Sidor i boken

Transkript

1 Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker vi upp allt stoff inför KS. Kämpa på! Förstagradsekvationer Läa. Lös enkel förstagradsekvation = Läa. Det blir väl inte så mycket svårare när det finns parenteser i ekvationen 3( ) (3 ) ( ) = 3(+) Läa 3. Nu blandar vi in bråk, men fortfarande ekvation av första graden = Läa. En ganska svår förstagradsekvation + = 0 Läa 5. Nu blir det riktigt svårt! Förresten, är det här verkligen en förstagradsekvation? = Andragradsekvationer Läa 6. En enkel andragradsekvation + 35 = 0 Håkan Strömberg KTH STH

2 Läa 7. En lite svårare ( ) + = (+) Är det här en andragradare? Läa = Läa = 3 ++ Läa 0. Andragradare med i nämnaren + + = Tredjegradsekvationer Läa. Lös ekvationen = 0 Läa. ( )( 5+6) = 0 Läa 3. 3 = 5 Läa. Denna ekvation har en reell rot. Kan du hitta den? 3 +8 = + Fjärdegradsekvationer Läa 5. Lös ekvationen (+)( )(+3)( ) = 0 Läa 6. Lös ekvationen 6 +5 = 0 Läa 7. Lös ekvationen + = 0 Håkan Strömberg KTH STH

3 Rotekvationer Läa 8. Lös ekvationen = 9 Läa 9. Lös ekvationen = Läa 0. Lös ekvationen + = 3+5 Läa. Lös ekvationen + + = Läa. Lös ekvationen 5 = 0 Läa 3. Lös ekvationen 3 = +5 Faktorisera polynom Läa. Faktorisera polynomet + Faktorisera polynomet Läa Läa 6. Faktorisera så lång möjligt ( )( +5+6) Läa 7. Faktorisera polynomet så långt möjligt Läa 8. Lös en speciell jobbig rotekvation 3 = Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Läa Lösning. Läa Lösning. Läa Lösning = = 0 5 = 5 = 3 3( ) (3 ) ( ) = 3(+) (3 6) (6 ) ( ) = (3+6) = = 3+6 = 6+8 = = ( ) = = 5 = = 5 = 5 = 5 = 5 Läa Lösning. + = 0 ( ) (+) ( )(+) = 0 ( ( )(+) ( ) (+) (+) ( ) ( )(+) = = 0 + = 0 3 = ( )(+) ) = 0 = 3 Svar: = 3 Håkan Strömberg KTH STH

5 Läa Lösning = = = 8 (3 8)(3+8) 8 (3 8)(3+8) ( 3+8 (3 8)(3+8) (3+8) (3 8) = = 8 (3 8)(3+8) ) ( ) 8 = (3 8)(3+8) (3 8)(3+8) (3+8) (3 8) = (9 8+6) = = 6 8 = 3 Svar: = 3 Läa Lösning 6. Svar: = 5, = 7 Läa Lösning 7. Svar: = 0, = = 0 = ± +35 = ±6 = 5 = 7 ( ) + = (+) ++ = ++ + = 8 = 0 ( 8) = 0 Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 Läa Lösning 8. Svar: = 0, = 6 Läa Lösning = (+0) ( + +0 ) (+0)+ = (+0) +0+ = +0 0 = 0 = 7± 9+0 = 7±3 = 0 = 6 ( ) = (+0) + + = 3 ++ ( ) + ( )(+) = 3 ( (+) ) ( ) ( ) (+) ( ) + = ( ) (+) 3 ( )(+) (+) (+) +( )(+) = 3( ) +++( ) = 3( +) +++8 = = 0 ( ) = 0 = 0 = Svar: = 0, = Läa Lösning 0. Svar: = och = (+) ( + + = = ( + ) ( ) + 3(+) + = 6 + 3(+) + + 3(+) ) ( = (+) 6 + 3(+) + + 3(+) (+) = (+)+6+(+)+ +8 = = = 0 = 5± 5+ = 5±7 = = ) Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Läa Lösning. Den här ekvationen kan vi lösa därför att den saknar konstant term = 0 ( ++) = 0 (+) = 0 (+)(+) = 0 Det är bra att känna igen första kvadreringsregeln, så slipper man en del jobb. Vi har funnit tre reella rötter, varav en dubbelrot. Svar:, =, = 0 Läa Lösning. Multiplicerar man samman parenteserna kommer man att se att det verkligen handlar om en 3:e-gradsekvation. Men utför vi det får vi en besvärligare situation. Nej, istället förstår vi att = är en rot. De andra två får vi genom att lösa 5+6 = 0 Svar: =, = och 3 = 3 Läa Lösning = 0 5 = 5 ± 6 = 5 ± = 3 = 3 3 = 5 = 3 5 = 5 En tredjegradsekvation har, som vi känner till, tre rötter, reella och imaginära tillsammans. Här är endast en reell, = 5. De andra två behöver vi inte bry oss om! Svar: = 5 Läa Lösning. Vi har inget bättre verktyg än att gissa oss fram. Det ska inte behövas så många gissningar förrän men hittar =, som är en rot, ty Svar: = V.L. ( ) H.L. ( )+ 0 Läa Lösning 5. Ekvationen, som är av :e graden är faktoriserad så långt möjligt (+)( )(+3)( ) = 0 och därför är det mycket enkelt att bestämma rötterna. Svar: =, =, 3 = 3, = Håkan Strömberg 7 KTH STH

8 Läa Lösning 6. Denna ekvation är en av alla :e-gradsekvationer vi kan lösa. Anledningen är att den saknar 3 och -term. Vi substituerar t = och får ekvationen t 6t+5 = 0 t = 3± 9 5 t = 3± t = 5 t = Med dessa två rötter går vi vidare och löser de två ekvationerna Svar: = 5, = 5, 3 =, =, = 5 = ± 5 = 5 = 5 = = ± 3 = = Läa Lösning 7. Ekvationen + = 0 kan lösas genom att substituera = t. t +t = 0 t = ± + 8 t = ± 3 t = t = = = ± = = = = ± reell lösning saknas Ekvationen har endast två reella rötter. En :e-gradsekvation kan endast ha, eller 0 reella rötter (alltså aldrig ett udda antal). Svar: = och = Läa Lösning 8. = 9 ( ) = 9 = 8 Vi testar och ser att 8 = 9, vilket betyder att = 8 är en äkta rot Svar: = 8 Läa Lösning 9. = ( ) = ( ) = 6 Vi testar roten = 6 och får 6, ty. = 6 är en falsk rot. Svar: Ekvationen saknar lösningar. Håkan Strömberg 8 KTH STH

9 Läa Lösning 0. + = 3+5 ( +) = (3+5) + = = 0 Ekvationen har inga reella rötter. Svar: Ekvationen saknar lösning Läa Lösning. Vi testar rötterna först = 3 = 3 är äkta. Vi testar = 8 vilket betyder att = 8 är falsk. Svar: = 3 Läa Lösning. Vi testar = och = 6 Båda rötterna är äkta! Svar: = och = = 0 (9 = 9 8 ± ) 8 9 = 9 8 ± = 9 8 ± = + = 5 ( +) = (5 ) + = = 0 = ± = ± 5 = ± 5 = 3 = = 0 5 = 5 = ( 5) = ( 5 = = = 0 = 0± 0 8 = 0± = = 6 ) Håkan Strömberg 9 KTH STH

10 Läa Lösning 3. 3 = +5 (3 ) = ( +5) = +5 6 = 3 3 ( ) = ( ) = ( ) ( ) = + = = 0 = 3± 9 5 = 3± = 5 = Vi kan i ett tidigt stadium se att =, något vi inte utnyttjat här. Först testar vi = 5 = 5 är falsk. Däremot är = äkta Svar: = Läa Lösning. Eftersom termerna inte har någon gemensam faktor finns inget att bryta ut. Återstår bara att lösa ekvationen + = 0 Svar: + ( 3)(+) = ± + = ± 9 = ± 7 = = 3 Läa Lösning 5. Vi inleder med att bryta ut så långt det går ( + ) För att få tag i faktorerna har vi att lösa + = 0 + = 0 = ± + = ±5 = = 6 Som ger ( )(+6). Tillsammans med den utbrutna 3 får vi så till sist Svar: 3( )(+6) Håkan Strömberg 0 KTH STH

11 Läa Lösning 6. Här måste vi lösa två andragradsekvationer och Vi kan nu skriva ner de fyra faktorerna. Svar: ( )(+)(+)(+3) ( )( +5+6) = 0 = ± + 8 = ± 3 = = +5+6 = 0 = 5 ± 5 = 5 ± = 3 = Läa Lösning 7. Vi startar att bryta ut så mycket vi kan ur och får 5( ++). I nästa steg löser vi ekvationen ++ = = 0 = ± 8 = ± 7 Ekvationen saknar reella rötter, vilket i sin tur betyder att polynomet inte kan faktoriseras. Svar: Ingen faktorisering möjlig. Läa Lösning 8. 3 = 3 = ( 3) = ( ) 3 = + 3+ = 0 (3 = 3 ± ) 33 = 3 ± = = Vi har hittat två rötter som vi måste testa och det verkar inte speciellt enkelt. Vi har att testa om och Om vi tillåter oss att använda de approimativa rötterna och kan vi anta att det finns en äkta rot och att den är Svar: Håkan Strömberg KTH STH

12 Problem. a 3 +3a +3a+ a +a+ + a 0a+5 5 a Lösning: a 3 +3a +3a+ a +a+ + a 0a+5 5 a (a+) 3 (a+) + (a 5) 5 a (a+)+ (a 5) ( )(a 5) 3 (a+) (a 5) (a 5) (a+) (a 5) 5 6 Här gäller det att se att a 3 + 3a + 3a + (a + ) 3, vilket är lite ovanligare än de två andra uttrycken som vi identifierar som uttryck i första och andra kvadreringsregeln (). I () och (3) fiar vi till parentesen i andra termens nämnare så att det går att förkorta. Svar: 6. Figur : Håkan Strömberg KTH STH

13 Problem. Lösning: a+b a b b+a + b a a+b a b b+a + b a (a b) (a+b) a b (b a)+(b+a) b a b a b b (b a)(b+a) 3 b a b (b a)(b+a) b (a b)(a+b) ( )(a b)(a+b) 5 ( )( ) Ett dubbelbråk där vi först hanterar täljare och nämnare för sig () och (). Nu är det dags att skriva om bråket som en multiplikation i stället för en division. Förkortning av parenteserna är ej direkt möjlig innan vi använder att ( y) ( )(y ). Svar: Problem 3. 3a+(+a) a+ + 3a a + a a Håkan Strömberg 3 KTH STH

14 Lösning: 3a+(+a) a+ + 3a a + a a (a )(3a+(+a) ) (a )(a+) + ( 3a)(a+) (a )(a+) + a (a )(a+) (a )(3a+(+a) )+( 3a)(a+)+a (a )(a+) 3 ( a+a +a 3 )+( a 3a )+a (a )(a+) a 3 +a a (a )(a+) a (a+) (a+) (a )(a+) (a )(a+) (a )(a+) (a )(a+)(a+) (a )(a+) 5 a+ Med den vana vi nu har, ser vi direkt att minsta gemensamma nämnaren är (a + )(a ). Vi förlänger de tre bråken () och eftersom nämnarna redan från början är ganska komplicerade får vi en del jobb i (), (3). I () kan det dock bli stopp eftersom vi har svårigheter att faktorisera a 3 +a a. Vi delar upp uttrycket i två delar och kan till sist bryta ut (a+). Efter förkortning får vi Svar: a+. Figur : Håkan Strömberg KTH STH

15 Problem. Lösning: a b + b a + a +b ab a b + b a + a +b ab a a a b + b b b a + ab ab a +b ab a a+b b+ab (a +b ) ab 3 a +b +ab a b ab Borde nu efter all träning vara ganska enkelt. Den gemensamma nämnaren blir ab. Vi förlänger och skriver uttrycket på gemensamt bråkstreck () och (). Vi reducerar sedan nämnaren i (3) och får efter förkortning Svar:. Håkan Strömberg 5 KTH STH