1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående"

Transkript

1 MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående 1, 2,, 8, 16, 32, 6, 128, 256, 512, 102, 208, 096, 8192,... (1) och så vidare i all oändlighet (vilket markeras av de tre prickarna). Detta är ett exempel på en oändlig talföljd; följden av 2-potenser. Vi kan skriva 1, 2 1, 2 2, 2 3, 2,... om vi tydligare vill markera detta. Om man inte redan tänkt över det ser man i alla fall nu att det är naturligt att definiera 2 0 som 1, alltså 2 0 = 1. Vi lägger märke till att talföljden inleds med ensiffriga tal. Sedan följer 3 stycken tvåsiffriga tal och 3 stycken tresiffriga tal. Antalet fyrsiffriga tal är återigen. Som ett första forskarprojekt kan det var intressant att studera hur antalet siffror i potenserna växer. Fortsätt talföljden ett stycke till på egen hand, räkna antalet siffror och dokumentera i denna tabell, som jag påbörjat. n antal n-siffriga 2-potenser 3 3 Avgör själv hur länge du vill hålla på. Ser du mönstret? Naturligtvis gör du det:, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,... Nu uppkommer frågan: kan vi vara säkra på att detta mönster håller i sig? Vilket var det största n i din tabell? Det är naturligt att vi känner oss säkrare på mönstret ju längre vi ser att det fortsätter på detta sätt. Hur långt skall vi gå, d.v.s. fram till vilket värde på n, för att vi skall kunna känna oss helt säkra? Se där en fråga att diskutera! Eftersom det är lätt med elektroniska hjälpmedel att fortsätta räknandet ganska långt, så gör vi det. Se nästa sida. 1

2

3 Nu är det bara att räkna antalet 1-, 2- siffriga osv. tal. Vi får sekvensen, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3,, 3, 3, 3,, 3, 3 (2) Mönstret bryts plötsligt med en extra 3:a som markerats med fetstil. På plats nr 31 står en 3:a istället för förväntad :a. Det finns alltså bara 3 stycken 31-siffriga 2-potenser mot förväntat stycken. Denna nyttiga erfarenhet säger oss att vi inte kan sluta oss till att något gäller i det oändliga efter att bara ha kontrollerat ett ändligt antal fall. Ofta betecknar man talen i en talföljd med a 1, a 2, a 3,... eller a 0, a 1, a 2,... eller motsvarande med en annan bokstav än a. Om a 0, a 1, a 2,... är den första följden, följden av 2-potenser, har vi alltså a n = 2 n. Vi kallar detta en explicit formel för a n. Låt oss kalla följden (2) för b 0, b 1, b 2,.... Här är b n = antalet n + 1-siffriga 2-potenser (tänk igenom detta: varför det inte är n-siffriga). Som kortfattad beteckning för hela talföljden skriver man ofta (b n ) 0 istället för b 0, b 1, b 2,.... Vi har ingen explicit formel för b n, men vi hade en hypotes, nämligen att b n = om n är delbart med 3, men b n = 3 annars. Tänk igenom detta noga! Hypotesen visade sig dock vara falsk, d.v.s. inte giltig för alla värden på n. Vi hade b 30 = 3 trots att 30 är delbart med 3. Det krävs erfarenhet för att avgöra om en hypotes är värd att satsa på, och det kan jag väl avslöja att när jag testade hypotesen på min erfarna kollega professor X fick jag svaret: Aldrig i livet! Det håller inte i längden. Fundera över talföljden igen och vad det (känslomässigt) är som gör att mönstret plötsligt bryts. Hade vi rent av kunnat förvänta oss att det skulle ske? 2. En hypotes som visar sig riktig. Nåväl, ibland är en hypotes riktig och då uppstår problemet att försöka bevisa hypotesen. I det här momentet av kursen handlar alla hypoteser på något sätt om naturliga tal: 0, 1, 2, 3,... och vi har redan sett, att det inte säkert räcker att testa hypotesen i ett antal speciella fall. Hypotesen i förra avsnittet stämde upp till n = 29, men inte för n = 30. Naturligtvis finns ingen allmän gräns för hur långt man måste gå för att testa en hypotes. Man kan tänka sig ett mönster som håller i en miljon fall, men sedan icke. Att en hypotes är sann i många fall kan vi se som ett indicium på att den är riktig. Det kombinerat med en känsla (som bygger på erfarenhet) av att hypotesen är riktig, kan vara tillräckligt för att vi så att säga skall satsa på hypotesen. Vi gör då en djupdykning i matematiken och försöker hitta ett bevis av hypotesen. Vi skall nu se ett exempel på en sådan hypotes och låter som förut a n = 2 n. Vi inför en ny talföljd (s n ) 1, där s n är summan av de första n talen i (a n ) 0, d.v.s. summan av de 3

4 första n stycken 2-potenser (obs. att jag valde att börja med n = 1 denna gång). Vi har alltså s 1 = 1 s 2 = = 3 s 3 = = 7 s = = 15 och så vidare. Allmänt kan vi skriva s n = n 1 (3) Observera att den n:e 2-potensen är a n 1 = 2 n 1. Det gäller att vara lite observant på sådana detaljer. En annan detalj värd att påpeka, är konventionen att n 1 om n = skall tolkas som I det fallet står inte för några utelämnade tal. Vi ger summan en tolkning även om n = 3, nämligen , eller n = 2, nämligen och t.o.m. då n = 1, nämligen 1. Vi fortsätter ett tag till och får följden (s n ) 1 = 1, 3, 7, 15, 31, 63, Nog ser du ett mönster här? Varje tal (hittills) är 1 mindre än en 2-potens: 2 1, 2 2 1, 2 3 1,.... eller allmänt s n = 2 n 1, så långt som vi har kontrollerat. Vår hypotes, om vi nu tror på detta, är att s n = 2 n 1 gäller för alla n, d.v.s. att n 1 = 2 n 1 () Att detta är sant kan bevisas på olika sätt och visades redan av Euklides på 300-talet f.kr. (som ett specialfall av ett allmännare resultat om det vi kallar geometriska summor). Vi väljer inte det kanske mest attraktiva beviset här utan ett bevis som visar en användbar teknik, som vi skall se många exempel på i detta kursmoment. Vänsterledet i () är s n. Högerledet 2 n 1 definierar också en talföljd (h n ) 1, där h n = 2 n 1. Vår hypotes är att de två talföljderna är lika. Vi vet att de i alla fall börjar på samma sätt. Vi har ju sett att s n = h n för n = 1, 2, 3,, 5, 6 och 7. Båda talföljderna är växande. Både s n och h n ökar med n (d.v.s. ju större n desto större s n och h n ). Betrakta följande idé. Om vi kan visa att talföljderna hela tiden ökar lika fort, så har vi visat att de är lika, ty vi vet ju redan att de börjar på samma sätt. Ganska bra idé, eller hur? Hur mycket ökar s n när n ökar med 1? Ja, det framgår ju av konstruktionen att s n ökar med en 2-potens (en term tillkommer i summan). Vi har t.ex. s 3 = s och allmänt s n+1 = s n + 2 n (5) Vi har alltså s n+1 s n = 2 n. Hur mycket ökar h n? Vad är h n+1 h n? Jo

5 h n+1 h n = (2 n+1 1) (2 n 1) = 2 n+1 2 n Vi vill visa att detta är detsamma som s n+1 s n, så vi fortsätter ett stycke till: = 2 2 n 2 n = (2 1) 2 n = 2 n 3. En liten parentes om användningen av symbolen Σ. Symbolen Σ (grekiska bokstaven stora sigma) används som ett bekvämt sätt att skriva summor där termerna i summan varierar på ett känt sätt. Summan ovan i formel (3) skrivs n 1 2 i. Detta skall tolkas så, att den första termen i summan är värdet av uttrycket i=0 2 i då i = 0 (det är 2 0 = 1), den andra termen i summan är värdet av uttrycket 2 i då i = 1 (det är 2 1 = 2, vilket är vad vi vill ha), och så vidare till den sista termen i summan som är 2 n 1. Här kan i bytas ut mot vilken som helst annan symbol (utom n, som redan är upptaget). n 1 2 r betyder alltså precis samma sak. r=0 Man kan tänka sig andra gränser för i än just 0 och n 1. T.ex. är n+1 2 n + 2 n+1. Här måste förstås n 2. i=3 2 i = Vitsen med detta skrivsätt är inte främst att det är mer kompakt. Poängen är att man tydligt talar om hur termerna varierar. I detta fall är det klart vad prickarna i formel (3) skall stå för, men i andra fall kan det vara oklart hur de skall tolkas. Man brukar kalla 2 i för den allmänna termen.. Ännu en hypotes som vi lyckas bevisa. Vi tar ett exempel till. häpnadsväckande formel. Min kollega, nyssnämnde professor X, har givit mig följande n 3 = n2 (n + 1) 2 (6) Innan du läser vidare bör du själv tänka efter hur vänsterledet kan skrivas med hjälp av summasymbolen Σ. Således är = = , om professor X har rätt. Att kontrollera detta sista är förstås tidsödande och skulle ändå inte ge oss tillräckligt bevis för att formeln alltid är riktig. Professorn har en tendens att ibland skoja, dessutom gör oss talet i nämnaren i högerledet skeptiska. Vänsterledet är ju alltid ett heltal. För n = 100 är dock täljaren i högerledet delbar med fyra så även högerledet är ett heltal. Nog ser du varför n 2 (n + 1) 2 alltid är delbart med? 5

6 Men låt oss ändå försöka med samma resonemang som med den förra talföljden och studera hur snabbt de båda talföljderna i vänster- respektive högerled ökar. Vi kan skriva v n = n 3 och h n = n2 (n + 1) 2 (7) Tänk efter hur vänsterledet skall tolkas för små värden på n och kontrollera på egen hand att v n = h n gäller åtminstone för n = 1, 2, 3. Du har då kontrollerat att de båda talföljderna börjar likadant. Låt oss jämföra ökningstakten: v n+1 v n = (n + 1) 3 och h n+1 h n = (n + 1)2 (n + 2) 2 n2 (n + 1) 2 (8) Att visa att ökningarna är lika kan man naturligtvis göra genom att helt enkelt utveckla uttrycken ovan. T.ex. är ju (n + 1) 3 = (n + 1)(n + 1) 2 = (n + 1)(n 2 + 2n + 1) = n 3 + 2n 2 + n + n 2 + 2n + 1 = n 3 + 3n 2 + 3n + 1, en formel som du känner igen från dina tidigare universitetsstudier. Och högerledet kan man också utveckla och sedan jämföra. Men om det är något man bör träna på är det att överblicka en situation och försöka vara lite taktisk vid beräkningar, t.ex. så här: (n + 1) 2 (n + 2) 2 n2 (n + 1) 2 ] (n + 1)2 = [bryt ut = (n + 1) 2 ((n + 2) 2 n 2) = (n + 1)2 (n 2 + n + n 2 ) = (n + 1) 2 (n + 1) = (n + 1) 3 (n + 1)2 (n + ) = Eftersom talföljderna v n och h n börjar likadant och ökar på samma sätt så är v n = h n för alla n och vi har bevisat professorns formel (6). 5. Lite mer abstrakta funderingar. Vi skall visa många likheter av typen v n = h n, där v och h står för vänster respektive höger. Låt oss resonera lite mer generellt. Om v n och h n ökar på samma sätt, men inte börjar på samma sätt, låt oss säga att redan v 1 h 1, så kommer v n och h n aldrig att vara lika. I själva verket kommer skillnaden dem emellan att vara konstant. Å andra sidan om v 1 = h 1 men v n och h n inte har samma ökningstakt så kommer inte heller v n = h n att gälla allmänt. Däremot kan det tänkas gälla för vissa n. Exempelvis skulle ju v n kunna öka fortare än h n i början (för små n) men sedan h n öka takten och komma i fatt så att t.ex. v 7 = h 7 skulle kunna gälla. Låt oss göra ännu ett tankeexperiment. Antag att vi redan vet (har kontrollerat) att v 1 = h 1, v 2 = h 2 och så vidare upp till v 7 = h 7 och dessutom vet att v 8 v 7 = h 8 h 7. Då är förstås också v 8 = h 8. I denna situation kan man säga att vi drar nytta av att vi vet v n = h n för n = 7 när vi visar v n = h n för n = 8. 6

7 Låt oss bli ännu mer abstrakta. Antag att vi vet att om v k = h k så är också v k+1 = h k+1 och att vi vet detta för varje värde på k. (9) För att lätta upp stämningen skulle jag vilja säga att ett tal n är lyckligt om v n = h n gäller för just detta n. Om t.ex. v 7 = h 7 men v 9 h 9 så är 7 ett lyckligt tal medan 9 är olyckligt. Då skulle vi kunna formulera (9) på detta sätt för varje k gäller att om k är ett lyckligt tal så är också k + 1 ett lyckligt tal (9 ) Jag brukar säga att lyckan sprider sig från n = k till n = k + 1, d.v.s. från ett tal till närmast högre. Låt oss anta att vi vet detta. Vad kan vi säga då? Ja, vi kan exempelvis säga att om vi dessutom vet att 12 är lyckligt så är också 13 lyckligt, men då följer också att 1 är lyckligt och så vidare. Lyckan kommer sprida sig till alla naturliga tal 12. Med andra ord: om v 12 = h 12 så gäller också att v 13 = h 13 och eftersom vi då vet att v 13 = h 13 så sluter vi också v 1 = h 1 och så vidare. Men om vi inte vet att v n = h n för något specifikt värde på n, som vi kan börja med, så kör vi fast. Vi skall inte bli mer abstrakta just nu. Om nu v n = h n är sant för alla n så är det naturligtvis sant oberoende av vad vi har för oss. Alla n är lyckliga redan från början (även om vi inte vet om det) men jag tycker det är suggestivt att tänka sig att lyckan så att säga sprids från varje tal till närmast större. Börjar vi med att kontrollera att v 1 = h 1 så sprids lyckan först från 1 till 2, sedan från 2 till 3 och så vidare. Ett annat sätt att uttrycka (9) kunde vara: giltigheten för n = k inducerar giltigheten för n = k + 1 ungefär som en elektriskt laddad partikel i rörelse kan inducera rörelsen hos en annan partikel. Den bevisteknik vi är inne på kallas just induktion, och det är ju också namnet på detta kursmoment. 6. Exemplet i Avsnitt 2 med nya ögon. Det här sättet att tänka liknar det vi började med när vi studerade ökningstakten för två talföljder, men denna formulering är lite mer generell. Vi återgår till exemplet med formeln () igen och sätter v n = n 1 och h n = 2 n 1. Vi kontrollerar lätt att v 1 = h 1 = 1. Alltså är 1 ett lyckligt tal! För att bevisa formeln allmänt räcker det att visa att lyckan sprids från ett värde på n till nästa, eller annorlunda uttryckt att giltigheten för n = k inducerar giltigheten för n = k + 1. För att visa denna implikation (om k är lyckligt så är k + 1 lyckligt), så antar vi att k är ett lyckligt tal och skall visa att k + 1 också är ett lyckligt tal. Vi antar alltså att k är sådant att k 1 = 2 k 1 (10) - detta kallas för induktionsantagandet - och skall visa 7

8 som vi kallar induktionshypotesen k k = 2 k+1 1 (11) Vi får v k+1 = k k = [enligt (10)] 2 k k = 2 2 k 1 = 2 k+1 1 = h k+1. Jämför med vårt förra bevis. Det är samma grundläggande idé, men en lite annorlunda uppläggning. 7. Analys av vårt bevis och ännu ett exempel. Beviset av formel () är ett exempel på ett induktionsbevis. Analyserar vi beviset av att v n = h n för alla n ser vi att beviset har två delar: (i) vi visade att v 1 = h 1 (ii) vi visade att om k är ett lyckligt tal så är också k + 1 ett lyckligt tal eller med andra ord om v k = h k är sant så är också v k+1 = h k+1 sant. Del (i) av beviset kallas för induktionsbas och del (ii) för induktionssteg. För det mesta, men inte alltid, är induktionssteget svårare att utföra än induktionsbasen. Läs noga igenom och fundera över principen i steg (ii). Om vi skall visa (ii) så utgår vi alltså från något tal k för vilket likheten gäller och bevisar att likheten gäller även för k + 1. Har vi utfört induktionsbasen (i) så kan vi tillämpa (ii) och sluta oss till att v 2 = h 2 osv. Det bevis vi gav av () i Avsnitt 2 kan vi mycket väl kalla induktionsbevis också. Bevisen är mycket nära släkt. Kanske föredrar du uppläggningen i Avsnitt 2? Den nya uppläggningen är dock lättare att variera och generalisera så den passar i andra situationer. Och variation och generalisering leder ofta till nya framgångar i matematiken. Vi skall se exempel på det under Dag 2 och Dag 3. Låt oss återigen ge oss i kast med formel (6): n 3 = n2 (n+1) 2 och beteckna vänster- respektive högerled med v n respektive h n. För n = 1 får vi v 1 = 1 och h 1 = 1, så v 1 = h 1. Därmed har vi redan klarat av induktionsbasen, 1 är ett lyckligt tal. Nu följer induktionssteget. Låt k vara ett lyckligt tal, d.v.s. låt k vara ett värde på n sådant att formel (6) gäller (t.ex. kunde k vara 1). Antag alltså att (detta är induktionsbasen) k 3 = k2 (k + 1) 2 (12) Vi skall visa att visa att k + 1 också är ett lyckligt tal. Vi skall alltså visa att k 3 + (k + 1) 3 = (k + 1)2 (k + 2) 2 (13) För tydlighetens skull har jag tagit med de två sista termerna i vänsterledet. Vi får 8

9 k 3 + (k + 1) 3 = [enligt (12)] k2 (k + 1) 2 + (k + 1) 3 = ( ) k (k + 1) k + 1 = (k + 1) 2 k2 + k + = (k + 1)2 (k + 2) 2 och därmed har vi visat (13) och induktionsbeviset är fullbordat. 8. Övningar. Övning 1. Bevisa formeln n(n + 1) = 1 n(n + 1)(n + 2) 3 Använd båda metoderna, d.v.s. metoden med lika ökningstakt och induktionsbevis à la Avsnitt 5 7. Var mycket noga med dina formuleringar, så det klart framgår om något du skriver är något vi redan vet eller något vi skall försöka bevisa. Övning 2. Skriv vänsterledet i föregående övning med summasymbolen. Det här är ett exempel då det kan finnas ett litet behov av att tydliggöra vad prickarna står för, d.v.s. hur den allmänna termen ser ut. Övning 3. Bevisa formeln n (i + 1)2 i = n 2 n i=0 Börja med att skriva vänsterledet utan summasymbolen. Använd sedan båda metoderna, d.v.s. metoden med lika ökningstakt och induktionsbevis à la Avsnitt 5 7. Övning. Låt v n = h n vara en hypotes där n = 1, 2, 3,.... Antag att vi har visat att v 3 = h 3 och att om v k = h k (om k är lyckligt) så är v k+2 = h k+2 (k + 2 lyckligt). För vilka värden på n följer då att hypotesen är riktig? Övning 5. Låt v n = h n vara en hypotes där n = 1, 2, 3,.... Antag att vi har visat att v 20 = h 20 och att om v k = h k, där k 13 så är också v k 1 = h k 1 (om k är ett lyckligt tal större än eller lika med 13 så är k 1 också ett lyckligt tal). För vilka värden på n följer av detta att hypotesen är riktig? Övning 6. Låt v n = h n vara en hypotes där n = 1, 2, 3,.... Antag att vi (som induktionssteg) har visat att om n 5 och v k = h k så är också v k+1 = h k+1. a) Antag också att vi vet att v 1 = h 1. Vilka slutsatser kan vi då dra? b) För vilka n måste vi (som induktionsbas) visa att v n = h n för att vi av induktionssteget skall kunna sluta oss till att v n = h n för alla n = 0, 1, 2, 3,...? Övning 7. Gå tillbaka till vårt första exempel med antalet siffror i 2-potenser. Ge en pedagogisk, gärna lite informell och känslomässig, förklaring till fenomenet. Kommer det att hända igen? När då? 9

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 2. Explicita formler och rekursionsformler. Dag mötte vi flera talföljder,

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför att matematisk

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken Explorativ övning LMA100 ht 2002 MATEMATIS INDUTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel.

När du läser en definition bör du kontrollera att den är vettig, och försöka få en idé om vad den egentligen betyder. Betrakta följande exempel. Logik och bevis II 3. föring Detta avsnitt handlar om olika metoder för att bevisa påståenden, och hur man kan konstruera ett bevis. I varje avsnitt finns en allmän beskrivning av metoden, varför den fungerar

Läs mer

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken ) Explorativ övning MA00 vt 00 MATEMATISK INDUKTION Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken matematisk induktion. Termen induktion är lite olycklig därför

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION AVSNITT 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Med induktion menar man vanligen en mycket vanlig resonemangsmetod: man gör flera observationer, upptäcker ett mönster (eller något som man tror är ett mönster) och därefter

Läs mer

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER MÖNSTER OCH TALFÖLJDER FÖRELÄSNINGENS INNEHÅLL OCH SYFTE Genomgång av viktiga matematiska begrepp, uttryck och symboler med anknytning till mönster och talföljder. Skälet till att välja detta innehåll

Läs mer

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta 1 Talteori DELKAPITEL 1.1 Kongruensräkning 1. Talföljder och induktionsbevis FÖRKUNSKAPER Faktorisering av tal Algebraiska förenklingar Formler Direkta och indirekta bevis CENTRALT INNEHÅLL Begreppet kongruens

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1

MATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1 Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en

Läs mer

Om plana och planära grafer

Om plana och planära grafer KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant

Läs mer

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour ARITMETIK 3 I det här tredje aritmetikavsnittet ska vi diskutera en följd av heltal, som kallas Fibonaccis talföljd. Talen

Läs mer

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd I föreläsning 18 bekantade vi oss med talföljder, till exempel eller 3, 6, 9, 1, 15, 18 1,, 4, 8, 16, 3 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd och 3 + 6 + 9 + 1 + 15 + 18 1 + + 4

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Lutande torn och kluriga konster!

Lutande torn och kluriga konster! Lutande torn och kluriga konster! Aktiviteter för barn under Vetenskapsfestivalens skolprogram 2001 Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den

Läs mer

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Kombinatorik 6.19. Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3)

Kombinatorik 6.19. Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3) Kombinatorik 6.19 Förenkla C(n+1,2)-C(n,2) och C(n+1,3)-C(n,3) S: Sitter med med uppgift 6.19 a och b i EA och trots att det finns lösningsförslag till a på hemsidan så förstår jag inte. C(n+1,2) - C(n,2)

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013 Repetitionsuppgifter inför Matematik Matematiska institutionen Linköpings universitet 0 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Facit 4 Repetitionsuppgifter inför Matematik Repetitionsuppgifter

Läs mer

Här är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:

Här är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen: Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag

Läs mer

A4-papper där det på varje papper står en siffra, på ett papper står det ett decimaltecken. Det kan också finnas papper med de olika räknesättens

A4-papper där det på varje papper står en siffra, på ett papper står det ett decimaltecken. Det kan också finnas papper med de olika räknesättens Aktivitet 1:1 LÄRARVERSION Göra tal av siffror Eleverna ska träna på positionssystemet. A4-papper där det på varje papper står en siffra, på ett papper står det ett decimaltecken. Det kan också finnas

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

Inledning Kravgränser Provsammanställning... 18

Inledning Kravgränser Provsammanställning... 18 Innehåll Inledning... 3 Bedömningsanvisningar... 3 Allmänna bedömningsanvisningar... 3 Bedömningsanvisningar Del I... 4 Bedömningsanvisningar Del II... 5 Bedömningsanvisningar uppgift 8 (Max 5/4)... 12

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

Matematik C (MA1203)

Matematik C (MA1203) Matematik C (MA103) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma C (MA103) Matematik 03-08- Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven

Läs mer

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem Avsnitt Linjära ekvationssystem Elementära radoperationer Gausseliminering Exempel Räkneschema Exempel med exakt en lösning Exempel med parameterlösning Exempel utan lösning Slutschema Avläsa lösningen

Läs mer

Logik och kontrollstrukturer

Logik och kontrollstrukturer Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch

Läs mer

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN.

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. 1. MYSTERIER BLAND HELTALEN. Inledning. Om jämna tal och udda tal, delare, kvot och rest. Ett av kursens viktigaste syften är att ge träning i konsten att läsa matematik. Det är nödvändigt att lära sig

Läs mer

Resurscentrums matematikleksaker

Resurscentrums matematikleksaker Resurscentrums matematikleksaker Aktiviteter för barn och vuxna Innehåll 1 Bygga lutande torn som inte faller 2 2 Om konsten att vinna betingat godis i spel 5 3 Den snåle grosshandlarens våg 6 4 Tornen

Läs mer

Likhetstecknets innebörd

Likhetstecknets innebörd Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner översatta och bearbetade text bygger på boken: arithmetic & algebra in elementary school. Portsmouth: Heinemann Elever i åk 1 6 fick följande uppgift:

Läs mer

Linjära ekvationer med tillämpningar

Linjära ekvationer med tillämpningar UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel

Läs mer

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som

2 = 2. Tal skrivna på det sättet kallas potenser. I vårt fall har vi tredje tvåpotensen. Tredje tvåpotensen har 2 som bas och 3 som 616 Talföljder på laborativt vis Vikt papper Vik ett A-4 ark mitt itu så att du får två stycken A-5 ark. Vik det en gång till på samma sätt. Hur stora och hur många är dina ark? Vad händer om du fortsätter?

Läs mer

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter

Kimmo Eriksson 12 december 1995. Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att... uppfattas av manga studenter Kimmo Eriksson 12 december 1995 Matematiska institutionen, SU Att genomfora och formulera ett bevis Att losa uppgifter av karaktaren \Bevisa att..." uppfattas av manga studenter som svart. Ofta ar det

Läs mer

Nationellt kursprov i MATEMATIK KURS A Våren 2005. Del II

Nationellt kursprov i MATEMATIK KURS A Våren 2005. Del II Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med 10 juni 2005. Anvisningar Provtid Hjälpmedel

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2014

Kvalificeringstävling den 30 september 2014 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2014 1. Ett tåg kör fram och tillbaka dygnet runt mellan Aby och Bro med lika långa uppehåll vid ändstationerna,

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

A-del. (Endast svar krävs)

A-del. (Endast svar krävs) Lösningar till tentamen i Matematik grundkurs den 7 juni 011. A-del. (Endast svar krävs) 1. Förenkla så långt som möjligt. Svar: 1 1 1 1 +1. Skriv talet på formen a + ib. Svar: 1 + i 3. Beräkna 10 + 5i

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I G. Gripenberg Aalto-universitetet 2 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del I 2 oktober

Läs mer

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008

Finaltävling i Stockholm den 22 november 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Finaltävling i Stockholm den november 008 Förslag till lösningar Problem 1 En romb är inskriven i en konve fyrhörning Rombens sidor är parallella

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Likhetstecknets innebörd

Likhetstecknets innebörd Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Likhetstecknets innebörd Följande av Görel Sterner (2012) översatta och bearbetade text bygger på boken: Carpenter, T. P., Franke, M. L. & Levi, L. (2003). Thinking

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

Grundläggande 1 övningar i kombinatorik

Grundläggande 1 övningar i kombinatorik UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Vera Koponen Baskurs i matematik Grundläggande 1 övningar i kombinatorik Se till att ni klarar av dessa uppgifter innan ni går vidare till svårare uppgifter

Läs mer

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson

Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Linnéuniversitetet Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Per-Anders Svensson Tentamen i Matematikens utveckling, 1MA163, 7,5hp fredagen den 28 maj 2010, klockan 8.00 11.00 Tentamen består

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Kvalificeringstävling den 29 september 2009

Kvalificeringstävling den 29 september 2009 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 29 september 2009 Förslag till lösningar Problem Visa att talet 2009 kan skrivas som summan av 7 positiva heltal som endast

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel

Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Att beräkna t i l l v ä x t takter i Excel Detta kapitel är en liten matematisk vägledning om att beräkna tillväxttakten i Excel. Här visas exempel på potenser och logaritmer och hur dessa funktioner beräknas

Läs mer

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor 5B47 MATLAB Laboration Laboration Gränsvärden och Summor joycew@kth.se uvehag@kth.se Innehåll Uppgift a... Problem... Lösning... Grafisk bestämning av gränsvärden... Beräkning av gränsvärden...2 Uppgift

Läs mer

Grafer och grannmatriser

Grafer och grannmatriser Föreläsning 2, Linjär algebra IT VT2008 Som avslutning på kursen ska vi knyta samman linjär algebra med grafteori och sannolikhetsteori från första kursen. Resultatet blir så kallade slumpvandringar på

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Diskret matematik: Övningstentamen 4 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen

Läs mer

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen

K2 Något om modeller, kompakthetssatsen KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K2 Något om modeller, kompakthetssatsen Vi skall presentera ett enkelt (om man känner till sundhets- och fullständighetssatsen

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik Avsnitt 4.1 I kapitel 4 kommer du att möta de elementära funktionerna. Dessa är helt enkelt de vanligaste funktionerna som vi normalt arbetar med. Här

Läs mer

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4

ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT AVSNITT 4 VSNITT ÄNDLIGT OCH OÄNDLIGT Är det möjligt att jämföra storleken av olika talmängder? Har det någon mening om man säger att det finns fler irrationella tal än rationella? Är det överhuvudtaget möjligt

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet

Känguru 2012 Student sid 1 / 8 (gymnasiet åk 2 och 3) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasiet Känguru 2012 Student sid 1 / 8 NAMN GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara den frågan. Felaktigt

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Mer om reella tal och kontinuitet

Mer om reella tal och kontinuitet Kapitel R Mer om reella tal och kontinuitet I detta kapitel formulerar vi ett av de reella talens grundläggande axiom, axiomet om övre gräns, och studerar några konsekvenser av detta. Med dess hjälp kommer

Läs mer

Matematik. Kursprov, vårterminen 2012. Elevhäfte. Del I och Del II. Elevens namn och klass/grupp

Matematik. Kursprov, vårterminen 2012. Elevhäfte. Del I och Del II. Elevens namn och klass/grupp Kursprov, vårterminen 2012 Matematik Elevhäfte Del I och Del II 1c Elevens namn och klass/grupp Prov som återanvänds omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Detta prov

Läs mer

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6

Kursprov i matematik, kurs E vt Del I: Uppgifter utan miniräknare 3. Del II: Uppgifter med miniräknare 6 freeleaks NpMaE vt00 lämpliga för Ma4 1(9) Innehåll Förord 1 Kursprov i matematik, kurs E vt 00 Del I: Uppgifter utan miniräknare 3 Del II: Uppgifter med miniräknare 6 Förord Kom ihåg Matematik är att

Läs mer

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning

Lotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel

Läs mer

Np MaB vt Låt k = 0 och rita upp de båda linjerna. Bestäm skärningspunkten mellan linjerna.

Np MaB vt Låt k = 0 och rita upp de båda linjerna. Bestäm skärningspunkten mellan linjerna. Vid bedömning av ditt arbete med uppgift nummer 17 kommer läraren att ta hänsyn till: Hur väl du beräknar och jämför trianglarnas areor Hur väl du motiverar dina slutsatser Hur väl du beskriver hur arean

Läs mer

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22

Inledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22 Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21

Läs mer

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour

RSA-kryptering. Torbjörn Tambour RSA-rytering Torbjörn Tambour RSA-metoden för rytering har den seciella och betydelsefulla egensaen att metoden för rytering är offentlig, medan metoden för derytering är hemlig. Detta an om man funderar

Läs mer

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning

Läs mer

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.

D. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2. Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar

Läs mer

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG

matematik Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG matematik b Prov, Övningsblad och Aktiviteter SANOM A UT B IL DNI NG Övningsblad Potenser Multiplikation och division av potenser samt potens av potens Potenslagar Multiplikation av potenser med samma

Läs mer

Graärgning och kromatiska formler

Graärgning och kromatiska formler Graärgning och kromatiska formler Henrik Bäärnhielm, d98-hba 2 mars 2000 Sammanfattning I denna uppsats beskrivs, för en ickematematiker, färgning av grafer samt kromatiska formler för grafer. Det hela

Läs mer

Matematik D (MA1204)

Matematik D (MA1204) Matematik D (MA104) 100 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Betygskriterier enligt Skolverket Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och

Läs mer

Vad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa

Vad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa Åsa Brorsson Algebra för lågstadiet I denna artikel beskriver en lärare hur hon arbetar med algebra redan i de tidiga skolåren. Det är ett arbete som hjälper elever att förstå likhetstecknets betydelse,

Läs mer

Matematik. Kursprov, vårterminen 2012. Elevhäfte. Del I och Del II. Elevens namn och klass/grupp

Matematik. Kursprov, vårterminen 2012. Elevhäfte. Del I och Del II. Elevens namn och klass/grupp Kursprov, vårterminen 2012 Matematik Elevhäfte Del I och Del II 1b Elevens namn och klass/grupp Prov som återanvänds omfattas av sekretess enligt 17 kap. 4 offentlighets- och sekretesslagen. Detta prov

Läs mer

Jag tror att alla lärare introducerar bråk

Jag tror att alla lärare introducerar bråk RONNY AHLSTRÖM Variabler och mönster Det är viktigt att eleverna får förståelse för grundläggande matematiska begrepp. Ett sätt att närma sig variabelbegreppet är via mönster som beskrivs med formler.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar III

Läs mer

Bråk. Introduktion. Omvandlingar

Bråk. Introduktion. Omvandlingar Bråk Introduktion Figuren till höger föreställer en tårta som är delad i sex lika stora bitar Varje tårtbit utgör därmed en sjättedel av hela tårtan I nästa figur är två av sjättedelarna markerade Det

Läs mer

KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN

KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN KOMBINATORIK OCH BINOMIALSATSEN PERMUTATIONER (Ordnade listor med n element, så kallade n- tipplar) 1. (permutationer av n olika element) Vi betraktar ordnade listor med n olika element,,, Varje bestämd

Läs mer

Kapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära

Kapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 2 Grundläggande sannolikhetslära 1 Att beräkna en sannolikhet I många slumpförsök gäller att alla utfall i S är lika sannolika. Exempel: Tärningskast, slantsingling.

Läs mer

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor ) TATA42: Föreläsning 0 Serier ( generaliserade summor ) Johan Thim 5 maj 205 En funktion s: N R brukar kallas talföljd, och vi skriver ofta s n i stället för s(n). Detta innebär alltså att för varje heltal

Läs mer

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng

Läs mer

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte. Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik Avsnitt 6.6 ingår inte. Avsnitt 6.1 Detta avsnitt illustrerar hur sekanten övergår i en tangent genom att den ena skärningspunkten rör sig mot den andra.

Läs mer

de var svåra att implementera och var väldigt ineffektiva.

de var svåra att implementera och var väldigt ineffektiva. OBS! För flervalsfrågorna gäller att flera alternativ eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervalsfrågorna kan man bara ha rätt eller fel, dvs frågan måste vara helt korrekt besvarad. Totalt kan

Läs mer

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg

Tema: Pythagoras sats. Linnéa Utterström & Malin Öberg Tema: Pythagoras sats Linnéa Utterström & Malin Öberg Innehåll: Introduktion till Pythagoras sats! 3 Pythagoras sats! 4 Variabler! 5 Potenser! 5 Att komma tillbaka till ursprunget! 7 Vi bevisar Pythagoras

Läs mer

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6

Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 Känguru Student (gymnasiet åk 2 och 3) sida 1 / 6 NAMN KLASS/GRUPP Poängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tom om du inte vill besvara

Läs mer

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat bråk i gymnasiets A-kurs Klippa gräset Jenny klipper gräsmattan hos Bo på 2 timmar. Måns gör det på 4 timmar. Förberedelser Utifrån en diskussion

Läs mer

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning. Kan du det här? o o o o o o Vad innebär det att x går mot noll? Vad händer då x går mot oändligheten? Vad betyder sekant, tangent och ändringskvot och vad har dessa begrepp med derivatan att göra? Derivera

Läs mer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningshäfte 2: Komplexa tal LMA100 VT007 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL Övningshäfte : Komplexa tal Övningens syfte är att bekanta sig med komplexa tal. De komplexa talen, som är en utvidgning av de reella talen, kom till på 1400 talet

Läs mer

Lokal pedagogisk planering

Lokal pedagogisk planering Lokal pedagogisk planering RO/Skola: Rebbelberga skola Arbetsområde: Taluppfattning Ämne: Matematik Termin/År: ht 2013 Årskurs: 1 Ämnets syfte enligt grundskolans kursplan: Genom undervisningen i ämnet

Läs mer

Sannolikhetsbegreppet

Sannolikhetsbegreppet Kapitel 3 Sannolikhetsbegreppet Betrakta följande försök: Ett symmetriskt mynt kastas 100 gånger och antalet krona observeras. Antal kast 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Antal krona 6 12 16 21 25 30 34

Läs mer