Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Transkript

1 MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen är sanna eller falska Matematisk logik är ett viktigt område i matematik men också i datalogi och andra vetenskapsområden Matematisk logik delas oftast i satslogik och predikatlogik SATSLOGIK I satslogiken betraktar vi sammansatta påståenden (utsagor), som vi bildar genom att använda bindeord eller konnektiv ( från latin: conecto som betyder förbinda ) Som standard använder vi följande bindeord: och, eller, ekvivalent, implicerar, icke, som vi definierar i nedanstående tabell Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden I nedanstående exempel visar vi att bindeord bestämmer om ett sammansatt påstående är sant eller falskt Exempel 1 Från påståendena 2+2=10 och 2+2=4 (uppenbart är det första falskt) kan vi bilda ett nytt sammansatt påstående genom att binda de två givna med exempelvis a) och b) eller Då får vi olika sanningsvärden för våra sammansatta påståenden a) Det sammansatta påståendet ( 2+2=10 och 2+2=4 ) är falskt Som vi ser nedan (tabellen för konjunktion), ordet och kräver att båda ingående påståenden är sanna för att deras sammansättning blir sann b) Det sammansatta påståendet ( 2+2=10 eller 2+2=4 ) är sant Ordet eller kräver att minst ett av ingående påståenden är sant för att deras sammansättning blir sann Beteckningar I matematiken används följande standardbeteckningar Sida 1 av 16

2 Beteckning Tolkning och eller implicerar (medför, om då ) är ekvivalent (om och endast om ) icke existerar (det finns minst ett) för alla, alla, för varje Bindeord som vi använder i matematiken är precis definierade i nedanstående tabeller Konjunktion A B ( A och B ) Låt A och B vara två påståenden (utsagor) Det sammansatta påståendet A B (utläses A och B ) kallas konjunktion Konjunktionen A B är sann om och endast om både A och B är sanna Detta preciserar vi med följande tabell (som är faktiskt en definition av konjunktionen) I tabellen anger vi alla (fyra) fall som kan förekomma och definierar sanningsvärden för A B Att ett påstående är sant betecknar vi med S (=SANT) medan F (=FALSKT) betecknar ett falskt påstående A B A B (A och B) S S S S F F F S F F F F Exempelvis, det sammansatta påståendet (2=2 4=3) är ett falskt påstående (enligt rad 2 i ovanstående tabell) medan (2=2 och 4+2=6) är ett sant påstående (enligt rad 1 i ovanstående tabell) Konjunktionen mellan flera påståenden ingående påståenden är sanna A A A 1 2 n är sann om och endast om alla Exempelvis, konjunktionen falsk utsaga (4=2) (2=2 4=4 4=2 5=5) är falsk eftersom den innehåller en Anmärkning: Tecknet kan användas endast mellan två påståenden I vardagsspråk använder man ordet och även i andra sammanhang t ex i följande mening: Anna har klarat matematik och fysik Om vi ska använda tecknet skriver vi detta som Sida 2 av 16

3 (Anna har klarat matematik) (Anna har klarat fysik), dvs måste komma mellan två påståenden (Det är fel att skriva Anna har klarat matematik fysik ) Disjunktion A B ( A eller B ) Låt A och B vara två påståenden (utsagor, satser) Det sammansatta påståendet A B (utläses A eller B ) kallas disjunktion Disjunktionen A B är sann om och endast om minst ett av A, B är sann Detta preciserar vi med följande tabell A B A B (A eller B) S S S S F S F S S F F F Exempelvis, disjunktionen (2=2 5=10) är sann, eftersom minst ett av ingående påståendena är sant (kolla rad 2 i ovanstående tabell) Påståendet (2=3 4+2=10) är falskt (enligt rad 4 i ovanstående tabell) Disjunktionen mellan flera påståenden ett av ingående påståendena är sant A A A 1 2 n är sann om och endast om minst Exempelvis, disjunktionen minst en sann utsaga (5=5) (2=3 4=8 4=2 5=5 ) är sann eftersom den innehåller Implikation Implikationen A B ( A implicerar B ) A B definieras av följande tabell A B A B (A implicerar B) S S S S F F F S S F F S Med andra ord är implikationen falsk endast om den första utsagan är sann medan andra är falsk Sida 3 av 16

4 Exempelvis, implikationen (2=3 4=8) är sann enligt rad 4 i ovanstående tabell, medan (3=3 4=8) är falsk (enligt rad 2) Kommentar Implikationen med A B ) A B används väldigt ofta i matematiken (Betecknas ibland Här är några sätt att uttrycka (utläsa, uttala) implikationen A B : A implicerar B A medför B Om A då B (om A så B) B gäller om A gäller B är en konsekvens av A B är en följd av A A är ett tillräckligt villkor för B B är ett nödvändigt villkor till A Ekvivalens A B ( A är ekvivalent med B ) Ekvivalensen är sann om och endast om A och B har samma sanningsvärde (dvs om båda är sanna eller om båda är falska) A B A B (A är ekvivalent med B) S S S S F F F S F F F S Exempelvis, ekvivalensen (2=3 4=8) är sann enligt rad 4 i ovanstående tabell, medan (2=3 4=4) är falsk (enligt rad 3) Här är några sätt att uttrycka (utläsa, uttala) ekvivalensen A B : A är ekvivalent med B, A gäller om och endast om B gäller, A om och endast om B, (A implicerar B) och (B implicerar A), Sida 4 av 16

5 A är ett tillräckligt och nödvändigt villkor för B (A är en konsekvens av B) och (B är en konsekvens av A) Negation A ( icke A ) Negationen tillämpas på ett påstående Negationen A är sann om A är falskt Negationen är falsk om A är sant Detta definieras i följande tabell A S F A (icke A) F S Exempelvis, ( ) är en sann utsaga medan ( 2 2 4) är en falsk utsaga Notera att ( ) kan skrivas som ( ) SANNINGSVÄRDESTABELLER Vi har ovan precis definierat några bindeord med hjälp av sanningsvärdestabeller Ett annat område där vi använder sanningsvärdestabeller är vid undersökning av mer komplicerade uttryck (formler) i matematisk logik För att undersöka ett komplicerat logiskt uttryck, bygger vi en tabell som innehåller alla möjliga fall för ingående satsparametrar Därefter delar man det logiska uttrycket i elementära delar som behandlas i separata kolonner Hela formeln skrivs i tabellens sista kolonn Exempel 2 Ställ upp en sanningsvärdestabell till logiska uttrycket ( A B) ( B A) Lösning: I första exempel visar vi i separata tabeller hur man ställer upp och fyller i en sanningsvärdestabell (Normalt gör man allt detta i en tabell) i) Vi börjar med en tabell som innehåller alla möjliga fall för ingående parametrar A och B (två värden på A och två på B ger totalt fyra möjliga fall) Dessutom bygger vi kolonner med elementära delar av uttrycket ( A B) ( B A) och den sista kolonnen med hela uttrycket: Sida 5 av 16

6 A B A B B A ( A B) ( B A) S S S F F S F F Först fyller vi ( kolonnvis) sanningsvärden för elementära uttryck (den tredje och fjärde kolonnen) Notera att falsk B A är falsk endast om B är sann och A A B A B B A ( A B) ( B A) S S S S S F F S F S S F F F S S Slutligen bestämmer vi sanningsvärden för hela uttrycket ( A B) ( B A) Vi betraktar konjunktionen mellan den tredje och fjärde kolonnen Därmed får vi följande sanningsvärdestabell: A B A B B A ( A B) ( B A) S S S S S S F F S F F S S F F F F S S S Anmärkning: Om vi jämför ovanstående sanningsvärdestabell med tabellen för ekvivalensen A B A B S S S S F F F S F F F S inser vi att båda logiska uttryck ( formel ) antar samma värde för varje par av värdena på A och B Därför betraktar vi de två logiska uttryck som lika (eller logiskt ekvivalenta) Sida 6 av 16

7 Alltså ( A B) ( B A) A B Tautologier Definition En tautologi är ett logiskt uttryck som är sant för alla möjliga sanningsvärden av ingående satsparametrar Anmärkning Enligt definitionen innehåller den sista kolonnen i tautologins sanningsvärdestabell enbart S (SANN) Anmärkning Om två logiska uttryck F(A,B, ) och G(A,B, ) med samma satsparametrar A,B, är lika då är ekvivalensen mellan dem en tautologi Därmed kan man ersätta F med G i logiska resonemang Parenteser: För att minska antal parenteser i ett logiskt uttryck inför betraktar vi att binder starkare än, (medan och binder lika starkt) Vi betraktar också att, binder starkare än, (medan och är lika starka) Alltså A B betyder ( A) ( B), C D A B betyder ( C D) ( A B) Exempel 3 Ställ upp sanningsvärdestabell för ( A B) ( A B) Lösning: Först bildar vi tillhörande tabell och anger alla elementära delar A B ( A B) ( A B) A S S S F F S F F B A B ( A B) ( A B) Vi fyller tabellen kolonnsvis och får: A B ( A B) ( A B) A B A B ( A B) ( A B) S S S F F F F S S F F S F S S S F S F S S F S S F F F S S S S S Sida 7 av 16

8 Alltså har vi visat att det logiska uttrycket (dvs påståendet) ( A B) ( A B) är sant för alla möjliga sanningsvärden av A och B Med andra ord är ( A B) ( A B) en tautologi Anmärkning Som vi ser från ovanstående tabell är kolonner ( A B) och A B identiska Med andra ord är ( A B) = A B (Detta är en av de Morgans lagar) På samma sätt (genom att ställa upp tillhörande sanningstabeller) kan vi visa att ( A B) = A B (De Morgans lag) Ovanstående formler kan man generalisera till fallet med flera påståenden: m1) ( A1 A2 An ) A1 A2 An (De Morgans lag) m2) ( A1 A2 An ) A1 A2 An (De Morgans lag) Vi kan enklare förstå ovanstående de Morgans lagar om vi tolkar dem i ord: m1) (Det stämmer inte att alla A, A, 2, A A, A, 1 2, A är falsk) 1 n är sanna) = (Minst en av n m2) (Det stämmer inte att minst en av A, A, 2, A A, A, 1 2, A är falska) 1 n är sann) = (Alla n Anmärkning: Liknande de Morgans lagar finns också i mängdlära PREDIKATLOGIK Predikatlogiken betraktar påståenden som innehåller en eller flera variabler Här är några sådana påståenden: I nedanstående (tre ) påståenden betecknar y, z reella tal i) x > 5 Sida 8 av 16

9 Detta är ett påstående med en variabel x ( sk 1-ställigt predikat) Om vi ger ett värde till variabeln x då får vi en utsaga (som kan vara sann eller falsk) Exempelvis om x=3 då är x> 5 dvs 3>5 en falsk utsaga Om vi t ex väljer x=14 då är x> 5 dvs 14>5 en sann utsaga ii) x+y =10 är ett påstående med två variabler (sk 2-ställigt predikat) Om vi ger konkreta värden till x och y då får vi en utsaga (som kan vara sann eller falsk) iii) x+y>z+8 är ett påstående med tre variabler (sk 3-ställigt predikat) Om vi ger konkreta värden till x,y och z då får vi en utsaga (som kan vara sann eller falsk) På liknande sätt kallas ett påstående med n variabler för n-ställigt predikat En utsaga kan betraktas som ett 0-ställig predikat Kvantifikatorer och Beteckning Tolkning Namn existerar (det finns minst ett) existenskvantifikator för alla ( varje, för varje) allkvantifikator Varje användning av en kvantifikator binder en variabel i efterföljande predikat På detta sätt minskas antalet fria variabler i predikaten Exempelvis x y 10 är ett 2-ställig predikat (dvs vi har två fria variabler i påstående) medan x : x y 10 (som vi uttalar det finns minst ett x sådant att x+y=10) är ett 1-ställig predikat (x är bunden och vi har endast en fri variabel Påståendet (där x och y är reella tal) ( x )( : x y 10 (som uttalas det finns minst ett x och det finns minst ett y sådana att x+y=10) har båda två variabler bundna och därmed ingen fri variabel Detta är en utsaga (0-ställig predikat) och därmed kan vi bestämma om utsagan är sann eller falsk Uppenbart har vi en sann utsaga T e om x=5 och y=5 har vi 5+5=10 Sida 9 av 16

10 Skrivsätt för påståenden som innehåller kvantifikatorer I ett matematiskt påstående är väldigt viktigt att ange tillåtna område för varje variabel som ingår i påståendet Att en variabel x ligger i mängden A betecknar vi x M och uttalar x tillhör M, x ligger i M eller x är element i M Här är några exempel på skrivsätt där kvantifikatorer är inblandade Beteckning Tolkning ( x M ) : P( x) För alla x i M gäller P(x) ( x M ) : P( x) Det finns x i M så att P(x) ( x M )( y N ) : P( För alla x i M och y i N gäller P( ( x M )( y N ) : P( Det finns x i M så att för alla y i N gäller P( ( x M )( y N ) : P( För varje x i M finns det y i N så att P( ( x M )( y N ) : P( Det finns x i M och det finns y i N så att P( Talmängder Här finns beteckningar av ofta förekommande talmängder sk standardtalmängder N={0, 1, 2, 3, }, mängden av alla naturliga tal (I några böcker N={1,2,3, }) Z={ 3, 2, 1,0, 1, 2, 3, 4, }, mängden av alla hela tal m Q={ ; där m, n är hela tal och n 0 }, mängden av alla rationella tal n R, mängden av alla reella tal C ={a+bi; där a och b är reella tal och i 2 = 1}, mängden av alla komplexa tal För att beteckna positiva heltal och negativa heltal använder vi Z + och Z På motsvarande sätt använder vi Q +, Q, R + och R Sanningsvärdet av ett logiskt påstående som innehåller variabler och kvantifikatorerna och, beror av mängden som innehåller variablerna Exempel 4 Beskriv med ord och bestäm om följande påståenden är sanna a) ( x R) : x 5 b) ( x N ) : x 5 c) ( x N ) : x 5 Sida 10 av 16

11 d) ( x Z ) : x 5 ( R, N och Z betecknar reella, naturliga och hela tal) Svar: a) Varje reellt tal är större än 5 Detta är ett falskt påstående (t ex det reella talet 10 är mindre än 5) b) Varje naturligt tal är större än 5 Detta är ett sant påstående för N={0, 1, 2, 3, } c) Det finns minst ett naturligt tal som är mindre än 5 Falskt påstående d) Det finns minst ett heltal som är mindre än 5 Sant påstående för Z={ 3, 2, 1,0, 1, 2, 3, 4, } Exempelvis 6 är ett helt tal som är mindre än 5 Negationen av ett påstående som innehåller kvantifikatorer Här finns två viktiga regler om negationen av ett påstående med en kvantifikator r1) ( x M ) : P( x) ( x M ) : P( x) Alltså, vid negationen av, ändras till och P (x) till P(x) Regeln är enkelt att förstå om vi tolkar den med ord: {Det är inte sant att för alla x i M gäller P(x)}= {Det finns minst ett x i M så att P(x) är falskt) r2) ( x M ) : P( x) ( x M ) : P( x) Alltså, vid negationen av, ändras till och P (x) till P(x) Tolkning: {Det är inte sant att för minst ett x i M gäller P(x)}= {För alla x i M är P(x) falskt) Ovanstående regler kan man stegvis tillämpa på ett påstående med 2 eller flera kvantifikatorer Exempel 5: a) ( x M )( y N ) : P( ( x M ) ( y N ) : P( ( x M )( y N ) : P( b) ( x M )( y N ) : P( Sida 11 av 16

12 ( x M ) ( y N ) : P( ( x M )( y N ) : P( Anmärkning: Sådana komplicerade negationer används oftast i matematiska bevis ============================================================== ÖVNINGAR: Uppgift 1 Ställ upp sanningsvärdestabeller till följande logiska uttryck: a) A ( A), b) A ( A) Notera att vi har endast en komponent A och därmed endast två möjliga fall i tabellen A=sann och A=falsk Lösning: a) A A (icke A) A ( A) S F F F S F Kommentar: Påståendet A ( A) är alltid falskt eftersom A och icke-a inte kan vara sanna samtidigt b) A A (icke A) A ( A) S F S F S S Kommentar: Påståendet A ( A) är alltid sant eftersom minst en av A eller icke-a måste vara sant Uppgift 2 Ställ upp sanningsvärdestabeller till följande logiska uttryck: a) ( A B) B, b) ( A B) ( A B) c) ( A B) A d) ( A B) ( A B) e) Är någon av a),b) c) eller d) en tautologi? Sida 12 av 16

13 Notera att vi har 2 komponenter A och B i ovanstående uttryck Därmed har vi 4 kombinationer för deras sanningsvärden (A kan vara S eller F, samma gäller för B så att vi har totalt kombinationer) Lösning: a) A B A B B ( A B) B S S S S S S F F F S F S F S S F F F F S Uttycket ( A B) B är en tautologi eftersom det är sant för alla sanningsvärden på A och B Anmärkning Vi skrev på nytt kolonn B endast för att enklare bestämma sanningsvärdet för implikationen ( A B) B (vi kunde titta direkt i andra kolonnen) b) c) A B A B A ( A B) A S S S F F S F F F S F S F S S F F F S S d) e) a och d är tautologier Uppgift 3 Ställ upp sanningsvärdestabeller till följande logiska uttryck: a) ( A B) C, b) ( A B) ( B C) c) Är någon av a), b) en tautologi? Notera att vi har 3 komponenter A, B och C i ovanstående uttryck Därmed har vi kombinationer för deras sanningsvärden Sida 13 av 16

14 Lösning: a) A B C A B C ( A B) C S S S S S S S S F S F F S F S F S S S F F F F S F S S F S S F S F F F S F F S F S S F F F F F S Logiska uttrycket är inte en tautologi (det finns ett F i resultatet) Uppgift 3 Visa att A B och B A har lika sanningsvärdestabeller Med andra ord bevisa att A B = B A (för alla sanningsvärden på A och B) Lösning: Först bestämmer vi tabellen för A B A B S S S S F F F S S F F S A B Nu bestämmer vi tabellen för B A A B B A B S S F F S S F S F F F S F S S F F S S S A Vi ser att A B och B A har lika sanningsvärdestabeller som vi skriver A B = B A Anmärkning: Formeln A B = B A används oftast i matematiska bevis Sida 14 av 16

15 Anmärkning Istället för = skriver man i några böcker (utläses identisk lika ) mellan två lika logiska formler, för att betona att likheten gäller för alla möjliga val av ingående komponenter Uppgift 4 Visa att A ( B C) och ( A B) ( A C) har lika sanningsvärdestabeller Med andra ord bevisa att A ( B C) = ( A B) ( A C) Lösning: Först bestämmer vi tabellen för A ( B C) A B C B C A ( B C) S S S S S S S F F S S F S F S S F F F S F S S S S F S F F F F F S F F F F F F F Nu bestämmer vi tabellen för ( A B) ( A C) A B C A B A C ( A B) ( A C) S S S S S S S S F S S S S F S S S S S F F S S S F S S S S S F S F S F F F F S F S F F F F F F F Alltså är A ( B C) = ( A B) ( A C) Uppgift 5 Visa att A ( B C) och ( A B) ( A C) har lika sanningsvärdestabeller Med andra ord bevisa att A ( B C) = ( A B) ( A C) Lösning: (Använd metoden som i föregående uppgift) Sida 15 av 16

16 Uppgift 6 Beskriv med ord och bestäm om följande påståenden är sanna a) ( x R): x 2 0 b) ( x N ) : x 10 c) ( x N ) : x 10 d) ( x Z ) : x 13 e) ( x N ) : x 13 ( R, N och Z betecknar reella, naturliga och hela tal) Svar: a) För alla reella tal x gäller x 2 0 Detta är ett sant påstående (kvadrat av ett reellt tal är alltid 0 ) b) Varje naturligt tal är 10 Detta är ett falskt påstående (T ex det naturliga talet 11>10) c) Det finns minst ett naturligt tal som är mindre än 10 Sant påstående (exempelvis 5<10) d) Det finns minst ett heltal som är 13 Sant påstående (exempelvis 20 13) e) Det finns minst ett naturligt tal som är 13 Falskt påstående eftersom naturliga tal är 0 Sida 16 av 16