Diskret matematik: Övningstentamen 4

Transkript

1 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen 77x 105y c, där c är det största heltalet i intervallet [1, 50], för vilket ekvationen är lösbar. 2. Är påståendet r en logisk konsekvens av premisserna p q och (p r) q? 25. Hur många av heltalen 1, 2,...,10000 är jämnt delbara med 7, men inte med 5 och inte heller med? 2. Betrakta alla permutationer av svenska alfabetets 28 bokstäver. (a) I hur många av dessa kan man utläsa ordet JULAFTON? (b) I hur många av dessa kan man utläsa DATOR eller TORKHUV? 27. Om ett visst träd vet vi att det, förutom en nod av grad 5, en nod av grad, två noder av grad 3 och två noder av grad 2, innehåller enbart löv. Hur många måste löven vara? 28. Undersök m.h.a. Boolesk algebra, om det för alla mängder A, B, C gäller (A C) Â (BÂA) c (B C) Â (A B C) 29. Bevisa att summan av kuberna på tre på varandra följande heltal är delbar med På hur många olika sätt kan man förflytta sig kortast möjliga väg 9 kvarter österut och kvarter norrut i en stad med rektangulärt gatusystem (från A till B i figuren nedan)? B A

2 Diskret matematik: Övningstentamen Förenkla (så mycket som möjligt) uttrycket (A C) Â (BÂA) c 32. Låt A {a, b, c, d}. Ange två olika ekvivalensrelationer på A, som båda innehåller paren (a, b) och (c, b). 33. Heltalen a och b har följande primtalsfaktoriseringar: a resp. b (a) Hur många positiva delare har produkten a b? (b) Vad är SGD(a, b)? (c) Hur många av a.s delare är kvadrater (på heltal)? 3. Avgör om uttrycken ( p q) ( q r) och (p r) ( p q r) är logiskt ekvivalenta eller om något är en logisk konsekvens av det andra. 35. Antag att för talföljden a 0 1,a 1,a 2,..., bestående av positiva tal, gäller a 2 n a n 1 a n1 för n 1, 2, 3,... Visa att a 1 a 1/2 2 a 1/ a 1/n n Bestäm en maximal matchning för trädet Låt n kª antalet olika sätt att placera n olika föremål i k likadana lådor, så att ingen låda blir tom (s.k. Stirlingtal av andra slaget). Bevisa att ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ n 1 n n k k k 1 k 5

3 Diskret matematik: Övningstentamen 38. Hur många relationer, bestående av minst par av relaterade objekt, kan definieras mellan mängderna A {Kalle,Pelle, Rolle, Olle} och B {Anna, Anja, Annika}? På vilket sätt skiljer sig här den matematiska innebörden av ordet relation från den vardagliga? 39. Antag att G är en graf med k komponenter som alla är träd med minst två noder. Visa att G har minst 2k noder av grad Visa att det ur varje grupp av människor går att plocka ut två stycken som har lika många bekanta bland övriga i gruppen. (Härvid antar vi att om X anses bekant med Y, så anses även Y bekant med X.) 1. En grupp om 2n personer delas slumpmässigt in i två lika stora delgrupper (halvor). Hur stor är sannolikheten att ett utvalt par hamnar i samma delgrupp? 2. Låt A, B, C vara tre delmängder av en viss grundmängd U. Låt M vara den delmängd till U som definieras av det skuggade området i Venndiagrammet A B C Låt χ : U {0, 1} beteckna den karaktäristiska funktionen för mängden M ½ 1, om x M χ (x) 0, om x UÂM Definiera g : U {0, 1} 3 så här ½ g (x) (a, b, c), där a 1, om x A a 0, om x/ A b 1, om x B b 0, om x/ B c 1, om x C c 1, om x/ C Låt slutligen f : {0, 1} 3 {0, 1} vara den funktion som uppfyller χ (x) f (g (x)) för alla x U Uttryck f på (a) disjunktiv normalform (b) konjunkiv normalform

4 22. Ekvivalensrelationer är symmetriska : xry yrx Partiella ordningar är antisymmetriska : ¾ xry x y yrx Om nu arb gäller för två objekt a och b och en relation R som är "både och", får vi successivt att bra och a b gäller. D.v.s. två olika objekt kan inte vara relaterade. Däremot gäller, p.g.a. reflexiviteten att ara för alla a i den aktuella mängden. Så de här relationerna svarar mot en uppdelning av grundmängden i ekvivalensklasser bestående av enstaka element. Exempel: Likhetsrelationen på en mängd av tal. ("Tycka om"-relationen i en egoistisk värld, där var och en tycker bara om sig själv :-) 23. SGD(77, 105) 7, eftersom primtalsfaktoriseringarna är 77 7 och (alternativt Euklides algoritm). Ekvationen är alltså lösbar dåå c är en multipel av 7 och vi skall sätta c 9. 77x 105y 9 x 15y 7 x 7 15y y y 1 y y Svar: y k Z y k y k 3k 1 k k n Z k n y 3 n 1 n n 1 x 1 (n 1) n 2 15n ½ x 2 15n y 1n n Z 2. Kan det inträffa att p q och (p r) q är sanna, men r falsk? Om (p r) q är sann, så är q falsk. Om q är falsk och p q är sann, är p också falsk. Men då p, q och r är falska, är även (p r) q falsk. Omöjligt, alltså. Svar: ja. Alternativ med Boolesk algebra Översättningstabell: Logiskt uttryck är sant omm... p q p q p q p q Premisserna kan uttryckas... Booleskt uttryck är 1 pq p q p q ( p q)(p q) 1 ( p q)(p q)(p r) q (pq p q) q (p r) p q (p r) p qr Av detta kan man avläsa att premisserna är sanna dåå p och q är falska, medan r sann. Alltså svar: ja. 25. A k {tal i intervallet som är delbara med k}. A j,k {tal delbara med såväl j som k}, etc. Vi söker A 7 A 7 (A 5 A ) A 7 (A 7 A 5 ) (A 7 A ) inklusion-exklusionsprincipen A 7 A 5,7 A 7, A 5,7, A 5,7 A 5 7 A 35, eftersom SGD(5, 7) 1 och analogt för A 7, och A 5,7, Låt bxc beteckna det största heltalet som är x. A A 5, A 7, A 5,7, Härav svar:

5 2. a) Ordet JULAFTON består av 8 olika bokstäver. De permutationer där dessa 8 bokstäver "sitter ihop" kan vi få genom att först ordna övriga bokstäver, vilket kan göras på 20! olika sätt, och sedan "skjuta in" JULAFTON i klump på något av de 21 platserna framför alla övriga 20, efter alla övriga 20, eller mellan två av övriga 20. Alltså totalt 20! 21 21! st. permutationer. b) Samma resonemang som i a) ger att # permutationer som innehåller DATOR (28 5 1)! 2!, #permutationersominnehållertorkhuv (28 7 1)! 22!, medan # perm. med såväl DATOR som TORKHUV # permutationer med DATORKHUV, d.v.s. (28 9 1)! 20! Inklusion-exklusionprincipen ger nu det sökta antalet 2! 22! 20! "Löven" är noder av grad 1. Kalla deras antal x. För alla grafer G gäller X grad v 2 (# bågar i G) v nod i G För alla träd gäller (# bågar) (#noder) 1 Kombinera nu detta med upplysningarna i texten: 53322x 2 ( x 1) x Först en allmän observation: och följaktligen AÂB A B c AÂB c A (B c ) c A B 29. (n 1) 3 n 3 (n 1) 3 n 3 3n 2 3n 1n 3 n 3 3n 2 3n 1 3n 3 n 3n n 2 2 Om n är delbart med 3, så är 3n delbart med 9. Annars är modulo 3 n ±1 n ochdärmedär3 n 2 2 delbart med µ T.ex. m.h.a. Venndiagram inses att A C A (BÂA) c Därmed A CÂ (BÂA) c Med Boolesk algebra (som i 28) : ac (ba) aabc 0 bc En ekv.relation är helt bestämd av sina ekv.klasser: Två element i A är relaterade då och endast då de tillhör samma ekvivalensklass. Symmetrin och transitiviteten hos ekv.relationer medför att, förutom (a, b) och (c, b), måste även (b, c) och (a, c) ingå. Alltså måste a, b, och c tillhöra samma ekv.klass. Det finns då två ekv.relationer av önskat slag: den som partionerar A iklasserna{a, b, c} och {d}, samt den med en enda ekvivalensklass {a, b, c, d} (den för vilken alla par är relaterade). 33. a) så i Boolesk algebra motsvaras AÂB c av ab. Vår likhet kan alltså översättas så här: (a c) ba bcabc cba bc a b c cba bca 00 b) c)

6 3. För korthetens skull, betecknar jag uttrycken med A resp. B. p q r p q q r p r q r p q r A B Av tabellen framgår att A B är en tautologi, däremot inte B A. Så uttrycken är inte logiskt ekvivalenta, men B är en logisk konsekvens av A. Med Boolesk algebra: A pq qr B ( p r)(p q r) pp pq pr pr qr r pq ( p p q 1)r pq r Härav kan vi se att A B, men att likhet inte behöver inträffa, vilket ger slutsatser som ovan. 35. Induktionsbevis: Basfallet a 1 a 1/2 2 fås ur a a 2 Induktionssteget: Antag a 1/(n 1) n 1 a 1/n n. Det ger a n 1 a (n 1)/n n Av a 2 n a n 1 a n1 följer då att a 2 n a (n 1)/n n a n1 a 2 (n 1)/n n a n1 a (n1)/n n a n1 a 1/n n a 1/(n1) n1 3. Högst en av noder 7 och 8 kan ingå i matchningen. Likaså högst en av noder 10 och. Alltså kan högst 29noder ingå i matchningen, d.v.s. högst 8, eftersom matchning innebär att vi parar ihop noder och ingen nod kan ingå i mer än ett par. Matchningar med 8 noder (d.v.s. bågar) finns, t.ex. {7, }, {2, 5}, {1, 3}, {, 10} 37. ª n1 k är antalet sätt att fördela n 1 olika föremål. Numrera föremålen 1, 2,...,n, n1. Fördelningarna kan indelas i två kategorier: i) Fördelningar, där föremål n 1ligger ensam i en låda. Vi lägger då föremål n1 i en låda spelar ingen roll vilken, eftersom de förutsätts identiska och lägger denna låda åt sidan. Kvar har vi att fördela n olika föremål på k 1 identiska lådor, vilket kan göras på n k 1ª olika sätt. ii) Fördelningar, där föremål n1 inte är ensam i sin låda. Dessa fördelningar kan vi åstadkomma genom att först fördela föremål 1, 2,..., n på de k lådorna, så att ingen blir tom kan göras på n kª olika sätt. Sedan väljer vi låda åt föremål n1 och för det har vi k alternativ de tomma lådorna var identiska, men nu är de inte längre tomma, utan innehåller olika objekt, och därmed gör det skillnad, vilken vi väljer åt föremål n 1. Två oberoende val efter varandra... multiplikationsprincipen ger antalet fördelningar av kategori ii) till n kª k Då i) och ii) ger en uppdelning av fördelningarna i disjunkta mängder, ger additionsprincipen att ½ ¾ n 1 k µ # fördeln. av kategori (i) ½ ¾ ½ ¾ n n k k 1 k µ # fördeln. av kategori (ii) 8

7 38. När det gäller relationer med män och kvinnor inblandade, använder vi till vardags ordet relation för ett enstaka par "relaterade" personer. I matematiken avser termen relation mängden av alla par av relaterade personer. A och B har resp. 3 element, så det går att bilda 312ordnade par av typen (a, b),a A, b B. Att definiera en relation mellan A och B är detsamma som att bestämma vilka av dessa 12 par som betraktas som relaterade personer. Antalet par som väljs får vara något av talen, 7,..., 12. Totala antalet relationer är således µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 12 1 µ µ 12 0 Lådprincipen n tal måste fördela sig på n-1 lådor ger då att minst två tal måste hamna i samma låda, d.v.s. två personer har samma antal bekanta. 39. Varje träd har minst 2 löv, och löv är detsamma som nod av grad 1. Hur vet man att varje träd har minst två löv? Välj en av trädets noder, kalla den v 1. Träd är sammanhängande grafer, så det finns minst en båge som utgår från noden. Följdenbågentillennynodv 2. Antingen är v 2 en nod av grad 1 (ett löv) eller så kan man gå från v 2 till v 3 längs en annan båge, än den vi följde från v 1 till v 2. Nod v 3.kan inte vara identisk med någon av de noder vi hittills passerat, för då skulle vi gått runt i en cykel och träd har per definition inga cyklar. Så, om man fortsätter på samma sätt, så kommer att besöka ständigt nya noder tills man så småningom kommer till en nod v j av grad 1, för graferna i den här kursen innehåller endast ändligt många noder. Alltså har vi fått tag på ett löv hittills. Återvänd till v 1 nu. Om bågen från v 1 till v 2 var den enda som utgick från v 1, så är v 1 också ett löv och vi har fått tag i två olika löv. Om inte så följer vi en annan båge ut från v på samma sätt och samma resonemang ger att vi små småningom kommer fram till en löv v k. Återigen kan inte v j och v k vara identiska, eftersom vi då skulle fått fram en cykel. Därmed har vi två olika löv. 0. Låt n antalet människor i gruppen. Möjliga antal bekanta för var och en är 0, 1,..., n 1. Men om det finns någon med 0 bekanta, så finns det ingen med n 1 bekanta! Så i själva verket finns endast n 1 alternativ för de n st. talen som anger hur många bekanta resp. person har. 1. Antal indelningar överhuvudtaget µ 2n /2 n 2. Antal indelningar, där ett visst par hamnar tillsammans µ 2n 2 n 2 Den sökta sanolikheten är alltså 2n 2 n 2 (2n 2)!n!n!2 /2 (n 2)!n!(2n)! n 1 2n 1 2n n f (a, b, c) a bc a b c ābc āb c ā bc a b āb ā bc Två ännu enklare alternativ är dock: f (a, b, c) a b āb āc a b āb bc f (a, b, c) ab ā b c f (a, b, c) f (a, b, c) ab ā b c ab ā b c ā b (a b c) 9