F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "F. Drewes Datavetenskapens grunder, VT02. Lite logik"

Transkript

1 F Drewes Datavetenskapens grunder, VT02 Lite logik Den här texten är en sammanfattning av logikdelen i kursen Datavetenskapens grunder Den handlar om satslogik och predikatlogik, några av deras viktigaste begrepp och principer samt ett fåtal teorem som formaliserar grundläggande resultat Tack till Lena Kallin-Westin som har läst igenom texten och påpekat en rad språkliga fel! Givetvis är hon varken ansvarig för innehållet eller för språkliga fel och konstigheter som fortfarande finns kvar Om texten har blivit lite bättre kan det dock åtminstone delvis bero på hennes insats 1 Vad är och varför logik? Människor resonerar Det är kanske det som skiljer oss från djuren Men vad är det egentligen som utgör ett rimligt resonemang? Kan man formalisera det som händer när vi resonerar? Om man är intresserad av matematik eller filosofi är den här frågan nästan oundviklig Således är det inte särskilt förvånansvärt att logik som en vetenskaplig disciplin föddes i det antika Grekland för mer än 2300 år sedan Platons berömda elev Aristoteles anses allmänt vara logikens far Han var den första som på allvar försökte formalisera de regler som ligger bakom våra logiska resonemang Vad gäller logik blev han en sådan stor auktoritet att ingen vågade kritisera eller vidareutveckla hans system under drygt 2000 år Det hände först på 1800-talet och framförallt i början av 1900-talet då logiken gjorde stora framsteg Drömmen var att man skulle kunna utveckla logiska system för att föra matematiska bevis, eller åtminstone kontrollera deras riktighet, helt automatiskt Några årtionden senare började datavetarna drömma en ganska likadan dröm som också grundades på logik och som kallades för artificiell intelligens Den matematiska drömmen förstördes 1931 när logikern Kurt Gödel visade att sådana system inte fanns, medan den datavetenskapliga varianten har blivit allt mindre ambitiös 1 Men även om den stora drömmen inte längre dröms är datavetenskap utan den formella logiken otänkbar Den finns överallt: inom databasteknik och bildanalys, som programspråk, i medicinska system, när man vill förutsäga börsnoteringar, styra marsrobotrar eller specificera programvara, och inte minst inom teoretisk datalogi där man vill förstå hur och under vilka förutsättningar algoritmer funkar Pga mångfalden av tillämpningsområdena finns det numera inte bara en logik utan många olika typer som skiljer sig främst med avseende på uttryckskraft Beroende på problemet väljer man den logik som passar bäst 1 Den kunde inte förstöras därför att det aldrig hade funnits ett exakt definierat mål 1

2 De två som är mest grundläggande, sats- och predikatlogik, behandlas (mycket kortfattat och ofullständigt) nedan Satslogik handlar endast om logiska påståenden och hur de kan sammansättas till mer komplicerade uttryck Om jag säger jag är en människa är det, ur satslogikens synvinkel, helt enkelt ett påstående p utan inre struktur Låt oss utöka exemplet för att få se vad det innebär Jag är en människa och varje människa måste dö, alltså måste jag dö Här hittar vi tre olika primitiva påståenden Tydligen finns det ett samband mellan dem men det beror på deras innehåll 2 som satslogiken inte kan se Den ser bara en sats på formen p och q implicerar r där p, q och r i princip kan innebära vad som helst Sambandet mellan p, q, och r försvinner alltså Som vi ska se senare är det här den väsentliga skillnaden mellan satslogik och predikatlogik (som medför att satslogik är betydligt enklare än predikatlogik) När vi använder oss av predikatlogik kan vi prata om individer och deras egenskaper, en möjlighet som saknas i satslogik 2 Satslogik Satslogik kan betraktas som ett artificiellt språk på mer eller mindre samma sätt som programspråk Till skillnad mot naturliga språk som svenska eller engelska måste sådana språk definieras exakt Det finns två huvudaspekter som bör hållas isär språkets syntax och dess semantik Syntax handlar om form; definitionen svarar på frågan Hur ska det se ut? medan semantik handlar om betydelse, svarar alltså på frågan Vad betyder det? Dessa två definieras nästan alltid separat pga att det är mycket enklare både att genomföra och att förstå Första steget är att definiera syntaxen Efteråt definieras semantiken endast för syntaktiskt korrekta meningar (som gör saken betydligt lättare) 21 Satslogikens syntax Satslogikens syntax använder sig av en rad olika symboler: gemener (t ex p, q, r,, vid behov också med index) som kallas för atomer, konnektiven ( och ), ( eller ), ( inte ) och ( implicerar ), och 2 De två första handlar om samma egenskap (vara människa), det första och det tredje om samma individ (jag) och de två sista igen om en viss egenskap (vara tvungen att dö) 2

3 parenteser ( ) Symbolerna får kombineras för att bilda uttryck men naturligtvis är inte vilken som helst kombination tillåten Vissa uttryck får skrivas, andra inte Vilka som är tillåtna är precis det som utgör satslogikens syntax Definition 21 (satslogikens syntax) Mängden av alla satslogiska uttryck (kort satser) är den minsta mängden SL sådan att varje atom ingår i SL och om P och Q ingår i SL så är också element i SL (P Q), (P Q), ( P ), och (P Q) Enligt definitionen är alltså t ex ((( q) (p q)) ( q)) en sats Som när man arbetar med aritmetiska uttryck använder man sig av konventioner för att slippa skriva ner alla parenteserna De vanligaste konventionerna är yttre parenteser tas bort, binder starkast, sedan, sedan och sist (man får alltså skriva p q p q istället för (p (q ( p))) q), både och associerar till vänster (p q r s motsvarar alltså ((p q) r) s) 22 Satslogikens semantik Pga definition 21 vet vi alltså numera vilka satser får skrivas (och konventionerna förenklar syntaxen lite) Det återstår således att definierar satsernas semantik Tanken är att varje atom kan få ett sanningsvärde ett värde i mängden B = {T, F } där T står för true (sann) och F står för false (falsk) Konnektiven i en sats tolkas som funktioner på sanningsvärden, som medför att hela uttrycket får ett värde som helt enkelt kan räknas ut Det viktigaste är alltså semantiken för konnektiven Den kan definieras genom sanningsvärdestabeller som visar resultatvärdet för varje kombination av argumentvärden Vi börjar med sanningsvärdestabellen som definierar semantiken för : p q p q T T T T F F F T F F F F Med andra ord, semantiken för är funktionen : B 2 B där { T om p = T = q p q = F annars Observera skillnaden mellan som bara är en symbol (syntax!) och som är en tvåställig funktion (semantik!) På samma sätt definieras : B 2 B, : B B och : B 2 B genom följande sanningsvärdestabeller: 3

4 p q p q T T T T F T F T T F F F p p T F F T p q p q T T T T F F F T T F F T Nu kan vi avsluta definitionen av satslogikens semantik Definition 22 (tolkning) En tolkning t är en funktion som tilldelar varje atom p ett sanningsvärde t(p) B Funktionen t utökas till en tolkning av godtyckliga satser (till en funktion t: SL B alltså) på ett induktivt sätt: För alla satser P, Q definieras t(p Q) = t(p ) t(q), t(p Q) = t(p ) t(q), t( P ) = t(p ), t(p Q) = t(p ) t(q) När man är intresserad av en specifik sats (eller en mängd av satser) räcker det tydligen att specificera sanningsvärdena för de atomer som faktiskt förekommer i satsen Satsens tolkning är ju uppenbarligen oberoende av tolkningen av atomer som inte finns i den Därför kan tolkningarna av en sats sammanfattas i en sanningsvärdestabell Tabellen har en kolumn för varje delsats T ex är sanningsvärdestabellen för p (q p) den följande: 23 Ekvivalens och normalformer p q p q p p (q p) T T F T F T F F T F T T T T T T F T F F En sats P är ekvivalent med en sats Q, P Q, om t(p ) = t(q) för alla tolkningar t Ekvivalens kan alltså kollas mha sanningsvärdestabeller Satsen ovan är t ex ekvivalent med p q Man kan säga att ekvivalenta satser är olika sätt att uttrycka samma sak Syntaktiskt sett kan de vara olika men någon semantisk skillnad mellan dem finns inte Det återspeglar sig i följande teorem Jag utelämnar det lätta induktiva beviset Teorem 23 En delsats i en sats kan ersättas med en godtycklig ekvivalent delsats utan att satsens tolkningar påverkas Vi ska nu se att varje satslogiskt uttryck är ekvivalent med en sats som har en mycket speciell form Formen kallas för konjunktiv normalform En sats P är på konjunktiv normalform (KNF) om den är en konjunktion av disjunktioner av litteraler Satsen är alltså en konjunktion P = P 1 P 2 P n (n 1) 4

5 där varje P i är en disjunktion P i = P i,1 P i,2 P i,mi (m i 1) av litteraler P i,j En litteral är antingen en atom eller en negerad atom Den här satsen är alltså på KNF: (p q r) ( p q) (q r s) p På samma sätt definieras en sats att vara på disjunktiv normalform (DNF) om den är en disjunktion av konjunktioner av litteraler Teorem 24 Varje sats är ekvivalent med en sats på KNF och med en sats på DNF Bevisskiss Enligt teorem 23 kan en sats omskrivas genom att byta ut delsatser mot ekvivalenta delsatser Vi behöver alltså endast visa hur ekvivalenser kan användas för att omskriva en godtycklig sats till KNF respektive DNF Med hjälp av ekvivalensen P Q P Q kan alla implikationstecknen tas bort ur satsen Nästa steg är att använda sig av demorgans regler (P Q) P Q och (P Q) P Q samt ekvivalensen P P Appliceras de (från vänster till höger) så länge som möjligt får man en sats där negationer endast förekommer i litteraler Satsen består således uteslutande av,, och litteraler Omskrivningen avslutas mha de distributiva lagarna P (Q R) (P Q) (P R) (för att få en sats på KNF) respektive P (Q R) (P Q) (P R) (för att få en sats på DNF) För att vara noga bör nämnas att man dessutom använder sig av de kommutativa lagarna P Q Q P och P Q Q P samt de associativa lagarna P (Q R) (P Q) R och P (Q R) (P Q) R 24 Bevissystem En viktig motivering för att skapa formella logiska system är att man gärna vill ha ett helt formellt sätt att föra bevis Vanligtvis vill man visa att en sats är sann under alla tolkningar Sådana satser kallas för tautologier Man säger också att de är giltiga För att visa att en sats är en tautologi kan man använda sig av två olika metoder Den första är den semantiska metoden: Det konstrueras helt enkelt en sanningsvärdestabell T exä är (p q) p q en tautologi; den tillhöriga kolumnen innehåller endast värdet T : p q p q p (p q) p (p q) p q T T T F F T T F T F F T F T T T T T F F F T F T Metoden funkar utan tvivel men den har en rad nackdelar i alla fall: Metoden är tråkig 5

6 Tabellen kan bli mycket stor (om satsen innehåller n olika atomer består tabellen av 2 n rader) Man får ingen bättre förståelse av satsen och de logiska förhållandena som medför att den faktiskt är giltig Metoden kan bara användas i samband med satslogik När det inte längre handlar om ett ändligt antal möjligheter som måste kollas blir den onyttig Den andra metoden är den syntaktiska Där (uppfinns och) används ett regelsystem som gör det möjligt att härleda giltiga satser I princip får ett sådant system se ut hur som helst Två viktiga aspekter bör dock beaktas Krav Systemet måste vara sunt, dvs endast giltiga satser får kunna härledas Önskemål Systemet ska helst vara fullständigt, dvs alla giltiga satser skulle kunna härledas Varför är det sista ett önskemål istället för ett krav? Förklaringen är att det ofta inte kan uppfyllas om man inte vill strunta i sundheten Det är precis det som Kurt Gödel visade 1931: Så fort man når en viss uttryckskraft med sina logiska system är det omöjligt att konstruera ett bevissystem som både är sunt och fullständigt Givetvis är det ingen idé att tillåta system som inte är sunda I allmänhet kan målet alltså på sin höjd vara att konstruera system som är sunda men dessutom så fullständiga som möjligt Lyckligtvis är satslogik så enkel att Gödels teorem inte gäller för den Med andra ord, det finns bevissystem som både är sunda och fullständiga Vi ska nu diskutera ett av de, som som så många andra använder sig av inferensregler En inferensregel skrivs oftast P 1,, P n Q där P 1,, P n och Q är satsscheman (dvs de kan innehålla variabler som står för godtyckliga delsatser) Regelns betydelse är: Om satser på formen P 1,, P n redan har härletts får också satsen Q härledas De tre prickorna kan översättas med alltså, och således De används traditionellt när inferensregler skrivs ner Personligen tycker jag att de är överflödiga och tar bort de i våra 7 regler P Q, P Q modus ponens (MP) P Q, Q P modus tollens (MT) P, Q P Q och-1 P Q P och-2 P P Q eller-1 P Q, Q P eller-2 P Q, Q R P R impl 6

7 De regler som innehåller P Q eller P Q får också användas med ombytta roller vad gäller P och Q För att göra listan helt fullständig borde alltså egentligen läggas till 3 regler Inferensreglerna används i samband med 3 bevisregler som anger hur en sats kan härledas Anta att vi vill bevisa att en sats P 1 P n Q är en tautologi P 1,, P n kallas för premisserna och målet är att visa att de implicerar Q 3 Ett bevis är en lista av satser som börjar med premisserna och slutar med Q Man använder en rad per sats Raderna numreras och på varje rad antecknas vilken regel som har applicerats på vilka tidigare rader för att få satsen Direkt bevis (DB) I ett direkt bevis appliceras helt enkelt inferensreglerna för att nå Q utgående från P 1,, P n Beviset har alltså den här formen: Rad Sats Kommentar 1 P 1 (premiss) 2 P 2 (premiss) n P n (premiss) n+1 P n+1 (rader, applicerad regel) m P m = Q (rader, applicerad regel) premisser satser som härleds mha inferensregler Ett direkt bevis kan t ex användas för att visa att ( p q) (p r) r q r är en tautologi: 1 p q (premiss) 2 p r (premiss) 3 r (premiss) 4 p (2,3, MT) 5 q (1,4, MP) 6 q r (5, eller-1) Underbevis (UB) Ibland är situationen inte så enkel som ovan Då kan det vara nödvändigt att föra underbevis i ett bevis för att härleda en implikation som behövs Underbevis funkar precis som vanliga bevis De har sina egna premisser och ska avslutas med slutsatsen som man vill nå För att optiskt 3 Att endast betrakta satser av den här formen medför ingen inskränkning därför att vi tillåter n = 0 Ifall n = 0 tas pilen bort så att det bara är Q som står kvar 7

8 skilja underbevis från omgivningen används indrag: Rad Sats Kommentar } rader före underbeviset k+1 P 1 (premiss UB) k+2 P 2 (premiss UB) k+l P l underbeviset pågår (premiss UB) m Q ( ) m+1 P 1 P l Q (resultat UB) } } underbevisets resultat beviset fortsätts Självklart får underbevis i sin tur innehålla underbevis osv Observera att det här skapar en blockstruktur med scoping som i programspråk Inom underbeviset får man inte bara använda sig av lokala satser som har härletts i själva underbeviset utan också av de icke lokala satserna som har härletts tidigare (dvs i det omslutande beviset) Däremot är underbevisets lokala satser inte längre synliga när huvudbeviset fortsätts Deras korrekthet beror ju på underbevisets premisser som vanligtvis inte kan härledas i huvudbeviset Indirekta bevis (IB) Indirekta bevis kan ses som en sorts underbevis också Om man vill härleda Q kan man börja med Q som premiss och härleda en motsägelse en sats på formen R R Motsägelsen avslutar det indirekta beviset av Q: Rad Sats Kommentar k Q (premiss IB) m R R ( ) m+1 Q (resultat IB) Ett enkelt exempel är satsen (p r) (q r) (p q r) } rader före indirekt underbeviset härledning av en motsägelse } } underbevisets resultat beviset fortsätts som kan bevisas mha ett underbevis som i sin tur använder sig av ett indirekt underbevis: 8

9 1 p r (premiss) 2 q r (premiss) 3 p q (premiss för UB) 4 r (premis för IB) 5 p (1,4, MT) 6 q (2,4, MT) 7 q (3,5, eller-2) 8 q q (6,7, och-1 motsägelse!) 9 r (resultat IB) 10 p q r (resultat UB) För att förenkla bevis kan man, utöver de diskuterade reglerna, använda sig av ekvivalenser för att omskriva uttryck Dessutom får tautologier som har bevisats i tidigare bevis alltid skrivas ner på en ny rad (Observera att en sådan rad kan alltid ersättas med respektive underbevis Det ger alltså inget nytt förutom bättre läsbarhet) På det här viset kan äldre resultat återanvändas och stora bevis kan delas upp i mindre stora 3 Predikatlogik Vi ska nu diskutera ett rikare språk än satslogik: första ordningens predikatlogik Även om den är den enklaste typen av predikatlogik (som attributet första ordningen antyder) är den lämplig för att beskriva en stor mängd av resonemang Låt oss betrakta samma meningen som i början: Jag är en människa och varje människa måste dö, alltså måste jag dö I predikatlogik har vi tillgång till (symboler som betecknar) individer och vi kan uttrycka att något (ett predikat) gäller för dem Dessutom används konnektiven från satslogiken och kvantifierarna och som uttrycker att något gäller för alla individer respektive att det finns en individ som uppfyller kravet Specifika individer kallas för konstanter medan de som används i samband med kvantifierare heter variabler Resonemanget ovan kan således formaliseras så här: m(jag) x (m(x) d(x)) d(jag) Predikatsymbolerna m och d står för vara människa respektive vara tvungen att dö Observera att uttrycket har samma grovstruktur som dess satslogiska version p q r där p står för m(jag), q för x (m(x) d(x)) och r för d(jag) Det satslogiska uttrycket är en abstraktion av den predikatlogiska formeln där man bortser från den inre strukturen i p, q och r Vi ska nu definiera syntaxen och semantiken för första ordningens predikatlogik Som vanligt börjar vi med syntaxen Den bygger på följande symboler: konstanter a, b, c,, variabler x, y, z,, 9

10 funktionssymboler f, g, h,, predikatsymboler p, q, r,, konnektiven,,,, kvantifierarna (eller kvantifikatorerna) ( för alla ) och ( det finns ) och parenteser och komman Varje funktionssymbol och predikatsymbol har dessutom en ställighet n 1 som anger hur många argument den kräver T ex är både m och d ettställiga i exemplet ovan Exemplet innehåller inga funktionssymboler men i allmänhet är funktionssymboler väldigt nyttiga När man t ex vill uttrycka att varje människas mor är en människa så tar man en ettställig funktionssymbol mor och kan då skriva x (m(x) m(mor(x))) De uttryck som består av konstanter, variabler och funktionssymboler kallas för termer Deras formella definition ser ut så här: Definition 31 (syntax för termer) Mängden av alla termer är den minsta mängden T som innehåller varje konstant och varje variabel och varje uttryck f(s 1,, s n ) där f är en n-ställig funktionssymbol och s 1,, s n T Om man alltså t ex har konstanter a, b, en tvåställig funktionssymbol f och en ettställig funktionssymbol g så är f(g(a), f(b, g(a))) en term enligt definitionen När man har funktionssymboler som t ex + skriver man ofta s 1 + s 2 istället för +(s 1, s 2 ) för att öka läsbarheten Nu kan syntaxdefinitionen avslutas genom att definiera predikatlogiska formler Definition 32 (syntax för formler) Mängden av alla formler i första ordningens predikatlogik är den minsta mängden PL som innehåller varje atomär formel (eller atomisk formel) p(s 1,, s n ) där p är en n- ställig predikatsymbol och s 1,, s n är termer, alla uttryck (P Q), (P Q), ( P ) och (P Q) där P, Q PL och alla uttryck ( x P ) och ( x P ) där P, Q PL Vad gäller ( x P ) eller ( x P ) så kallas P för räckvidden av x respektive x För att minska parenteserna används samma konventioner som i satslogik, med tillägget att x och x binder starkast av alla En (förekomst av en) variabel x i en formel är bunden om den ligger inom räckvidden av ett x eller x; annars är den fri I formeln r(x) x y p(y) q(x, y) är endast den första förekomsten av y bunden, alla andra är fria Om vi istället skriver r(x) x y(p(y) q(x, y)) så är bara den första förekomsten av x fri 10

11 Predikatlogikens semantik definieras i princip likadant som satslogikens: Man väljer en tolkning av de förekommande symbolerna och får då en tolkning av hela formeln som resulterar i ett sanningsvärde Skillnaden är att tolkningen av symbolerna blir mer komplicerade pga att man måste tolka konstanter och variabler som individer i någon domän, funktionssymboler som funktioner och predikatsymboler som predikat Dessutom måste naturligtvis definitionen av x P och x P preciseras Definition 33 (predikatlogikens semantik) En tolkning t av en formel P tilldelar varje konstant a och varje variabel x en individ t(a) respektive t(x) i en icke tom mängd D (tolkningens domän), varje n-ställig funktionssymbol f en funktion f t : D n D och varje n-ställig predikatsymbol p en funktion p t : D n B (en predikat) Tolkningen av hela formeln definieras induktivt så här: t(f(s 1,, s n )) = f t (t(s 1 ),, t(s n )) för termer f(s 1,, s n ), t(p(s 1,, s n )) = p t (t(s 1 ),, t(s n )) för atomära formler p(s 1,, s n ), t(p Q) = t(p ) t(q), t(p Q) = t(p ) t(q), t( P ) = t(p ), t(p Q) = t(p ) t(q) för alla formler P, Q (som i satslogik) och för alla formler P { T om tx=d (P ) = T för alla d D t( x P ) = F annars och { T om tx=d (P ) = T för något d D t( x P ) = F annars Här betecknas med t x=d den tolkning som är lika med t i alla detaljer utom att t x=d (x) = d Vi säger att en formel P är logiskt sann om t(p ) = T för alla tolkningar t Det motsvarar alltså begreppet tautologi på den satslogiska nivån Det ovannämnda exemplet är en sådan logisk sanning Jag avsluter den här korta diskussionen av predikatlogiken med två av de mest berömda resultaten inom logik (Den andra är tvivelsutan det mest berömda resultatet inom logik överhuvud taget) Båda har bevisats av Kurt Gödel Om man så vill kan man säga att det första är den goda nyheten medan den andra är den dåliga Teorem 34 (Gödels fullständighetsteorem) Det finns ett sunt och fullständigt bevissystem 4 för att härleda logiskt sanna formler i första ordningens predikatlogik 4 systemet för satslogiska härledningar plus några ytterligare inferensregler för att handskas med kvantifierare 11

12 Visserligen är teoremet en stor framgång men å andra sidan räcker det att titta på formeln x (x > 1 x x > x) för att upptäcka att man egentligen skulle vilja ha mer än det Formeln ser sann ut men dessvärre är den ingen logisk sanning För att vara logiskt sann måste den vara sann under alla tolkningar Så är självklart inte fallet Vi kan t ex välja mängden av alla strängar som domän och tolka 1 som strängen test, r > s som r är en delsträng i s, och r s som sammanlänkning av r och s I så fall tolkas alltså formeln som För alla delsträngar x i test gäller att xx är en delsträng i x Felet är att vi liksom automatiskt tolkar symbolerna som vi är vana vid, dvs 1 som det naturliga talet ett, > som större än och som multiplikation (och att vi implicit drar slutsatsen att det hela handlar om tal som domän) Men rent logiskt är så naturligtvis inte fallet Först när vi väljer en tolkning lägger vi fast vad som symbolerna ska betyda Men är inte x (x > 1 x x > x) sann och borde inte det kunna formaliseras på något sätt också? Självklart diskussionen ovan visar vägen Vad vi behöver är en så kallad teori: första ordningens predikatlogik med en specifik tolkning av predikat- och funktionssymbolerna Jag ska inte formalisera det i detalj här Det räcker med att föreställa sig att vi betraktar första ordningens predikatlogik med en mängd av symboler som inte får tolkas hur som helst utan har en fast mening Gödels resultat är då den följande Teorem 35 (Gödels ofullständighetsteorem) Det finns inget sunt bevissystem för teorien (N, >, +,, 0, 1) (dvs de naturliga talen med ordningsrelationen >, addition och multiplikation) som samtidigt är fullständigt Samma sak gäller alla andra teorier, eller formella system överhuvud taget, som är minst lika kraftfulla Det bör framhävas att teoremet inte avslöjar ett konstruktionsfel på den formella logiken, eller att logik inte är nyttig Det visar endast att det finns gränser som formella system aldrig kan övervinna Lite filosofiskt kan man säga att varje sak har sitt pris: Genom att begränsa oss till helt formella resonemang får vi resultat som är absolut säkra men absolut säkerhet är ett rejält önskemål så vi borde inte förvånas över att begränsningarna är lika rejäla 4 Från naturligt språk till formell logik några exempel Egentligen är det tämligen lätt att formalisera resonemang Ifall det räcker med satslogik bör man helst inte använda den stora klubban predikatlogik i onödan Ett exempel är Castro är en katt eller en hund Om han är en hund så hatar han katter; annars hatar han hundar Men Castro gillar katter, alltså är 12

13 han en katt [Innan du läser vidare: Är det här ett korrekt resonemang?] För att formalisera det här resonemanget behövs det bara satslogik pga att den inre strukturen i de förekommande primitiva påståendena inte spelar någon som helst roll De primitiva påståendena är k = Castro är en katt h = Castro är en hund hk = Castro hatar katter hh = Castro hatar hundar gk = Castro gillar katter Det motsvarande satslogiska uttrycket är således (k h) Castro är en katt eller en hund (h hk) om han är en hund så hatar han katter ( h hh) annars hatar han hundar gk men Castro gillar katter k alltså är han en katt Tyvärr är resonemanget inte helt korrekt (dvs det är ingen tautologi) Det som saknas är premissen om Castro gillar katter så hatar han inte katter, alltså gk hk När det handlar om formell logik måste även självklarheter nämnas klart och tydligt Försök att bevisa det hela mha det här tillägget! (Det bör visa att en av de andra premisserna faktiskt är överflödig Vilken?) Resonemanget kan formuleras på ett annat sätt: Castro är en katt eller en hund Hundar hatar katter Ingen hatar någon som hon gillar Men Castro gillar katter, alltså är han en katt Helt plötsligt är satslogik inte längre lämplig Det beror på att resonemanget numera handlar om hundar och katter i allmänhet, och vad det betyder med avseende på en enskild individ, nämligen Castro Det att vara en katt respektive hund måste numera uttryckas mha ett predikat Dessutom behövs det predikat för att uttrycka att någon hatar/gillar någon annan Castro representeras av en konstant c = Castro katt(x) = x är en katt hund(x) = x är en hund hatar(x, y) = x hatar y gillar(x, y) = x gillar y och vi får den här formeln: (katt(c) hund(c)) ( x y (hund(x) katt(y) hatar(x, y)) x y (gillar(x, y) hatar(x, y)) x (katt(x) gillar(c, x)) katt(c) Castro är en katt eller en hund (alla) hundar hatar (alla) katter ingen hatar någon hon gillar men Castro gillar (alla) katter alltså är han en katt Naturligt språk är inte entydigt Därför är det ibland en bedömningssak hur man formaliserar ett resonemang I det här fallet preciserade jag Castro gillar 13

14 katter som Castro gillar alla katter En annan möjlighet är att precisera det som Castro gillar minst en katt Då skulle den motsvarande delen i formeln vara x (katt(x) gillar(c, x)) Naturligtvis kan det hända att två olika formaliseringar ger olika resultat I det här exemplet är en av formaliseringarna en logisk sanning men inte den andra Varför? (Tips: I en av formaliseringarna saknas det igen en självklar premiss som är gömd i den andra) De följande två exemplen är uppgifter av Papadimitriou [3] Det första handlar om en gammal engelsk låt Låten börjar Everybody loves my baby, My baby loves nobody but me En lämplig formalisering måste uttrycka att något gäller för alla individer vi behöver alltså kvantifierare och är således tvungna att använda predikatlogik Texten handlar om en relation loves(x, y) mellan individer och om två specifika individer mybaby och me, konstanter alltså Andra raden kan tyckas lite knepigt att formalisera Hur uttrycker vi nobody but me? Lösningen är enkel: Om mybaby älskar någon så implicerar det att denna någon är lika med me Med andra ord, det behövs ett predikat till: = Formaliseringen är därmed x loves(x, mybaby) x (loves(mybaby, x) x = me) Det som kanske är förbluffande är: Formeln implicerar mybaby = me, dvs x loves(x, mybaby) x (loves(mybaby, x) x = me) mybaby = me är en logisk sanning Det oväntade resultatet beror på att första premissen i synnerhet ger loves(mybaby, mybaby) som pga andra premissen implicerar mybaby = me Som sagt naturligt språk är inte speciellt precis Vårt sista exempel är ett citat från Abraham Lincoln: You can fool some people all of the time, and all of the people some of the time, but you cannot fool all of the people all of the time Om vi skriver canfool(x, t) för att uttrycka x can be fooled at time t så kan vi skriva t x canfool(x, t) x t canfool(x, t) x t canfool(x, t) Formaliseringen är okej men faktiskt är det inte heller i det här fallet helt klart vad som egentligen menas Osäkerheten uppstår i formelns första del Formaliseringen ovan är den som Papadimitriou kallar den optimistiska tolkningen: Man kan alltid hitta en person som kan bli lurad men det behöver inte vara samma person vid olika tillfällen Den andra tolkningen är den pessimistiska det finns minst en person som är så otroligt lättlurad att han/hon alltid kan bli lurad: x t canfool(x, t) x t canfool(x, t) x t canfool(x, t) Det är inte svårt att se att den optimistiska versionen är en logiskt följd av den pessimistiska Intuitionen är att om det finns en som alltid kan bli lurad så finns det alltid en som kan bli lurad 14

15 5 Litteratur Boken [2] är en tämligen lättläst introduktion till logik på svenska Den innehåller dessutom två kapitel om grundläggande matematiska begrepp (Mängdlära och Relationer och funktioner) och kan således vara till speciell nytta för de som känner sig osäkra vad gäller matematisk terminologi En bra logikbok för dem som vill fördjupa sig i temat är [1] Den var kursboken till kursen Logik med tillämpningar fram till sista kurstillfället VT02 Sist men inte minst vill jag hänvisa till den ovannämnda boken [3] Den är ingen renodlad logikbok utan handlar egentligen om komplexitetsteori Men dessutom behandlar Papadimitriou en hel del beräkningsbarhet och logik inklusive Gödels ofullständighetsteorem Boken är mycket bra (den bästa boken om komplexitet hittills enligt min uppfattning) och kan bara rekommenderas till alla som vill lära sig mer inom det här området Boken är dock på en ganska hög nivå och läses inte på en helg [1] Mordechai Ben-Ari Mathematical Logic for Computer Science Springer, 2nd edition, 2001 [2] Love Ekenberg and Johan Thorbiörnson Logikens grunder Natur och Kultur, 2001 [3] Christos H Papadimitriou Computational Complexity Addison-Wesley,

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19

Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19 Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori

Läs mer

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.

Sanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden. MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 8: Predikatlogik Henrik Björklund Umeå universitet 2. oktober, 2014 Första ordningens predikatlogik Signaturer och termer Första ordningens predikatlogik Formler

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3 Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer

Läs mer

En introduktion till predikatlogik

En introduktion till predikatlogik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Alla människor är dödliga Sokrates är en människa Sokrates är dödlig Detta argument är intuitivt giltigt: Det finns

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

Varför är logik viktig för datavetare?

Varför är logik viktig för datavetare? Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.

Läs mer

Lite om bevis i matematiken

Lite om bevis i matematiken Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis

Läs mer

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.

Logisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1. UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1

Läs mer

Kap. 7 Logik och boolesk algebra

Kap. 7 Logik och boolesk algebra Ka. 7 Logik och boolesk algebra Satslogik Fem logiska konnektiv: ej, och, eller, om-så, omm Begre: sats, sanningsvärde, sanningsvärdestabell tautologi, kontradiktion Egenskaer: Räkneregler för satslogik

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 4: Konjunktiv och disjunktiv normalform Henrik Björklund Umeå universitet 15. september, 2014 CNF och DNF Konjunktiv normalform (CNF) Omskrivning av en formel

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska kunnas? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska kunnas? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna och gruppövningarna räcker i princip.

Läs mer

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik

p /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig

Läs mer

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 3 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160208 Idag C-regeln, informell (och formell) inledning till predikatlogik (Bevis kommer senare.) 2 3 Vår (Snöfritt Cykla) (Vår Snöfritt) Cykla Lätt

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion

DD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 1 Inledning 2 Satslogik Inledning Satslogiska uttryck Resonemang och härledningar

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 3: Bevissystem, Hilbertsystem Henrik Björklund Umeå universitet 8. september, 2014 Bevissystem och Hilbertsystem Teorier och deduktionsproblemet Axiomscheman

Läs mer

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler

Normalisering av meningar inför resolution 3. Steg 1: Eliminera alla och. Steg 2: Flytta alla negationer framför atomära formler Normalisering av meningar inför resolution På samma sätt som i satslogiken är resolution i predikatlogiken en process vars syfte är att vederlägga att en klausulmängd är satisfierbar. Det förutsätter dock

Läs mer

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna?

Avslutning. Vad? Hur? Anmärkningar inför tentan 2. Vad ska ni kunna? Avslutning Anmärkningar inför tentan Vad ska ni kunna? Avslutning 1 Vad? Anmärkningar inför tentan 1 Att ha en bra förståelse för det som behandlades på föreläsningarna, inlämningsuppgifterna och gruppövningarna

Läs mer

Föreläsning 5. Deduktion

Föreläsning 5. Deduktion Föreläsning 5 Deduktion Hur ett deduktivt system fungerar Komponenter - Vokabulär Ett deduktivt system använder ett visst slags språk som kan kallas för systemets vokabulär. I mindre formella fall är kanske

Läs mer

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2

Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 1 Kursadministration 1. 2 Introduktion 2 2.1 Varför logik?... 2 2.2 Satslogik... 2 Föreläsning 1 Syntax 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 21 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 1.1 Innehåll Innehåll 1 Kursadministration 1 2 Introduktion

Läs mer

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)

Satslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 19. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 19 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Gödels fullständighetsteorem Sundhet och fullständighet Fullständighetsbeviset Vittneskonstanter Henkinteorin Eliminationsteoremet

Läs mer

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf

Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:

Viktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas: FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 5 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Så här långt Konjunktion (p q): att två enklare satser

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik

DD1350 Logik för dataloger. Fö 7 Predikatlogikens semantik DD1350 Logik för dataloger Fö 7 Predikatlogikens semantik 1 Kryssprodukt av mängder Om A och B är två mängder så är deras kryssprodukt A B mängden av alla par (a,b), där a A och b B. Ex: A={1,2}, B={3,4},

Läs mer

Logik: sanning, konsekvens, bevis

Logik: sanning, konsekvens, bevis Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 4)

Semantik och pragmatik (Serie 4) Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.

Läs mer

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 9. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 9 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 9: Introduktion till kvantifiering Vi har hittills betraktat logiska resonemang vars giltighet enbart beror på meningen hos konnektiv som

Läs mer

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar

Innehåll. Föreläsning 7. Satslogiken är för grov. Samma sak i predikatlogik: Första ordningens predikatlogik. Logik med tillämpningar Innehåll Föreläsning 7 Logik med tillämpningar 99-03-01 Första ordningens predikatlogik Objekt, predikat, kvantifierare Funktioner, termer, wffs Bindning och räckvidd Tolkningar och värderingar Satisfiering,

Läs mer

Logik och modaliteter

Logik och modaliteter Modallogik Introduktionsföreläsning HT 2015 Formalia http://gul.gu.se/public/courseid/70391/lang-sv/publicpage.do Förkunskaper etc. Logik: vetenskapen som studerar argument med avseende på (formell) giltighet.

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss Explorativ övning 1 LMA100 vt 2003 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2014-01-10 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 10 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 1 Krav för 4 i betyg 19 poäng, vara minst

Läs mer

8. Naturlig härledning och predikatlogik

8. Naturlig härledning och predikatlogik Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 8. Naturlig härledning och predikatlogik Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2013 Outline 1 Inledning 2 Inferensregler 3 Predikatlogik 8. Naturlig

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

Semantik och pragmatik (Serie 3)

Semantik och pragmatik (Serie 3) Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 8 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160309 Idag Sammanfattning*/uppsamling 2 Mer problemöversikt (och lite definitioner) Inte ersättning för andra föreläsningar! 3 Vad är enlogik? Syntax

Läs mer

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,

Läs mer

9. Predikatlogik och mängdlära

9. Predikatlogik och mängdlära Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Vik$gt a) tänka på Innehållet i kursen formell logik förutsätts vara inhämtat (repetera om du är osäker). I allmänhet gäller att kursinnehållet, som ska instuderas på relativt

Läs mer

En introduktion till logik

En introduktion till logik rasmus.blanck@gu.se FT1200, LC1510 och LGFI52 VT2017 Först: Tack till Martin Kaså, som gett mig tillstånd att använda och bearbeta dessa ljusbilder. Vad är logik? Slogan: Logik undersöker vilka argument

Läs mer

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

Kompletteringsmaterial. K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2008 Kompletteringsmaterial till kursen SF1642, Logik för D1 och IT3: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 8 Axiomatiseringar 1 Modeller och bevisbarhet Sedan tidigare vet vi att: Om en formel Φ är valid (sann i alla modeller) så finns det ett bevis för Φ i naturlig deduktion.

Läs mer

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section

Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013

Logik I. Åsa Hirvonen Helsingfors universitet. Våren 2013 Logik I Åsa Hirvonen Helsingfors universitet Våren 2013 Inledning Logik är läran om härledning. Med hjälp av logiken kan vi säga när ett resonemang är korrekt och när det inte är det. För att kunna studera

Läs mer

Om semantisk följd och bevis

Om semantisk följd och bevis Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt

Läs mer

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan.

Sats. Om t är en rätvinklig triangel så är summan av kvadraterna på kateterna i t lika med kvadraten på hypotenusan. Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart Andersson Föreläsningsanteckningar EDAF10 3 Predikatlogik 3.1 Motivering I satslogiken är de minsta beståndsdelarna satslogiska variabler som kan anta värdena

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger

DD1350 Logik för dataloger DD1350 Logik för dataloger Fö 4 Predikatlogik 1 Kort repetition Satslogik Naturlig deduktion är ett sunt och fullständigt bevissystem för satslogik Avgörbarhet Så vad saknas? Egenskaper Satslogiken är

Läs mer

Hornklausuler i satslogiken

Hornklausuler i satslogiken Hornklausuler i satslogiken Hornklausuler (efter logikern Alfred Horn) är ett viktigt specialfall som tillåter effektiva algoritmer och ligger till grund för regelbaserade expertsystem och logiska programspråk

Läs mer

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden

Läs mer

Logik och bevisteknik lite extra teori

Logik och bevisteknik lite extra teori Logik och bevisteknik lite extra teori Inger Sigstam 2011-04-26 1 Satslogik (eng: propositional logic) 1.1 Språket Alfabetet består av följande symboler: satssymbolerna p 0, p 1, p 2,.... konnektiverna,,,,.

Läs mer

Semantik och pragmatik

Semantik och pragmatik Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,

Läs mer

Filosofisk Logik. föreläsningsanteckningar/kompendium (FTEA21:4) v. 2.0, den 5/ Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen

Filosofisk Logik. föreläsningsanteckningar/kompendium (FTEA21:4) v. 2.0, den 5/ Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium VI v. 2.0, den 5/5 2014 Kompakthet och Löwenheim-skolemsatsen 19.6-19.7 Närhelst vi har en mängd satser i FOL som inte är självmotsägande

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Modeller och uttrycksfullhet hos predikatlogik Department of mathematics Umeå university Föreläsning 10 Dagens föreläsning 1 Innehåll på resten av kursen 2 Varför verifikation? Formella metoder för verifikation

Läs mer

Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström

Predikatlogik: Normalformer. Klas Markström 1 Precis som i satslogik så är det bekvämt att kunna hitta en normalform för meningar. Om vi kan utgå från att alla meningar är på normalform så behöver vi t.e.x. inte bekymra oss om en massa specialfall

Läs mer

Logik. Dr. Johan Hagelbäck.

Logik. Dr. Johan Hagelbäck. Logik Dr. Johan Hagelbäck johan.hagelback@lnu.se http://aiguy.org Vad är logik? Logik handlar om korrekta och inkorrekta sätt att resonera Logik är ett sätt att skilja mellan korrekt och inkorrekt tankesätt

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller

Läs mer

DD1350 Logik för dataloger. Vad är logik?

DD1350 Logik för dataloger. Vad är logik? DD1350 Logik för dataloger Fö 1 - Introduktion Vad är logik? Vetenskapen som studerar hur man bör resoneraoch dra slutsatser utifrån givna påståenden (=utsagor, satser). 1 Aristoteles (384-322 f.kr) Logik

Läs mer

Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler

Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Lektion 8: Konstruktion av semantiska tablåer för PTL-formler Till denna lektion hör uppgift 2, 6 och 0 i lärobokens avsnitt.6 (sid. 255). Lös uppgift 2 genom att konstruera en semantisk tablå. Följande

Läs mer

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren

Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014. Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Institutionen för dataoch systemvetenskap David Sundgren Logik för datavetare DVK:Log Tisdagen 28 oktober 2014 Skrivtid: 9 00-13 00. Inga hjälpmedel utom formelsamlingen på nästa sida är tillåtna. För

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade

Läs mer

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet

Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer

Läs mer

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

Formell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 7 och 8 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 7: Konditionalsatser Kapitlet handlar om konditionalsatser (om-så-satser) och deras logik Idag: bevismetoder för konditionalsatser,

Läs mer

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS

729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 729G06 Logik FÖRELÄSNING 1 ANDERS MÄRAK LEFFLER IDA/HCS 160127 Vad är logik? Som ämne, område... 2 Läran om korrekta resonemang Följer slutsatserna av ens antaganden? 3 Alla hundar är djur. Alla enhörningar

Läs mer

Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin

Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Primitivt rekursiva funktioner och den aritmetiska hierarkin Rasmus Blanck 0 Inledning En rad frågor inom logiken, matematiken och datavetenskapen relaterar till begreppet beräkningsbarhet. En del i kursen

Läs mer

Formell logik Kapitel 10. Robin Stenwall Lunds universitet

Formell logik Kapitel 10. Robin Stenwall Lunds universitet Formell logik Kapitel 10 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 10: Kvantifikatorernas logik Förra gången introducerade vi kvantifikatorer och variabler Vi har därmed infört samtliga symboler i FOL Brännande

Läs mer

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I

FTEA12:2 Filosofisk metod. Att värdera argumentation I FTEA12:2 Filosofisk metod Att värdera argumentation I Dagens upplägg 1. Några generella saker att tänka på vid utvärdering av argument. 2. Grundläggande språkfilosofi. 3. Specifika problem vid utvärdering:

Läs mer

Robin Stenwall Lunds universitet

Robin Stenwall Lunds universitet Robin Stenwall Lunds universitet Avsnitt 10.3 Några nyttiga ekvivalenser Två sätt att använda tautologa ekvivalenser i första-ordningens logik (1) Satser vars sanningsfuntionella former är tautologt ekvivalenta

Läs mer

Föreläsning 6. pseudokod problemlösning logik algoritmer

Föreläsning 6. pseudokod problemlösning logik algoritmer Föreläsning 6 pseudokod problemlösning logik algoritmer Inledning Logik är läran om korrekt resonemang att kunna dra korrekta slutledningar utifrån det man vet. Vi gör detta ständigt utan att tänka på

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori

Grundläggande logik och modellteori Grundläggande logik och modellteori Kapitel 6: Binära beslutsdiagram (BDD) Henrik Björklund Umeå universitet 22. september, 2014 Binära beslutsdiagram Binära beslutsdiagram (Binary decision diagrams, BDDs)

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1

Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet TER1 Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-12-09 Sal (1) TER1 Tid 14-18 Kurskod 729G06 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution Antal

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

Introduktion till predikatlogik. Jörgen Sjögren

Introduktion till predikatlogik. Jörgen Sjögren Introduktion till predikatlogik Jörgen Sjögren Högskolan i Skövde Institutionen för naturvetenskap 2002 - 1 - Förord Det som följer på dessa dryga hundra sidor är ett av otaliga försök som gjorts att presentera

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW

*UXSS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW *USS YQLQJ±/RJLNPHGWLOOlPSQLQJDUYW 8SSJLIW Här kommer några teoretiska frågor, skriv svaren med egna ord, dvs skriv inte av ohbilderna: a. Vad är en beslutsprocedur? En algoritm som terminerar och som

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Digital- och datorteknik

Digital- och datorteknik Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Institutionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Logikgrindar Från data till digitala byggblock: Kursens

Läs mer

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag

Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer , lösningsförslag Tentamen i TDDC75 Diskreta strukturer 2018-10-23, lösningsförslag 1 1. (a) Sanningstabell för uttrycken p q r p q p r r q r p q 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Läs mer

10. Mängder och språk

10. Mängder och språk Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 10. Mängder och språk Sven Gestegård Robertz Institutionen för datavetenskap, LTH 2013 Rekaputilation Vi har talat om satslogik, predikatlogik och härledning

Läs mer

Formell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall

Formell logik Föreläsning 1. Robin Stenwall Formell logik Föreläsning 1 Robin Stenwall Betygskriterier Mål Godkänt Väl godkänt Redogöra för grundprinciperna för härledning och översättning i sats- och predikatlogik. Utföra grundläggande översättningar

Läs mer

2 Matematisk grammatik

2 Matematisk grammatik MATEMATISK GRAMMATIK Matematisk grammatik.1 Skriva matematik Matematisk grammatik, minst lika kul som det låter, och hur man skriver matematik är nästan lika viktigt som vad man skriver. En grammatisk

Läs mer

FTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II

FTEA12:2 Filosofisk Metod. Grundläggande argumentationsanalys II TEA12:2 ilosofisk Metod Grundläggande argumentationsanalys II Dagens upplägg 1. Kort repetition. 2. Logisk styrka: några intressanta specialfall. 3. ormalisering: översättning från naturligt språk till

Läs mer

Lite Kommentarer om Gränsvärden

Lite Kommentarer om Gränsvärden Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()

Läs mer

Första ordningens logik

Första ordningens logik Första ordningens logik Christian Bennet Christian Bennet, februari 2013 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Erkännande- Ickekommersiell-IngaBearbetningar 3.0 Unported license. För att

Läs mer

DD1361 Programmeringsparadigm HT17

DD1361 Programmeringsparadigm HT17 DD1361 Programmeringsparadigm HT17 Logikprogrammering 1 Dilian Gurov, KTH Delkursinnehåll Logisk versus procedurell läsning Kontrollflöde: Unifiering, Backtracking, Snitt Induktiva datatyper och rekursion

Läs mer

Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik

Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik Tentamen i logik 729G06 Programmering och logik 2016-08-19 Poänggränser: På tentan kan du som mest få 25 poäng. Om du har fått 12 poäng är du garanterad åtminstone godkänt betyg, 19 väl godkänt. Tillåtna

Läs mer