Diskret matematik: Övningstentamen 4

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Diskret matematik: Övningstentamen 4"

Transkript

1 Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen 77x 105y c, där c är det största heltalet i intervallet [1, 50], för vilket ekvationen är lösbar. 2. Är påståendet r en logisk konsekvens av premisserna p q och (p r) q? 25. Hur många av heltalen 1, 2,...,10000 är jämnt delbara med 7, men inte med 5 och inte heller med? 2. Betrakta alla permutationer av svenska alfabetets 28 bokstäver. (a) I hur många av dessa kan man utläsa ordet JULAFTON? (b) I hur många av dessa kan man utläsa DATOR eller TORKHUV? 27. Om ett visst träd vet vi att det, förutom en nod av grad 5, en nod av grad, två noder av grad 3 och två noder av grad 2, innehåller enbart löv. Hur många måste löven vara? 28. Undersök m.h.a. Boolesk algebra, om det för alla mängder A, B, C gäller (A C) Â (BÂA) c (B C) Â (A B C) 29. Bevisa att summan av kuberna på tre på varandra följande heltal är delbar med På hur många olika sätt kan man förflytta sig kortast möjliga väg 9 kvarter österut och kvarter norrut i en stad med rektangulärt gatusystem (från A till B i figuren nedan)? B A

2 Diskret matematik: Övningstentamen Förenkla (så mycket som möjligt) uttrycket (A C) Â (BÂA) c 32. Låt A {a, b, c, d}. Ange två olika ekvivalensrelationer på A, som båda innehåller paren (a, b) och (c, b). 33. Heltalen a och b har följande primtalsfaktoriseringar: a resp. b (a) Hur många positiva delare har produkten a b? (b) Vad är SGD(a, b)? (c) Hur många av a.s delare är kvadrater (på heltal)? 3. Avgör om uttrycken ( p q) ( q r) och (p r) ( p q r) är logiskt ekvivalenta eller om något är en logisk konsekvens av det andra. 35. Antag att för talföljden a 0 1,a 1,a 2,..., bestående av positiva tal, gäller a 2 n a n 1 a n1 för n 1, 2, 3,... Visa att a 1 a 1/2 2 a 1/ a 1/n n Bestäm en maximal matchning för trädet Låt n kª antalet olika sätt att placera n olika föremål i k likadana lådor, så att ingen låda blir tom (s.k. Stirlingtal av andra slaget). Bevisa att ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ n 1 n n k k k 1 k 5

3 Diskret matematik: Övningstentamen 38. Hur många relationer, bestående av minst par av relaterade objekt, kan definieras mellan mängderna A {Kalle,Pelle, Rolle, Olle} och B {Anna, Anja, Annika}? På vilket sätt skiljer sig här den matematiska innebörden av ordet relation från den vardagliga? 39. Antag att G är en graf med k komponenter som alla är träd med minst två noder. Visa att G har minst 2k noder av grad Visa att det ur varje grupp av människor går att plocka ut två stycken som har lika många bekanta bland övriga i gruppen. (Härvid antar vi att om X anses bekant med Y, så anses även Y bekant med X.) 1. En grupp om 2n personer delas slumpmässigt in i två lika stora delgrupper (halvor). Hur stor är sannolikheten att ett utvalt par hamnar i samma delgrupp? 2. Låt A, B, C vara tre delmängder av en viss grundmängd U. Låt M vara den delmängd till U som definieras av det skuggade området i Venndiagrammet A B C Låt χ : U {0, 1} beteckna den karaktäristiska funktionen för mängden M ½ 1, om x M χ (x) 0, om x UÂM Definiera g : U {0, 1} 3 så här ½ g (x) (a, b, c), där a 1, om x A a 0, om x/ A b 1, om x B b 0, om x/ B c 1, om x C c 1, om x/ C Låt slutligen f : {0, 1} 3 {0, 1} vara den funktion som uppfyller χ (x) f (g (x)) för alla x U Uttryck f på (a) disjunktiv normalform (b) konjunkiv normalform

4 22. Ekvivalensrelationer är symmetriska : xry yrx Partiella ordningar är antisymmetriska : ¾ xry x y yrx Om nu arb gäller för två objekt a och b och en relation R som är "både och", får vi successivt att bra och a b gäller. D.v.s. två olika objekt kan inte vara relaterade. Däremot gäller, p.g.a. reflexiviteten att ara för alla a i den aktuella mängden. Så de här relationerna svarar mot en uppdelning av grundmängden i ekvivalensklasser bestående av enstaka element. Exempel: Likhetsrelationen på en mängd av tal. ("Tycka om"-relationen i en egoistisk värld, där var och en tycker bara om sig själv :-) 23. SGD(77, 105) 7, eftersom primtalsfaktoriseringarna är 77 7 och (alternativt Euklides algoritm). Ekvationen är alltså lösbar dåå c är en multipel av 7 och vi skall sätta c 9. 77x 105y 9 x 15y 7 x 7 15y y y 1 y y Svar: y k Z y k y k 3k 1 k k n Z k n y 3 n 1 n n 1 x 1 (n 1) n 2 15n ½ x 2 15n y 1n n Z 2. Kan det inträffa att p q och (p r) q är sanna, men r falsk? Om (p r) q är sann, så är q falsk. Om q är falsk och p q är sann, är p också falsk. Men då p, q och r är falska, är även (p r) q falsk. Omöjligt, alltså. Svar: ja. Alternativ med Boolesk algebra Översättningstabell: Logiskt uttryck är sant omm... p q p q p q p q Premisserna kan uttryckas... Booleskt uttryck är 1 pq p q p q ( p q)(p q) 1 ( p q)(p q)(p r) q (pq p q) q (p r) p q (p r) p qr Av detta kan man avläsa att premisserna är sanna dåå p och q är falska, medan r sann. Alltså svar: ja. 25. A k {tal i intervallet som är delbara med k}. A j,k {tal delbara med såväl j som k}, etc. Vi söker A 7 A 7 (A 5 A ) A 7 (A 7 A 5 ) (A 7 A ) inklusion-exklusionsprincipen A 7 A 5,7 A 7, A 5,7, A 5,7 A 5 7 A 35, eftersom SGD(5, 7) 1 och analogt för A 7, och A 5,7, Låt bxc beteckna det största heltalet som är x. A A 5, A 7, A 5,7, Härav svar:

5 2. a) Ordet JULAFTON består av 8 olika bokstäver. De permutationer där dessa 8 bokstäver "sitter ihop" kan vi få genom att först ordna övriga bokstäver, vilket kan göras på 20! olika sätt, och sedan "skjuta in" JULAFTON i klump på något av de 21 platserna framför alla övriga 20, efter alla övriga 20, eller mellan två av övriga 20. Alltså totalt 20! 21 21! st. permutationer. b) Samma resonemang som i a) ger att # permutationer som innehåller DATOR (28 5 1)! 2!, #permutationersominnehållertorkhuv (28 7 1)! 22!, medan # perm. med såväl DATOR som TORKHUV # permutationer med DATORKHUV, d.v.s. (28 9 1)! 20! Inklusion-exklusionprincipen ger nu det sökta antalet 2! 22! 20! "Löven" är noder av grad 1. Kalla deras antal x. För alla grafer G gäller X grad v 2 (# bågar i G) v nod i G För alla träd gäller (# bågar) (#noder) 1 Kombinera nu detta med upplysningarna i texten: 53322x 2 ( x 1) x Först en allmän observation: och följaktligen AÂB A B c AÂB c A (B c ) c A B 29. (n 1) 3 n 3 (n 1) 3 n 3 3n 2 3n 1n 3 n 3 3n 2 3n 1 3n 3 n 3n n 2 2 Om n är delbart med 3, så är 3n delbart med 9. Annars är modulo 3 n ±1 n ochdärmedär3 n 2 2 delbart med µ T.ex. m.h.a. Venndiagram inses att A C A (BÂA) c Därmed A CÂ (BÂA) c Med Boolesk algebra (som i 28) : ac (ba) aabc 0 bc En ekv.relation är helt bestämd av sina ekv.klasser: Två element i A är relaterade då och endast då de tillhör samma ekvivalensklass. Symmetrin och transitiviteten hos ekv.relationer medför att, förutom (a, b) och (c, b), måste även (b, c) och (a, c) ingå. Alltså måste a, b, och c tillhöra samma ekv.klass. Det finns då två ekv.relationer av önskat slag: den som partionerar A iklasserna{a, b, c} och {d}, samt den med en enda ekvivalensklass {a, b, c, d} (den för vilken alla par är relaterade). 33. a) så i Boolesk algebra motsvaras AÂB c av ab. Vår likhet kan alltså översättas så här: (a c) ba bcabc cba bc a b c cba bca 00 b) c)

6 3. För korthetens skull, betecknar jag uttrycken med A resp. B. p q r p q q r p r q r p q r A B Av tabellen framgår att A B är en tautologi, däremot inte B A. Så uttrycken är inte logiskt ekvivalenta, men B är en logisk konsekvens av A. Med Boolesk algebra: A pq qr B ( p r)(p q r) pp pq pr pr qr r pq ( p p q 1)r pq r Härav kan vi se att A B, men att likhet inte behöver inträffa, vilket ger slutsatser som ovan. 35. Induktionsbevis: Basfallet a 1 a 1/2 2 fås ur a a 2 Induktionssteget: Antag a 1/(n 1) n 1 a 1/n n. Det ger a n 1 a (n 1)/n n Av a 2 n a n 1 a n1 följer då att a 2 n a (n 1)/n n a n1 a 2 (n 1)/n n a n1 a (n1)/n n a n1 a 1/n n a 1/(n1) n1 3. Högst en av noder 7 och 8 kan ingå i matchningen. Likaså högst en av noder 10 och. Alltså kan högst 29noder ingå i matchningen, d.v.s. högst 8, eftersom matchning innebär att vi parar ihop noder och ingen nod kan ingå i mer än ett par. Matchningar med 8 noder (d.v.s. bågar) finns, t.ex. {7, }, {2, 5}, {1, 3}, {, 10} 37. ª n1 k är antalet sätt att fördela n 1 olika föremål. Numrera föremålen 1, 2,...,n, n1. Fördelningarna kan indelas i två kategorier: i) Fördelningar, där föremål n 1ligger ensam i en låda. Vi lägger då föremål n1 i en låda spelar ingen roll vilken, eftersom de förutsätts identiska och lägger denna låda åt sidan. Kvar har vi att fördela n olika föremål på k 1 identiska lådor, vilket kan göras på n k 1ª olika sätt. ii) Fördelningar, där föremål n1 inte är ensam i sin låda. Dessa fördelningar kan vi åstadkomma genom att först fördela föremål 1, 2,..., n på de k lådorna, så att ingen blir tom kan göras på n kª olika sätt. Sedan väljer vi låda åt föremål n1 och för det har vi k alternativ de tomma lådorna var identiska, men nu är de inte längre tomma, utan innehåller olika objekt, och därmed gör det skillnad, vilken vi väljer åt föremål n 1. Två oberoende val efter varandra... multiplikationsprincipen ger antalet fördelningar av kategori ii) till n kª k Då i) och ii) ger en uppdelning av fördelningarna i disjunkta mängder, ger additionsprincipen att ½ ¾ n 1 k µ # fördeln. av kategori (i) ½ ¾ ½ ¾ n n k k 1 k µ # fördeln. av kategori (ii) 8

7 38. När det gäller relationer med män och kvinnor inblandade, använder vi till vardags ordet relation för ett enstaka par "relaterade" personer. I matematiken avser termen relation mängden av alla par av relaterade personer. A och B har resp. 3 element, så det går att bilda 312ordnade par av typen (a, b),a A, b B. Att definiera en relation mellan A och B är detsamma som att bestämma vilka av dessa 12 par som betraktas som relaterade personer. Antalet par som väljs får vara något av talen, 7,..., 12. Totala antalet relationer är således µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 12 1 µ µ 12 0 Lådprincipen n tal måste fördela sig på n-1 lådor ger då att minst två tal måste hamna i samma låda, d.v.s. två personer har samma antal bekanta. 39. Varje träd har minst 2 löv, och löv är detsamma som nod av grad 1. Hur vet man att varje träd har minst två löv? Välj en av trädets noder, kalla den v 1. Träd är sammanhängande grafer, så det finns minst en båge som utgår från noden. Följdenbågentillennynodv 2. Antingen är v 2 en nod av grad 1 (ett löv) eller så kan man gå från v 2 till v 3 längs en annan båge, än den vi följde från v 1 till v 2. Nod v 3.kan inte vara identisk med någon av de noder vi hittills passerat, för då skulle vi gått runt i en cykel och träd har per definition inga cyklar. Så, om man fortsätter på samma sätt, så kommer att besöka ständigt nya noder tills man så småningom kommer till en nod v j av grad 1, för graferna i den här kursen innehåller endast ändligt många noder. Alltså har vi fått tag på ett löv hittills. Återvänd till v 1 nu. Om bågen från v 1 till v 2 var den enda som utgick från v 1, så är v 1 också ett löv och vi har fått tag i två olika löv. Om inte så följer vi en annan båge ut från v på samma sätt och samma resonemang ger att vi små småningom kommer fram till en löv v k. Återigen kan inte v j och v k vara identiska, eftersom vi då skulle fått fram en cykel. Därmed har vi två olika löv. 0. Låt n antalet människor i gruppen. Möjliga antal bekanta för var och en är 0, 1,..., n 1. Men om det finns någon med 0 bekanta, så finns det ingen med n 1 bekanta! Så i själva verket finns endast n 1 alternativ för de n st. talen som anger hur många bekanta resp. person har. 1. Antal indelningar överhuvudtaget µ 2n /2 n 2. Antal indelningar, där ett visst par hamnar tillsammans µ 2n 2 n 2 Den sökta sanolikheten är alltså 2n 2 n 2 (2n 2)!n!n!2 /2 (n 2)!n!(2n)! n 1 2n 1 2n n f (a, b, c) a bc a b c ābc āb c ā bc a b āb ā bc Två ännu enklare alternativ är dock: f (a, b, c) a b āb āc a b āb bc f (a, b, c) ab ā b c f (a, b, c) f (a, b, c) ab ā b c ab ā b c ā b (a b c) 9

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p. HH / Georgi Tchilikov DISKRET MATEMATIK,5p. 8 juni 007, 40 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 5p. för Godkänd, 4p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.). Förenkla (så mycket som

Läs mer

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Diskret matematik: Övningstentamen 1 Diskret matematik: Övningstentamen 1 1. Bevisa att de reella talen är en icke-uppräknelig mängd.. För två mängder av positiva heltal A och B skriver vi A C B, om det är så att A innehåller ett heltal som

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5 5.3. Vi använder Euklides algoritm och får 4485 = 1 3042 + 1443 3042 = 2 1443 + 156 1443 = 9 156 + 39 156 = 4 39. Alltså är sgd(3042, 4485) = 39. Om vi startar

Läs mer

Kombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1

Kombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1 Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13

Läs mer

Träning i bevisföring

Träning i bevisföring KTHs Matematiska Cirkel Träning i bevisföring Andreas Enblom Institutionen för matematik, 2005 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse 1 Mängdlära Här kommer fyra tips på hur man visar

Läs mer

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15.

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = 7 + 8 = 15. 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D och F, SF161 och SF160, den juni 008 kl 08.00-1.00. DEL I 1. (p) Lös rekursionsekvationen

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002 1. Bestäm det minsta positiva heltal n sådant att 31n + 13 är delbart

Läs mer

7, Diskreta strukturer

7, Diskreta strukturer Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner

Läs mer

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna

Läs mer

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007

Relationer. 1. Relationer. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin. Specialkursen HT07 23 oktober 2007 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 23 oktober 2007 Relationer Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen är

Läs mer

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander)

Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Föreläsning 8 i kursen Ma III, #IX1305, HT 07. (Fjärde föreläsningen av Bo Åhlander) Böiers 5.3 Relationer. Vi har definierat en funktion f: A B som en regel som kopplar ihop ett element a A, med ett element

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på

Läs mer

INDUKTION OCH DEDUKTION

INDUKTION OCH DEDUKTION Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk

Läs mer

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.

a), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1. PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än

Läs mer

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén Algebra I, 5 hp Sammanfattning av föreläsning 9. Kongruenser Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att

Läs mer

Diskret matematik. Gunnar Bergström

Diskret matematik. Gunnar Bergström Diskret matematik Gunnar Bergström 20 september 2005 ii INNEHÅLL iii Innehåll 1 Logik och mängdlära 1 1.1 Satslogik........................... 1 1.1.1 Utsagor....................... 1 1.1.2 Konnektiv......................

Läs mer

1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om

1. 20 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar. På hur många olika sätt kan detta ske om 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till några övningar inför lappskrivning nummer 4 Diskret matematik för D och F vt0 1 0 identiska bollar skall delas ut till fem flickor och fem pojkar På hur många

Läs mer

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare Umeå universitet Tentamen i matematik Institutionen för matematik Introduktion till och matematisk statistik diskret matematik Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare,

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Sammanfattning, del II 1 Modulär- eller kongruensaritmetik Euklides algoritm RSA-algoritmen G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 2 Grupper och permutationer

Läs mer

IX Diskret matematik

IX Diskret matematik Lösning till tentamen 101213 IX1500 - Diskret matematik 1 Betrakta det finska ordet m a t e m a t i i k k a. Hur många arrangemang av bokstäverna i detta ord innehåller varken orden matematik eller matte?

Läs mer

Relationer och funktioner

Relationer och funktioner Relationer och funktioner Joakim Nivre Uppsala universitet Institutionen för lingvistik och filologi Översikt Relationer: Binära relationer på mängder Mängd-, graf- och matrisnotation Egenskaper hos relationer

Läs mer

Kapitel 2: De hela talen

Kapitel 2: De hela talen Kapitel 2: De hela talen Divisionsalgoritmen ( a a Z, d Z\{0} q, r Z : d = q + r ) d, 0 r d c 2005 Eric Järpe Högskolan i Halmstad där q kallas kvoten och r kallas principala resten vid heltalsdivision.

Läs mer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer

Övningshäfte 3: Funktioner och relationer GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MAM100, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 3: Funktioner och relationer Övning H Syftet är att utforska ett av matematikens viktigaste begrepp: funktionen. Du har

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 25 mars 2008. DEL I 1. (3p Bestäm antalet binära ord av längd

Läs mer

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R

Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen. x y (x > 0) (y > 0) xy > 0 Domän D = R Föreläsning Flera kvantifierare Bevis Direkt bevis Motsägelse bevis Kontrapositivt bevis Fall bevis Induktionsprincipen För att göra ett påstående av en öppen utsaga med flera variabler behövs flera kvantifierare.

Läs mer

σ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56).

σ 1 = (531)(64782), τ 1 = (18)(27)(36)(45), τ 1 σ 1 = (423871)(56). MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Övningstenta i Algebra och Kombinatorik 7,5 hp 2015-11-24 Exempel på hur tentan skulle kunna se ut om alla uppgifter var från

Läs mer

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007 MITTUNIVERSITETET TFM Modelltenta 2007 MA014G Algebra och Diskret Matematik Skrivtid: 5 timmar Datum: 1 oktober 2007 Den obligatoriska delen av denna (modell)tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan

Läs mer

Den matematiska analysens grunder

Den matematiska analysens grunder KTH:s Matematiska Cirkel Den matematiska analysens grunder Katharina Heinrich Dan Petersen Institutionen för matematik, 2012 2013 Finansierat av Marianne och Marcus Wallenbergs Stiftelse Innehåll 1 Grundläggande

Läs mer

Problem att fundera över

Problem att fundera över Problem att fundera över Här får du öva dig på att formulera en förmodan och försökabevisaden. Jag förväntar mig inte att du klarar av att gå till botten med alla frågorna! Syftet är att ge dig smakprov

Läs mer

Riksfinal. Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper.

Riksfinal. Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) OBS! Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper. Riksfinal Del 1: 6 uppgifter Tid: 60 min Maxpoäng: 18 (3p/uppgift) Hjälpmedel: Endast skrivmateriel, ingen miniräknare OBS Skriv varje uppgift på separat papper och lagets namn på samtliga papper. Fullständiga

Läs mer

Mängder, funktioner och naturliga tal

Mängder, funktioner och naturliga tal Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.

Läs mer

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt,

MATEMATIKENS SPRÅK. Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, Explorativ övning 1 MATEMATIKENS SPRÅK Syftet med denna övning är att med hjälp av logik lära oss att uttrycka matematik mer exakt, lära oss förstå språket. Vi skall försöka utveckla vårt matematiska språk,

Läs mer

75059 Stort sorteringsset

75059 Stort sorteringsset 75059 Stort sorteringsset Aktivitetsguide Detta set innehåller: 632 st sorteringsföremål 3 st snurror 6 st sorteringsskålar 1 st sorteringsbricka i plast 1 st siffertärning Detta sorteringsset har tagits

Läs mer

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29

ANDREAS REJBRAND 2014-04-25 Matematik http://www.rejbrand.se. Numeriska serier. Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 Numeriska serier Andreas Rejbrand, april 2014 1/29 1 Inledning Författarens erfarenhet säger att momentet med numeriska serier är ganska svårt för många studenter i inledande matematikkurser på högskolenivå.

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I G. Gripenberg Aalto-universitetet oktober 04 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik I oktober 04 / 45 Mängder och logik Relationer

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en

Hur många registreringsskyltar finns det som inte innehåller samma tecken mer än en Föreläsning 10 Multiplikationsprincipen Additionsprincipen Permutationer Kombinationer Generaliserade permutationer och kombinationer. Binomialsatsen Multinomialsatsen Lådprincipen (Duvslagsprincipen)

Läs mer

Abstrakt algebra för gymnasister

Abstrakt algebra för gymnasister Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 september 20 G. Gripenberg Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik II 23 september 20 / G. Gripenberg

Läs mer

Permutationer med paritet

Permutationer med paritet 238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt

Läs mer

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001 1. Låt M = {0, 1, 2,..., 99} och definiera en funktion f : M

Läs mer

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I

Matematik 5 Kap 1 Diskret matematik I Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet

Läs mer

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Svar och arbeta vidare med Student 2008 Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att

Läs mer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller

Läs mer

Lösningsförslag Cadet 2014

Lösningsförslag Cadet 2014 Kängurutävlingen 2014 Cadet svar och korta lösningar Lösningsförslag Cadet 2014 1. A 0 2014 2014 2014 2014 = 0 2. D 21 mars Det blir torsdag senast om månaden börjar med en fredag. Då är det torsdag dag

Läs mer

Föreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer

Föreläsning 4: Giriga algoritmer. Giriga algoritmer Föreläsning 4: Giriga algoritmer Giriga algoritmer Denna typ av algoritmer arbetar efter följande princip: Gör i varje situation det som är lokalt optimalt, d.v.s. bäst för stunden. Några exempel vi redan

Läs mer

Matematik, KTH Diskret matematik för D3, ht 2014 B.Ek. Några extra exempel

Matematik, KTH Diskret matematik för D3, ht 2014 B.Ek. Några extra exempel Matematik, KTH Diskret matematik för D3, ht 2014 B.Ek Övning 1, må 8 september Några extra exempel 1. Minns fibonaccitalen F n : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,..., rekursivt definierade av { F 0 = 0, F 1 = 1.

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets

NMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets NMCC Sigma 8 Täby Friskola 8 Spets Sverige 2016 1 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 1 Inledning... 2 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber... 3 Metod 1... 3 Metod 2... 4 Metod

Läs mer

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1 Kapitel 1 NÅGOT OM KRYPTERING Behovet av att skydda information har funnits mycket länge, men först i samband med utvecklingen av datatekniken har det blivit ett allmänt problem för alla moderna samhällen.

Läs mer

Handbok för volontärer

Handbok för volontärer 2016-02-25 Handbok för volontärer Detta dokument vänder sig till dig som vill bli volontär i Mattecentrum. Om Mattecentrum Mattecentrum är en ideell ungdomsförening vars målsättning är att höja kunskapsnivån

Läs mer

Grupper och RSA-kryptering

Grupper och RSA-kryptering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 26 oktober 2007 Grupper och RSA-kryptering Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II

MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II MS-A0409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 17 oktober 2013 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0409 Grundkurs i diskret matematikappendix, del II 17 oktober

Läs mer

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:.. Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman

Läs mer

Grundläggande logik och modellteori (5DV102)

Grundläggande logik och modellteori (5DV102) Tentamen 2013-10-31 Grundläggande logik och modellteori (5DV102) M. Berglund och K. Markström Totalt antal uppgifter 11 Maximalt antal poäng 30 Krav för 3 i betyg 14 poäng Krav för 4 i betyg 19 poäng,

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Under min praktik som lärarstuderande

Under min praktik som lärarstuderande tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko

Läs mer

formler Centralt innehåll

formler Centralt innehåll Trigonometri och formler Centralt innehåll Trigonometriska uttrck. Bevis och användning av trigonometriska formler. Olika bevismetoder inom matematiken. Algebraiska metoder för att lösa trigonometriska

Läs mer

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära

Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,

Läs mer

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter?

(a) om vi kan välja helt fritt? (b) om vi vill ha minst en fisk av varje art? (c) om vi vill ha precis 3 olika arter? Lösigar Grudläggade Diskret matematik 11054 Tid: 1.00-17.00 Telefo: 036-10160, Examiator: F Abrahamsso 1. I de lokala zoo-affäre fis 15 olika fiskarter med mist 0 fiskar utav varje art). På hur måga sätt

Läs mer

TMS136. Föreläsning 1

TMS136. Föreläsning 1 TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns

Läs mer

Känguru 2011 Student (gymnasiet åk 2 och 3)

Känguru 2011 Student (gymnasiet åk 2 och 3) Känguru 011 Student sida 1 / 8 NAMN KLASS / GRUPP Pängsumma: Känguruskutt: Lösgör svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under uppgiftsnumret. Lämna rutan tm m du inte vill besvara den frågan. Gissa

Läs mer

matematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55

matematik Syfte Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 1. KuRSplanER FöR KoMMunal VuxEnutBildninG på GRundläGGandE nivå 55 Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 23:E MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt Tillåtna hjälpmedel: miniräknare, lathund

Läs mer

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000 1) Beräkna x 4 + 2x 3 + 3 för alla värden på x i Z 5. Lösning: Det nns bara fem

Läs mer

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Algebra och Diskret Matematik A (svenska) MITTUNIVERSITETET TFM Tentamen 2006 MAAA99 Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 10 januari 2006 Denna tenta omfattar 8 frågor, där varje fråga kan ge 3 poäng. Maximalt poängantal

Läs mer

Det övergripande syftet med min avhandling var att beskriva och

Det övergripande syftet med min avhandling var att beskriva och Eva Pettersson Elever med särskilda matematiska förmågor Får nyfikna och vetgiriga barn det stöd och den stimulans som de har rätt att förvänta sig då de börjar skolan? Barn och ungdomar som har exceptionell

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

K3 Om andra ordningens predikatlogik

K3 Om andra ordningens predikatlogik KTH Matematik Bengt Ek Maj 2005 Kompletteringsmaterial till kursen 5B1928 Logik för D1: K3 Om andra ordningens predikatlogik Vi presenterar på dessa sidor kortfattat andra ordningens predikatlogik, vilket

Läs mer

Matematik. Delprov B. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Del B1 ÅRSKURS. Elevens namn

Matematik. Delprov B. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Del B1 ÅRSKURS. Elevens namn ÄMNESPROV Matematik ÅRSKURS 9 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 4 kap. 3 sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2009-06-30. Vid sekretessbedömning

Läs mer

Basbyte (variabelbyte)

Basbyte (variabelbyte) Basbyte (variabelbyte) En vektors koordinater beror på valet av bas! Tänk på geometriska vektorer här. v har längden 2 och pekar rakt uppåt i papprets plan. Kan vi då skriva v (, 2)? Om vi valt basvektorer

Läs mer

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER Juliusz Brzezinski och Jan Stevens MATEMATIK CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA GÖTEBORGS UNIVERSITET GÖTEBORG 2001 FÖRORD Termen Diskret matematik täcker ett mycket brett spektrum

Läs mer

Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet

Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet Uppgifter i TDDC75: Diskreta strukturer Kapitel 8 Ordning och oändlighet Mikael Asplund 19 oktober 2016 Uppgifter 1. Avgör om följande relationer utgör partialordningar. Motivera varför eller varför inte.

Läs mer

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system

Vad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 18 november 2001 13 Grupper Det trettonde kapitlet behandlar grupper. Att formulera abstrakta begrepp som grupper

Läs mer

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar

RödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens

Läs mer

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi MA 11 Talteori och logik 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi propositionssymboler: bokstäver konnektiv Paranteser konnektiv

Läs mer

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik

729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik 729G04: Inlämningsuppgift i Diskret matematik Instruktioner Dessa uppgifter utgör del av examinationen i kursen 729G04 Programmering och diskret matematik. Uppgifterna ska utföras individuellt och självständigt,

Läs mer

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012) T4.4-T4.7, 4.3, 4.7,T4.13-T4.14 S: Jag har svårt för visa-uppgifter. i kapitel 4 Talteori. Kan du

Läs mer

Algoritmanalys. Genomsnittligen behövs n/2 jämförelser vilket är proportionellt mot n, vi säger att vi har en O(n) algoritm.

Algoritmanalys. Genomsnittligen behövs n/2 jämförelser vilket är proportionellt mot n, vi säger att vi har en O(n) algoritm. Algoritmanalys Analys av algoritmer används för att uppskatta effektivitet. Om vi t. ex. har n stycken tal lagrat i en array och vi vill linjärsöka i denna. Det betyder att vi måste leta i arrayen tills

Läs mer

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematik för sjöingenjörsprogrammet Matematiska Vetenskaper 9 augusti 01 Innehåll 5 komplexa tal 150 5.1 Inledning................................ 150 5. Geometrisk definition av de komplexa talen..............

Läs mer

26:e Städernas turnering, Våren 2005

26:e Städernas turnering, Våren 2005 6:e Städernas turnering, Våren 005 Problem med facit till A-omgången Y1. Två punkter M och N ligger på en graf y=px +qx+r, där koefficienterna p,q,r är heltal. Visa att om avståndet MN är ett heltal så

Läs mer

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs A, kapitel 6 Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 000 kurs A, kapitel Kapitel.1 101, 10, 10 Eempel som löses i boken. 104, 105, 10, 107, 108, 109 Se facit 110 a) Ledning: Alla punkter med positiva

Läs mer

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.

MA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning

Läs mer

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Christian Gottlieb Gymnasieskolans matematik med akademiska ögon Induktion Dag 1 1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta

Läs mer

Tentamen i TTIT07 Diskreta Strukturer

Tentamen i TTIT07 Diskreta Strukturer Tentamen i TTIT07 Diskreta Strukturer 2004-10-28, kl 8 13, TER1 och TERC Inga hjälpmedel är tillåtna Kom ihåg att svaren på samtliga uppgifter måste MOTIVERAS, och att motiveringarna skall vara uppställda

Läs mer

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning.

En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. F5 LE1460 Analog elektronik 2005-11-23 kl 08.15 12.00 Alfa En ideal op-förstärkare har oändlig inimedans, noll utimpedans och oändlig förstärkning. ( Impedans är inte samma sak som resistans. Impedans

Läs mer

Block 1 - Mängder och tal

Block 1 - Mängder och tal Block 1 - Mängder och tal Mängder Mängder och element Venndiagram Delmängder och äkta delmängder Union och snittmängd Talmängder Heltalen Z Rationella talen Q Reella talen R Räkning med tal. Ordning av

Läs mer

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.

Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2. KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4

Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 4 Introduktion till algoritmer - Lektion 4 Matematikgymnasiet, Läsåret 014-015 Denna lektion ska vi studera rekursion. Lektion 4 Principen om induktion Principen om induktion är ett vanligt sätt att bevisa

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Kvalificeringstävling den 30 september 2008

Kvalificeringstävling den 30 september 2008 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet Kvalificeringstävling den 30 september 2008 Förslag till lösningar Problem 1 Tre rader med tal är skrivna på ett papper Varje rad innehåller tre

Läs mer

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014

Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2014 Repetitionsuppgifter i Matematik inför Basår Matematiska institutionen Linköpings universitet 04 Innehåll De fyra räknesätten Potenser och rötter 7 Algebra 0 4 Funktioner 7 Logaritmer 9 6 Facit 0 Repetitionsuppgifter

Läs mer

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk

Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer