Talmängder. Målet med första föreläsningen:
|
|
- Stig Pettersson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, , 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt med Mathematica Kunna lösa olikheter med en obekant för hand Kunna lösa ekvationer med absolutbelopp för hand 4 Kunna lösa olikheter med absolutbelopp för hand 5 Kunna lösa punkterna 4 med hjälp av Mathematica 6 Kunna plotta grafer, med Mathematica, som åskådliggör punkterna 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att gå igenom under föreläsningen. Något av innehållet kan ses som komplement till boken. Talmängder Naturliga tal kallas de tal som tillhör mängden Heltal kallas de tal som tillhör mängden N = {0,1,,,...} Z = {...,, 1,0,1,,...} Rationella tal kallas de tal som tillhör mängden { a } Q = b : a,b Z Reella tal kallas de tal som kan uttryckas med hjälp av ändligt eller oändligt många decimaler! Mängden av reella tal betecknas med R Irrationella tal kallas de tal som är reella men ej rationella. Komplexa tal kallas de tal som tillhör mängden C = {a+bi : a,b R} Håkan Strömberg 1 KTH Syd
2 Påståenden: N Z, mängden N är en delmängd av mängden Z. Z innehåller ju förutom alla positiva heltal också de negativa heltalen som inte finns i N. Z Q. Eftersom bland annat 7 1 som rationella sätt. och 1 är rationella tal förstår vi att heltal kan skrivas Q R. Till exempel talet kan inte skrivas som ett rationellt tal och alla tal i Q är reella. R C. Så fort man väljer b = 0 har man ett reellt tal! De komplexa talen kommer vi till senare. Intervall {x : a x b,x R} Uttrycket ovan betecknar en mängd, som kan ses som ett intervall på tallinjen. Så här uttalar man det: Mängden av reella tal x, sådana att x är större än eller lika med a och samtidigt mindre än eller lika med b Tecknen { och } vittnar om att det gäller en mängd. Kolon : kan med fördel uttalas som sådana att. [4,10] = {x : 4 x 10,x R} Detta är ett slutet intervall. Slutet därför att gränserna ingår i mängden. (,4) = {x : < x < 10,x R} Detta är ett öppet intervall, därför att gränserna inte ingår i mängden M ovan. 10 M, men M [,15) = {x : x < 15,x R} Detta är ett halvöppet (eller halvslutet). Det är en bra idé att använda runda parenteser då gränsen inte tillhör intervallet och hakparenteser då gränsen ingår i intervallet. [10,19) = {x : 10 x < 19,x N} Mängden består av talen 10, 11, 1, 1, 14, 15, 16, 17, 18, alltså ett heltalsintervall. Denna typ av intervall eller mängder är mindre vanliga i denna kurs. Håkan Strömberg KTH Syd
3 Andragradsekvationen Likheter och olikheter Den här formeln känner du förstås redan till, där vi har för avsikt att lösa polynomekvationen av andra graden x +px+q = 0 Diskriminanten kallas uttrycket rottecknet x 1, = p ± (p ) q ( p Dess värde avgör vilken typ av rötter vi får ) q p 4q 4 Diskriminanten Rötterna > 0 Två reella rötter = 0 Två lika reella rötter < 0 Komplexa rötter Eftersom vi just nu inte kan något om komplexa tal behöver du inte gå vidare då diskriminanten< 0. Det finns alternativa formler. Om man till exempel ska lösa en ekvation av utseendet ax +bx+c = 0, där a 1 kan det vara bra att direkt använda denna x 1, = b± b 4ac a Dessutom kan man använda kvadratkomplettering, men den metoden tar vi inte upp här. Exempel 1. Lös ekvationen 4x x 1 4 = 0 4x x 1 4 x x x 1 = = 0 = 0 x = 1 8 ± (1 8 x = 1 8 ± x = 1 8 ± 5 8 x = ) Håkan Strömberg KTH Syd
4 Olikheter Olikheter behandlas på i princip samma sätt som likheter (ekvationer), med det tillägget att multiplikation/division med negativt tal vänder olikheten! Exempel. Lös olikheten 5 x >, det vill säga för vilka x är olikheten sann?. Svar: Olikheten är sann så länge x < 1 5 x > x > ( 1) ( x) > ( 1) x < x < 1 Lite värre blir det om man har en rationell olikhet Exempel. Lös olikheten x x 1 Innan vi försöker lösa problemet ska vi titta på grafen till funktionen f(x) = x x Grafen har två delar. Dessutom är linjen y = inritad. I x = 1 finns en vertikal asymtot. När x 1 från vänster går y. Vi kan avläsa i kurvan att olikheten är sann i det ungefärliga intervallet 0.5 < x < 0.7 Men hur löser man nu detta exakt? Starta med att samla allt på ena sidan och på ett bråkstreck x x 1 x x 1 0 x x 1 (x 1) x 1 x (4x ) x 1 x x Håkan Strömberg 4 KTH Syd
5 Olikheten gäller nu istället 0. Vi tar reda på för vilka värden täljare respektive nämnare är = 0 och gör sedan ett så kallat teckenstudium av olika intervall på x-axeln. x 1 x x x x 1 odef + 0 Från tabellen ser vi att uttrycket är 0 då 1 < x Exempel 4. Lös olikheten x x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = och x = vilket leder fram till faktoriseringen (x )(x+) < 0. x < x = < x < x = x > x 0 + x (x )(x+) Svar: < x < Exempel 5. Lös olikheten 4 x x+ 0 1 Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 x < x = < x < 4 x = 4 x > 4 4 x x x x+ odef + 0 Håkan Strömberg 5 KTH Syd
6 Svar: < x 4 Exempel 6. Lös olikheten x +x+1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x+1) (första kvadreringsregeln). Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x (x+1) x 1 0 odef + Exempel 7. Lös olikheten x x x +x Faktorisera täljaren Faktorisera nämnaren Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x = vilket leder fram till faktoriseringen (x+1)(x ). Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = och x = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x )(x+4). Vi kan nu skriva om olikheten (x+1)(x ) (x )(x+4) 0 Håkan Strömberg 6 KTH Syd
7 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < x = < x < x = x > x x x x 0 + (x+1)(x ) (x )(x+4) + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < eller x (se grafen nedan) Exempel 8. Lös olikheten x+1 x 1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk). Ställ upp tabell för teckenstudium Utläs svaret ur tabellen 1 x+1 x ; x+1 x 0; x+1 x (x ) 0; x 10 x x 0 x < x = < x < 5 x = 5 x > 5 10 x x x x odef + 0 Svar: < x 5 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
8 Absolutbelopp Följande definition har ni sett tidigare: { a om a 0 a = a om a < 0 Tolkning: a b är avståndet mellan punkterna a och b på tallinjen. Exempel 9. Lös olikheten Först en grafisk lösning x < 7 Avståndet mellan och x ska vara < 7. Vi kan direkt från figuren utläsa svaret 4 < x < 10 Vi kan även lösa uppgiften rent algebraiskt x < 7 7 < x < 7 4 < x < 10 Ekvationer med absolutbelopp Exempel 10. Lös ekvationen x+ = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. 1 Då x = är x+ = 0., Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < (x+) = 5 x = 8 Ja x x+ = 5 x = Ja Svar: x 1 = 8 och x = Håkan Strömberg 8 KTH Syd
9 Exempel 11. Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 Då x = 6 är x 6 = 0 De två ekvationerna med gällande intervall Svar: x = 1 Exempel 1. Lös ekvationen Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6) x = 4 x = 1 x 6 (x 6) x = 4 x+1 4 x + x = 0 Ja ingen rot Nej 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. 1, De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x = och x = 4 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x+1) (4 x) (x ) = 0 x = 6 Ja 1 x < (x+1) (4 x) (x ) = 0 x = 4 Nej x < 4 (x+1) (4 x)+(x ) = 0 x = Ja x 4 (x+1)+(4 x)+(x ) = 0 x = 6 Nej Håkan Strömberg 9 KTH Syd
10 Svar: x 1 = 6 och x = (se grafen nedan) Exempel 1. Givet ett intervall x 1 < x < x, som vi vill uttrycka på formen x + a < b. uttryck a och b med hjälp av x 1 och x. Vi börjar bakifrån och översätter x +a < b till b < x +a < b, som i sin tur leder till b a < a < b a. Alltså är x 1 = b a och x = b a. Vi har nu ett ekvationssystem där vi ska lösa ut x 1 och x { x 1 = b a x = b a Ur den andra ekvationen får vi a = b x. Vi substituerar a med detta uttryck i första ekvationen och får x 1 = b (b x ). När vi löser ut b får vi Detta insatt i den andra ekvationen ger a b = x x 1 a = x +x 1 Använder vi formlerna på till exempel intervallet (8,16) får vi x 1 < 4. Olikheter med absolutbelopp Exempel 14. Lös olikheten x + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x = 0 och det x för vilket x 4 = 0 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x och ett då x > x. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. Håkan Strömberg 10 KTH Syd
11 1 x 1 = och x = 4 Intervallen är x <, x 4 och x > 4. Då Olikhet Lösning Intervall x < (x ) (x 4) < 8 x > 1 1 < x < x < 4 (x ) (x 4) < 8 Alltid x < 4 x > 4 (x )+(x 4) < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Exempel 15. Lös olikheten x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. 1 x 1 = 0, x = och x = 5 De fyra intervallen är x < 0 0 x < x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (x 4) x < (5 x) x > 1 1 < x < 0 0 x < (x 4)+x < (5 x) Alltid 0 x < x < 5 (x 4)+x < (5 x) x < 9 4 x < 9 4 x 5 (x 4)+x < (5 x) x < 1 Inget x Svar: 1 < x < 9 4 Håkan Strömberg 11 KTH Syd
12 Här några extrauppgifter att lösa Extra 1. Lös ekvationen x 6 = 0. Svar: x 1 = 8,x = 4 Extra. Lös ekvationen x x 1 + x+1 = 11. Svar: x = Extra. Lös olikheten x < 4 x +. Svar: Saknar lösning Extra 4. Lös olikheten x+ x < x+1. Svar: x <,1 < x < Huvudräkning 1. Vet du med säkerhet hur dessa fyra relationsoperatorer uttalas och står för > < Huvudräkning. Vilka av dessa två uttryck är oftast minst? a) x + y b) x+y Huvudräkning. Vilket gradtal har denna ekvation och vilka är rötterna? Huvudräkning 4. Lös olikheten x < 0 (x )(x+) = 0 Huvudräkning 5. Vilket värde ska a ha för att ekvationen ska ha en dubbelrot? x +ax+1 = 0 Läxa a) Från {x : x 4 6} har vi att lösa x 4 6. Svar: [, 10] x x 4 6 x 10 Läxa. 1.7 b) Från {x : x+ < } har vi att lösa x+ <. Svar: ( 5, 1) x+ < < x+ < 5 < x < 1 Läxa. 1.7 c) Från {x : x 1 7} har vi att lösa x 1 7. Svar: [, 4] x x x 8 x 4 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
13 Läxa d) Från {x : x 4 + < } har vi att lösa x 4 + <. Svar: ( 4, 0) x 4 + < < x 4 + < 6 < x 4 < 0 4 < x < 0 Läxa a) Använder vi formlerna från exempel 1 får vi direkt genom Svar: x 4 b = x x 1 b = 7 1 Läxa b) På samma sätt Svar: x+ 1 b = ( ) ( 4) a = x +x 1 = a = 7+1 = 4 = 1 a = ( )+( 4) Läxa c) b = 6 17 = 9 a = 17+6 Vi multiplicerar alla led med för att slippa nämnaren. Svar: x 4 < 9 Läxa d) b = 4 ( 1 ) = 5 8 = 4 = 4 a = +( 1 ) = 1 8 Vi multiplicerar alla led med 8 för att slippa nämnaren och får Svar: 8x 1 5 Läxa a) Anta att a = 0, b = 1, c = och d = 10. Då gäller a < b och c < d men a c < b d ger Det räcker att hitta ett motexempel för att påvisa att påståendet är falskt. Läxa b) a < b ger 0 < b a och c < d ger 0 < d c. Från a d < b c får vi 0 < b a+d c. Eftersom b a > 0 och d c > 0, så måste summan av dessa alltid vara > 0. Påståendet är sant. Läxa c) Om vi startar med med a < b och multiplicerar vänstra ledet med c, högra med d och givet c < d, så kan man tycka att olikheten förstärks. Eller om d > 0 så får vi c a c d < 1 detta ger d < a < b. Detta är dock inget fullständigt bevis! Om a = och b = 1 så gäller att a < b. Om c = 5 och d = så gäller c < d. Men ac bd eftersom 10 4 och påståendet är alltså falskt. Läxa d) Så länge a,b > 0 kan vi multiplicera båda leden med ab och enkelt få a < b, vilket var givet. Men vad händer om till exempel a = 1 och b = 1? Också detta påstående är falskt. Håkan Strömberg 1 KTH Syd
14 Läxa t 1 ( 1+t 1 (1 t)(1+t) 1 t 1 ) 1+t = 1 = (1 t)(1+t) (1+t) (1 t) = 1 t t = 1 t t +t 1 = 0 t = 1± 1+1 t 1, = 1± Läxa a) Om x > 0 får vi direkt x > 5 Om x < 0 får vi först x < 5. Men eftersom x < 0 så får vi i detta fall x < 0, som vi kombinerar till svaret x < 0 eller x > 5 Läxa b) Vi startar med att samla allt på en sida och på ett bråkstreck Svar: x < 1 eller x > 1 ( x) x <0 x 1 x <0 x < 1 x = 1 1 < x < x = x > x x x 1 x 0 + odef Läxa c) Vi startar med att samla allt på en sida och på ett bråkstreck Svar: x < 0 eller x > 1 Läxa d) x x 1 > x x 1 > 0 x < 0 x = 0 0 < x < 1 x = 1 x > 1 x x x x odef + x > 1 x+4 x 1 x+4 > 0 (x+4) (x ) (x )(x+4) > 0 14 (x )(x+4) > 0 Håkan Strömberg 14 KTH Syd
15 x < 4 x = 4 4 < x < x = x > x 0 + x (x )(x+4) + odef odef + Svar: x < 4 eller x > Läxa b) Läxa e) Läxa a) Läxa b) 4 = +( 1)+( 4)+5+ = 5 k=0 = ( 1)( 4)5 = 0 k=1 5! = = 10! 4! = = 1 4 I boken hänvisar man ofta till Maple och MatLab. Att använda datorer för att lösa matematiska problem är ett nytt synsätt som tyvärr inte slagit igenom på många högskolor. Personligen anser jag det självklart att en blivande högskoleingenjör ges möjlighet att stifta bekantskap med dessa kraftfulla verktyg. I denna kurs ska vi använda ett tredje verktyg, Mathematica, som kanske är det kraftfullaste av dem alla (personlig uppfattning). Vi ska inte bara använda Mathematica för att slippa räkna för hand. Tanken är att Mathematica ska hjälp oss att också förstå matematiken. Samtidigt ska vi räkna en hel del för hand. Vi ska se vad kombinationen av ett snabbt och noggrant räknehjälpmedel och traditionell handräkning kan göra för oss. Alla studenter vid KTH kan gratis ladda ned Mathematica via programdistribution, progdist.ug.kth.se/public/. Det är av största vikt att du lär dig använda Mathematica eftersom det är ett tillåtet hjälpmedel vid tentamen och du kommer att få svårt att klara tentamen utan hjälp av Mathematica. Olikheter Olikheter löser vi med hjälp av funktionen Reduce, som är ett kraftfullare verktyg än Solve, som inte fungerar alls på olikheter. För exempel ovan skriver vi Reduce[x/(x-1)>=] och får svaret 1 < x Med hjälp av Plot får vi en känsla för för svaret. Håkan Strömberg 15 KTH Syd
16 Plot[x/(x-1)-,{x,0.6,1}] Ekvationer med absolutbelopp Till nöds kan man använda Solve, men Reduce är att föredra. När man använder Reduce kan man tvingas skriva Reduce[Abs[x+]==5,x,Reals] för att slippa få med de komplexa lösningarna. Reals betyder att man endast är intresserad av reella lösningar. Olikheter med absolutbelopp Här använder vi i samma verktyg som i de två tidigare rubrikerna. En Plot skadar inte. Under denna rubrik kommer till varje föreläsning att presenteras ett problem som bygger på logiskt tänkande och mer problemlösning än många av de matematiska problem vi kommer att lösa. Dela bröd och pengar Två luffare, A med bröd och B med 5 bröd, hade just satt sig vid vägkanten för att äta, då en tredje luffare, C, kom förbi. C hade ingen egen mat, utan betalade sin andel med 8 kr. Hur skulle detta belopp fördelas rättvist mellan A och B, om maten delats lika mellan de tre luffarna? Svar huvudräkning 1. > större än mindre än eller lika med större än eller lika med < mindre än Svar huvudräkning. x + y kan aldrig vara större än x + y Svar huvudräkning. Det är förstås en andragradsekvation med rötterna x 1 = och x = Svar huvudräkning 4. Den har ingen lösning, x kan aldrig vara mindre än 0. Svar huvudräkning 5. a = ger x +x+1 = 0 som i sin tur kan skrivas (x+1) = 0. Ekvationens två rötter är x 1, = 1 Håkan Strömberg 16 KTH Syd
Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}
Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att
Läs merKOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas
Läs merMoment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.
Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n
Läs merPolynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0
Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst
Läs merKomposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.
Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln
Läs merSidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c
Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +
Läs merEkvationslösning genom substitution, rotekvationer
Sidor i boken -3, 70-73 Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer Rotekvationer Med en rotekvation menas en ekvation, i vilken den obekanta förekommer under ett rotmärke. Observera att betecknar
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1 1106 d) 1107 d) 5t(t t 1) t (t 3) + t 3 5t 3 10t 5t (t 3 3t ) + t 3 5t 3 10t 5t t 3 + 3t + t 3 6t 3 7t 5t Kommentarer: Starta med att multiplicera in faktorerna
Läs merSidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.
Sidor i boken 119-11 Andragradsekvationer Dagens tema är ekvationer, speciellt andragradsekvationer. Men först några ord om ekvationer i allmänhet. En ekvation är en likhet som innehåller ett (möjligen
Läs merEkvationer och olikheter
Kapitel Ekvationer och olikheter I kapitlet bekantar vi oss med första och andra grads linjära ekvationer och olikheter. Vi ser också på ekvationer och olikheter med absolutbelopp och kvadratrötter. När
Läs merLösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.
1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer
Läs mer1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal
Omstuvat utdrag ur R Pettersson: Förberedande kurs i matematik Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal För reella tal gäller som bekant bl.a. följande räkneregler: (a + b) + c = a + (b
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 3.1
Lösningar och kommentarer till uppgifter i.1 102 b) TB: Kör de med dessa uppgifter i det här kapitlet också? Det gör inget, jag börjar bli ganska bra på det. Vi har funktionen fx) = x x 2 24x + 1 och man
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q
Läs merSidor i boken
Sidor i boken 0- Dagens mängdträning gäller ekvationer. Med den algebraträning vi nu har i ryggen bör även de mest komplicerade ekvationerna gå att reda ut. Tillsammans med övningarna i föreläsning 6 täcker
Läs merTATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter
TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av
Läs merBlock 1 - Mängder och tal
Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av talen i R Intervall Absolutbelopp Olikheter 1 Prepkursen
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a
Moment 5.1-5.5 Viktiga exempel 5.1-5.10 Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a Kvadratiska linjära ekvationssystem Vi startar vår utredning med det vi känner bäst till, ekvationssystem
Läs merpolynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner
Vi ar lärt oss derivera en funktion, främst polynom, med jälp av derivatans definition. Vi ar funnit denna teknik ganska krävande. Desto trevligare blir det då att konstatera att det finns enkla deriveringsregler,
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100
När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera. Här ska vi se vad som händer
Läs merGamla tentemensuppgifter
Inte heller idag någon ny teori! Gamla tentemensuppgifter 1 Bestäm det andragradspolynom vars kurva skär x-axeln i x = 3 och x = 1 och y-axeln i y = 3 f(x) = (x 3)(x + 1) = x x 3 är en bra start, men vi
Läs merDeterminant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom de kommer att användas i detta avsnitt. a 11 a 12 a 21 a 22
Moment 5.3, 4.2.9 Viktiga exempel 5.13, 5.14, 5.15, 5.17, 4.24, 4.25, 4.26 Handräkning 5.35, 5.44a, 4.31a, 4.34 Datorräkning Determinant Vi förekommer bokens avsnitt, som handlar om determinanter eftersom
Läs merf(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100
8 Skissa grafer 8.1 Dagens Teori När vi nu ska lära oss att skissa kurvor är det bra att ha en känsla för vad som händer med kurvan när vi sätter in stora tal. Inledningsvis är det ju polynom vi ska studera.
Läs merFrågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1
ATM-Matematik Mikael Forsberg OvnTenta Matematik Skrivtid. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor. Skriv namn på
Läs merLösningar och kommentarer till Övningstenta 1
Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1 1 a b b a a b + b a + 2 (a + b) + b a 2 b2 a 2 + b2 + 2 (a + b) + b a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 a 2 b 2 a 2 + b 2 (a + b) + b + 2 (a b)(a + b)(a + b)
Läs merLinjära ekvationssystem
Sidor i boken KB 7-15 Linjära ekvationssystem Exempel 1. Kalle och Pelle har tillsammans 00 kulor. Pelle har dubbelt så många som Kalle. Hur många kulor har var och en? Lösning: Antag att Kalle har x kulor.
Läs merAvsnitt 1, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 1:1 1:1 Kvadratkomplettering Avsnitt 1, introduktion. Det här är en viktig teknik som måste tränas in. Poängen med kvadratkomplettering är att man direkt kan se om andragradsfunktionen
Läs merFöreläsning 3: Ekvationer och olikheter
Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter En ekvation är en likhet som innehåller en flera obekanta storheter. Exempel: x = 9, x är okänd. t + t + 1 = 7, t är okänd. Vi säger att ett värde på den obekanta
Läs merRepetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter
Läs merf(x) = 1 x 1 y = f(x) = 1 y = 1 (x 1) = 1 y x = 1+ 1 y f 1 (x) = 1+ 1 x 1+ 1 x 1 = 1 1 =
Moment.5,.5.,.5.,.5. Viktiga eempel.0,.,.,.,.,.5,.,.7 Övningsuppgifter.8,.0 abc Inversfunktioner Givet: y = f(), y uttryckt i Sökt : = g(y), uttryckt i y När kan man lösa ut som funktion av y? Sats. Om
Läs mera = a a a a a a ± ± ± ±500
4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att
Läs merLektionsanteckningar. för kursen Matematik I:1
Lektionsanteckningar för kursen Matematik I: 5 0 5 4 4 6 5 0 till mina studenter i TBASA-AV VT05 Håkan Strömberg TBASA-GH4 Planering i matematik I: P 4/5 Lärare: Niclas Hjelm niclas.hjelm@sth.kth.se 08-790
Läs merFler uppgifter på andragradsfunktioner
Fler uppgifter på andragradsfunktioner 1 I grafen nedan visas tre andragradsfunktioner. Bestäm a,b och c för p(x) = ax 2 + bx + c genom att läsa av lämpliga punkter i grafen. 10 5 1 3 5 Figur 1: 2 Vi har
Läs merAndragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7
Andragradsekvationer Tid: 70 minuter Hjälpmedel: Formelblad. Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen Vilket värde har q i ekvationen x = 3x 7? + E Korrekt svar. B (q = 7) x + px + q = 0 (/0/0)
Läs merHär studera speciellt rationella funktioner, dvs kvoter av polynom, ex:.
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 3.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 3 handlar om problemet att avgöra hur en given funktions värden växlar tecken. Här studera
Läs merMatematik för sjöingenjörsprogrammet
Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll Ekvationer 1.1 Förstagradsekvationer.......................... 5.1.1 Övningar............................ 6. Andragradsekvationer..........................
Läs mervilket är intervallet (0, ).
Inledande kurs i matematik, avsnitt P. P..3 Lös olikheten 2x > 4 och uttryck lösningen som ett intervall eller en union av intervall. P..7 Lös olikheten 3(2 x) < 2(3 + x), Multiplicera båda led med 2.
Läs merPolynomekvationer (Algebraiska ekvationer)
Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har
Läs merSidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom
Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett
Läs merÖvningar - Andragradsekvationer
Övningar - Andragradsekvationer Uppgift nr 1 x x = 36 Uppgift nr 2 x² = 64 Uppgift nr 3 0 = x² - 81 Uppgift nr 4 x² = -81 Uppgift nr 5 x² = 7 Ange också närmevärden med 3 decimaler med hjälp av miniräknare.
Läs merMoment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61
Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.0a. 5.0b, 5.0.c, 1 Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång. Kvadratiska
Läs merRepetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p.
Karlstads universitet Leif Ruckman Summasymbolen. Repetition av matematik inför kurs i statistik 1-10 p. I stället för att skriva en lång instruktion att vissa värden skall summeras brukar man använda
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs merSekantens riktningskoefficient (lutning) kan vi enkelt bestämma genom. k = Men hur ska vi kunna bestämma tangentens riktningskoefficient (lutning)?
I figuren ser vi grafen till funktionen f(x) x + Inritad finns dels en sekant, som skär kurvan i punkterna ( 1, 7) oc (4, ). Dessutom finns en tangent som tangerar kurvan i (, 10) Sekantens riktningskoefficient
Läs merFunktioner. Räta linjen
Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter
Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Inga Inga Inga Linjära ekvationssystem Vi har redan tidigare i kursen stött på linjära ekvationssystem. Nu är stunden kommen till en mera systematisk genomgång.
Läs merAvsnitt 3, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 3:1 3:1 Avsnitt 3, introduktion. Teckenstudium Här tränas teckenstudium av polynom och rationella funktioner (som är kvoter av polynom). Metoden går ut på att man faktoriserar
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013
Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) = b) 0 =0 c) 5 = 5 Alltså x 0 et av ett tal x är lika med själva talet x om talet är positivt eller lika med 0 et av x är lika med det
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 1.1Introduktion Introduktion Avsnitt 1 handlar till att börja med om hantering av bråkstreck. Samtidigt ges exempel och övningar
Läs merMoment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då
Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.
Läs mer1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +
Läs merRepetitionsuppgifter inför Matematik 1-973G10. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014
Repetitionsuppgifter inför Matematik - 7G0 Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 4 Facit Repetitionsuppgifter inför
Läs merger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.
KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic
H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ABSOLUTBELOPP Några exempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) 0 =0 c) 5 5 Alltså x Absolutbeloppet av ett tal x är lika med själva talet x om
Läs merFormelhantering Formeln v = s t
Sidor i boken KB 6-8 Formelhantering Formeln v = s t där v står för hastighet, s för sträcka och t för tid, är långt ifrån en nyhet. Det är heller ingen nyhet att samma formel kan skrivas s = v t eller
Läs mer6 Derivata och grafer
6 Derivata och grafer 6.1 Dagens Teori När vi plottar funktionen f(x) = x + 1x 99x 8 med hjälp av dosan kan man få olika resultat beroende på vilka intervall man valt. 00000 100000-00 -100 100 00-100000
Läs merMoment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59
Moment.0-. Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö.9-., Ö.5, Ö.55, Ö.59 Funktioner Definition. En funktion y = f(x) är ett samband mellan variablerna x och y, sådant att ett x-värde motsvaras av högst ett värde
Läs merFör att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 10) skrivs dessa
Avsnitt Olika typer av tal För att räkna upp, numrera, räkna antal och jämföra används ofta naturliga tal. Med vår vanliga decimalnotation (basen 0) skrivs dessa 0,,2,3,...,9,0,,... Samma naturliga tal
Läs merAvsnitt 2, introduktion.
KTHs Sommarmatematik Introduktion 2:1 2:1 Bråkstreck Avsnitt 2, introduktion. Gemensamt bråkstreck. Två fall: Ingen gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel 1 Gemensam faktor i nämnarna (Ex: ) Se Exempel
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson MATRISER MED MERA VEKTORRUM DEFINITION Ett vektorrum V är en mängd av symboler u som vi kan addera samt multiplicera med reella tal c så
Läs mer4 Fler deriveringsregler
4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x
Läs mer9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori
9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om
Läs merAllmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0
Allmänna Tredjegradsekvationen - version 1.4.0 Lars Johansson 0 april 017 Vi vet hur man med rotutdragning löser en andragradsekvation med reella koecienter: x + px + 0 1) Men hur gör man för att göra
Läs merTATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal
TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig
Läs merMatematik 4 Kap 4 Komplexa tal
Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet
Läs merMathematica. Utdata är Mathematicas svar på dina kommandon. Här ser vi svaret på kommandot från. , x
Mathematica Första kapitlet kommer att handla om Mathematica det matematiska verktyg, som vi ska lära oss hantera under denna kurs. Indata När du arbetar med Mathematica ger du indata i form av kommandon
Läs merx2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)
Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merTENTAMEN. Linjär algebra och analys Kurskod HF1006. Skrivtid 8:15-13:00. Tisdagen 31 maj Tentamen består av 3 sidor
TENTAMEN Linjär algebra och analys Kurskod HF1006 Skrivtid 8:15-13:00 Tisdagen 31 maj 2011 Tentamen består av 3 sidor Hjälpmedel: Mathematica samt allt tryckt material Tentamen består av 12 uppgifter,
Läs merFöreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida
Föreläsning 1 Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida http://www2.math.uu.se/ rikardo/ baskursen/index.html Mängdlära * En "samling" av tal kallas för en mängd.
Läs merf (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1
Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: Derivatan blir: f(x) = x 4 x + x + 8 f (x) = 8x x + Men hur
Läs mer1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte
Läs mersanningsvärde, kallas utsagor. Exempel på utsagor från pass 1 är
PASS 7. EKVATIONSLÖSNING 7. Grundbegrepp om ekvationer En ekvation säger att två matematiska uttryck är lika stora. Ekvationen har alltså ett likhetstecken och två deluttryck på var sin sida om likhetstecknet.
Läs merKS övning 1. Problem 1. Beräkna Problem 2. Förenkla. (x 1 3 y
KS övning 1 Problem 1. Beräkna 48 1 3 Problem 2. Förenkla 6 1 3 (x 1 3 y 1 3 )(x 2 3 +x 1 3 y 1 3 +y 2 3 ) Problem 3. I ABC är AB = 15 cm och AC = 12 cm. En rät linje parallell med BC träffar AB i D och
Läs mere x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS B 00 0 kl 8 3 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. Lämna tydliga svar om så är
Läs merUppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.
Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer
Läs merKOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH
KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2.................................
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs mer2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.
HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna
Läs merInduktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I
Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merSidor i boken 8-9, 90-93
Sidor i boken 8-9, 90-93 Absolutbelopp Men först lite om Absolutbelopp., kallas absolutbeloppet av, och är avståndet för till origo på tallinjen. Som bekant är avståndet till origo för talet 4, 4. Detta
Läs merDen räta linjens ekvation
Den räta linjens ekvation Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter dem för första gången är
Läs merx 2 4 (4 x)(x + 4) 0 uppfylld?
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 Datum: 7 september
Läs merVi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.
Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = x 8 6 4 2-3 -2-2 3-2 -4-6 -8 Figur : Vi konstaterar följande: Då
Läs merÖvningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer
LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2012-10-17 DEL A 1. Visa att ekvationen x 3 12x + 1 = 0 har tre lösningar i intervallet 4 x 4. Motivera ordentligt! (4 p) Lösningsförslag. Vi skall
Läs mery y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x
Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för
Läs merLösa ekvationer på olika sätt
Lösa ekvationer på olika sätt I denna aktivitet ska titta närmare på hur man kan lösa ekvationer på olika sätt. I kurserna lär du dig att lösa första- och andragradsekvationer exakt med algebraiska metoder.
Läs merx+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5
Uppgifter med linjära ekvationssystem Tips för att lösa linjära ekvationssystem Då systemet saknar parametrar ställer man direkt upp totalmatrisen. Detta är endast av administrativa skäl, blir mer lättöverskådligt.
Läs merBegreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken.
MÄNGDER Grundläggande begrepp och beteckningar Begreppen "mängd" och "element" är grundläggande begrepp i matematiken. Vi kan beskriva (ange, definiera) en mängd som innehåller ändligt många element genom
Läs mer5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.
Så här hittar man extrempunkter, max-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f(x) med hjälp av i första hand f (x) 1 Bestäm f (x) och f (x) 2 Lös ekvationen f (x) = 0. Om ekvationen saknar rötter
Läs merLAB 1. FELANALYS. 1 Inledning. 2 Flyttal. 1.1 Innehåll. 2.1 Avrundningsenheten, µ, och maskinepsilon, ε M
TANA21+22/ 5 juli 2016 LAB 1. FELANALYS 1 Inledning I laborationerna används matrishanteringsprogrammet MATLAB. som genomgående använder dubbel precision vid beräkningarna. 1.1 Innehåll Du ska 1. bestämma
Läs merKomplexa tal med Mathematica
Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt
Läs merDagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.
Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner f(x) = C a x kan, om man så vill, skrivas om, med basen e, till Vi vet också att
Läs mer