Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
|
|
- Håkan Jonasson
- för 4 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Allmänna Tredjegradsekvationen - version Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra motsvarande med tredjegradsekvationer? Detta skall här diskuteras. Först skall vi titta på hur man kan förenkla tredjegradsekvationen med substitition. Eliminering av term genom användning av substitution Låt oss mjukstarta genom att betrakta en andragradsekvation. Det som kan göra en andragradsekvation svår är närvaron av en förstagradsterm. Vi använder följande substitution: Denna insätts i ekvation 1) : x y p y p) + p y p ) + 0 ) Om vi hittar en lösning till y så nner vi lätt lösningen till x eftersom x p + y ) Kvadraten utvecklas och paranteserna elimineras i ), vilket ger: Ekvationen hyfsas: y yp + p 4 + py p + 0 y p Förstagradstermen är borta och ekvationen kan lätt lösas: 1
2 och vi nner att y är: y p 4 p y ± 4 4) Om 4) sätts in i ) erhåller vi den kända lösningen till andragradsekvationen: x p ± p 4 Nu skall vi med denna teknik eliminera andragradstermen ur en tredjegradsekvation. En allmän tredjegradsekvation kan skrivas: y + ry + sy + t 0 5) Här är y den obekanta och r, s och t är kända konstanter. Det underförstås att de kända konstanterna är reella. Nu görs följande substitition: Substititionen 6) insätts i 5) : y x r 6) x r ) + rx r ) + sx r ) + t 0 Tredje- och andragradsparanteserna utvecklas: x x r + 1 r x 1 7 r + r x rx r) + sx 1 rs + t 0 Ekvationen förenklas......och omgrupperas Nu sätter vi: x 1 r x + 7 r + sx 1 rs + t 0 x + x s 1 r) + 7 r 1 rs + t 0 7) p s 1 } r 1 rs 7 r t Och om 8) stoppas in i 7) ser vi att tredjegradsekvationen kan skrivas: 8) x + px 9) Alla tredjegradsekvationer kan omformuleras på detta sätt. Så problemet att lösa den allmänna tredjegradsekvationen kan reduceras till att lösa en ekvation av typ 9).
3 Övningsuppgifter Övning 1 Eliminera andragradstermen ur tredjegradsekvationen y + y + 6y 10 0 Lösning: Sätt y x 1 Substitutionen insätts: x 1) + x 1) + 6x 1) 10 0 Tredje- och andragradsparanteserna utvecklas: x x + x 1 + x x + 1) + 6x Förenkla: x + x 14 { x + x 14 Svar: y x 1 Övning Eliminera andragradstermen ur tredjegradsekvationen y 6y + 1y 11 0 Lösning: Sätt y x + Substitutionen insätts: x + ) 6x + ) + 1x + ) 11 0 Tredje- och andragradsparanteserna utvecklas: x + 6x + 1x + 8 6x + 4x + 4) + 1x Förenkla: x + 1x + 8 4x 4 + 1x x + x 1 { x + x 1 Svar: y x + Ekvationslösning med hjälp av rotutdragning Vi börjar med att titta på andragradsekvationen och går därefter över till tredjegradsekvationen.
4 Lösning av andragradsekvationer med rotutdragning Nyckeln till lösning av andragradsekvationer 1) är kvadreringsregeln: a b) a ab + b Termerna omgrupperas: a b) a + ab b 0 a b) a + ba b) + b 0 a b) + ba b) + b a 0 10) Jämför nu ekvation 10) med andragradsekvationen: x + px + 0 1) Man kan se att ekvationerna 10) och 1) har samma struktur, och man kan identiera andragradsekvationens konstanter och variabeln x: a b) + }{{}}{{} b a b) + b }{{}} {{ a } 0 x p x Jämförelsen mellan ekvationerna 10) och 1) ger ett ekvationssystem: x a b 11) p b 1) b a 1) Om vi kan uttrycka a och b med hjälp av p och kan ekvationen lösas. Ekvation 1) i systemet ger: Om 14) insätts i 1) erhålls: b p 14) Man löser ut a: p) a a p) p 4 p a ± 4 15) 4
5 Nu ger oss ekvationerna 15) och 14) värden på a och b. Lösningen kan således skrivas upp: x a b b + a p ± p 4 Själva resultatet är ju välkänt, men det intressanta här var metoden för härledningen: jämförelse mellan andragradsekvationen och uttrycket för kvadrering. I nästa avsnitt går vi vidare och arbetar på motsvarande sätt med en tredjegradsekvation. Lösning av tredjegradsekvationer med rotutdragning Nyckeln till lösning av tredjegradsekvationer är kuberingsregeln: Termerna omgrupperas: Utbrytning: a b) a a b + ab b a b) + a b ab a b a b) + aba b) a b 16) Vi drar oss åter till minnes den ekvation vi vill lösa: x + px 9) Om vi jämför ekvationerna 16) och 9) nner vi att de har samma struktur: a b) + }{{}}{{} ab x p a b) }{{} x a b }{{} Identieringen av parametrar ger följande ekvationer: x a b 17) p ab 18) a b 19) Med hjälp av ekvationerna 18) och 19) skall vi nu försöka att hitta uttryck för a och b. Ekvation 18) medför: b p a 0) 5
6 0) insätts i 19): a p ) a a p 7a a a 6 p 7 a 6 a p 7 0 Om vi nu löser ovanstående sjättegradsekvation får vi lätt fram värdet på a. Sjättegradsekvation! Det blir ju bara värre och värre! Vi försöker lösa en tredjegradsekvation och hamnar i en sjättegradsekvation. Är det inte dags att ge upp nu? Nej, man skall inte ge upp! Sjättegradsekvationen kan ju betraktas som en andragradsekvation: a ) a p 7 0 Om vi betraktar a som den sökta obekanta nner vi lätt: a ± 4 + p 7 1) 18) medför: ) insätts i 19): Löser vi ut b får vi: a p b ) p ) b b b ± 4 + p 7 ) Ekvation 17) ger x a b och tillsammans med 1) och ) kan vi ställa upp en pampig formel: x a b ± 4 + p 7 ± 4 + p 7 4) Men är problemet verkligen löst? Vi vet visserligen att x a b, och vi känner a och b i termer av de ingående parametrarna p och. Men vi har inte entydiga värden på a och b. Uttrycken för dessa är ju behäftade med en plusminusterm. Dessutom vet vi att om tex. a är känt, så kan a ha tre möjliga värden som uppfyller detta. Exempelvis vet vi att om a 8, så uppfylls detta om a, a 1 + j och om a 1 j. ) 6
7 Varje term i 4) kan alltså ha sex olika värden, och kombinerar vi dem på alla upptänkliga sätt nner vi att uttrycket skulle kunna ha värden, trots att vi vet att en tredjegradsekvation kan ha högst tre olika lösningar. Således återstår en hel del arbete. Övningsuppgifter Övning Varje tredjegradsekvation med reella koecienter har minst en reell lösning. Följande tredjegradsekvationen har en reell rot: x + 9x 6 5) Använd formel 4) för att hitta ekvationens reella rot. Lösning: Vi identierar: p 9; 6. Så beräknas a : { a ± 4 + p 7 6 ± ± ±14 1 6) Låt oss till att börja med att anta att a 7. Ekvation 18) medför att p 7a b så: b p 7a ) På basis av antagandet att a 7 nner vi tre möjliga värden på a: a + j 8) j På motsvarande sätt ger 7) tre möjliga värden på b: 1 b 1 + j 1 j 9) x a b får ett reellt resultat endast om man bildar x genom att använda de reella värdena på både a och b. Så: x a b 1 Nu går vi vidare med det andra antagandet från 6), att a 1. På motsvarande sätt som i 7) får vi nu: 7
8 b p 9 7a 7 1) 7 0) De reella värden på a och b som kan hämtas ur detta är a 1 och b. Detta ger: x a b 1 ) Samma resultat! Vi undersöker om lösningen satiserar ekvationen: VL x + 9x HL Svar: ekvationens reella rot är x Det stämmer! En titt på tredjegradsekvationens lösning Den lösning som erhölls i förra avsnittet ekvation 4) ) förefaller, som påpekades, lite väl mångtydig. Låt oss granska lösningen och se om den kan preciseras. Vi konstaterade att a ± 4 + p 7 och att b ± 4 + p 7 Av ekvation 19) framgår att a b. Detta uppfylls om vi väljer att ha plustecken framför rottecknen i uttrycken för både a och b : ) a b p p 7 Kravet som ställs av ekvation 19) uppfylls också om vi väljer att ha minus framför bägge rottecknen: ) a b 4 + p p 7 Däremot uppfylls kravet inte om vi låter a och b ha olika tecken framför respektive kvadratrot. Låt oss jämföra lösningarna då vi har plus- och minustecken framför kvadratrötterna. Plustecken ger: x a b p p p p 7 1) Om vi istället väljer att ha minus framför rottecknen erhålls: 8
9 x a b { 1 bryts ur paranteserna 1) p p 7 } 4 + p 7 1) p p p 7 ) En jämförelse mellan ekvationerna 1) och ) visar att man får samma resultat oavsett om man använder plus eller minus framför rottecknen. Vi kan således fastslå lösningen till tredjegradsekvationen 9): x p p 7 ) För att denna lösning skall bli praktiskt användbar måste vi studera den ytterligare. Man upptäcker snart att det uppstår tre fall som måste behandlas vart och ett för sig. Låt oss benämna uttrycket under kvadratroten diskriminanten, D. Det gäller alltså att D 4 + p 7 4) De tre olika fallen är alltså: D > 0, D 0 och D < 0. De följande tre avsnitten behandlar vart och ett av nämnda fall. Lösning av tredjegradsekvationen om diskriminanten är större än noll Vi inleder med att införa en konvention. Den konvention vi inför säger att om w är ett reellt tal gäller att z w är reellt, dvs. den reella lösningen till z w). Däremot tolkar vi w 1 som hela lösningsmängden till z w. Med andra ord har vi: 8 och 8 Men däremot gäller: j 1 j och j 1 j 9
10 För att demonstrera lösningen av tredjegradsekvationer utgår vi från ett exempel. Så, låt oss ta oss an följande ekvation: x + 6x 0 5) Redan nu kan vi avslöja för läsaren att ekvationen har lösningsmängden x 1 ; x 1 + j; x 1 j; Vi vill lösa ekvationen med den formel som härletts, och det första steget är att beräkna diskriminanten: Vi vet att x a b där p 6; 0; D 4 + p 7 0) a + D b + D och Vi beräknar approximativa värden på a och b: a a j a j 6) b 1.71 b j b j 7) Låter man dem representeras i ett komplext talplan ser det ut som i Figur 1. Lösningarna till a + D, och motsvarande för konstanten b, delar varvet i tre lika delar. Det bör lätt inses, att om a och b är reella tal och om a ej har samma absolutbelopp som b, så kommer ett och endast ett av a-värdena a 1 a ) att vara reellt, och detsamma gäller b -värdena b 1 b ). Därav följer att en och endast en av lösningarna till tredjegradsekvationen kommer att vara reell. Utan bevis fastslår vi härmed: Sats 1. Om diskriminanten till en tredjegradsekvation av typen x + px är större än noll har ekvationen en reell lösning och två komplexa och komplexkonjugerande) lösningar. Satsen framstår som trovärdig då vi betraktar Figur. Av guren framgår att ekvationens enda) reella lösning kan konstrueras graskt ur det komplexa 10
11 Figur 1: De parametrar som ingår i tredjegradsekvationens lösning presenteras här inlagda i ett komplext talplan. a 1 a representeras med tjocka linjer och b 1 b med tunna. talplanet. a 1 och b 1 är ju reella, vilket ger oss x 1 a 1 b 1 som ekvationens enda reella lösning. a 1 och b 1 har ju sina fotpunkter i origo och x 1 har sin fotpunkt b 1 :s spets. Av guren framgår klart att a 1 och x 1 + b 1 pekar på samma punkt, helt enligt formeln för ekvationens lösning. Vi kan nu slå fast att den reella lösningen till tredjegradsekvationen x + px ges av formeln x 1 + D + D 8) där D 4 + p 7 > 0 och det följaktligen gäller att D är ett reellt tal. I vårt aktuella fall, med p 6, 0 och D 108, har vi: x Uttrycket blir faktiskt exakt. Tror man inte räknedosans vittnesbörd 11
12 Figur : Tredjegradsekvationens tre lösningar kan konstrueras fram ur diagrammet. Lösningen x a b representeras av en pil med fotpunkten i b och spetsen i a. Vi vet att x 1 + j och guren tycks bekräfta detta. kan man testa genom att sätta in i ekvationen. Men det är inte elementärt att visa att uttrycket ovan faktiskt blir. Vi har nu ekvationen: x + px 0 9) och vi kan konstatera att en av lösningarna, x 1 är känd. Med hjälp av polynomdivision kan vi nu faktorisera vänsterledet i 9): x + px x x 1 )x + x 1 x + x 1 + p) Läsaren invänder kanske mot att konstanten saknas i högerledet, men det bör lätt inses att x 1 + px 1 samt att: 1
13 x x 1 )x + x 1 x + x 1 + p) x + x 1 x + x 1x + px x 1 x x 1x x 1 px 1 x + px x 1 px 1 x + px Nollställena i andragradsfaktorn utgör tredjegradsekvationens övriga två lösningar. Dessa beräknas: x, x 1 x ± 1 4 x 1 p x 1 ± x 1 4 p 40) Vi vet att en tredjegradsekvation med positiv diskriminant har en reell och två komplexa lösningar. Uttrycket under rottecknet i ekvation 40) är således negativt. Således kan rötterna x, skrivas: x, x 1 ± j 4 x 1 + p 41) Låt oss testa detta på vårt problem. Vi har: x + 6x 0 där en av lösningarna är känd: x 1 Vi stoppar in detta i ekvation 41): x, ± j 4 ) ± j 9 1 ± j Resultatet stämmer väl med vad vi visste från början. Receptet för lösning av ekvationen x + px om diskriminanten är ett positivt tal, är: D 4 + p 7 x 1 + D + D x, x 1 ± j 4 x 1 + p 4) Övningsuppgifter Övning 4 Använd rotutdragning för att söka samtliga rötter till följande tredjegradsekvationer: a) 4x + 1x 17 b) x 99x 540 1
14 Lösning av a-uppgiften Ekvationen skrivs: x x 17 4 Vi ser att diskriminanten blir: D 4 + p Den reella lösningen är: x 1 + D De komplexa lösningarna blir: x, x 1 ± j + D x 1 + p 1 ± j ± j ± j Svar: x 1 1 x, 1 ± j Lösning av b-uppgiften Ekvationen är: x 99x 540. Vi ser att diskriminanten blir: D 4 + p Den reella lösningen är: x 1 + D + D De komplexa lösningarna blir: x, x 1 ± j 4 x 1 + p 6 ± j ± j 9 6 ± j Svar: x 1 1 x, 6 ± j Lösning av tredjegradsekvationen om diskriminanten är lika med noll Vid lösning av en tredjagradsekvation på formen x + px beräknas parametrarna a och b, vilka är: a + D p 7 och b + D p 7 14
15 När diskriminanten D är lika med noll erhålls: a och b 4) 4 7 p 44) Vi noterar i förbigående att det av vänsterledet i 44) framgår att ekvationens båda led är positiva, vilket i sin tur kräver att p är negativt. Ett nödvändigt men icke tillräckligt villkor för att D skall vara noll är således att p är ett negativt tal. Kurvan i Figur visar vilka p och som uppfyller ekvation 44). Det nns ett reellt värde på a och ett reellt värde på b som uppfyller relationerna 4): a 1 och b 1 a 1 och således erhålls följande reella lösning: x 1 a 1 b 1 a 1 a 1 ) a ) Med hjälp av 45) konstateras att: x ) Om ekvation 46) kvadreras erhålls: x ) 15
16 Figur : Kurvan i p-planet visar de värden på p och där diskriminanten D är noll. Till vänster om kurvan är diskriminanten negativ, och till höger om densamma är den positiv. men diskriminanten, D 4 + p 7, är noll så: Om 48) insätts i 47) erhålls: 4 7 p 48) x ) p 64 7 p) 4 p) 49) Av 49) framgår att vi har följande reella värde på x 1 : x 1 4 p 50) Om vi nu tar leden i ekvation 46) och dividerar med dem i ekvation 50) erhålls x 1 x 1 x 1 4 ) 4p p Som visas i tidigare avsnitt kan ekvationen faktoriseras: 51) x + px x x 1 )x + x 1 x + p + x 1) 5) 16
17 Ekvationens övriga rötter hittas genom att söka nollställena till andragradspolynomet i högerledet till 5): x, x 1 ± x 1 4 p x 1 x 1 ± p 4 x 1 5) Uttrycket under rottecknet i ekvation 5) förenklas, och då kommer sambandet i ekvation 50) till användning: p 4 x 1 {50)} p 4 Vi nner alltså att 5) är en dubbelrot: x x x 1 ± 0 1 ) p p Utan bevis presenteras följande sats: Sats. Om diskriminanten till en tredjegradsekvation av typen 4 p) 0 54) x + px är lika med noll, har ekvationen en unik lösning plus en reell dubbelrot. Omvänt gäller att om en tredjegradsekvation av nämnt slag har reella lösningar, inklusive en reell dubbelrot, gäller att dess diskriminant är noll. Figur 4) presenterar en grask konstruktion av lösningarna i ett komplext talplan där parametrarna {a 1, a, a } och {b 1, b, b } är inritade. Av guren framgår intuitivt att samtliga lösningar blir reella. Receptet för lösning av ekvationen x + px då diskriminanten är noll är: x 1 p x x x 1 55) Övningsuppgifter Övning 5 Använd rotutdragning för att söka samtliga rötter till följande tredjegradsekvationer: a) x x b) x 147x 686 Lösning av a-uppgiften Ekvationen skrivs: x x Vi ser att diskriminanten blir: D 4 + p )
18 Figur 4: Lösningarna till en tredjegradsekvation med diskriminanten noll representeras geometriskt i gurens komplexa talplan. Vi ser lätt att x 1 a 1 b 1, x a b och att x a b. Då diskriminanten är noll löses ekvationen enligt 55): x 1 p ) x x x 1 1 Svar: x 1 x, 1 Lösning av b-uppgiften Ekvationen skrivs: x 147x 686 Vi ser att diskriminanten blir: D 4 + p ) 7 0 Då diskriminanten är noll löses ekvationen enligt 55): x 1 p ) 14 18
19 x x x Svar: x 1 14 x, 7 Lösning av tredjegradsekvationen om diskriminanten är mindre än noll Vi påminner oss om tredjegradsekvationens utseende: bekant vid det här laget är lösningen x a b där: a + D p 7 och b + D p 7 x + px. Som Om diskriminanten D 4 + p 7 är mindre än noll gäller att 4 p 7 > 0 Då erhåller vi: a + D + 1) D) 1) + + j 4 p 7 Nu denieras: R Nu kan vi skriva: 4 p 7 ) 56) 4 p 7. Naturligtvis är R ett tal större än noll. Och på samma sätt gäller a + jr 57) b + jr 58) x a b + + 1) 4 + p 7 ) 4 p p 7 + 1) + j 4 p 7 + j 4 p 7 + jr + jr 4 p 7 ) 59) a är som bekant en mängd om tre element a {a 1, a, a }, och a är ett tal med positiv imaginärdel. Om a och a placeras i samma komplexa talplan kommer det att se ut ungefär som i gur 5). 19
20 De komplexa tal, a, som uppfyller ekvation 57) delar det komplexa talplanet i tre delar. Vi ser att b +jr är speglingen av a i den imaginära axeln. Figur 5: Den svarta linjen i det komplexa talplanet representerar a, och de röda representerar möjliga värden på a. Lägg märke till att argumentet för a 1 är 1 av argumentet för a Om vi skriver in {a 1, a, a } och {b 1, b, b } i ett komplext talplan ser vi att vi också kan geometriskt representera tredjegradsekvationernas lösningsmängd {x 1, x, x } i ett komplext talplan Figur 6)). Vi nner att samtliga lösningar är reella. Utan bevis uppställs följande sats: Sats. Om diskriminanten till en tredjegradsekvation av typen x + px är mindre än noll, har ekvationen tre unika lösningar som är reella. Omvänt gäller att om ekvationen har tre unika, reella lösningar så är diskriminanten negativ. Låt oss nu fundera på hur vi praktiskt skall hitta rötterna till tredjegradsekvationen om diskriminanten är negativ. Med utgångspunkt från 59) nner vi: x a b + jr + jr + jr + jr { } andra termen är kon- a + ā Re{a} jugatet av den första 0
21 Således gäller: x 1 Re{a 1 } a 1 cos arg{a 1 } ) 60) För att beräkna x 1 enligt 60) måste vi beräkna: a 1 a 4 + R R p 7 6 p 7 p arg{a 1 } 1 arg { + j 4 p 7 } Figur 6: x 1 a 1 b 1, och x 1 är helt reell. a och b är varandras spegelbilder i imaginära axeln, och som följd därav är a 1 och b 1 också varandras spegelbilder i reella axeln. På samma sätt som visats i tidigare avsnitt ekvation 41) ) kan de två övriga rötterna erhållas genom polynomdivision. Vi får således: x x 1 + x x 1 x 1 4 p 61) x 1 4 p 1
22 Övningsuppgifter Övning 6 Använd rotutdragning för att söka samtliga rötter till följande tredjegradsekvationer: a) x 7x 6 b) x 9x 70 Lösning av a-uppgiften Ekvationen skrivs: x 7x 6 Vi ser att diskriminanten blir: D 4 + p 7 6) + 7) Diskriminanten är negativ, och därför löses uppgiften enligt ekvationerna 60) och 61). a 1 p 7) 7 arg{a 1 } 1 arg { + j 4 p 7 x 1 blir: 1 arg { + j 1 π arctan ) 7 )) } 1 arg { 6) j } { 1 arg + j x 1 a 1 cos{arg a 1 } cos ) } 6 4 4) 7 } Genom insättning i ekvationen kan man konstatera att x 1 är ett exakt svar. Beräkning av x 1 och x sker enligt ekvation 61): x x 1 + x x 1 x 1 4 p x 1 4 p Svar: x 1 x 1 x
23 Lösning av b-uppgiften Ekvationen skrivs: x 9x 70 Vi ser att diskriminanten blir: D 4 + p 7 70) + 9) Diskriminanten är negativ. Således: a 1 p 9) { } { } arg{a 1 } 1 arg + j 4 p 7 1 arg + j D 1 {5 arg + j } 97 )) 97 1 arctan x 1 blir: x 1 a 1 cos{arg a 1 }.6056 cos0.456) 7 Genom insättning i ekvationen kan man konstatera att x 1 7 är ett exakt svar. Beräkning av x 1 och x sker enligt ekvation 61): x x 1 + x 1 4 p x x 1 x 1 4 p Svar: x 1 7 x x 5 Vi lägger märke till att båda lösningsmängderna i föregående övningsexempel är sådana att x 1 + x + x 0 Var det en slump, eller gäller detta generellt? Vi testar. Antag att lösningsmängden till en tredjegradsekvation är {x 1, x, x }. Då kommer tredjegradsekvationen se ut så här: x x 1 )x x )x x ) 0 x + x 1 x x )x + x 1 x + x 1 x + x x )x x 1 x x 0 x + x 1 x x )x + x 1 x + x 1 x + x x )x x 1 x x Om vi relaterar detta uttryck till parametrarna i vår ekvation erhålls: x + x 1 x x ) x + x }{{} 1 x + x 1 x + x x ) x x }{{} 1 x x }{{} 0 p
24 För att ekvationen skall vara på den form som behandlas i detta avsnitt krävs alltså att x 1 x x 0, dvs.: x x 1 x För en tredjegradsekvation på formen x + px med diskriminant mindre än noll kan lösningsreceptet sammanfattas: a 1 p { } arg{a 1 } 1 arg + j 4 p 7 x 1 a 1 cos{arg a 1 } x x 1 + x 1 4 p x x 1 x 6) 4
Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal
LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet
Läs merExplorativ övning 7 KOMPLEXA TAL
Explorativ övning 7 KOMPLEXA TAL Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet då man försökte lösa kvadratiska
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merÖvningshäfte 2: Komplexa tal (och negativa tal)
LMA110 VT008 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal (och negativa tal) Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal och att fundera på några begreppsliga svårigheter som negativa
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merTalmängder. Målet med första föreläsningen:
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som
Läs merIntroduktion till Komplexa tal
October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 4.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 4 handlar om en viss typ av ekvationer där man skall vara försiktig med de lösningar som
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merAvsnitt 4, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 4:1 4:1 Avsnitt 4, introduktion. Potensregler. Följande grundläggande potensregler är startpunkten för detta avsnitt: Ex 1: 2 3 2-2 = 2 3-2 =2 1 = 2. Ex 2: 8 4 = (2 3
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merFör att uttrycka den primitiva funktionen i den ursprungliga variabeln sätter vi in θ = arcsin 2x. Lektion 14, Envariabelanalys den 23 november 1999
Lektion 4, Envariabelanalys den november 999 6.. Beräkna d 4. Det första vi observerar i integralen är uttrycket i nämnaren, 4. När ett uttryck av den här typen förekommer i en rationell integrand kan
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:
Läs merAlgebra och rationella uttryck
Algebra och rationella uttryck - 20 Uppgift nr Förenkla x0 y 6 z 5 25 y 2 Uppgift nr 2 Uppgift nr 3 ab b 5a - a² 9a där a 0. där b 0. Uppgift nr 4 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + 2x 3 ) Uppgift nr
Läs merAvsnitt 5, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 5:1 5:1 Avsnitt 5, introduktion. Radianer Vinkelmåttet radianer är i matematiska sammanhang bättre än grader, särskilt när man sysslar med de trigonometriska funktionerna
Läs merExempel. Komplexkonjugerade rotpar
TATM79: Föreläsning 4 Polynomekvationer och funktioner Johan Thim 2 augusti 2016 1 Polynomekvationer Vi börjar med att upprepa definitionen av ett polynom. Polynom Definition. Ett polynom p(z) är ett uttryck
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs mer29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merLösningar till udda övningsuppgifter
Lösningar till udda övningsuppgifter Övning 1.1. (i) {, } (ii) {0, 1,, 3, 4} (iii) {0,, 4, 6, 8} Övning 1.3. Påståendena är (i), (iii) och (v), varav (iii) och (v) är sanna. Övning 1.5. andra. (i) Nej.
Läs mer2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90
2320 a Utgå ifrån y = sin x Om vi subtraherar 25 från vinkeln x, så kommer den att "senareläggas" med 25 och således förskjuts grafen åt höger y = sin(x 25 ) Svar: C = 25 b Utgå ifrån y = sin x Om vi adderar
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merReferens :: Komplexa tal
Referens :: Komplexa tal Detta dokument sammanställer och sammanfattar de mest grundläggande egenskaperna för komplexa tal. Definition av komplexa tal Definition 1. Ett komplext tal z är ett tal på formen
Läs mer4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas
Läs merKomplexa tal: Begrepp och definitioner
UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,
Läs merKapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner
Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet
Läs merLösningsförslag TATM
Lösningsförslag TATM79 016-09-6 1 a) Vi isolerar x + och kvadrerar ekvationen observera att det då bara blir en implikation!): + x + = x x + = x ) x + = x ) = x 1x + 1 x 1 x + 10 = 0 x = 1 6 ± 7 6 Eftersom
Läs merEuklides algoritm för polynom
Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs merTalmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merforts. Kapitel A: Komplexa tal
forts. Kapitel A: Komplexa tal c 005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad Andragradsekvationer Obs! i är antingen 1 1 + i) eller 1 1 + i), dvs i = 1 1 + i). Obs! Se upp med roten ur negativa tal: regeln ab
Läs merComplex numbers. William Sandqvist
Complex numbers Hur många lösningar har en andragradsekvation? y = x 2 1 = 0 Två lösningar! Kommer Du ihåg konjugatregeln? Svaret kan ju lika gärna skrivas: x 1 = 1 x2 = + 1 Hur många lösningar har den
Läs merLösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte
Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 206-0- DEL A. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = x 2 arctan x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm de intervall där f är växande respektive
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs merKonsten att lösa icke-linjära ekvationssystem
Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs merAlgebra, exponentialekvationer och logaritmer
Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs merLösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.
Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merBASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson
Matematikcentrum Matematik BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS Jan Gustavsson. Algebraiska förenklingar.. Reella andragradsekvationer.. Enkla rotekvationer - eventuellt med falsk rot.. Enkla absolutbeloppsproblem.
Läs merden reella delen på den horisontella axeln, se Figur (1). 1
ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - KOMPLEXA TAL Det nns era olika talmängder; de positiva heltalen (0, 1,,... kallas de naturliga talen N, tal som kan skrivas som kvoter av andra tal kallas rationella
Läs merSF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att
SF11 Perspektiv på matematik Tentamen 4 oktober 013 kl 14.00 19.00 Svar och lösningsförslag (1) Låt z = (cos π + i sin π ) och låt w = 1(cos π 3 + i sin π 3 ). Beräkna och markera talet z11 w 3 z 11 w
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs mer1.1 Den komplexa exponentialfunktionen
TATM79: Föreläsning 8 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim augusti 07 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016
SF625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den januari 206 Skrivtid: 08:00-3:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merLösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs mer2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat
2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs merKomplexa tal. Sid 1: Visa att ekvationerna på sid 1 saknar reella lösningar genom att plotta funktionerna.
Komplexa tal Komplexa tal stötte vi på redan i kurs 2 i samband med lösningar till andragradsekvationer. Detta är startpunkten för denna ganska omfattande aktivitet om komplexa tal, som behandlas i kurs
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merLäsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik
Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här
Läs merMMA127 Differential och integralkalkyl II
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA17 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 9..19 8. 11. Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten).
Läs merA-del. (Endast svar krävs)
Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i
Läs merRepetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18
Repetition kapitel,, 5 inför prov Ma NA7 vt8 Prov tisdag 5/6 8.00-0.00 Algebra När man adderar eller subtraherar uttryck, så räknar man ihop ensamma siffror för sig, x-termer för sig, och eventuella x
Läs mer4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.
TM-Matematik Mikael Forsberg 73 1 3 31 Pär Hemström 7 3 57 För ingenjörs och distansstudenter Envariabelanalys ma3a 1 8 Skrivtid: 9:-1:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att
Läs merNågra historiska ekvationer
Några historiska ekvationer av Seo Nurmi, 01 Inledning Jag sammanfattar här lösningarna till algebraiska andra-, tredje- och fjärdegrads ekvationer. Det här är ganska tidig matematisk historia, för de
Läs merMer om analytisk geometri
1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare
Läs merTATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer
TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer Johan Thim 9 september 05 Komplexa tal på polär form Ett komplex tal z = a+bi kan som bekant betraktas som en punkt i komplexa
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet 27 augusti 2013 Innehåll Linjära ekvationssystem
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merMöbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.
Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merKontrollskrivning KS1T
Kontrollskrivning KS1T Matematik 2 Kurskod HF100 Skrivtid 8:15-11:15 måndagen 9 februari 2009 Tentamen består av 4 sidor Hjälpmedel: Utdelat formelblad. Räknedosa. Formelsamling Korrekt löst uppgift ger
Läs merVektorgeometri för gymnasister
Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Areor, vektorprodukter, volymer och determinanter
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs mer