Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys"

Transkript

1 Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, Juli

2 Oscar Något smart och inspirerande citat Tillägnas Mina vänner

3 i Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell Analys []. Avsikten med denna manual är att er ska klara kursen, bli bättre på matematik och att jag får dela med mig av glädjen till ämnet. Jag hoppas att mina tankar och idéer kommer att hjälpa dig, få en djupare förståelse, ge dig en stabil grund att stå på och att få mindre ångest när du hör ordet matte. Hittar du fel eller om du har idéer på förbättringar, tveka inte att mejla mig. Du hjälper inte bara mig utan också kommande studenter. Jag vill också tacka alla mina vänner som har hjälpt mig med manualen och får mig till att vilja bli en bättre människa. Utan att ni har vetat om det så har ni givit mig mer än vad jag någonsin kan ge tillbaka till er, tack. Tillsist ett stort tack till mina två föräldrar för deras outtröttliga stöd i alla mina galna idéer jag har. Den senaste informationen för denna manualen. Erik Oscar A. Nilsson erik-oscar-nilsson@live.se Lunds Universitet, Lund Mars, 06

4 Introduktion till manualen - VIKTIGT! LÄS DETTA INNAN DU BÖRJAR ANVÄNDA PDF:en Tanken med manualen är att den kompletteras av två andra delar, en del som är en blogg och den andra som är en youtube kanal. Varför detta? Då alla inte lär sig på samma sätt och man kan behöva olika typer av hjälp vid olika tidpunkter eller områden ska de olika medierna ge dig just den hjälpen som du behöver. Manualen: den är till för att ge dig den direkta hjälpen när du har fastnat på ett steg eller inte kan komma på just det tricket som behövs. Det är också det hjälpmedlet som påminner mest om en räknestuga och som kan bidra med just det där extra tankarna som kan få dig att komma ihåg hur man skulle lösa problemet nästa gång. Jag har också ifrån gått några konventioner för du ska kunna se beräkningarna tydligare. Ett sådant exempel är multiplikation som markeras med en punkt tex a b, istället för ab) och jag försöker alltid att visa dig som läsare vad jag stryker eller liknande. En annan mycket viktig sak är att jag har lagt in hyperlänkar i hela pdf:en, vilket innebär att när du ser en röd liten sira över ett likhetstecken eller på något annat ställe, 8 ) x + xy + y x + y), kommer detta att skicka dig till en annan del av pdf:en som visar just den satsen, regeln, lagen eller det kapitlet du tryckte på. TESTA! Det är rätt coolt! Youtube: den kanalen jag har och de videos som jag kommer att lägga där är tänkta att hjälpa dig när du känner att du inte riktigt fattar, eller om du har kanske varit sjuk, eller på något sätt missat en föreläsning eller liknande. Okej.. men det nns ju en miljon andra videokanaler inte minst de som Jonas Månsson har gjort), hur tänkte du nu? Sant, det nns redan en miljon videos på youtube om just detta, dock tänker jag köra varianter på så kallat ipped classroom videos. Vilket är att jag involverar dig i föreläsningen och gör dialogen mer dynamisk. Det nns inga sådana videos på Youtube för just endimensionell analys, och alltså måste jag göra egna för att få de tre olika delarna att komplettera varandra. Dessutom kan jag lägga till mina egna tankar som student för att skräddarsy upplägget efter era behov och önskemål för just denna kursen. Jag kommer därför att göra så många videos som jag bara orkar med och har tid till, för att just du som student ska kunna hitta din typ av inlärningssätt och att fylla det där sista hålet av videor som inte nns. Alla länkarna till videorna kommer att nnas i pdf:en med en blå färg, precis som den här,de fungerar precis som länkarna som skickar runt dig i pdf:en men med den skilnaden att du hamnar på Youtube. De kommer att ha en annan färg och de kommer att vara tydligt markerade för att göra det så enkelt som möjligt för dig som student! Sjukt coolt! TESTA! Blogg: den delen där jag kommer att vara mindre formell. Tanken är att jag ska försöka vara väldigt noggrann och försöka hålla allt på en enklare nivå i manualen och mina videos. Däremot kommer det så klart att nnas små extra delar i manualen och videorna som vänder sig till dem som är mer intresserade. I bloggen kommer jag att länka till ännu er videor från många andra kanaler. Här kommer jag också gå igenom kapitlen mer generellt och också skriva lite längre texter om området och svårare. Dock så ber jag dig att gå in och skumläsa alla inlägg för här kan det nns många bra tankar som inte får plats på de andra två plattformarna. Precis som på mina videor så kommer det att nnas direktlänkar i pdf:en till blogginläggen de har fåttt en grönfärg precis som den här så att det ska vara enkelt för dig som läsare att hänga med! Coolt coolt coolt! Testa detta också! Slutligen! Du som student kommer att tycka att vissa saker är lätta och andra svårare, och det nns säkert en risk att du missar en föreläsning på grund av en taskig förkylning. Testa dig fram för att hitta vad som funkar för dig, men testa era gånger. Om du fastnar på något, testa alla delarna jag erbjuder och sätt ihop det med annat material, men det viktiga är att testa, testa, testa. Om du gör grovjobbet nu så slipper du få panik när det är tid för tentan och din möjlighet att uppnå ditt mål med kursen ökar. Med risk för att vara tjatig så kan du alltid kontakta mig med alla typ av frågor eller kommentarer! ii

5 Lycka till! iii

6 Innehållsförteckning Förord Introduktion till manualen - VIKTIGT! LÄS DETTA INNAN DU BÖRJAR ANVÄNDA PDF:en i ii Grundläggande begrepp & terminologi. Talsystem Mängder och intervall Implikationer och ekivalens Kapitel : Algebra 0. Räkneoperationer för reella tal Kvadratrötter och potenser Polynom och rationella uttryck Kapitel : Ekvationer och olikheter 60. Ekvationer Olikheter Kapitel 4: Summor och talföljder 8 4. Summatecken Aretmetisk summa Geometrisksumma Binomialsatsen Talföljder och induktion A Formelsamling 04 A. Kapitel A. Kapitel A. Kapitel A.4 Kapitel B Referenser 06 B. Referensbok för kursen Innehållsförteckning för formelsamlingen Lagarna för tecken Kvot av kvoter Gemensam kvot Produkt av rötter Summa av exponenter Exponent som en kvot Exponent-produkt Kvarderingsreglen, väl värd att komma ihåg! Tips från coachen Konjugatreglen Exponent-kvot-uppner Aritmetisksumma Geometrisk summa Binomal koecienter Binomial satsen

7 GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Grundläggande begrepp & terminologi I det första kapitlet kommer vi att gå igenom talsystemet lite enklare, sen mängder på min blogg så har jag skrivit lite mer om det) och till sist implikationer och ekvivalenser som är väldigt viktigt därför går jag igenom det i blogginlägget). Blogg och video hjälp: Blogg: Kap - Grundläggande begrepp och terminologi Blogg och video hjälp: Endiminsionell analys - kapitel - spellista. Talsystem Uppgift. Vi är givna följande tal: 6, 0,,, 0., 5, 5,, 0. 0., 0 5, π, Det är lättast att först förenkla och sen ställa dem i storleksordning. Vi börjar med att förenkla, 6, 0,,, 0. 0 ) 0 0, 5 0.6, 5.67,.4, ) 0 0.5, 0 5 0, π.. Vi fortsätter med att ställa talen i storleksordning,, , 0, 0 5 0, 5 0.6, 5.4,.67, 6,, π, Nu är det lättare att lösa uppgifterna a till d. Erik Oscar A. Nilsson

8 . Talsystem GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI a) Lösning. Naturliga tal är också kallade positiva heltal. Följande är positiva heltal 0, 0 5, 6,, 0.. Kommentar: Naturliga tal: här kan man tänka sig att man ska räkna kattungar. För det första, man vill inte ha negativit antal kattungar tänk dig att du ska ge bort en kattunge). För det andra, man vill heller inte ha en halv kattunge eller "roten ur" en kattunge. b) Lösning. Hela tal är alla naturliga tal och deras negativa motsvarighet. Följande är tal är så kallande hela:, 0, 0 5, 6,, 0.. Kommentar: Hela tal: detta kan man tänka sig att brukar att betala tillbaka i hela kronor när man är skyldig någon pengar. Nu kommer säkert någon med kommentaren att swish funkar med ören, dock så är det lite bittert att swisha ören.) c) Lösning. Rationella tal är alla heltal och alla tal som du kan skriva som ett bråk. Följande tal är rationella:, 0. 0., 0, 5, 0 5, 6,, 0.. Kommentar: Rationella tal: kan man tänka sig gäller livsviktiga frågor som "hur delar vi jämnt på ölen?" d) Lösning. Reella tal är alla rationella och irrationella tal, det vill säga alla tal som kan skrivas som bråk och samt de som inte kan det. 6, 0,,, 0., 5, 5,, 0. 0., 0 5, π. Kommentar: Reella tal, här kan man tänka sig att man ska dela en kaka med sina syskon för det är en irrationell tanke att få det jämnt. Uppgift. Lösning. Här gäller det att veta vad som menas med irrationella tal. Enkelt sagt är det ett tal som du inte kan skriva som ett bråk. Det frågan undrar är om vi kan skriva.44 och π.45965, som bråk. Vi vet att och π är irrationella. Vi antar nu att de kan skrivas som ett bråk. Detta är vad vi kallar inom matematiken bevis genom motsägelse, med andra ord så antar vi att påståendet är INTE sant och sen hoppas vi att få en motsägelse i våra uträkningar. Anta att det nu kan skrivas som ett bråk och vi får följande uträkning, Något som inte går att skriva som ett bråk }{{} aka Vi skriver nu om "bråken" som ett godtyckligt bråk, sådana att b, d 0. bråk }{{} bråk }{{} c d "Inget bråk" a b c d Erik Oscar A. Nilsson

9 . Mängder och intervall GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI "Inget bråk" a b + c d "Inget bråk" a d + c b bd "Inget bråk" bråk. motsägelse. Därav är uttrycken inte rationella. Samma argument gäller för π Vi gör nu på samma sätt som i föregående beräkning. Något som inte går att skriva som ett bråk }{{} aka π Vi gör nu samma omskrivningar som innan och får följande, bråk }{{} bråk }{{} 44 c 0000 d "Inget bråk" a b c d "Inget bråk" a b + c d "Inget bråk" a d + c b bd "Inget bråk" bråk. motsägelse. Därav är inte heller. Mängder och intervall Att ha kunskapen inom mängder och intervall är viktigt att kunna skriva, läsa och ha en förståelse för matematik. Att skriva intervall eller mängder är viktigt för att beskriva var något funkar eller inte funkar. Att läsa och förstå mängder är viktigt då det är ett smidigt sätta att beskriva vissa objekts egenskaper. I slutet av detta avsnitt bör du känna till hur man vanligtvis betecknar intervall och mängder, samt hur de ska utläsas och förstås. Uppgift. Lösning. Vi börjar med att förtydliga de olika mängderna. Testa att "rita" M {x R; x } mängderna. M utläses som: mängden av objekt som tillhör de reella talen sådana att x, vilka här är ekvivalent med x eller x. M {x R; x } Erik Oscar A. Nilsson

10 . Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI M utläses som: mängden av obejekt som tillhör dem reella talen sådant att x 0. Vilket är ekvivalent med alla reella tal större än 0. M {x R; x } M utläses som; mängden av obejekt som tillhör dem reella talen sådant att x. Vilket är ekvivalent med, alla reella tal större än. M 4 {x R; x } M 4 utläses som; mängden av obejekt som tillhör dem reella talen sådant att x 0. Vilket är ekvivalent med alla reella tal som nns då alla reella tal i kvadrat är större än eller lika med noll. Nu ser vi följande mängd tillhörigheter, då M innehåller men M och M gör det inte. M M 4 och M M M 4,. Implikationer och ekivalens Då implikationer och ekvivalenser är väldigt krångliga och kan vara stökiga så har jag gjort två videos om detta gå in på min kanal och kolla! Kan inte nog understryka vikten av att förstå implikationer och ekvivalenser, så lägg ner mycket tid på att förstå detta. Uppgift.4 Lösning. Vi börjar med att förtydliga utsagorna, A : x < 6, detta är samma sak som 4 < x < 4. Följande två utsagor är lätta att följa B : x > 4 och C : 4 < x < 4. Nu ser vi att följande implikationer och ekvivalenser gäller. Till en början ser vi att A och C är ekvivalenta, A C. A medför B då alla tal i A nns med i B men det andra hållet gäller inte, till exempel elementet 0 nns med i mängden B men inte i A vilket leder till att den omvända implikationen inte gäller, A B. Då C och A är ekvivalent följer det att, C B, på samma sätt som ovan får vi inte den omvända implikationen. Uppgift.5 a) Lösning. Vi börjar med att förtydliga utsagorna. From the top detta betyder att a är lika med b. Påstående B, A : a b, B : a b. Här gäller det att observera följande exempel ), vilket ger oss att a behöver inte vara lika med b. Erik Oscar A. Nilsson 4

11 . Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Till sist, påstående C, C : ab b. Observera nu följande exempel a Vi får nu följande implikationer, A B och A C. b) Lösning. I a) så gick vi redan igenom påstående a-c så vi undersöker nu bara D. Påstående D, D : a b. Observera nu att a måste vara lika med b då vi tar kvadraten på båda sidorna och inte "skadar" vår likhet då alla tal ska vara positiva. Vi har nu bivilkoret att alla tal ska både vara positiva och större än noll. I B får vi nu inte exemplet med och. I exempel C går det nu att dela med b på båda sidorna utan problem. Därav får vi nu att A, B och C är ekvivalenta. Då påstående D får vi att a b. Vi får nu följande ekvivalenser, Uppgift.6 A B C D. Lösning. Vi börjar med att förenkla, först ut är påstående vilket är ekvivalent med 0 < x. Påstående B, A : x > 0, B : x > 0, är enligt så får vi att absolutbeloppet är större eller lika med noll, med likhet om x 0. Detta ger oss att följande ekvivalens x 0. Vi ser nu att påståendet C, C : x 0, samanfaller med påstående B. Påstående D, D : x < 0, är ekvivalent med x > 0, vilket är samma sak som påstående A. Därav följande implikationer och ekvivalenser, A B, A C, A D, Här kan man också tänka på varför inte går implikationen på andra håller i A till B och A till C, försök att hitta ett exempel där detta inte funkar. B C, I B får vi ekvivalens med C och vi får nu lite tänka på vilka egenskaper som inte nns i de andra men som inte kommer sig av B. D B och D C. Precis som i a försök att hitta argmument för varför just det ena eller det andra funkar. Uppgift.7 Erik Oscar A. Nilsson 5

12 . Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Lösning. Vi börjar med att förtyliga alla påstående, A : x x + 0, genom följande beräkning x x + x ) + ) x x x x ) + ) ) ) 4 x ) ) 9) x + ) x ) x )x ). får vi att påståendet är ekvivalent med Genom att lösa olikheten i B, så får vi att detta är ekvivalent med x eller x. B : x, x eller x. Påstående C ger sig av sig själv, C : x. Genom att lösa ekvationen i D, D : lnx) + lnx ) 0, så får vi att detta är ekvivalent med att x. Genom följande beräkning, lnx) + lnx ) lnx x ) lnx 4 ) 4 lnx). Detta ger oss följande ekvation, 4 lnx) 0 x. Erik Oscar A. Nilsson 6

13 . Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Därav följande ekvivalenser, Uppgift.8 A C, B D, D A, D B och D C. Lösning. Vi börjar med att förtydliga alla påstående. Påstående A, A : x 0, är ekvivalent med alla tal större eller lika med noll. Påstående B, B : lnx) 0, är ekvivalent med Detta får vi genom följande beräkning, x. lnx) 0 e lnx) e 0 x. Det behövs egentligen en längre förklaring varför detta funkar dock så kommer det senare. Påstående C, C : e x 0, är ekvivalent med Påstående D, är ekvivalent med Detta får vi genom följande beräkning, < x <. D : x <, < x <. x < < x < <x <. Vi får då följande implikationer, A B, A C, D B och D C. Erik Oscar A. Nilsson 7

14 . Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Uppgift.9 Lösning. Börjar med att förtydliga alla påståenden. Vi börjar med påstående A, A : x > 0, detta påstående är ekvivalent med följande Påstående B, detta är ekvivalent med följande Påstående C, x 0. B : e x >, x > ln). C : cosx), detta är ekvivalent med följande, alla reella tal. Påstående D, D : ln + x ) > 0, detta är ekvivalent med alla reella tal utom noll. Därav följande implikationer och ekvivalenser, A D, A C Uppgift.0 och B A. Lösning. Vi börjar med att förtydliga alla påstående. Här kommer vi att beteckna pojkar med y och ickor med x. Det gäller också att komma ihåg att x + y 0. A: Precis 5 är ickor, detta är ekvivalent med att x 5 och y 5. B: Högst 4 är pojkar, nu får vi ha allt mellan inga till fyra pojkar vilket får som följd att det minst måste nnas 6 ickorna. Man kan tänka på det som en "spegling" då högst får som resultat att motsatsen måste vara minst. Det vill säga 0 y 4 och 6 x 0. C: Minst är pojkar, nu måste vi minst ha med tre, tänker spegling, så ickorna får nu vara högst 7. Det vill säga att y 0 och 0 x 7. D: Högst 5 är ickor, nu får vi ha högst 5 ickor vilket gör att pojkarna blir minst 5. Det vill säga att 5 y 0 och 0 x 5. E: Minst är ickor, ger oss ett högsta antal pojkar på 8. Det vill säga att 0 y 8 och x 0. Vi börjar med A och undersöker dess implikationer. Vi får då följande implikationer, A C, A D och A E. Genom att plugga in värdena i olikheterna så ser vi om implikation är möjlig. För att undersöka B så måste vi kolla om hela intervallet ligger i eller är samma intervall. Då får vi följande implikation B E. I de andra intervallen så skulle det hända att antigen en del eller hela intervallet utanför. För den sista implikationen så göra precis som innan. och D C. Erik Oscar A. Nilsson 8

15 . Implikationer och ekivalens GRUNDLÄGGANDE BEGREPP & TERMINOLOGI Kommentar: Vill du göra uppgiften lite svårare så kan du tänka på att alla inte ser sig som han eller hon. Räkna nu med hen också, detta ger dig ett lite intressantare problem genom att fundera på hur många olika sätt kan nu han, hon och hen vara fördelat. Efter det så kan du tänka på följande, om du sätter hattar på alla med tal ett till tio, hur många sätta kan du nu dela in dem så att summan är minst 6. Uppgift. Lösning. Vi börjar med att förenkla alla påstående. Tips! Rita gurerna. A: Figuren är ett parallelogram. Denition: Ett parallelogram är att två motsatta sidor är parallela. B: Figuren är en romb. Denition: En romb är att två motsatta sidor är parallela och att sidorna är lika långa. C: Figuren är en paralleltrapets. Denition: En paralleltrapets är att minst två sidor är parallela. D: Figuren är en rektangel. Denition: En rektangel är att två motasata sidor är paralella och att varje vinkel är räta. E: Figuren är en kvadrat. Denition: En kvadrat är att två motsatta sidor är paralella, lika långa och har bara räta vinklar. Därav följande implikationer, vi tar dem i olika steg och börjar med A sen B osv, Nu fortsätter vi med B, A C. B A och B C. Här kan man fundera på varför inte implikationen går på andra håller. Ledning, försöka rita en gur som motbevisar omvänd implikation. Påstående C ger oss inga implikationer då den är mest grundläggande av alla påstående. Med detta menar jag att den är en mer universiell mängd än den andra, se min text på bloggen. Vi går nu vidare med D, D A, D A och D C. Vi avslutar med E, E A, E B, E C och E D. Ifall du är mer intresserad eller inte riktigt hängde med på alla detaljerna så har jag samlat ihop lite videos och skrivit ner lite egna tankar. Då detta är en väldigt viktigt att kunna så hoppas jag att du lägger ner lite extra tid på detta. Blogg och video hjälp: Blogginlägg kapitel - kuriosa Erik Oscar A. Nilsson 9

16 KAPITEL : ALGEBRA Kapitel : Algebra Denna delen inehåller allt som man ar gått igenom på gymnasiet, därför är det av yttersta vikt att du efter detta kapitel har stenkoll på din algebra. Det skapar annars mer problem och kan lätt göra skillnad mellan medel betyg och ett högre betyg. Ett par räknefel här och där eller att missa något tecken straar sig bara i slutet och här nns det bara en sak att göra och det är att nöta, nöta och nöta. Det nns i sluten massa extra material som både är för de som vill ha lite rolig fakta eller för de som vill ha lite extra hjälp då man missat en föreläsning eller vill träna mer på någon del. Länken ger dig den senaste infon och tipsen till att klara detta kapitlet. Blogg och video hjälp: Blogginlägg - kapitel - algebra. Räkneoperationer för reella tal Uppgift. a) Lösning. Endiminsionell analys - kapitel - spellista x + )x ) x + ) 9) x ) x + ) 8) x 9 x + 6x + ) x 9 x 6x 9 x x 6x 9 9 6x 8. my- på Träna cket detta. b) Lösning. x + )x ) x ) 9) x ) x ) 8) x 9 x 6x + ) x 9 x + 6x 9 x x + 6x 9 9 6x 8. c) Lösning. x + 5) x 5) 9) x) + 5 x + 5 ) x 5) 9) 9x + 0x + 5) x) 0x + 5 ) 9x + 0x + 5) 9x 0x + 5) 9x + 0x + 5 9x + 0x 5 9x + 0x + 5 9x + 0x 5 0x + 0x Erik Oscar A. Nilsson 0

17 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA Uppgift. 60x. Lösning. Vi börjar med att multiplicera ihop paranteserna, a b) a b)a b)a b) a b)a a + a b) + b) a + b) b)) a b)a ab ab + b ) a b)a ab + b ) a a + a ab) + a b + b) a + b) ab) + b) b a a b + ab a b + ab b a a b + ab b. Vi ser nu att den ena faktorn minska med en hela tiden och att koecienterna framför faktorer är speglade. Uppgift. Lösning. För att visa likheten, a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b om b, a b Så måste vi antigen få V.LVänsterled) bli lika med H.LHögerled) eller vice versa. Jag kommer att lösa uppgiften genom att visa att H.L är lika med V.L. a b a b a6 b 6 a b 7) a6 ) b 6 ) a b 9) a6 b 6 )a 6 + b 6 ) a b 7) a8 b 8 )a 6 + b 6 ). a b Tricket med att använda konjugatreglen om och om igen i beviset. a 8 ) b 8 ) )a 6 + b 6 ) a b a8 b 8 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a4 b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a4 ) b 4 ) )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a4 b 4 )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b Erik Oscar A. Nilsson

18 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA a ) b ) )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b )a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b)a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a b)a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ) a b a + b)a + b )a 4 + b 4 )a 8 + b 8 )a 6 + b 6 ). Därav H.L V.L, V.S.Vvilket skulle visas). Uppgift.4 Lösning. Lite komplicerat att få tankar på papper men såhär är nog lättast att tänka. Vi börjar med att förenkla talen så långt som möjligt. Jag har valt att göra alla till en lista då jag tror att det förtydligar detta lite. Hissa eller a) dissa? 7, Fortsätter på b) c) samma sätt. d) Erik Oscar A. Nilsson

19 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA e) Se beräkning f) ovan ) Därav är följande lika, Uppgift.5 a) Lösning ) ) ) 4 4 ) Erik Oscar A. Nilsson

20 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning ) ) 5 ) ) Uppgift.6 Det lättaste sättet att lösa dessa uppgifter är genom att faktoruppdela nämnare så att vi kan hitta en största gemensamma delare. a) Lösning Nu kan vi se att den största gemensamma delare är Vi sätter nu alla på ett gemensamt bråkstreck genom att multiplicera nämnarna med det som saknas } 5 {{ } 5 } {{ } 5 } {{ } Erik Oscar A. Nilsson 4

21 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning Vi kan nu se att den största gemensamma delaren är 6. Vi fortsätter med att sätta alla på ett gemensamt bråkstreck. }{{} 4 5 }{{} }{{} c) Lösning Vi ser nu att den största gemensamma delaren är, Vi fortsätter med att sätta alla på ett gemensamt bråkstreck }{{} }{{} } {{ 7 } 5 5 } {{ 7 7 } Erik Oscar A. Nilsson 5

22 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA Uppgift.7 a) Lösning. a a 4 ) a 4 a a 4 a 4. b) Lösning. a 4 a ) a a 4 a 8. c) Lösning. 4a a + ) 4a 6a + 7 a + 7 6a + 4a 6a + ) a + ) 7 4a 6 a + ) a + ) 7 4a 6 a + ) a + ) 7 4a a a 6 7 a 6 a. Erik Oscar A. Nilsson 6

23 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA d) Lösning. a a + a + a a a + a + a ) a a + a + a Uppgift.8 a a + ) a + a) a a + ) a a + ) a a + ) a a + ) a + ). a) Lösning. 5x x 5 x ) 5 x 5x 5x 5 x x 5 x 5x 5x 5 x x 5 x x) 5 x 5 x x 9) 5 x x) 5 x 5 x x x 5x x x + x) x) 5x x x Erik Oscar A. Nilsson 7

24 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA ) + x) x) x 5x x + x) x) x 5x x) + x) x) x 5 x x) + x) x 5x + x) x x 5 + x). 5 b) Lösning. x + + x ) x + + x x + x + x x + x + x ) x + x x + x + ) x x + ) x + ) x x + ) x x. c) Lösning. x y x y xy) ) y x xy x y xy) Erik Oscar A. Nilsson 8

25 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA 9) y x xy x y)x + y) xy) Uppgift.9 ) y x xy xy) x y)x + y) x y) xy)xy) xy x y)x + y) x y) xy) xy) xy x y)x + y) xy x + y. a) Lösning. x y y x ) x y + y x x x y y x y x x + y y x y x x y y x y x x + y y x y xy xy x y xy x + y xy xy 9) x + y)x y) xy x + y xy xy 8) x + y)x y) xy x y) xy ) x + y)x y) xy xy x y) x + y)x y) xy) xy x y)x y) Erik Oscar A. Nilsson 9

26 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. x + y) x y) xy) xy) x y) x y) x + y x y. 6x 4 8 y4 x + y 6x 4 8 y4 8 8 x + y 6x 4 8y 4 8 x + y x ) y ) 8 x + y x y ) 4x + 9y ) 8 x + y x) y) ) 4x + 9y ) 9) 8 x + y x y)x + y) 4x + 9y ) 8 x + y ) x y)x + y)4x + 9y ) 8 x + y x y)x + y) 4x + 9y ) 9 9 x + y) x y) x + y) 4x + 9y ) 9 x + y) x y) 4x + 9y ). 7 Erik Oscar A. Nilsson 0

27 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. x + + x x x + ) x ) + x + ) x + )x ) x + ) x ) x + )x ) x ) + x + ) x + )x ) x + ) x ) x + )x ) x + x + x + )x ) x + x + x + )x ) x x + )x ) x + )x ) ) x x + )x ) x + )x ) x x ) x + ) x + ) x ) x x. Uppgift.0 a) Lösning. Då vi har parallelkopplade resistorer så får vi följande uttryck, R R + R + R. Vi kan nu genomföra beräkningen för resistorerna på, och 4 ohm. Vilket ger oss följande beräkning, Detta ger oss en gemensamdelare av, R Vi ställer nu H.L på ett gemensammt bråkstreck Erik Oscar A. Nilsson

28 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA Nu gäller det att komma ihåg att resistansen ges av följande, Vilket ger oss att resultatet är R. R R R Ω. Vilket ger oss en resulterande resistans av Ω. b) Lösning. Nu vet vi följande, att den totala resistansen i slutet ska vara ohm dvs R Ω och att vi har två andra resistorer som ska här bli detta. Där vi också vet att en av dem är 5 ohm, och en okänd vilket ger oss följande uttryck, Vi löser nu för R. R R + R 5 + R. 5 + R 5 R ) 5 5 R 5 R R 5. Därav får vi att den andra resitans ska vara på 5 Ω. Uppgift. Lösning. Linsformelen lyder följande, Givet a600 och f00, så får vi följande ekvation, a + b f, Vi fortsätter med att lösa för a, a a a Erik Oscar A. Nilsson

29 . Räkneoperationer för reella tal KAPITEL : ALGEBRA ) a a a a a a a 0 a Därav a 0 mm. Uppgift. Lösning. Vi förenklar, ) 5 5. Erik Oscar A. Nilsson

30 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA. Kvadratrötter och potenser Uppgift. Lösning. Här gäller det att komma ihåg att konjugatreglen ) 5) + 5) 5) 5 + 5) ) Uppgift ) 5. a) Lösning. + + ) + ) ) + ) ) b) Lösning ) ) ) Erik Oscar A. Nilsson 4

31 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA. c) Lösning. x + + x x + x ) x + + x ) x + x ) x + x ) x + ) + x ) x + x ) x + x ) x + x ) x + x + x + x ) x + x ) x + x. Uppgift.5 a) Lösning. 4 4). b) Lösning Erik Oscar A. Nilsson 5

32 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA ) c) Lösning. 4) d) Lösning ) e) Lösning Erik Oscar A. Nilsson 6

33 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA f) Lösning Uppgift.6 a) Lösning ) 5 + b) Lösning. ) ) c) Lösning. ) 8) ) + ) ) + Erik Oscar A. Nilsson 7

34 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA + 4) d) Lösning x + y) + x + y) x + y) x + y) 9) x + y) x + y) x + y) x + y) 8) x + x y + y ) x y Uppgift.7 Lösning. Vi börjar med att analysera de olika svaren, x + x y + y) x y x y 4) xy ) Erik Oscar A. Nilsson 8

35 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA 4). vi forsätter med nästa ) 4). och till sist 4). Därav ser vi nu att de tre talen är bara omskrivningar av samma tal Uppgift.8 a) Lösning ) Erik Oscar A. Nilsson 9

36 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. c) Lösning. d) Lösning. e) Lösning. f) Lösning. Uppgift.9 7 5) 7+ ) ) 4 + 5) ) ) 7 5) 7+ ) ) ) ) ) 7 5 5) 7+ 5). a) Lösning ) 5+ ) Erik Oscar A. Nilsson 0

37 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. c) Lösning. 5) ) ) 8+ 6) ) ) ) 4+ ) ) 0 0) 5) 5 5) + ) 5 5 Uppgift a) Lösning. b 0. b.7.5 5) b b b.5 b.5 b.5 5) b.5+.5) b. Erik Oscar A. Nilsson

38 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. a ) 0.5 a ) ) a 0.5) a 5 ) 0. a.5 a 5 ) 0. 7) a.5 a 5 0.) a.5 a.5 5) a.5+.5 c) Lösning. a 0. a a.7 a 0.5 6) a a.7) a 0.5 a a.7 a 0.5 d) Lösning. 5) a +.7 a 0.5 a 4.7 a 0.5 5) a ) a 4.. x x.6 x 0. x.4 6) x x.6 x 0. x.4) 5) x +.6) x 0. x.4 x 0.6 x 0. x.4 5) x x.4 x 0.4 x.4 5) x x.0 x. Erik Oscar A. Nilsson

39 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA Uppgift. a) Lösning ) 4 6) 4 4 5) + ) 4 4 5) 4+ ). b) Lösning. ) / / 4 4 / 4 / 6) 4 /) 4 / 4. c) Lösning. 64) / 64 / ) / / Erik Oscar A. Nilsson

40 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA 6 ) / 6/ d) Lösning. 4. ) e) Lösning. f) Lösning. Uppgift. 6) ). ) ) 7) a) Lösning. 5) 4 5 / ) 4 5 / 4) Erik Oscar A. Nilsson 4

41 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA b) Lösning. ) / 4 0) 4/ 9 9 / 4 9 c) Lösning.. ) / 0) / 9 9 / 9 / ) / ) ) ) 7) 7. d) Lösning. 6 /4 4 ) /4 ) ) /4 4 ) / Erik Oscar A. Nilsson 5

42 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA e) Lösning. 8) / ) / ) / ) / / ) / f) Lösning.. ) 4/ 7 6) / 8 4/ ) 4/ 84/ 7 4/ ) 4/ ) 4/ Uppgift. a) Lösning. a. a. a 0.8 a.+.) a 0.8 Erik Oscar A. Nilsson 6

43 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA a. a 0.8 b) Lösning. a. a 0.8 a.+ 0.8) a 0.4. a a a a a a / a/ a / a / a / 5) a + ) a a 5/6. c) Lösning. 6 x x x ) / x ) / 6 x x ) / x /) / 6 x x ) / x /) / x /6 x ) /6 x ) / x x /6 x /6 x4/ x/6 x /6 x /6 x 4/ x /6+ /6) x 4/ x 0 x 4/ x 4/ x 4/. Erik Oscar A. Nilsson 7

44 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA d) Lösning. 4 a a /a 8 4 a a) / 8 a 4 a +/ /8 a /8 a 7/ ) /4 a /8 7 a 4 a /8 a7/8 a /8 a 7/8 a /8) a 7/8+/8 a 8/8 a a. e) Lösning. 4 x y 5 xy 4 x y 5 ) / xy) / 4 x y 5 x / y / x y 5/ ) /4 x / y / x /4 y 5/ /4 x / y / x/ y 5/8 x / y / x / y 5/8 x / y / x / x / y 5/8 y / x /+ /) y 5/8+ /) Erik Oscar A. Nilsson 8

45 . Kvadratrötter och potenser KAPITEL : ALGEBRA x /+ /) y 5/8+ /) x 0 y y /8 y /8. f) Lösning. ) a ab 4 b a ab 4 b bb) / a ab 4 b / ) a ab 4 b / ) / ab 4 a b /4 ab 4 ) a b /4 ab a b /4 ) /4) ) ab a /4 b /6 ) a a /4 b b /6) a +/4 b + /6)) a 7/4 b /6)) a 7/4 b /6 a 7/ b /8. Uppgift.4 Lösning. För att kunna bestämma x så börjar vi med att förenkla högerleder, ) 4 5 ) ) 5 5 ) 8 4 ) 4 5 ) Erik Oscar A. Nilsson 9

46 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA ) ) 0 Om vi förenklar V.L så får vi följande Nu får vi följande likhet, 0 ) x ) 5 4 x 5 4 5x. 4 5x 4 0. Vi behöver nu bara kolla på exponenten och vi får följande ekvation. Polynom och rationella uttryck Uppgift.5 5x 0 x. a) Lösning. För att få en faktoriering så hittar vi gemensamma delar till uttrycken. x x 9) x + )x ). b) Lösning. x + x + x + ) + ) Erik Oscar A. Nilsson 40

47 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. Nu kollar vi bara på faktorn x 4. Nu ger det oss följande faktor uppdelning, x + ) + x + ). x 4x 0 xx 4) 0 x 4 x x + )x ) xx + )x ). d) Lösning. x x + x ) + ) Vi får då följande faktorisering, e) Lösning. x ) + x + ). x 4 + x x x + ) då x + inte går att förenkla mer så får vi följande faktor updelning, x x + ). g) Lösning. Nu kollar vi bara på a b 0. a ab aa b ) Vi får nu följande faktorupdelning, a b 9) a + b)a b). aa + b)a b). Erik Oscar A. Nilsson 4

48 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA h) Lösning. Nu kollar vi bara på a + ab + b. a b + ab + b ba + ab + b ) a + ab + b a + b ) + b ) b a + b) + b 4b 4 a + b). Vi får nu följande faktorisering, ba + b). i) Lösning. a b a b + ab aba ab + b ) Nu kollar vi bara på a ab + b. a ab + b a b ) + b a b) + b 4b 4. a b). ) b Vi får nu följande fatorisering, aba b). Uppgift.6 a) Lösning. xx + ) 4x + ) x x + ) 4 x + ) Nu substituerar vi b x + ) och forsätter med beräkningen, x b 4 b x 4) b Nu bytar vi tillbaka substitionen och får, x 4)x + ). b) Lösning. Nu substituerar du a x 9. x x 9) + x 9 x x 9) + x 9) x a + a Erik Oscar A. Nilsson 4

49 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Nu bytar vi tillbaka substitionen a. c) Lösning. d) Lösning. Nu substituera vi x a b). Nu bytar vi tillbaka vår substition. e) Lösning. x + ) a x + )x 9) x + )x ) 9) x + )x + )x ). x 4 6 x ) 4 9) x 4)x + 4) x )x + 4) 9) x )x + )x + 4). a + b)a b) + a ab a + b)a b) + a a b) a + b) x + a x a + b + a) x a + b) x a + b)a b). a b) 4 a b) Vi substituera nu x a b). Nu bytar vi tillbaka vår substition. x 9) x + )x ) a b) + )a b) ) a b + )a b ). Erik Oscar A. Nilsson 4

50 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA f) Lösning. a 4 a b + b 4 a b ) + b 4 b ) a b ) + b 4 4b4 4 a b ) + b 4 4 b 4 a b ) 4 9) a + b)a b)) a + b) a b). Uppgift.7 a) Lösning. x 7x + xy 7y xx 7) + yx 7) Nu substituerar vi b x 7). x b + y b x + y) b Nu bytar vi tillbaka vår substition. x + y)x 7). b) Lösning. Nu substituerar vi x a ). a 6 a 4 + a a 4 a ) + a ) a 4 x + x a 4 + ) x Nu bytar vi tillbaka våran substition x a ). a 4 + )a ) a 4 + )a ) 9) a 4 + )a + )a ). Erik Oscar A. Nilsson 44

51 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. d) Lösning. Nu bryr vi oss bara om x 4 + y 4 x y. Detta ger oss följande faktorisering, e) Lösning. Vi substituera nu x b + c). Nu bytar vi tillbaka våran substition. f) Lösning. x y + x y x y + ) y + ) x )y + ) x )y + ) 9) x + )x )y + ). 7x 5 + 7xy 4 4x y 7xx 4 + y 4 x y ) x 4 x y + y 4 x y ) + y 4 x y ) + y 4 4y4 4 x y ) 9) x + y)x y)) x + y) x y). y 7xx + y) x y). a b + c) a x 9) a + x)a x). a + b + c))a b + c)) a + b + c)a b c). x + y ) xy) Vi börjar med att substituera v xy) och u x + y ). u v ) Erik Oscar A. Nilsson 45

52 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Nu bytar vi tillbaka våra substition. g) Lösning. 9) u v)u + v). x + y ) xy)x + y ) + xy) x xy + y )x + xy + y ) x y ) ) y + y x + y ) + y x y) + y 4y 4 x y) x + y). ) Vi substituera nu v x + y z och u xy. x + y) + y 4y 4 x + y z ) 4x y v u 9) v u)v + u) ) ) y Nu bytar vi tillbaka våra substition. x + y z ) xy)x + y z ) + xy) x + y xy z )x + y + xy z ) x xy + y ) z )x + xy + y ) z ) 8) x y) z )x + y) z ) Vi substituera nu v x y) och u x + y). v z )u z ) ) ) 9) v z)v + z) u z)u + z) Nu bytar vi tillbaka vår substition. Uppgift.8 ) ) ) ) ) ) x y) z x y) + z x + y) z x + y) + z x y z)x y + z)x + y z)x + y + z). Erik Oscar A. Nilsson 46

53 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA a) Lösning. x + 6x + 7 x + 6 ) + 7 ) 6 x + ) + 7 ) x + ). b) Lösning. x 7x + x 7 ) + x 7 x 7 ) + 7 ) 7 ) x 7 x 7 ) + 4 ) + x 7 ) c) Lösning. x + 8x + 8 x + 8 ) + 8 ) 8 x + 9) + 8 9) x + 9) x + 9). d) Lösning. x + 5x x + 5 ) x + 5 ) 5 ) 5 Erik Oscar A. Nilsson 47

54 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA e) Lösning. x + 5 ) 5 4. x + 7 Den är redan på rätt form och därför redan kvadratkompleterad. Uppgift.9 Lösning. Då vi har, x + ax x + b) + c. Så kan vi genom att använda referens) att följande måste vara lika Uppgift.0 a b och c b. a) Lösning. b) Lösning. 4x 4 x + x )x + ) x + ) x ) x + ) x + ) x x. x 9) x + )x ) x x + x x + x + )x ) x ) x + )x ) x )x ) x + ) x ) x ) x ) x + x. Erik Oscar A. Nilsson 48

55 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA c) Lösning. x y + x y ) xy) y x x y + x y x y y x + x y x y Uppgift. y x + x y x y 0 x y 0. a) Lösning. x x x 9 x 6 x + ) + x x + )x ) x ) x ) x + ) x ) + x x + )x ) x + ) x ) x + ) 4x ) 6x + )x + ) + 6x 6x + )x ) x + ) 6x )x + ) 4x ) + 6x x + ) 6x + )x ) 4x + 6x x 9 6x + )x ) 7x 6x + )x ) 7x ) 6x + )x ) 7 x ) 6x + ) x ) 7 6x + ). b) Lösning. 5 x + 8 x + x + 7 x 5 x + 8 x + x + 7 x + )x ) 5 x + ) 8 x ) + x ) x + ) x + )x ) x + 7 x + )x ) Erik Oscar A. Nilsson 49

56 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Uppgift. 5x + ) + 8x ) + x + 7 x + )x ) 5x x 8 x 7 x + )x ) 0x 0 x + )x ) 0x ) x + )x ) 0 x ) x + ) x ) 0 x +. a) Lösning. x y x xy + y x y y x y) x y x y) x y y x y) x y x y) x y) x y) x y) y x y) x y x y) y x y) x y x + y y x y) x y x y) x y) x y) x y) x y). b) Lösning. a a + 4ab + 4b + b a 4b a a + b) + b a 4b a a + b)a + b) + b a b)a + b) a a b) a + b)a + b) a b) + b a + b) a b)a + b) a + b) Erik Oscar A. Nilsson 50

57 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA aa b) + ba + b) a b)a + b)a + b) a ba + ba + 4b a b)a + b)a + b) a + 4b a b)a + b)a + b). Kommentar: När jag gör den liggande stolen så ser det inte supersnyggt ut men jag ska lösa det sen men om du inte förstår så rekommenderar jag att du kollar på följande videos. Blogg och video hjälp: Uppgift. a) Lösning. x )x ) + x )x ) + x )x ) x ) x )x ) x ) + x ) x )x ) x ) + x ) x )x ) x ) x + x + x x )x )x ) x 6 x )x )x ) x ) x )x )x ) x ) x ) x )x ) x )x ). b) Lösning. Detta skriver vi om till liggande stolen 4x 4 x + x Erik Oscar A. Nilsson 5

58 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA 4x 4 x + ) x 4 x x 4 x + ) x 4) 0. 4x 4 x + x. Uppgift.4 a) Lösning. Detta skriver vi om x 5 + x 4 x + x x + x + x x 5 + x 4 x + x x + x + ) x 5 + x + x ) x 4 x x + x x + x x 4 x x + x x + x + ) x 4 + x + x) x 4x x x + x x 4x x x + x + ) x x ) 4x + x +. Erik Oscar A. Nilsson 5

59 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Detta ger oss, x 5 + x 4 x + x x + x + x + x + 4x + x + x + x + b) Lösning. Detta skriver vi om, x 6 x x 5 x 6 x ) x 6 x 5 ) x 5 x 5 + x 4 x 5 x ) x 5 x 4 ) x 4 x 5 + x 4 + x x 4 x ) x 4 x ) x x 5 + x 4 + x + x x x ) x x ) x x 5 + x 4 + x + x + x Erik Oscar A. Nilsson 5

60 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA x x ) x ) x x 5 + x 4 + x + x + x + x x ) x ) 0. Därav c) Lösning. Detta skriver vi om x 6 x x5 + x 4 + x + x + x +. x 4 + x + 5 x + 4x + 5 x x 4 + x + 5 x + 4x + 5) x 4 + 4x + 5x ) x 5x + 5 x x x 5x + 5 x + 4x + 5) x 8x 0x) x + 0x + 5 x x + Därav x + 0x + 5 x + 4x + 5) x + x + 5) x + 0. x 4 + x + 5 x + 4x + 5 x + 0 x x + + x + 4x + 5. Erik Oscar A. Nilsson 54

61 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA Uppgift.5 a) Lösning. x 4 x 9 x + )x ). b) Lösning. x + x + x + ) + ) x + ) + x + ). c) Lösning. x x xx ) Nu räcker det att kolla på x. x x 9) x + )x ). Därav, xx + )x ). d) Lösning. x x + x ) + x ) + ) x ) x ) x ) Erik Oscar A. Nilsson 55

62 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA e) Lösning. x ) 4 x ) ) 9) x ) ) x ) + ) x + ) x )x ). x x x + x ) x + ) + + x + ) + + x ) ) x + ) x + x + ) ) + x + ) + 4 ) ) x + ) + x + )) x + )) ) ) + + x x x + ) x + ) x )x + ). Erik Oscar A. Nilsson 56

63 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA f) Lösning. Nu räcker det med att kolla på x x +. x 4 x + x x x x + ) x + x + x + ) + ) x + ) x + ). Därav, x x ). Uppgift.6 a) Lösning. x x x + )x ). b) Lösning. I kommande uppgift, x +, så är den redan faktoriserad till dess minsta delar. c) Lösning. x x )x + x + ) d) Lösning. x + x + )x x + ). e) Lösning. x 4 x ) 9) x )x + ) x )x + ) 9) x )x + )x + ). f) Lösning. x 4 + 7x xx + 7) xx + )x x + 9). Erik Oscar A. Nilsson 57

64 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA g) Lösning. Uppgift.7 x 6 64 x ) 8) x 8)x + 8) x )x + x + 4)x + )x x + 4). Lösning. För att hitta nollställets multiplicitet och faktorisera polynomet lättast så är det just nunns bättre sätt som kommer att kunna tas upp senare) bara till att göra polynomdivision. Ska xa stilen x 5 0x + 5x 6 x Vi använder oss nu av den liggande stolen. x 4 x 5 0x + 5x 6 x ) x 5 x 4 ) x 4 0x + 5x 6 x 4 + x x 4 0x + 5x 6 x ) x 4 x ) x 0x + 5x 6 x ) x 4 + x + x x 0x + 5x 6 x ) x x ) 9x + 5x 6 x 4 + x + x 9x 9x + 5x 6 x ) 9x + 9x) 6x 6 Erik Oscar A. Nilsson 58

65 . Polynom och rationella uttryck KAPITEL : ALGEBRA x 4 + x + x 9x + 6 Vi fortsätter fast nu med, 6x 6 x ) 6x 6) 0 x 4 + x + x 9x + 6. x Vi får då kvar, x + x + x 6, vi forsätter med samma procedur x + x + x 6. x Vi får då, x + x + 6, nu ser vi också att x inte är en faktor så vi får multiplicitet av. Uppgift.8 px) x ) x + x + 6). Lösning. tipset är att gissa ett nollställe till px) x x 4. Ett Tips om hur man gissar bäst är att om det nns en heltalslösning så kommer den att dela talet utan x. Då kan vi börja med att testa x, vi ser att den inte blir noll men vi fortsätter med. p) ) ) Börjar då att faktorisera ut x. Ska xa stilen x x 4 x Detta skriver vi om x x x 4 x ) x x ) x x 4 x + x x x 4 x ) x 4x) Erik Oscar A. Nilsson 59

66 KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x 4 x + x + x 4 x ) x 4) 0. Vi får då att, px) x )x + x + ) Vi kan inte faktorisera den sista delen då, x + x + x + ) +, och detta är så långt som det bara går att faktorisera i reella delar. Här kommer en längre del med material, videos, länkar, idéer och tankar som kan kanske hjälpa dig eller inspirera dig. Blogg och video hjälp: Blogginlägg - kapitel - kuriosa Kapitel : Ekvationer och olikheter Jag har skrivit ihop lite text och gjort en video ekvationer och olikheter då detta är en bra träning. Blogg och video hjälp: Blogginlägg - kapitel - ekvationer och olikheter. Ekvationer Uppgift. Endiminsionell analys - kapitel - spellista a) Lösning. En lösning är ekvivalent med att en faktor är lika med noll då följden blir att allt blir lika med noll. x )x )x ) 0 Då måste en av faktorerna vara lika med noll för att den ska uppfylla likheten det vill säga, Vilket är ekivialent med följande x ) 0, x ) 0, eller x ) 0. x, x eller x. Erik Oscar A. Nilsson 60

67 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER b) Lösning. Börjar med att faktorisera, xx 4) xx ) xx + )x ). Nu får vi att en av följande faktorer måste vara lika med noll, xx + )x ) x 0, x + ) 0 eller x ) 0. Vilket är ekvivalent med, x 0, x eller x. c) Lösning. Vi börjar med att faktorisera polynomet genom kvadratkompletering. x + 0x + 4 x + 0 ) + 4 x + 5) x + 5) x + 5) x + 5) ) 0 x + 5) )x + 5) + ) x + 4)x + 6). Om en av fakotrerna är lika med noll så blir allt lika med noll. x + 4)x + 6) 0 x + 4) 0 eller x + 6) 0. Vilket ger oss följande lösningar, x 4 eller x 6. d) Lösning. Vi börjar med att faktorisera polynomet genom kvadratkompletering. x + 0x + 5 x + 0 ) + 5 x + 5) x + 5) x + 5) x + 5)x + 5). ) 0 Erik Oscar A. Nilsson 6

68 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Vi kan nu se att det är en dubbelrot i punkten, x x 5. e) Lösning. Vi börjar med att förenkla problemmet genom att faktorisera ut ett x. x + 0x + 4 xx ). Nu kan vi se att en lösning är x 0, och att vi fortsätter faktorisera genom kvadratkompletering. Vi kan nu hitta nolställena. x + 0x + 4 x + 0x + 4, x + 0 ) + 4 x + 5) x + 5) x + 5) x + 5) ) 0 x + 5) )x + 5) + ) x + 4)x + 6). x + 4)x + 6) 0 x + 4) 0 eller x + 6) 0. Vi får då följande lösningar, x 0, x 4 eller x 6. f) Lösning. Vi börjar med att förenkla problemmet genom att faktorisera ut x. x 4 + 0x + 5x x x + 0x + 5). Nu ser vi att en lösning är x 0, vilket är också en dubbelrot. Vi fortsätter faktorisera genom kvadratkompletering. x + 0x + 5 x + 0x + 5, x + 0 ) + 5 x + 5) x + 5) x + 5) ) 0 Erik Oscar A. Nilsson 6

69 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Vi kan nu se att det är en dubbelrot i punkten x + 5)x + 5). x 5. Svaret blir då, Uppgift. x x 0 och x x 4 5. a) Lösning. Om x ska lösa ekvationen x + 4x + a 0. Så stoppar vi in på "x:s" plats och sen löser vi för a a a 0 + a 0 a. b) Lösning. Om x ska lösa ekvationen x + bx + 0. Så stoppar vi in på x plats och sen löser vi för b. ) + b ) b + 0 b + 0 b b b 7 Erik Oscar A. Nilsson 6

70 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER b 7. Uppgift. Jag kommer att lösa alla uppgifterna genom kvadratkompletering då ett annat förslag redan nns i boken. a) Lösning. Vi sätter nu px) 0. px) x x 4 x ) 4 x x 4 0 ) 0 x ) x ) x 0 ) x ) 0 x ) x + ) 0 x + ) x ) 0 Erik Oscar A. Nilsson 64

71 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x eller x. Därav följer det att, px) x + ) x ). b) Lösning. Börjar med att sätta px) 0, då px) x x. Fortsätter med att kvadratkomplitera, x x 0 x ) x 0 x 4) ) 0 4 x ) x ) x ) x 4) ) x ) x )) 0 Erik Oscar A. Nilsson 65

72 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x + ) x 8 )) x + ) ) x ) 0. x eller x. Därav följer det att, px) x + ) ) x ). c) Lösning. x + x + x x ) x ) x ) 4 ) x ) x ) x ) 7 x ) x + 7 ) ) 7 x 7 ) Vi får nu rötterna, x + )x 4). x 4 och x. Erik Oscar A. Nilsson 66

73 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER d) Lösning. x x + 4 x x x x + 4 ) x x ) + 4 x x ) x x ). ) Detta ger oss följande rötter, x 0 och x x. e) Lösning. x + 6x + 5x x x + x x + x 5 x x + x + 5 ) x x ) + 5 x x ) ) x x ) x x ) x x + x + 5 ). Detta ger oss följande rot då det inte går att förenkla x + x + 5, x 0. f) Lösning. x 4 6x + 8 x 6 ) x + 8 ) 6 ) Erik Oscar A. Nilsson 67

74 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x ) ) x ) ) x ) x + ) x ) x ) x )x + )x )x + ). Detta ger oss följande olikheter, x, x, x eller x 4. Uppgift.4 Lösning. Finns redan lösning i boken. Uppgift.5 a) Lösning. x + x + x + 0 x + x ) + x x ) x + 0 x )x + ) xx )x + ) + xx ) x + )x )x 0 x )x + ) + xx )) xx )x + ) 0 x x + x + x x xx )x + ) 0. x xx )x + ) 0. Ekvationen vi då får är, x 0 x Erik Oscar A. Nilsson 68

75 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x ±. Därav får vi följande lösningar, x eller x. b) Lösning. x x x x 4 x ) x ) x )x ) x 4) x ) x )x 4) x x + x )x ) x 4 x + x )x 4) x )x ) x )x 4) x )x 4) x )x ) 0 x )x ) x )x 4) x )x )x )x 4) 0 Vilket ger oss följande ekvation att lösa, x x + x 7x + ) x )x )x )x 4) 0 4x 0 x )x )x )x 4) 0. 4x 0 0 Erik Oscar A. Nilsson 69

76 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Vilket ger oss följande svar x x 5. c) Lösning. Ekvationen vi får då är x x + x + x 0 xx ) + xx + ) 0 x + ) + x ) xx )x + ) 0 x + + x xx )x + ) 0 x + xx )x + ) 0. x + 0 x. Lösning till ekvationer är då följande, x. d) Lösning. x + x + x x ) x + )x + ) x + )x ) x x + 4x + 4 ) x 4 x 4 x x x 4 x x 4 Erik Oscar A. Nilsson 70

77 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER Detta ger oss följande ekvation x x + 4x + 4 ) x 4 + x x 4 0 x x 6 + x x 0 4 x 6 0 x 6 x 6 x 4 0. Vilket ger oss "lösningen", x 6. x, här gäller det dock att komma ihåg att nämnare får inte vara noll vilket den blir och därför har inte ekvationen någon lösning. Uppgift.6 Lösning. Finns redan lösning i boken. Uppgift.7 a) Lösning. x + x Forsätter med att kvadratkomplitera x + ) x x + x x x 0. x ) ) 0 x ) 9 4 x ) 9 4 Erik Oscar A. Nilsson 7

78 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER x ± x ± x eller x. Vi måste nu undersöka om våra lösningarna är rätt. +, underbart x är en lösning., därav är ingen lösning. b) Lösning. x + x x + ) x) x + x x x 0. Vi fortsätter med att kvardratkomplentera uttrycket x ) ) x ) 9 4 x ) ) 9) x ) + ) x ) ) x ) x + )x ). x + därav så måste antingen x eller x vara lika med noll då den ska uppfylla, x + )x ) 0. Vi kan se att beräkningarna är nästan exakt den samma som i a), och vi måste nu kolla vårt svar. Börjar med x + ) ) ), kanon! Därav är x en lösning. Fortsätter nu med x, + Erik Oscar A. Nilsson 7

79 . Ekvationer KAPITEL : EKVATIONER OCH OLIKHETER 4, därav är x ingen lösning. c) Lösning. Vi fortsätter med att kvadratkompletera x 4) x 8) x 8x + 6 x x 9x x 9 ) + 8 ) 9 0 x 9 ) 9 4 x ) x 9 ± Vi får nu dubbelkolla våra resultat. Börjar med x därav så är x en lösning. Nu undersöker vi den andra, därav så är x 6 också en lösning. x 9 ± x eller x 6. 4) ), 6 4) 6 ) 4, Kommentar: Resultatet är att båda talen är en lösning till ekvation, detta kommer sig med tanke på att vi inte lägger till mer information än vad vi gjorde i början. Med andra ord så bevarar vi ekivalens i första stegt jämfört med a) och b). Uppgift.8 a) Lösning. x + x + x + ) x + ) Erik Oscar A. Nilsson 7

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson

Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys. E. Oscar A. Nilsson Inociell Lösningsmanual Endimensionell analys E. Oscar A. Nilsson January 31, 018 Dan Brown "The path of light is laid, a secret test..." Tillägnas Mina vänner i Förord Detta är en inociell lösningsmanual

Läs mer

Lösningsmanual Endimensionell analys

Lösningsmanual Endimensionell analys Lösningsmanual Endimensionell analys Erik Oscar A. Nilsson 06, December Lund Oscar Omnia mecum porto mea Tillägnas Mina vänner I Förord Detta är en inociell lösningsmanual för: Övningar - Endimensionell

Läs mer

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1. Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n

Läs mer

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta

Läs mer

Sidor i boken

Sidor i boken Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker

Läs mer

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10 Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1

Om a 2 är ett jämnt tal, så är också a ett jämt tal sant. = 4n 2 + 4n + 1 1127 Påstående betecknas med P Motsatsen till påsteåendet betecknas P = icke P = inte P = ej P P n är ett udda tal P n är ett jämnt tal Kommentar: n kan enbart vara udda eller jämnt, P a + 2b 15 P a +

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)

Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016 Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck

Läs mer

Svar till vissa uppgifter från första veckan.

Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till vissa uppgifter från första veckan. Svar till kortuppgifter F:. Ja! Förhoppningsvis så ser man direkt att g fx) är ett polynom. Vidare så gäller det att g fα) = gfα)) = gβ) = 0. Använd faktorsatsen!

Läs mer

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L. Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför

Läs mer

Lösningar till udda övningsuppgifter

Lösningar till udda övningsuppgifter Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Lösningsförslag TATM

Lösningsförslag TATM Lösningsförslag TATM79 016-09-6 1 a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom

Läs mer

Euklides algoritm för polynom

Euklides algoritm för polynom Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på

Läs mer

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL

Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska

Läs mer

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och

S n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS 8906 BESKRIVNING AV GODA SVAR Examensämnets censorsmöte har godkänt följande beskrivningar av goda svar Av en god prestation framgår det hur examinanden har kommit fram till

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det

Läs mer

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011 Anvisningar Avsikten med följande frågor är att hjälpa dig med självkontroll av dina kunskaper. Om du känner dig osäker på svaren bör du slå upp

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner

Kapitel 7. Kontinuitet. 7.1 Definitioner Kapitel 7 Kontinuitet 7.1 Definitioner Vi har sett på olika typer av funktioner. Vi skall fortsätta att undersöka dem, men ur en ny synvinkel. Vår utgångspunkt är nu att försöka undersöka om de är sammanhängande.

Läs mer

Manipulationer av algebraiska uttryck

Manipulationer av algebraiska uttryck Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning

Läs mer

1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1

1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1 Högskolan i Halmstad Tentamensskrivning 6 hp ITE/MPE-lab MA2047 Algebra och diskret matematik Mikael Hindgren Onsdagen den 26 oktober 2016 035-167220 Skrivtid: 9.00-13.00 Inga hjälpmedel. Fyll i omslaget

Läs mer

Kontinuitet och gränsvärden

Kontinuitet och gränsvärden Kapitel Kontinuitet och gränsvärden.1 Introduktion till kontinuerliga funktioner Kapitlet börjar med allmänna definitioner. Därefter utvidgar vi successivt familjen av kontinuerliga funktioner, genom specifika

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Lite Kommentarer om Gränsvärden

Lite Kommentarer om Gränsvärden Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 6, 977 Årgång 6, 977 Första häftet 36. Lös ekvationssystemet { x y = 8 y log x + x log y = 2 (Svar: x = y = 8) 36. lös ekvationen 6sin x 6sin2x + 5sin3x =. (Svar: x = n 8, 84,26 + n 36,

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn:

8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn: 8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn: Inledning I kapitlet med matematiska uttryck lärde du dig hur man förenklade ett uttryck med en faktor framför en parentes genom att multiplicera varje

Läs mer

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet Per Alexandersson Föreläsning I Timme I: Repetition av matriser, linjära ekvationssystem Linjärt ekvationssystem: x + y + z 3w = 3 2x + y + z 4w =

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7 Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)

Övningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal) LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................

Läs mer

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0. LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är

Läs mer

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal.

Notera att tecknet < ändras till > när vi multiplicerar ( eller delar) en olikhet med ett negativt tal. OLIKHETER Egenskaper:.Om a < b då gäller a+ c < b +c. Om a < b < c då gäller a+d < b+d < c+d. Om a < b och k > 0 då gäller ka < kb. 4. Om a < b och k < 0 då gäller ka > kb. Notera att tecknet < ändras

Läs mer

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.

Läs mer

Att studera matematik på universitetsnivå Tips för att lyckas i kursen Endimensionell Analys och andra matematikkurser

Att studera matematik på universitetsnivå Tips för att lyckas i kursen Endimensionell Analys och andra matematikkurser Att studera matematik på universitetsnivå Tips för att lyckas i kursen Endimensionell Analys och andra matematikkurser Sara Maad Sasane Matematikcentrum Lunds universitet 25 september 2017 För att få godkänt

Läs mer

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk)

Denna uppdelning är ovanlig i Sverige De hela talen (Både positiva och negativa) Irrationella tal (tal som ej går att skriva som bråk) UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-24 SÄL 1-10p Avsnitt 1.1 Grundläggande begrepp Detta avsnitt behandlar de symboler som används

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0

Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra

Läs mer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner

TATM79: Föreläsning 4 Funktioner TATM79: Föreläsning 4 Funktioner Johan Thim augusti 08 Funktioner Vad är egentligen en funktion? Definition. En funktion f är en regel som till varje punkt i en definitionsmängd D f tilldelar precis ett

Läs mer

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Checklista för funktionsundersökning

Checklista för funktionsundersökning Linköpings universitet Matematiska institutionen TATA41 Envariabelanalys 1 Hans Lundmark 2015-02-10 Checklista för funktionsundersökning 1. Vad är definitionsmängden D f? 2. Har funktionen några uppenbara

Läs mer

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Matematiska uppgifter

Matematiska uppgifter Elementa Årgång 67, 984 Årgång 67, 984 Första häftet 3340. a) Vilket av talen A = 984( + + 3 + + 984 ) är störst? b) Vilket av talen B 3 = 3 + 3 + 3 3 + + 984 3 är störst? A / = 984( + + 3 + + 984) B =

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Snabba tips på hur du kan plugga till XYZ och KVA

Snabba tips på hur du kan plugga till XYZ och KVA Introduktion en här boken skapades för att hjälpa dig att maximera din poäng på XYZ och KV. Jag räknade genom alla tidigare XYZ och KV och resultatet är 1000 övningsuppgifter som starkt påminner om och

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L

Svar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Ekvationer och system av ekvationer

Ekvationer och system av ekvationer Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Den räta linjens ekvation

Den räta linjens ekvation Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är

Läs mer

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.

Här studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:. KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer