Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Algebra, exponentialekvationer och logaritmer"

Transkript

1 Höstlov Uppgift nr 1 Ge en lösning till ekvationen 0 434,2-13x 3 Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr 2 Huvudräkna lg20 + lg50 Uppgift nr 3 Ge en lösning till ekvationen 16x Ange både exakt svar och avrundat till två decimalers noggrannhet. Uppgift nr z 91 Uppgift nr 5 Bryt ut det som går ur 30a 4-35a 7 Uppgift nr 6 63 y 46 Uppgift nr 7 Huvudräkna lg lg90 Uppgift nr 8 Förenkla 9 + 5(7x - 4) - 4(3-4x) Uppgift nr y 888 Uppgift nr z 10 Uppgift nr 11 Multiplicera (4x + 3)(2x - 2) Uppgift nr 12 A/ Vilket värde har y i följande uttryck? 8 y 8 y 8 y 8 15 B/ Vilket värde har x i följande uttryck? 6 x 6 x 6 Uppgift nr 13 lg y 5 Uppgift nr z 0,1 Uppgift nr 15 Temperaturen T ( o C) på en dryck i en termos är en funktion av tiden t (timmar). T(t) 78 0,95 t + 14 A/ Beräkna temperaturen på drycken då den hälls i termosen. B/ Tolka talet 14 C/ Tolka talet 0,95 Uppgift nr 16 Multiplicera (a + b) 2 Uppgift nr 17 Skriv (2n) 4 utan parentes Uppgift nr 18 Skriv p -1 utan att använda minustecken Sid 1

2 Höstlov Uppgift nr 19 Innevånarantalet i en ort förändras exponentiellt från ca personer år 1986 till ca personer år Hur många innevånare kan orten beräknas ha ungefär år 2004 med samma exponentiella tillväxt? Uppgift nr 20 Skriv uttrycket 2 utan rotsymbolen. Uppgift nr 21 Skriv lg6 + lg2 som en logaritm Uppgift nr 22 Motivera med ett exempel varför man definierat att x 0 1. Uppgift nr 23 Multiplicera 7e -6 6e 6 Uppgift nr 24 Ange som ett tal exakt 10 Uppgift nr x 82 Uppgift nr 26 Huvudräkna lg lg40 lg 473 Uppgift nr 27 Skriv 2 lg3 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr 28 Förenkla 11n 8 + 7n 8-5n 8 Uppgift nr 30 Bryt ut det som går ur 5x - x² Uppgift nr 31 Multiplicera parenteserna (a + b)(x + y) Uppgift nr 32 Skriv uttrycket x 3 i faktorform. ( Faktorisera ) Uppgift nr 33 Bryt ut det som går ur x² + 6x Uppgift nr 34 Skriv talet 64,8 i potensform med 10 som bas. Uppgift nr 35 Skriv lg18 - lg2 som en logaritm Uppgift nr 36 Ange lg 10 Uppgift nr y 1 Uppgift nr 38 Skriv uttrycket a 2 + 2ab + b 2 med hjälp av första kvadreringsregeln som en multiplikation mellan två parenteser. Uppgift nr 39 Multiplicera (a - b) 2 Uppgift nr 29 Ange lg Sid 2

3 Höstlov Uppgift nr 40 Beloppet 6800 kr har på ett sparkonto ökat till 10497,85 kr. Hur lång tid har kapitalet vuxit med ränta på ränta om räntesatsen hela tiden varit 6,4%? Uppgift nr 41 Faktorisera a 2 - b 2 Uppgift nr 42 Multiplicera in i parentesen 2x(4 + y) Uppgift nr 43 Huvudräkna lg50 + lg20 Uppgift nr 44 Ange lg 0,0001 Uppgift nr ,14 x 4366 Avrunda svaret till tre decimaler. Uppgift nr ,18 x Avrunda svaret till tre decimaler. Uppgift nr 47 Förenkla uttrycket g 7 + g 7 Uppgift nr 48 Faktorisera x 2-4y 6 Uppgift nr 50 Skriv 3 lg4 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr 51 Dividera t-8 t -3 Uppgift nr ,19 z 9200 Avrunda svaret till tre decimaler. Uppgift nr 53 Beloppet 6900 kr har på ett sparkonto ökat till 10350,83 kr. Hur lång tid har kapitalet vuxit med ränta på ränta om räntesatsen hela tiden varit 5,2%? Uppgift nr 54 A/ Vilket tal skall stå i stället för frågetecknet för att uttrycket x² - 20x +? skall kunna skrivas som ett binom i kvadrat. B/ Vilket blir binomet? Uppgift nr y 26 Uppgift nr 56 Ge en lösning till ekvationen x 3 8 Uppgift nr 57 Huvudräkna lg lg400 Uppgift nr 49 Multiplicera potenserna g 2 g 3 Sid 3

4 Höstlov Uppgift nr 58 Innevånarantalet i en ort förändras exponentiellt från ca personer år 1987 till ca personer år Hur många innevånare kan orten beräknas ha ungefär år 2000 med samma exponentiella tillväxt? Uppgift nr y 831 Uppgift nr 60 Beskriv vad som menas med 6 1/18 Uppgift nr 61 Multiplicera in i parentesen 2(3x - 5) Uppgift nr 62 Faktorisera a 2-2ab + b 2 med hjälp av andra kvadreringsregeln. Uppgift nr 63 Skriv 4 lg3 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr x 797 Uppgift nr 68 Skriv x 0 enklare där x 0 Uppgift nr 69 Ge en lösning till ekvationen x Svara både exakt och avrundat till tre decimalers noggrannhet. Uppgift nr 70 Multiplicera x 7 x x 6 Uppgift nr x 59 Uppgift nr z 327 Uppgift nr x 111 Uppgift nr 65 Huvudräkna lg40 + lg25 Uppgift nr 66 Beloppet 8000 kr har på 9 år ökat med ränta på ränta till 14707,67 kr. Hur stor har räntesatsen varit, om den varit lika stor hela tiden? Sid 4

5 Uppgift nr 1 (Flytta om termerna) 13x 3 434,2 [Dividera båda termerna med koefficienten framför x 3 (dvs 13)] x 3 33,4 Svar: x 3 33,4 x 3,22 Uppgift nr 2 Svar: 3 lga + lgb lg(a B) ger lg20 + lg50 lg(20 50) lg Uppgift nr 3 [Dividera först båda termerna med koefficienten framför x 3 (dvs 16)] x 3 82 Svar: x 3 82 x 4,34 Uppgift nr 4 lg 91 (10 lg 805 ) 2 z 10 lg z lg z lg 805 lg 91 2 z lg lg 805 Svar. z lg 91 2 lg 805 lg 91 2 lg 805 Uppgift nr 5 ( 0,337) Svar: 5a 4 (6-7a 3 ) (Båda temerna innehåller minst fyra faktorer a. a 4 kan alltså brytas ut. Båda termerna är också delbara med 5.) Uppgift nr 6 lg 46 (10 lg 63 ) y 10 lg y lg y lg 63 lg 46 y lg 63 lg 63 lg 46 lg 63 Svar: y Uppgift nr 7 Svar: 2 lg 46 lg 63 ( 0,924) lga - lgb lg A B ger lg lg90 lg lg100 2) Uppgift nr 8 (Multiplicera först in talen i parenteserna.) 9 + (35x - 20) - (12-16x) (Tag bort parenteserna. Kontrollera alla tecken.) x x (Räkna ihop x-termerna för sig och kända talen för sig.) Svar: x (eller 51x - 23) Uppgift nr 9 lg 888 (10 lg 219 ) -2 y 10 lg y lg y lg 219 lg y lg 219 -lg y lg lg 219 Svar. y - lg lg 219 -lg lg 219 ( -0,630) Uppgift nr 10 ( ) Svar: z 1 (En ekvation där den sökta variabeln finns som exponent, kallas exponentialekvation. ) Uppgift nr 11 (Första gånger första, Första gånger andra... ger först) 8x 2-8x + 6x - 6 Svar: 8x 2-2x - 6 (En parentes med två termer kallas ett BINOM. Här multipliceras alltså två olika binom.) Uppgift nr 12 A/ 8 15 kan skrivas Svar: y 5 B/ 6 kan skrivas /2 + 1/2 6 1/2 6 1/2 Svar: x 1/2 (x 0,5) [Talet, som gånger sig själv blir 6 skrivs 6. Tydligen kan det också skrivas 6 1/2. 6 skrivs tydligare 2 6 (kvadrat)roten ur 6.] Uppgift nr 13 ( ) Svar: y Uppgift nr 14 (10-1 0,1) Svar: z -1 Sid 1

6 Uppgift nr 15 A/ Då drycken hälls i är tiden t 0. T(0) 78 0, T(0) T(0) 92 Starttemperaturen är 92 ( o C) B/ 14 är omgivningens temperatur som drycken närmar sig vartefter tiden (t) ökar så att 0,95 t går mot noll. C/ 0,95 är en förändringsfaktor som, eftersom den är mindre än ett, visar snabbheten på ett exponentiellt avtagande mot 14 C. Uppgift nr 16 [Uppgiften innebär att multiplicera (a + b) (a + b).] a 2 + ab + ab + b 2 Svar: a 2 + 2ab + b 2. (Svaret blir Första i kvadrat _ plus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat. Kallas FÖRSTA KVADRERINGSREGELN. Den kan användas som regel vid multiplikation av ett binom med sig själv när det är plustecken i parenteserna.) Uppgift nr 17 [(2n) 4 2n 2n 2n 2n n n n n 16n 4 ] Svar: 16n 4 Uppgift nr 18 Svar: 1 p (Enligt definition) Uppgift nr 19 Grundformeln A t A 0 e k t ger först konstanten k vid denna tillväxt. Antag att t 0 år Då är t 11 år 1997 (2004 är t18) e k 11 Dividera båda sidor med och e-logga sedan kvoten i vänsterledet e 0, e k 11 k 0, Formeln igen med t 18 A e 0, Svar: Antalet är inv. Uppgift nr 20 Svar: 2 kan skrivas 2 1/2 eller 2 0,5. Uppgift nr 21 Svar: lg12 [Summan av logaritmerna för två tal är logaritmen för talens produkt dvs lga + lgb lg(a b)] Uppgift nr 22 Använder man potenslagen för division, am a n a m-n, tex på bråket x7 x 7 blir svaret x 0. Eftersom det är ett tal dividerat med sig själv är rätta svaret 1. Uppgift nr 23 [7 e -6 6 e e -6 e 6 42 e e ] Svar: 42 Uppgift nr 24 [Enligt definitionen av lg (vad som menas med lg).] Svar: 10 lg Uppgift nr 25 lg 82 (10 lg 15 ) x 10 lg x lg x lg 15 lg 82 x lg 15 lg 15 lg 82 lg 15 Svar: x Uppgift nr 26 Svar: 2 lg 82 lg 15 ( 1,627) lga - lgb lg A B ger lg lg40 lg lg100 2) Uppgift nr 27 Svar: lg9 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 28 Svar: 13n 8 [Termer av samma slag kan räknas ihop. Talet framför en potens kallas KOEFFICIENT. (Här talet 13) 13n 8 är ett kortare skrivsätt för 13 n 8.] Uppgift nr 29 [lg utläses (tio)logaritmen för Med lg menas det tal 10 skall upphöjas i för att svaret skall bli ( )] Svar: lg Sid 2

7 Uppgift nr 30 Svar: x(5 - x) (Båda termerna innehåller variabeln x, som alltså kan brytas ut. Som kontroll kan x multipliceras in igen.) Uppgift nr 31 Svar: ax + ay + bx + by [Båda termerna i första parentesen multipliceras med var och en av termerna i den andra. ( Första gånger första_ Första gånger andra_ Andra gånger första_ Andra gånger andra )] Uppgift nr 32 Svar: x 3 är ett kortare skrivsätt för multiplikationen x x x Uppgift nr 33 Svar: x(x + 6) (Båda termerna innehåller variabeln x, som alltså kan brytas ut. Som kontroll kan x multipliceras in igen.) Uppgift nr 34 Svar: 64,8 kan skrivas 10 lg 64,8 10 1,812 (Enligt definitionen av lg) Uppgift nr 35 Svar: lg9 (Differensen mellan logaritmerna för två tal är logaritmen för talens kvot dvs lga - lgb lg a b ) Uppgift nr 36 [lg 10 utläses (tio)logaritmen för 10. Med lg 10 menas det tal 10 skall upphöjas i för att svaret skall bli 10. ( )] Svar: lg 10 1 Uppgift nr y 10 0 (Baserna är nu 10 i båda leden. Eftersom leden är lika måste exponenterna vara lika.) 5y 0 5y Svar: y 0 Uppgift nr 38 Svar: (a + b) (a + b) (Första kvadreringsregeln baklänges. Uttrycket har faktoriserats. Multiplikationstecknet behöver inte skrivas ut.) Uppgift nr 39 [Uppgiften innebär att multiplicera parenteserna (a - b) (a - b).] a 2 - ab - ab + b 2 Svar: a 2-2ab + b 2. (Svaret blir Första i kvadrat_ minus två gånger första gånger andra _ plus andra i kvadrat. Kallas ANDRA KVADRERINGSREGELN. Den kan användas som regel vid multiplikation av ett binom med sig själv när det är minustecken i parenteserna.) Uppgift nr 40 Antag att tiden varit x år. Räntesats 6,4% ger förändringsfaktor 1, ,064 x 10497,85 (Div. båda leden med 6800 så att 1,064 x blir ensamt i VL) 1,064 x 10497, ,064 x 1,5438 lg 1, x lg 1, x lg 1,064 lg 1,5438 x lg 1,5438 lg 1,064 Svar: Beloppet har förräntat sig i cirka 7 år. Uppgift nr 41 Svar: (a + b)(a - b) (Konjugatregeln baklänges ) Uppgift nr 42 Svar: 8x + 2xy [Först blir det (8x + 2xy). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 43 Svar: 3 lga + lgb lg(a B) ger lg50 + lg20 lg(50 20) lg Uppgift nr 44 [lg 0,0001 utläses (tio)logaritmen för 0,0001. Med lg 0,0001 menas det tal 10 skall upphöjas i för att svaret skall bli 0,0001. (10-4 0,0001)] Svar: lg 0, Sid 3

8 Uppgift nr 45 (Dividera båda leden med 3700 och förkorta) 1,14 x 1,18 (Skriv talen med hjälp av tiologaritmer) lg 1,18 (10 lg 1,14 ) x 10 lg 1,18 10 x lg 1,14 10 (Lika baser betyder att exponenterna måste vara lika) x lg 1,14 lg 1,18 x lg 1,18 lg 1,14 Svar: x 1,263) lg 1,18 lg 1,14 ( Uppgift nr 46 (Dividera båda leden med 9500 och förkorta) 1,18 x 1,3 (Skriv talen med hjälp av tiologaritmer) lg 1,3 (10 lg 1,18 ) x 10 lg 1,3 10 x lg 1,18 10 (Lika baser betyder att exponenterna måste vara lika) x lg 1,18 lg 1,3 x lg 1,3 lg 1,18 Svar: x 1,585) lg 1,3 lg 1,18 ( Uppgift nr 47 Svar: 2g 7 (Med plus- eller minustecken emellan kallas talen TERMER. I detta fall g 7 - termer.) Uppgift nr 48 Svar: (x + 2y 3 )(x - 2y 3 ) (Konjugatregeln baklänges ) Uppgift nr 49 Svar: g 5 [Uppgiften kan skrivas g g g g g g 2+3 När man multiplicerar potenser med samma bas adderar man alltså exponenterna. Kan skrivas som en formel ( potensräkningslag ) a m a n a m+n ] Uppgift nr 50 Svar: lg64 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 51 ( t-8 t -3 t -8-(-3) t -8+3 t -5 1 t 5 ) Svar: t -5 ( 1 t 5 ) Uppgift nr 52 (Dividera båda leden med 8000 och förkorta) 1,19 z 1,15 (Skriv talen med hjälp av tiologaritmer) lg 1,15 (10 lg 1,19 ) z 10 lg 1,15 10 z lg 1,19 10 (Lika baser betyder att exponenterna måste vara lika) z lg 1,19 lg 1,15 z lg 1,15 lg 1,19 Svar: z 0,803) lg 1,15 lg 1,19 ( Uppgift nr 53 Antag att tiden varit x år. Räntesats 5,2% ger förändringsfaktor 1, ,052 x 10350,83 (Div. båda leden med 6900 så att 1,052 x blir ensamt i VL) 1,052 x 10350, ,052 x 1,5001 lg 1, x lg 1, x lg 1,052 lg 1,5001 x lg 1,5001 lg 1,052 Svar: Beloppet har förräntat sig i cirka 8 år. Uppgift nr 54 Svar: A/? är talet 100 (kvadraten på hälften av talet framför x). B/ Binomet blir x - 10 [(x - 10)² x² - 20x + 100] Uppgift nr 55 lg 26 (10 lg 61 ) y 10 lg y lg y lg 61 lg 26 y lg 61 lg 61 lg 26 lg 61 Svar: y lg 26 lg 61 ( 0,793) Uppgift nr 56 Svar: x 2 [Vi söker ett tal, som gånger sig själv två gånger ger svaret Lösningen kan skrivas 3 8 (tredjeroten ur 8) eller 8 1/3. På miniräknaren tryck 8 _ upphöjt i _ PARENTES _ ett _ dividerat med _ tre _ SLUT PARENTES _ är lika med.] Sid 4

9 Uppgift nr 57 Svar: 2 lga - lgb lg A B ger lg lg400 lg lg100 2) Uppgift nr 58 Grundformeln A t A 0 e k t ger först konstanten k vid denna tillväxt. Antag att t 0 år Då är t 5 år 1992 (2000 är t13) e k 5 Dividera båda sidor med och e-logga sedan kvoten i vänsterledet e -0, e k 5 k -0, Formeln igen med t 13 A e -0, Svar: Antalet är inv. Uppgift nr 59 lg y 10 Svar: y lg 831 ( 2,920) Uppgift nr 60 Svar: 6 1/18 är talet, som multiplicerat med sig själv 17 gånger, ger svaret 6. Uppgift nr 61 Svar: 6x - 10 [Först blir det (6x - 10). Parentesen har ett osynligt plustecken framför sig. Den kan tas bort.] Uppgift nr 62 Svar: (a - b)(a - b) Uppgift nr 63 Svar: lg81 [Multipliceras en logaritm för ett tal med en faktor, fås logaritmen för talet upphöjt i faktorn dvs a lgb lg(b a )] Uppgift nr 64 lg x 10-2x lg 111 2x -lg 111 2x 2 -lg Svar: x - lg ( -1,023) Uppgift nr 65 Svar: 3 lga + lgb lg(a B) ger lg40 + lg25 lg(40 25) lg Uppgift nr 66 Antag att förändringsfaktorn från ett år till nästa varit x x ,67 Div. båda leden med 8000 så att x 9 blir ensamt i VL x , x 9 1,83846 x 1, /9 x 1,0700 Denna förändringsfaktor innebär cirka 7,0 % ökning. Svar: Räntesatsen har varit ungefär 7,0 %. Uppgift nr 67 lg 797 (10 lg 370 ) 5 x 10 lg x lg x lg 370 lg x lg lg 370 Svar. x lg lg 370 lg lg 370 ( 0,226) Uppgift nr 68 Svar: 1 (En definition för att potenslagarna alltid skall fungera.) Uppgift nr 69 Svar: x 226 1/4 x 3,877 [Vi söker talet, som gånger sig själv 3 gånger, ger svaret 226. När exponenten är ett jämnt tal, vilket den är här (4), är även motsatta negativa tal en lösning.] Uppgift nr 70 Svar: x 14 [Variabel utan exponent har 1 (en osynlig etta ) som exponent x ] Uppgift nr 71 lg 59 (10 lg 94 ) x 10 lg x lg x lg 94 lg 59 x lg 94 lg 94 lg 59 lg 94 Svar: x lg 59 lg 94 ( 0,897) Sid 5

10 Uppgift nr 72 lg 327 (10 lg 873 ) -6 z 10 lg z lg z lg 873 lg z lg 873 -lg z lg lg 873 Svar. z - lg lg 873 -lg lg 873 ( -0,142) Sid 6

Övning log, algebra, potenser med mera

Övning log, algebra, potenser med mera Övning log, algebra, potenser med mera Uppgift nr 1 Förenkla uttrycket x 3 + x 3 + x 3 + x 3 + x 3 Uppgift nr 2 Förenkla x x x+x x x Uppgift nr 3 Skriv på enklaste sätt x 2 x x x 8 x x x Uppgift nr 4 Förenkla

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Logövningar. Slumpad ordning. Uppgift nr 10 Lös ekvationen 10 y = 0,001. Uppgift nr 13 Lös ekvationen lg x = 4 Logövningar Uppgift nr 1 lg y -2 Uppgift nr 2 Huvudräkna lg200 + lg5 Uppgift nr 3 71 z 70 Uppgift nr 4 Ange derivatan till y e x Uppgift nr 5 Skriv 3 lg5 som en logaritm utan faktor framför. Uppgift nr

Läs mer

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar Uppgift nr 1 10 z Uppgift nr 2 10 z = 0,0001 Uppgift nr 3 10 5y 000 Uppgift nr 4 10-4z Uppgift nr 5 Skriv talet 6,29 i potensform med 10 som bas.

Läs mer

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln

Algebra, kvadreringsregler och konjugatregeln Algebra, kvadreringsregler och Uppgift nr 1 Multiplicera in i parentesen x(9 + 2y) Uppgift nr 2 Multiplicera in i parentesen 3x(7 + 5y) Uppgift nr 3 x² + 3x Uppgift nr 4 xy + yz Uppgift nr 5 5yz + 2xy

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera

DOP-matematik Copyright Tord Persson Potenser. Matematik 1A. Uppgift nr 10 Multiplicera Potenser Uppgift nr Skriv 7 7 7 i potensform Uppgift nr 2 Vilket tal är exponent och vilket är bas i potensen 9 6? Uppgift nr 3 Beräkna värdet av potensen (-3) 2 Uppgift nr 4 Skriv talet 4 i potensform

Läs mer

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Potensform. Uppgift nr 10. Uppgift nr 11 Visa varför kan skrivas = 4 7 Potensform Uppgift nr Vad menas i matematiken med skrivsättet 3 6? (Skall inte räknas ut.) Uppgift nr 2 värdet av potensen 3 2 Uppgift nr 3 Skriv 8 8 8 i potensform Uppgift nr 4 Skriv 4 3 som upprepad

Läs mer

Blandade uppgifter om tal

Blandade uppgifter om tal Blandade uppgifter om tal Uppgift nr A/ Beräkna värdet av (-3) 2 B/ Beräkna värdet av - 3 2 Uppgift nr 2 Skriv (3x) 2 utan parentes Uppgift nr 3 Multiplicera de de två talen 2 0 4 och 4 0 med varandra.

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Y

Sammanfattningar Matematikboken Y Sammanfattningar Matematikboken Y KAPitel 1 TAL OCH RÄKNING Numeriska uttryck När man beräknar ett numeriskt uttryck utförs multiplikation och division före addition och subtraktion. Om uttrycket innehåller

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken Z

Sammanfattningar Matematikboken Z Sammanfattningar Matematikboken Z KAPitel procent och statistik Procent Ordet procent betyder hundradel och anger hur stor del av det hela som något är. Procentform och 45 % = 0,45 6,5 % = 0,065 decimalform

Läs mer

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens

PASS 2. POTENSRÄKNING. 2.1 Definition av en potens PASS. POTENSRÄKNING.1 Definition av en potens Typiskt för matematik är ett kort, lätt och vackert framställningssätt. Den upprepade additionen går att skriva kortare i formen där anger antalet upprepade

Läs mer

Övningar - Andragradsekvationer

Övningar - Andragradsekvationer Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.

Läs mer

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15.

Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte 3 1. 10. 11. 12. 13. 15. Lösningsförslag och svar Övningsuppgifter inför matte........... =.... Multiplicera i valfri ordning. Man kan t.e. börja med att multiplicera in. Multiplicera i valfri ordning. Den här gången kan vi börja

Läs mer

8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn:

8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn: 8-3 Kvadreringsreglerna och konjugatregeln. Namn: Inledning I kapitlet med matematiska uttryck lärde du dig hur man förenklade ett uttryck med en faktor framför en parentes genom att multiplicera varje

Läs mer

TAL OCH RÄKNING HELTAL

TAL OCH RÄKNING HELTAL 1 TAL OCH RÄKNING HELTAL Avsnitt Heltal... 6 Beräkningar med heltal...16 Test Kan du?... 1, 27 Kapiteltest... 28 Begrepp addition avrundning bas differens division exponent faktor kvadratroten ur kvot

Läs mer

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9

Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik EXTRAUPPGIFTER FÖR SKOLÅR 7-9 Matematik Extrauppgifter för skolår 7-9 Pärm med kopieringsunderlag. Fri kopieringsrätt inom utbildningsenheten! Författare: Mikael Sandell Copyright 00 Sandell

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 4. b) = 3 1 = 2 Kapitel.1 101, 102 Exempel som löses i boken 10 a) x= 1 11+ x= 11+ 1 = 2 c) x= 11 7 x= 7 11 = 77 b) x= 5 x 29 = 5 29 = 6 d) x= 2 26 x= 26 2= 1 10 a) x= 6 5+ 9 x= 5+ 9 6= 5+ 5= 59 b) a = 8a 6= 8 6= 2 6=

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller =

Dra streck. Vilka är talen? Dra pil till tallinjen. Skriv på vanligt sätt. Sätt ut <, > eller = n se ta l l ta al u at sen nt al rat l r l d d n iotu se hun tiot a ent a hu t tu + + 7 tiotusental tusental 7 tiotal 7 7 7 7 Ju längre till höger, desto större är talet. 7 > 7 Siffran betyder tiotusental

Läs mer

Uppfriskande Sommarmatematik

Uppfriskande Sommarmatematik Uppfriskande Sommarmatematik Matematiklärarna på Bäckängsgymnasiet genom Johan Espenberg juni 206 Välkommen till Naturvetenskapsprogrammet GRATTIS till din plats på Naturvetenskapsprogrammet på Bäckängsgymnasiet!

Läs mer

Exponentialfunktioner och logaritmer

Exponentialfunktioner och logaritmer Eponentialfunktioner och logaritmer Tidigare i kurserna har du gått igenom potenslagarna, hur man räknar med potenser och potensfunktioner av typen y. En potens- funktion är en funktion som innefattar

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1 Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet Ger studiepoäng Kostnadsfritt Fortlöpande anmälan på wwwmathse Eftertryck förbjudet utan tillåtelse 2007 MATHSE

Läs mer

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA

Röd kurs. Multiplicera in i parenteser. Mål: Matteord. Exempel. 1 a) 4(x- 5) b) 5(3 + x) 3 Om 3(a + 4) = 36, vad är då 62 2 FUNKTIONER OCH ALGEBRA Röd kurs Mål: I den här kursen får du lära dig att: ~ multiplicera parenteser ~ använda kvadreringsregler ~ använda konjugatregeln ~ uttrycka formler på olika sätt Matteord första kvadreringsregeln andra

Läs mer

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b

Läs mer

Tal Räknelagar Prioriteringsregler

Tal Räknelagar Prioriteringsregler Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.

Läs mer

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö

MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö MATEMATIK - grunderna och lite till - Hans Elvesjö 1 Största delen av boken ligger på höstadienivå med en mindre del på gymnasienivå Den har ej för avsikt att följa läroplanen men kan med fördel användas

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Repetitionsuppgifter i matematik De fyra enkla räknesätten Här övar vi på de fyra räknesätten för hela tal (positiva och negativa), tal i bråkform och tal i decimalform Bestäm de tal på tallinjen, som

Läs mer

Lathund algebra och funktioner åk 9

Lathund algebra och funktioner åk 9 Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken

Läs mer

vilket är intervallet (0, ).

vilket är intervallet (0, ). Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt

Introduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1

Tal Räknelagar. Sammanfattning Ma1 Tal Räknelagar Prioriteringsregler I uttryck med flera räknesätt beräknas uttrycket i följande ordning: 1. Parenteser 2. Potenser. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: 5 22 1.

Läs mer

Avsnitt 1, introduktion.

Avsnitt 1, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen

Läs mer

Förberedande kurs i matematik 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

Förberedande kurs i matematik 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Förberedande kurs i matematik Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/sommarmatte Studiematerialet hör

Läs mer

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa

PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA. 4.1 Kvadreringsreglerna. Kvadraten på en summa PASS 4. POLYNOM, MINNESREGLERNA 4.1 Kvadreringsreglerna Kvadraten på en summa Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn äger ett kvadratformat hus. Här nedan i figur 4 har vi en planritning

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Repetition ekvationer - Matematik 1

Repetition ekvationer - Matematik 1 Repetition ekvationer - Matematik 1 Uppgift nr 1 I en 2-barnsfamilj är alla tillsammans 107 år. Sonen är 7 år yngre än dottern. Mamman är 4 år äldre än pappan. Pappan är 4 gånger äldre än dottern. Hur

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Upphämtningskurs i matematik

Upphämtningskurs i matematik Upphämtningskurs i matematik C.J. 2013 Föreläsningsunderlaget är uppbyggt utgående från kurserna i den långa gymnasiematematiken, ellips-kursböckerna (Schilds förlag) har använts som förebild. Böckerna

Läs mer

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) 1. Benämn med korrekt terminologi talen som: adderas. subtraheras. multipliceras. divideras.. Addera 10 och. Dividera sedan med. Subtrahera 10 och. Multiplicera sedan med..

Läs mer

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2007 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Genomsnittlig förändringshastighet...................... 5 Uppgift 1................................. 5 Uppgift 2.................................

Läs mer

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson ATT KUNNA TILL MA1203 Matte C 2011-06-14 Vuxenutbildningen Dennis Jonsson Sida 2 av 5 Att kunna till prov C1 Kunna kvadreringsreglerna! (...utan att titta i formelsamlingen) Kunna konjugatregeln! (...utan

Läs mer

Ekvationer och olikheter

Ekvationer och olikheter Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När

Läs mer

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet.

FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK 1. Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. FÖRBEREDANDE KURS I MATEMATIK Till detta kursmaterial finns prov och lärare på Internet. Detta material är en utskrift av det webbaserade innehållet i wiki.math.se/wikis/forberedandematte Studiematerialet

Läs mer

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem

Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Konsten att lösa icke-linjära ekvationssystem Andreas Axelsson Vi beskriver här de grundläggande teknikerna för att lösa icke-linjära ekvationssystem. Detta är en nödvändig kunskap för att kunna lösa diverse

Läs mer

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är

sanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.

Läs mer

Sammanfattningar Matematikboken X

Sammanfattningar Matematikboken X Sammanfattningar Matematikboken X KAPITEL 1 TAL OCH RÄKNING Naturliga tal Med naturliga tal menas talen 0, 1,,, Jämna tal 0,,, 6, 8 Udda tal 1,,, 7 Tallinje Koordinater En tallinje kan t ex användas för

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

L ÄR ARHANDLEDNING. Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg

L ÄR ARHANDLEDNING. Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg L ÄR ARHANDLEDNING Gunilla Viklund Birgit Gustafsson Anna Norberg Negativa tal Utför beräkningarna. Addera svaren i varje grupp till en kontrollsumma. Alla kontrollsummor ska bli lika. 2 5 13 + ( 2) 11

Läs mer

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning

Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Moment Bedömningsgrunder för uppnåendemålen Begreppsbildning Tal och räkning Moment Begreppsbildning Mätningar och enheter Algebra och ekvationer Studieplan och bedömningsgrunder i Matematik för åk 7 Bedömningsgrunder för uppnåendemålen känna igen naturliga tal kunna positiva heltal:

Läs mer

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal - " - " - " - " - - " - " - " - " -

Kap 1: Aritmetik - Positiva tal -  -  -  -  - -  -  -  -  - År Startvecka Antal veckor 2013 34 18 Planering för ma 1b/c - ma 5000- boken OBS: För de i distansgruppen, meddela lärare innan prov. (justeringar för 1c ännu ej genomförda) Vecka Lektio n (2h) Datum Kapitel

Läs mer

8-4 Ekvationer. Namn:..

8-4 Ekvationer. Namn:.. 8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs C, kapitel 1 Kompletterande lösningsförslag oc ledningar, Matematik 000 kurs C, kapitel Här presenteras förslag på lösningar oc tips till många uppgifter i läroboken Matematik 000 kurs C Komvu som vi oppas kommer att

Läs mer

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log

exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen = kallas logaritm av b i basen a och betecknas x =log LOGARITMER Definition av begreppet logaritm Betrakta ekvationen =. Om a är ett positivt tal skilt från 1 och b >0 då finns det exakt en exponent x som satisfierar ekvationen. Den okända exponent x i ekvationen

Läs mer

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar

Läs mer

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats:

Dockvetviattimånga situationer räcker inte de naturliga talen. För att kunna hantera negativa tal har de hela talen definierats: Kapitel Introduktion I detta kapitel kommer vi främst att behandla grundbegrepp. Vi undersöker några speciella samlingar av tal (kallas mängder), matematiska symboler och ser på vissa räkneregler. Dessa

Läs mer

Utdrag ur Sommarmatte

Utdrag ur Sommarmatte Utdrag ur Sommarmatte Matematiska Vetenskaper 21 augusti 2008 Innehåll 1 Aritmetik och Algebra 3 1.1 Räkning med naturliga tal och heltal.................. 3 1.1.1 Naturliga tal..........................

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Diagnostiskt test för Lp03

Diagnostiskt test för Lp03 Diagnostiskt test för Lp --6, kl. 9.5 Inga miniräknare/formelsamlingar. Redovisa dina resonemang/räkningar.. Skriv namn, vilket år du senast läste matematik, vilken kurs det var, vilket betyg du fick..

Läs mer

Ekvationssystem - Övningar

Ekvationssystem - Övningar Ekvationssystem - Övningar Uppgift nr 1 y = 5x x + y = 54 Uppgift nr 2 y = 2x x + y = 12 Uppgift nr 3 y = 3x + 7 4x + y = 35 Uppgift nr 4 y = 4x - 18 3x + y = 38 Uppgift nr 5 2x - 2y = -4 x - 3y = 4 Uppgift

Läs mer

8-6 Andragradsekvationer. Namn:..

8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. 8-6 Andragradsekvationer. Namn:.. Inledning Nu har du arbetat en hel del med ekvationer där du löst ut ett siffervärde på en okänd storhet, ofta kallad x. I det här kapitlet skall du lära dig lösa ekvationer,

Läs mer

Subtraktion. Räkneregler

Subtraktion. Räkneregler Matriser En matris är en rektangulär tabell av tal, 1 3 17 4 3 2 14 4 0 6 100 2 Om matrisen har m rader och n kolumner så säger vi att matrisen har storlek m n Index Vi indexerar elementen i matrisen genom

Läs mer

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012

Överbryggningskurs i matematik del I. Teknik och Samhälle 2012 Överbryggningskurs i matematik del I Teknik och Samhälle 0 Malmö 0 Förord och studietips Föreliggande kompendium i två delar är en överbryggning mellan gymnasiets och högskolans matematikkurser. Målet

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

ALGEBRA OCH FUNKTIONER

ALGEBRA OCH FUNKTIONER ALGEBRA OCH FUNKTIONER Centralt innehåll Hantering av algebraiska uttrck och ekvationer. Generalisering av aritmetikens lagar. Begreppen polnom och rationellt uttrck. Kontinuerlig och diskret funktion.

Läs mer

Lathund, samband & stora tal, åk 8

Lathund, samband & stora tal, åk 8 Lathund, samband & stora tal, åk 8 Den vågräta tallinjen kallas x-axeln och den lodräta tallinjen kallas y-axeln. Punkten där tallinjerna skär varandra kallas origo (0,0). När man beskriver en punkt i

Läs mer

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi A1:an Repetition Philip Larsson 6 april 013 1 Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi 1.1 Delmängd Om ändpunkterna ska räknas med används symbolerna [ ] och raka sträck. Om ändpunkterna inte skall

Läs mer

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner Kapitel 4 Funktioner I det här kapitlet kommer vi att undersöka funktionsbegreppet. I de första sektionerna genomgås definitionen av begreppet funktion och vissa egenskaper som funktioner har. I slutet

Läs mer

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du

Läs mer

Algebraiska räkningar

Algebraiska räkningar Kapitel 1 Algebraiska räkningar 1.1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller bl.a. följande enkla räkneregler, som man väl använder utan att speciellt tänka på dem:

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2 Kapitel.1 101, 10 Exempel som löses i boken. 103 Testa genom att lägga linjalen lodrätt och föra den över grafen. Om den på något ställe skär grafen i mer än en punkt så visar grafen inte en funktion.

Läs mer

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa

För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal

Läs mer

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss.

Javisst! Uttrycken kan bli komplicerade, och för att få lite överblick över det hela så gör vi det så enkelt som möjligt för oss. 8-2 Förenkling av uttryck. Namn: eller Konsten att räkna algebra och göra livet lite enklare för sig. Inledning I föregående kapitel lärde du dig vad ett matematiskt uttryck är för någonting och hur man

Läs mer

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk.

1 mindre än 2 > 3 = Hur stor andel är färgad? Sätt ut < eller > Storlek på bråk. Skriv på två sätt. Skriv i blandad form. Skriv som bråk. täljare bråkstreck ett bråk nämnare Vilket bråk är störst? Ett bråk kan betyda mer än en hel. Olika bråk kan betyda lika mycket. _ 0 två sjundedelar en hel och två femtedelar > 0 > 0 < > > < > Storlek

Läs mer

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.

Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda

Läs mer

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument

Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Algebra, polynom & andragradsekvationer en pampig rubrik på ett annars relativt obetydligt dokument Distributiva lagen a(b + c) = ab + ac 3(x + 4) = 3 x + 3 4 = 3x + 12 3(2x + 4) = 3 2x + 3 4 = 6x + 12

Läs mer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x 33 a Använd additionsformel för sinus sin(x + 55 ) = sin x cos 55 + cos x sin 55 cos 55 och sin 55 beräknas med tekniskt hjälpmedel TI-räknare c Använd additionsformel för sinus sin (x + π ) = sin x cos

Läs mer

Delkursplanering MA Matematik A - 100p

Delkursplanering MA Matematik A - 100p Delkursplanering MA1201 - Matematik A - 100p som du skall ha uppnått efter avslutad kurs Du skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för vardagsliv och vald studieinriktning

Läs mer

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos

Logaritmer. Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos Logaritmer Joakim Östlund Patrik Lindegrén Andreas Lillqvist Carlos 24 september 2003 Innehåll 1 Introduktion 2 2 Naturliga logaritmer 3 2.1 Talet e................................. 3 2.2 Den naturliga

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 4, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 28 Lekt 3 Om f (x) = 2 x 2 och g(x) = x + 2, bestäm nedanstående funktion och dess definitionsmängd.

Läs mer

Snabbslumpade uppgifter från flera moment.

Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Snabbslumpade uppgifter från flera moment. Uppgift nr Ställ upp och dividera utan hjälp av miniräknare talet 48 med 2 Uppgift nr 2 Skriv talet 3 8 00 med hjälp av decimalkomma. Uppgift nr 3 Uppgift nr

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER

PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER PROBLEMLÖSNINGSUPPGIFTER ADDERA RÄTT 1. Bestäm vilka siffror bokstäverna A, B, C, och D bör bytas ut mot i additionen nedan för att additionen ska vara riktig. A 6 3 7 B 2 + 5 8 C D 0 4 2 2. Gör ett eget

Läs mer

Lokala mål i matematik

Lokala mål i matematik Lokala mål i matematik År 6 År 7 År 8 År 9 Taluppfattning (aritmetik) förstår positionssystemets uppbyggnad med decimaler ex: kan skriva givna tal adderar decimaltal ex: 15,6 + 3,87 subtraherar decimaltal

Läs mer

Avsnitt 3, introduktion.

Avsnitt 3, introduktion. KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar

Läs mer

Sammanfattning: Matematik 1b

Sammanfattning: Matematik 1b Sammanfattning: Matematik 1b Ma1c kräver kompletterande delar om vektorer samt trigonometri 1. Kapitel 1: Aritmetik Centrala delar i kapitlet: - Räkneordning - Tal i bråkform och decimalform - Tal i potensform

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje.

En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 327 = 300 + 20 + 7. Alla tal ligger på en tallinje. En siffra har olika värde beroende på vilken plats i talet den har. 48 = 4 tiotal 8 ental 7 = + + 7 Siffran 6 betyder 6 tusental = 6 tusental hundratal 4 8 7 6 9 tiotal ental Siffran 9 betyder 9 tiotal

Läs mer

1.1 Polynomfunktion s.7-15

1.1 Polynomfunktion s.7-15 1.1 Polynomfunktion Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4

Läs mer

Matematik 3000 kurs A

Matematik 3000 kurs A Studieanvisning till läroboken Matematik 3000 kurs A Innehåll Kursöversikt...4 Vad skall du kunna efter Matematik kurs A?...5 Så här jobbar du med boken...6 Studieenhet Arbeta med tal...7 Studieenhet Procent...12

Läs mer

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik

Kunskapsmål och betygskriterier för matematik 1 (1) 2009-0-12 Kunskapsmål och betygskriterier för matematik För betyget G i matematik skall eleven kunna utföra beräkningar, lösa problem samt se enklare samband utifrån de kunskapsmål som anges under

Läs mer

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder

Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter 1101, 1106, 1107, 1113, 1118, 1120 Talmängder Kap1 1.1 Tal i olika former Mål Mål Mål Mål Mål Mål Rek. uppgifter Känna till de vanligaste talmängderna och de Veta hur talmängderna betecknas Ha kunskap om hur de olika talmängderna är 1101, 1106, 1107,

Läs mer