Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

Transkript

1 Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b) (a + b) 2 + b (a b) + b a 2 x + 2 = 2x 2 ( x + 2 ) 2 = ( 2x 2 ) 2 x + 2 = 2x 2 x = 4 Varje gång vi i en ekvation kvadrerar båda sidorna, måste vi testa att att rötterna vi fått inte är falska. Sätter vi in x = 4 får vi 6 = 6 Vilket betyder att roten inte är falsk! 3 P1(a,3) och P2(2, 2a) Formeln för k-värdet till en linje måste man kunna k = y 2 y 1 = 3 ( 2a) x 2 x 1 a 2 Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge

2 Vi får nu en ekvation där k värdet kan skrivas på två sätt 3 ( 2a) = 9 a a = 9(a 2) 3 + 2a = 9a 18 7a = 21 a = e = e x 10 lg(10e ) = 10 lg(ex ) 10 e lg(10) = 10 x lg e 10 e = 10 x lg e e = x lge x = e lge Vi ska lösa ekvationen, som är av fjärde graden. För att klara det kan det vara lämpligt att substituera t = x 2 då blir t 2 = x 4 och vips har vi en andragradsekvation. 3x 4 8x 2 16 = 0 3t 2 8t 16 = 0 t 2 8t = 0 t = ± t = 4 ± t = 4 ± 8 3 t 1 = 4 t 2 = 4 3 Eftersom t = x 2 får vi nu x 1 = ± 4 = ±2 x 2 = ± 4 3 Eftersom vi söker reella rötter, så är det bara x 1 som gäller den ger de två rötterna x 11 = 2 och x 12 = 2 6 Antalet extrempunkter är lika med antal olika reella rötter till funktionens derivata. Till exempel ger en dubbelrot endast en extrempunkt. f(x) = 4x + 2x 2 x 3 x4 2 + x5 5 f (x) = 4 + 4x 3x 2 2x 3 + x 4 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge

3 Rötter till f (x) = 0 kan vi få genom att gissa. Efter en del gissande kanske man finner rötterna x = 2 och x = 1. Man förväntar sig att finna fyra rötter och kan inte veta om det är fråga om dubbelrötter eller att man inte funnit de andra två. Om man plottar funktionen kan man möjligtvis avgöra att det handlar om två terrasspunkter och att x = 2 och x = 1 båda är dubbelrötter Figur 1: (En dålig uppgift, när allt kommer omkring) 7 Med utgångspunkt av formeln b 2 = b 1 (1 + r/100) n där b 1 är startbeloppet och b 2 är slutbeloppet, r är räntan i procent, och n är antalet år, så kan vi ställa upp ekvationen ( = ) n = n = 1.05 n 10 lg = 10 lg(1.05n ) Jag var alltså = 24 år vid det tillfället lg = n lg 1.05 n = lg lg Vi har funktionen f(x) = 4x 2 + 3x 2. Det handlar alltså om två tangenter vars k-värde vi får tag på genom f ( 4) och f (2) Vi vet att tangenterna går genom punkterna P1( 4,f( 4)) och P2(2,f(2)). Eftersom f( 4) = ( 4) 2 = 50 och f(2) = = 20 kan vi bestämma punkterna till P1( 4,50) och P2(2,20) f(x) = 4x 2 + 3x 2 f (x) = 8x + 3 f ( 4) = 29 f (2) = 19 Den första tangenten får vi genom f 1 (x) = k 1 x + m 1 som ger 50 = 29 ( 4) + m 1 och m 1 = 66. Vi kan nu skriva dess ekvation f 1 (x) = 29x 66. På samma sätt tar vi nu reda på den andra tangentens funktion f 2 (x). f 2 (x) = k 2 x+m 2 som ger 20 = 19 2+m 2 och m 2 = 18 Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge

4 och vi har f 2 (x) = 19x 18. dessa två linjer ska nu ha en gemensam punkt, som vi söker 29x 66 = 19x 18 48x = 48 x = 1 y koordinaten för skärningspunkten får vi genom till exempel f 1 ( 1) = 37 Vi visar till sist grafen med inritade tangenter. Skärningspunkten är ( 1, 37) Figur 2: 9 Vi ska använda oss av exponentialfunktionen f(t) = C 10 k t C och k är konstanter och t är tiden. Först måste vi då bestämma C och k. Detta kan vi göra genom de två givna punkterna P1(0, 000) och P2(10, 30000). När vi har bestämt funktionens konstanter ska vi ta reda på f(17) Nu över till att bestämma k f(0) = C 10 k 0 f(0) = C men också f(0) = 000 C = 000 f(10) = k Vi ska lösa ekvationen k = Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge

5 Vi får k = k = lg10 10k = lg 30 10k lg 10 = lg 30 10k = lg 30 k = lg k Funktionen får till sist följande utseende f(t) = t Vi kan nu använda den för att bestämma f(17) och med det får man väl nöja sig. Josefine Uppgiften kan lösas på ett mycket enklare sätt. Vi antar att tillväxtfaktorn är x och skriver ekvationen = 000 x 10 ( x = 000 x ) 1 10 Vi använder oss nu av faktorn för att få svaret = kr 10 Dels ska vi använda V L = b h l för att bestämma volymen av ett rätblock (vanlig låda) och dels ska vi utnyttja att b = h, kortsidorna var ju kvadratiska. Nu kan vi skriva V L = h 2 l = 100. Ur detta samband kan vi bestämma att l = 100/h 2. Kartongen består av sex sidor med två olika storlekar. Vi tecknar arean för dessa och använder endast varieln h h 2 h 100 h 2 = 100 h Den totala materialåtgången M(h) kan nu skrivas M(h) = 2h h För varje värde på h > 0 får vi måtten till en kartong som rymmer 100 liter. M (h) = 0 ger det Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge

6 värde på h vi söker, den billigaste kartongen. M (h) = 4h 400 h 2 M (h) = 0 då 4h 400 h 2 = 0 4h 3 = 400 h = M(h) dm 2. Alla sidorna är för övrigt lika långa, den mest ekonomiska lådan Det är förstås en kub som är 11 Vi ska bestämma a,b och c till polynomet f(x) = ax 2 + bx + c. Derivatan till funktionen blir då f (x) = 2ax + b Tre pusselbitar är givna: f(4) = 0 16a + 4b + c = 0 f (2) = 6 4a + b = 6 f (1) = 0 2a + b = 0 Vi har fått ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta 16a + 4b + c = 0 4a + b = 6 2a + b = 0 b = 2a får vi från den tredje ekvationen. Detta sätter vi in i den andra och får 4a 2a = 6 och nu vet vi att a = 3 som snbt ger oss att b = 6. Till slut använder vi den första ekvationen för att finna c, ( 6)+c = 0, ger c = 24. Vi har nu bestäm funktionen till f(x) = 3x 2 6x 24. TACK OCH GOD NATT Maja Det finns en enklare väg att ta sig fram till svaret. Genom att utnyttja symmetrin hos pareln x- koordinaterna för de två nollställena befinner sig lika långt från x-koordinaten för minimipunkten Figur 3: När vi vet att det andra nollstället är (4,0) kan vi sätta upp f(x) = a(x + 2)(x 4). Vi vet också att f(1) = 27 och kan bestämma a genom att lösa ekvationen: { a(1 + 2)(1 4) = 27 a = 3 f(x) = 3(x + 2)(x 4) = 3x 2 6x 24 Håkan Strömberg 6 KTH Syd Haninge