Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter
|
|
- Maja Karlsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta storheten är en lösning till ekvationen om värdet gör att likheten är uppfylld: Exempel: För ekvationen x = 9 är x = 3 och x = 3 lösningar till ekvationen. Vi säger att vi har löst en ekvation om vi har hittat samtliga lösningar till den. Räkneregler för ekvationen För att lösa ekvationen ax + b = 0 där a, b R, a 0 gör vi följande uträkningar: ax + b = 0 ax = b x = b a Vi kan utifrån detta formulera följande allmänna räkneregler för ekvationer: Sats: Räkneregler I x = y x + a = y + a för alla a R. x = y ax = ay för alla a R \ {0}. Notera att dessa räkneregler implicit säger att vi även får dra ifrån tal, eller dividera med tal på båda sidor om en ekvation. Att göra samma operation på båda sidor om en ekvation ger inte alltid en ekvivalent likhet: 1
2 Sats: Räkneregler II x = y = x = y men x = y = x = y. Det gäller däremot att x = y x = ±y vilket är ett kort sätt att skriva att x = y eller x = y. Som ett exempel på detta, betrakta: Exempel: = = =, men = ( ) = = När vi löser ekvationer måste vi ibland vara uppmärksamma på detta: Exempel: Lös ekvationen x + 4 = x. Lösning: Vi använder våra räkneregler: x + 4 = x = ( x + 4) = ( x) x + 4 = 4 4x + x x 5x = 0 x(x 5) = 0 x = 0 eller x = 5. Vi har alltså visat att x + 4 = x = x = 0 eller x = 5. Om vi använder att A = B B = A innebär detta att om x inte är lika med 0 eller 5 så måste det gälla att x + 4 x. Vi vet således att de enda potentiella lösningarna till ekvationen är x = 0 eller x = 5 (eller båda). Vi testar: x = 0: = = 0. Så x = 0 är en lösning. x = 5: = 3 5. Så x = 5 är ej en lösning. Svar: x = 0 löser ekvationen. Kvadratiska ekvationer En vanligt förekommande klass av ekvationer är kvadratiska ekvationer. Definition: Kvadratisk ekvation
3 En kvadratisk ekvation är en ekvation som kan skrivas på formen: ax + bx + c = 0, a, b, c R och a 0 Det finns en allmän formel för lösningar till dessa ekvationer, men för att bevisa den ska vi först befatta oss med kvadratkomplettering. Kvadratkomplettering är en metod som bygger på att vi använder regeln (x+a) = x +ax+a baklänges för att skriva om ett uttryck på formen x +bx som en kvadrat plus en konstant. I allmänhet gäller att: x + bx = x + b x + ( b ) ( ) ( b = x + b ) b 4 Vi kan använda kvadratkomplettering för att lösa andragradsekvationer: Exempel: Lös andragradsekvationen x x 3 = 0 med hjälp av kvadratkomplettering. Lösning: Vi skriver om uttrycket mha kvadratkomplettering: x x 3 = 0 x + ( 1)x + ( 1) ( 1) 3 = 0 (x 1) 1 3 = 0 (x 1) 4 = 0 Vi kan nu använda våra räkneregler för kvadrater i ekvationer för att fortsätta: (x 1) 4 = 0 (x 1) = x 1 = ± x = 1 ± x = 1 eller x = 3 I praktiken löser vi så ofta kvadratiska ekvationer att vi i stället för att varje gång kvadratkomplettera räknar ut en allmän formel: Sats: Lösningsformel för kvadratiska ekvationer Låt a, b, c R och a 0. Då gäller att: ax + bx + c = 0 x = b ± b 4ac a Bevis: Vi använder kvadratkomplettering för den allmänna ekvationen: ax + bx + c = 0 x + b a x + c a = 0 3
4 V.S.V. (x + b a ) b 4a + c a = 0 (x + b a ) = b 4a 4ac 4a (x + b a ) = b 4ac 4a x + b a = ± b 4ac 4a x = b a ± b 4ac 4a x = b ± b 4ac a I det särskilda fallet a = 1 reducerar detta till den s.k. pq-formeln: x + px + q = 0 x = p ± (p ) q. Polynom och faktorisering Polynom är ett av de mest vanligt förekommande uttrycken inom matematiken. De kan definieras genom: Definition: Polynom Ett polynom av grad n N {0} är ett uttryck på formen: p(x) = a 0 + a 1 x + a x + a 3 x a n x n, a 1, a,..., a n R och a n 0. Vi säger att x = r är en rot till polynomet om p(r) = 0. Exempel: x 5 + 3x 1 är ett polynom av grad 5. x 3 är ett polynom av grad 3. 7 är ett polynom av grad 0. är en rot till polynomet p(x) = x 4. 4
5 Om vi betraktar polynomet x 4 ser vi att vi kan skriva om det som (x )(x + ), vilket kallas den faktoriserade formen, där x och x + är faktorer i polynomet. Detta leder oss till den allmänna definitionen: Definition: Låt p(x) vara ett polynom. Vi säger att polynomet s(x) är en faktor i p(x) om det existerar ett polynom q(x) sådant att p(x) = s(x)q(x). Exempel: Polynomet 3x + 3x 6 kan skrivas som 3(x 1)(x + ) där 3, x 1 och x + är faktorer. Om vi känner till uttrycket för ett polynom p(x) och en av dess faktorer s(x) är vi ofta intresserade att hitta en andra faktor q(x) sådan att p(x) = s(x)q(x). Vi kan göra detta genom polynomdivision, där man ungefär kan säga att vi hittar q(x) genom att beräkna p(x) s(x). Exempel: Beräkna x3 7x 7x + 30 x 3 genom att använda polynomdivision. Lösning: Vi använder liggande stolen genom att först ställa upp: x 3 7x 7x + 30 }{{} dividend x 3 }{{} divisor Vi delar sedan den ledande termen i dividenden med den ledande termen i divisorn, här x 3 /x = x och skriver resultatet ovanför strecket: x x 3 7x 7x + 30 x 3 Vi drar sedan bort resultatet multiplicerat med divisorn, x (x 3) = x 3 6x, från dividenden: x x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 }{{} ny dividend 5
6 Vi upprepar samma procedur med den nya dividenden och räknar ut x /x = x: x x x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 }{{} ny dividend Vi drar bort det nya resultat multiplicerat med divisorn, x(x 3) = x + 3x igen: x x x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 ( x + 3x) 10x + 30 I nästa steg ger 10x/x = 10, så vi får: x x 10 x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 ( x + 3x) 10x + 30 och vi har att 10(x 3) = 10x + 30 så vi får: x x 10 x 3 7x 7x + 30 x 3 (x 3 6x ) x 7x + 30 ( x + 3x) 10x + 30 ( 10x + 30) 0 Vi avslutar när graden av den ledande termen i dividenden är lägre än den i divisorn. Här har talet 0 grad 0, och x har grad 1, så vi är färdiga. Resultatet av polynomdivisionen, kallat kvoten, är det som står ovanför strecket. 6
7 Svar: Vi har beräknat att x3 7x 7x + 30 x 3 10)(x 3) = x 3 7x 7x = x x 10, eller ekvivalent att (x x Det är inte alltid som divisionen går jämnt upp. Vi inför följande beteckning: Definition: Delar Om s(x) är en faktor i p(x) säger vi att s(x) delar p(x) och betecknar detta med s(x) p(x). Om ett polynom s(x) delar ett polynom p(x) kan vi utföra polynomdivision för att hitta q(x) = p(x)/s(x), men i allmänhet gäller att: Sats: Låt p(x) och s(x) vara polynom där grad n och m respektive, och 1 m n. Vi kan då skriva p(x) = q(x)s(x) + r(x) där q(x) och r(x) är polynom, och r(x) har grad högst m 1. Om s(x) p(x) så är r(x) = 0. Om p(x) och s(x) är kända polynom kan vi hitta kvoten q(x) och resten r(x) genom att utföra polynomdivision: Exempel: Hitta q(x) och r(x) i uttrycket p(x) = q(x)s(x) + r(x) om p(x) = x 3 + 7x 3 och s(x) = x + x. Lösning: Vi använder polynomdivision för att beräkna p(x)/s(x): x x x 3 x + x (x 3 + x ) x + 7x 3 ( x 4x) 11x 3 Vi ser att resten r(x) = 11x 3 och kvoten q(x) = x. Vi vet alltså att: Svar: x 3 + 7x 3 = (x ) (x + x) + 11x 3, }{{}}{{}}{{}}{{} p(x) q(x) s(x) r(x) Det finns en viktig koppling mellan rötterna i ett polynom och dess faktorer. Polynomet x 4 har rötterna r 1 = och r = och kan faktoriserar som (x )(x + ). Detta är en allmän egenskap hos polynom och vi formulerar detta på följande vis: 7
8 Sats: Faktorsatsen Låt p(x) vara ett polynom. Då gäller att p(a) = 0 (x a) p(x), det vill säga x a är en faktor i p(x) omm a är en rot till p(x). Bevis: Vi måste visa implikation åt båda hållen: p(a) = 0 = (x a) p(x) : Enligt tidigare sats kan vi skriva: p(x) = q(x)(x a) + r Eftersom r(x) enligt satsen har lägre grad än x a måste det vara ett reellt tal (av grad 0). Enligt antagande har vi att 0 = p(a) = q(a)(a a) + r 0 = 0 q(a) + r 0 = r. Detta ger att p(x) = (x a)q(x), så x a är en faktor i p(x). (x a) p(x) = p(a) = 0 : Enligt antagande vet vi att p(x) = (x a)q(x) för något q(x). Vi beräknar: p(a) = (a a)q(a) = 0 q(a) = 0, så a är en rot till p(x). Då vi har visat implikation åt båda hållen har vi bevisat satsen. Som en konsekvens av faktorsatsen vet vi att vi kan hitta alla faktorer till ett polynom om vi kan hitta dess rötter: Exempel: Faktorisera polynomet p(x) = x 3 + 4x 3x. Lösning: Genom systematisk gissning kommer vi fram till att x 0 = 1 är en rot till polynomet. Genom polynomdivision mellan p(x) och x 1 beräknar vi sedan: p(x) = (x 1)(x + 5x + ). Vi löser andragradsekvationen i den andra faktorn, vilket ger: x 1 = och x =
9 Vi har nu hittat samtliga rötter till polynomet p(x) och kan såldes faktorisera det som: Svar: p(x) = (x 1) ( x ) ( x 5 17 ) Olikheter Förutom ekvationer, är olikheter en vanligt förekommande typ av relation inom matematiken. Vi har följande olikheter: a < b a är strikt mindre än b a > b a är strikt större än b a b a är mindre än eller lika med b a b a är större än eller lika med b Vilken ordning vi använder spelar inte någon roll så det gäller att: a < b b > a a b b a Precis som vi kan lösa ekvationer, kan vi lösa olikheter. Vi löser en olikhet genom att hitta alla värden för vilka olikheten är uppfylld: Exempel: Hitta alla x som uppfyller olikheten x + 1 >. Lösning: Om x + 1 är större än måste det gälla att x > 1. Svar: Olikheten är uppfylld för alla x > 1. Precis som för ekvationer kan vi ge några allmänna räkneregler: Sats: Räkneregler för olikheter x < y x + a < y + a för alla x, y, a R x < y ax < ay för alla x, y, a R sådana att a > 0 x < y ax > ay för alla x, y, a R sådana att a < 0 När vi multiplicerar båda sidorna av en olikhet med ett negativt tal måste vi alltså vända på olikheten. Ta som exempel 1 < 1 > där vi multiplicerat båda sidor av en olikhet med 1. 9
10 Intervall Lösningarna till olikheter är i regel ett eller flera intervall. Intervall är sammanhängande delmängder av R, tex alla tal mellan 1 och. Vi betecknar intervall på följande vis: x [a, b] a x b x (a, b] a < x b x [a, b) a x < b x (a, b) a < x < b [a, b] kallas för ett slutet intervall, och (a, b) kallas för ett öppet intervall. När vi jobbar med olikheter är det underförstått att det är de reella tal vi jobbar med om inget annat anges och vi skriver därför ibland: 0 x x [0, ). Notera att vi alltid har en ) där vi har oändlighetstecknet, eftersom inte är ett reellt tal. Exempel: Finn alla x som uppfyller olikheten 3x + 4 < 3. Ange svaret som ett intervall. Lösning: Vi använder räknereglerna för olikheter: 3x + 4 < 3 3x < 1 x > 1 3 Detta mostsvaras av: Svar: Olikheten är uppfyld om x ( 1 3, ). Det är ibland nödvändigt att utreda flera fall när oliheter löses: Exempel: Hitta alla x som uppfyller olikheten x + x 1 >. Lösning: För att lösa olikheten måste vi ta hänsyn till både fallen när x 1 > 0 och när x 1 < 0. Fall 1: x 1 > 0 x > 1 Eftersom x 1 > 0 kan vi multiplicera med det talet på båda sidor av olikheten: x + x 1 > x + > (x 1) x + > 4x 10
11 4 > 3x x < 4 3 Sammantaget ger detta fall att x ( 1, 4 3 ). Fall : x 1 < 0 x < 1 Eftersom x 1 < 0 måste vi vända på olikheten när vi multiplicerar med det talet på båda sidor av olikheten: x + x 1 > x + < (x 1) x + < 4x 4 < 3x 4 3 < x Men eftersom x inte samtidigt kan vara både större än 4 och mindre än 1, ger inte detta några 3 ytterligare x som uppfyller olikheten. Svar: Olikheten är uppfylld när x ( 1, 4 3 ). Det finns flera sätt att lösa kvadratiska olikheter. Nedan ges en sådan metod. Exempel: Lös olikheten x + 4x x + 9. Lösning: Vi använder kvadratkomplettering: x + 4x x + 9 x + 3x 9 ( x + 3 ) ( x + 3 ) 45 4 Eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt ser vi att det som står inuti parentesen måste vara antingen tillräckligt stort och positivt, eller tillräckligt litet och negativt: ( x + 3 )
12 x x x 45 3 x 45+3 Svar: Olikheten är uppfylld när x (, ] [ , ) 1
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merPOLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER
Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merLäsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik
Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 15 Ringar, kroppar och polynom Det fjortonde kapitlet behandlar ringar. En ring har till skillnad
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merM0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4
M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Integralkalkyl, Föreläsning 4 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 26 Integralkalkyl - Föreläsning
Läs mer(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C
Sats 1.3 De Morgans lagar för mängder För alla mängder A och B gäller att (A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B C A C B C (A B) C = A C B C : A B A C (A B) C B
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merPOLYNOM OCH EKVATIONER. Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen
POLYNOM OCH EKVATIONER Torbjörn Tambour Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen Postadress Matematiska institutionen Stockholms universitet
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merLite om räkning med rationella uttryck, 23/10
Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov HT-2016
Uppföljning av diagnostiskt prov HT-0 Avsnitt Ungefärligen motsvarande uppgifter på diagnosen. Räknefärdighet. Algebra, ekvationer, 8 0. Koordinatsystem, räta linjer 8 0. Funktionerna ln och e.. Trigonometri
Läs merManipulationer av algebraiska uttryck
Manipulationer av algebraiska uttryck Valentina Chapovalova SMaL-kursen i Mullsjö 19 juni 2018 Kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)... (x z) Lösning kluring 1 Bestäm produkten (x a) (x b) (x c)..
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merRekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merHär studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera
Läs merÖvning log, algebra, potenser med mera
Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merTATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning
TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning Johan Thim 4 mars 2018 1 Linjära DE av godtycklig ordning med konstanta koefficienter Vi kommer nu att betrakta linjära differentialekvationer
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merAvd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.
STOCKHOLMS UNIVERSITET iagnostiskt prov Lösningar MTEMTISK INSTITUTIONEN Vektorgeometri och funktionslära vd. Matematik VT 20 Lösning till uppgift (Komplexa tal) Vi börjar med första och andra uträkningen.
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merKvadratkomplettering
Kvadratkomplettering Steg-för-steg-demonstration Hillevi Gavel Institutionen för matematik och fysik (IMa) Mälardalens högskola (MDH) 3 april 2006 Instruktioner Det här bildspelet visar hur man genomför
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merRepetitionskurs i. elementär algebra, matematik. för DAI1 och EI1 ht 2014
Repetitionskurs i elementär algebra, matematik för DAI och EI ht 04 Chalmers Tekniska Högskola Reimond Emanuelsson II August 5, 04 Förord Detta kompendium är tänkt som en repetition av elementär algebra
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs merTal och polynom. Johan Wild
Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merProv 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:
Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merPolynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion
Polynom över Under baskursen bekantade du dig med polynomen över de komplexa talen. Nedanstående material är till stora delar en repetition av detta stoff. DEFINITION Ett polynom över är ett uttryck av
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs merFaktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.
Per-Eskil Persson Visst kan man faktorisera x 4 +1 Att faktorisera polynom är inte alltid helt enkelt men inte dess mindre en väsentlig del av den algebra som elever möter i slutet av högstadiet och senare
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs mer8-6 Andragradsekvationer. Namn:..
8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,
Läs merFörberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Lektion 1 (första övningen läsvecka 1)
Förberedelser inför lektion 1 (första övningen läsvecka 1) Läs kapitel 0.10.3. Mycket av detta är nog känt sedan tidigare. Om du känner dig osäker på något, läs detta nogrannare. Kapitel 0.6 behöver inte
Läs merHela tal LCB 1999/2000
Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merDockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:
Kapitel Introduktion I detta kapitel kommer vi främst att behandla grundbegrepp. Vi undersöker några speciella samlingar av tal (kallas mängder), matematiska symboler och ser på vissa räkneregler. Dessa
Läs merDeterminanter, egenvectorer, egenvärden.
Determinanter, egenvectorer, egenvärden. Determinanter av kvadratiska matriser de nieras recursivt: först för matriser, sedan för matriser som är mest användbara. a b det = ad bc c d det a a a a a a a
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merFör att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999
Lektion 4, Envariabelanalys den november 999 6.. Beräkna d 4. Det första vi observerar i integralen är uttrycket i nämnaren, 4. När ett uttryck av den här typen förekommer i en rationell integrand kan
Läs merMatematiska Institutionen KTH. Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09.
1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 5, Diskret matematik för D2 och F, vt09. 1. Betrakat gruppen G = (Z 19 \ {0}, ). (a) Visa att G är en cyklisk grupp.
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merMaterial till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning
Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merFöreläsning 9: Komplexa tal, del 2
ht016 Föreläsning 9: Komplexa tal, del Den komplexa exponentialfunktionen För att definiera den komplexa exponentialfunktionen utgår vi ifrån att den ska följa samma regler som för reella tal. Vi minns
Läs merx 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 Datum: 7 september
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs mer1. (a) Formulera vad som skall bevisas i basfallet och i induktionssteget i ett induktionsbevis av påståendet att. 4 5 n för alla n = 0, 1, 2, 3,...
UPPSALA UNIVERSITET PROV I MATEMATIK Matematiska institutionen Baskurs i matematik Vera Koponen 2008-02-2 Skrivtid: 8-. Tillåtna hjälpmedel: Inga, annat än pennor, radergum och papper det sista tillhandahålles).
Läs merIII. Analys av rationella funktioner
Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok III. Analys av rationella funktioner Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com III. Analys av rationella funktioner () Introduktion Vi ska nu
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs merFöreläsningsanteckningar till Matematik D
Olof Bergvall Föreläsningsanteckningar till Matematik D Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, Stockholm E-mail: olofberg@math.su.se Innehåll 1 Algebra......................................................
Läs merRöd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA
Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra
Läs merLinjära differentialekvationer av andra ordningen
Linjära differentialekvationer av andra ordningen Matematik Breddning 3.2 Definition: En differentialekvation av typen y (x) + a(x)y (x) + b(x)y(x) = h(x) (1) där a(x), b(x) och h(x) är givna kontinuerliga
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merAlgebra, kvadreringsregler och konjugatregeln
Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy
Läs merDOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7
Potensform Uppgift nr Vad menas i matematiken med skrivsättet 3 6? (Skall inte räknas ut.) Uppgift nr 2 värdet av potensen 3 2 Uppgift nr 3 Skriv 8 8 8 i potensform Uppgift nr 4 Skriv 4 3 som upprepad
Läs merS n = (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n. 1 x < 2x 1? i i. och
Uppgift 1 För vilka x R gäller x 4 = 4? Uppgift Låt S n = n k=1 3 k (a) Visa att S n är en geometrisk summa (b) Med hjälp av deluppgift (a) beräkna S n Uppgift 3 Lös ekvationen e x + e x = 3 Uppgift 4
Läs merEnvariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6
Envariabelanalys: Föreläsning 5-6 Vera Koponen Uppsala Universitet Envariabelanalys, vt 2011 Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivata: allmänt Antag att f (x) är en funktion. Derivatan
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merLösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5
Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar
Läs merFöreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis
ht01 Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis Några viktiga summor Det är inte alltid möjligt att hitta uttryck för summor beskriva med summanotation, men vi tar här upp tre viktiga fall: Sats:
Läs mer