) (11,3, 6) och (9, 1,3) Lösning: (x,y,z) = (1+t, 1+t,t)
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merMoment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så
Tisdagen september kl 10:15, Sal 093, Moment 4.3.1 Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.5, 4.55 Räta linjen i rummet En rät linje l i rummet är bestämd då en punkt P 0 på linjen och en riktningsvektor
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merMoment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument
Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll
Läs merTENTAMEN. Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Onsdagen 25 september 2013 Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Matematik Kurskod HF903 Skrivtid 3:5-7:5 Onsdagen 5 september 03 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa ej tillåten. Tentamen består av 3 uppgifter som totalt kan
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.1, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.13, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2., 4.2.4 Viktiga exempel 4.1, 4., 4.4, 4.5, 4.6, 4.1, 4.14 Övningsuppgifter 4.1 a-h, 4.2, 4., 4.4, 4.5, 4.7 Många av de objekt man arbetar med i matematiken och naturvetenskapen
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merLinjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser
Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser Pelle 2016-01-18 Information Ekvationer Ekvationssystem Matriser kursfakta hemsida frågelåda Fakta om Linjär
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merDagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer
Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,
Läs merÖvningstentammen 1. 3x 2 3x+a = 0 ax 2 2ax+5 = 0
Övningstentammen 1 Här kommer den första av en mängd övningstentor. Lösningarna är exempel på hur du ska formulera dina lösningar på den riktiga tentamen. Lösningarna ska alltså bifogas på papper. Inga
Läs merÖvningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a
Övningstenta 6 Problem 1. Vilket är det största antalet olika element en symmetrisk matris A(n n kan ha? Problem. Bestäm de reella talen a,b,c och d då man vet att a b d c = 109 a c d b = 389 c d a b =
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merRepetition inför tentamen
Sidor i boken Repetition inför tentamen Läxa 1. Givet en rätvinklig triangel ACD, där AD = 10 cm, AB = 40 cm och BC = 180 cm. Beräkna vinkeln BDC. Läxa. Beräkna omkretsen av ABC, där BE = 4 cm, EA = 8
Läs merRäta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med
RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merTENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Tisdagen 31 maj 2011 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merModul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer
Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +
Läs merÖvningstenta 8. ax+2y+z = 2a 2x (a+2)y = 4 2(a+1)x 13y 2z = 16. Problem 3. Lös matrisekvationen AX BX = C. då A = 0 1
Övningstenta 8 Problem 1. Bestäm avståndet mellan planen 2x 3y+z+1 = 0 och 4x+6y 2z+13 = 0 Problem 2. Lös ekvationssystemet för de värden på a där det finns en lösning ax+2y+z = 2a 2x (a+2y = 4 2(a+1x
Läs merSidor i boken Figur 1: Sträckor
Sidor i boken 37-39 Vektorer Det vi ska studera här är bara en liten del av den teori du kommer att stifta bekantskap med i dina fortsatta studier i kursen Linjär algebra. Många av de objekt man arbetar
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merMoment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument
Moment 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.2.4 Viktiga exempel 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.13 Handräkning 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.7 Datorräkning 1-9 i detta dokument Många av de objekt man arbetar med i matematiken och
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs mer2+6+3x = 11 y+4+15 = z = 15. x 2. { 3x1 +4x 2 = 19 2x 1 +2x 2 = 10 B =
Moment 5.3, 5.4 Viktiga exempel 5.16, 5.18-5.23 Övningsuppgifter 5.20, 5.21, 5.22, 5.51, 5.53 Matrisekvationer Exempel 1. Lös följande matrisekvation 2 3 x y 2 5 3 3 z Tre ekvationer att lösa Svar: x 1,
Läs merVeckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010
Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den fjärde veckan ska vi under måndagens föreläsning se hur man generaliserar vektorer i planet och rummet till vektorer med godtycklig dimension. Vi kommer också
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2016-05-10 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merMoment Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning.
Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll
Läs merNovember 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan
Fö 9: November 7, 5 Determinanter och ekvationssystem Betrakta ett linjärt ekvssystem A X = B, där A är en kvadratisk n n)-matris och X, B n )-matriser. Låt C = [A B] utökad matris ). Gausselimination
Läs mer= ( 1) ( 1) = 4 0.
MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)
Läs merLäsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö
Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa
Läs merz = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2011-06-09 DEL A (1) Betrakta ekvationssystemet x y 4z = 2 2x + 3y + z = 2 3x + 2y 3z = c där c är en konstant och x, y och z är de tre obekanta.
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln
Läs merLösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005
VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005 Uppgift. Bestäm samtliga vektorer
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer II Innehåll
Läs merMoment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6
Moment 6., 6. Viktiga exempel 6.-6. Övningsuppgifter T6.-T6.6 Matriser Definition. En matris är ett schema med m rader och n kolonner eller kolumner, som vi kallar dem i datalogin innehållande m n element.
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2014-11-25 1400-1700 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade
Läs merMatematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:
Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten
Läs merFöreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet
Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI Delkurs 1 2015 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merDatum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.
Tentamen i Linjär algebra, HF94 Datum: 4 okt 8 Skrivtid: 4:-8: Lärare: Marina Arakelyan, Elias Said Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C,
Läs mer. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?
Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 0-0-0 DEL A De tre totalmatriserna 0 3 3 4 0 3 0 0 0 0, 0 3 0 4 4 0 3 0 3 0 0 0 0 och 0 3 0 4 0 3 3 0 0 0 0 0 svarar mot linjära ekvationssystem
Läs merBetygsgränser: För betyg. Vem som har. Hjälpmedel: av papperet. Uppgift. 1. (4p) 0. (2p) 3 (2p) Uppgift. 2. (4p) B-2C om. vektor A (1p) b) Bestäm k så
Kurs: HF90 Matematik, Moment TEN (Linjär Algebra) ) Datum: 4 augusti 08 Skrivtid 08:00 :000 Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävss 0 av maxx 4 poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D,
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 14129 DEL A 1 (a) Bestäm linjen genom punkterna A = (,, 1) och B = (2, 4, 1) (1 p) (b) Med hjälp av projektion kan man bestämma det kortaste avståndet
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merSF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2
SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 4--4 DEL A. I rummet R har vi punkterna P = (,, 4) och Q = (,, ), samt linjen L som ges av vektorerna på formen t t, t där t är en reell parameter.
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF64 Algebra och geometri Sjätte föreläsningen Mats Boij Institutionen för matematik KTH 5 januari, 07 Repetition Ett delrum i R n är slutet under addition x + y V om x, y V multiplikation med skalär a
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic
Tentamen i Matematik, HF9 4 okt 8, Skrivtid: 4:-8: Examinator: Armin Halilovic För godkänt betyg krävs av max 4 poäng Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs, 9, 6, respektive poäng Komplettering:
Läs mer1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =
Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om
Läs mer3. Vilka taltripler (x, y, z) satisfierar ekvationssystemet 3x + 2y 3z = 3 2x + y + 4z = 7
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA Grundläggande vektoralgebra, TEN5 alt.
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs merVectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.
Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem. Begrepp som diskuteras i det kapitlet. Vektorer, addition och multiplikation med skalärer. Geometrisk tolkning. Linjär kombination av
Läs merSF1624 Algebra och geometri
SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet
Läs merSKRIVNING I VEKTORGEOMETRI
SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 2018-04-24 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade. 1. Bestäm
Läs merx 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t)
Differentialekvationer II Modellsvar till räkneövning 4 16.4. 218 (kl 12-14 B222) 1. Lös det linjära homogena DE-systemet x 1(t) = x 2 (t) x 2(t) = x 1 (t) med matrismetoden. Påminnelse: egenvärden och
Läs merNotera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.
OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merStudiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra
Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merreella tal x i, x + y = 2 2x + z = 3. Här har vi tre okända x, y och z, och vi ger dessa okända den naturliga
. Lösningsmängden till homogena ekvationssystem I denna första föreläsning börjar vi med att repetera det grunnläggande begreppet inom linjär algebran. Linjär algebra är studiet av lösningsmängden till
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I
Moment Viktiga eempel Övningsuppgifter I Inga Inga Inga Grafritning Vi använder en sjustegsprocess Funktionens definitionsmängd 2 Funktionens skärningspunkter med alarna Asymptoter 4 Stationära punkter
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merLinjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem
Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet
Läs mer15 september, Föreläsning 5. Tillämpad linjär algebra
5 september, 5 Föreläsning 5 Tillämpad linjär algebra Innehåll Matriser Algebraiska operationer med matriser Definition och beräkning av inversen av en matris Förra gången: Linjära ekvationer och dess
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Fler exempel på optimering Exempel 1. Utifrån en rektangulär pappskiva med bredden 7 dm och längden 11 dm, vill man åstadkomma en kartong utan lock,
Läs mer